ando à Distância d do Fulcro é Equivalente
a um Peso P Atuando à Distância d
− x do
Fulcro, Juntamente com um Peso P Atuando
à Distância d + x do Fulcro
Uma maneira bem simples de se chegar na lei da alavanca utiliza dois ingredi- entes básicos: (I) Pesos iguais se equilibram quando atuam a distâncias iguais do fulcro, e (II) Um peso 2P atuando à distância horizontal d do plano verti- cal passando pelo fulcro é equivalente a um peso P atuando à distância d − x do fulcro, juntamente com outro peso P atuando à distância d + x do fulcro, ver a Figura 9.2. A equivalência aqui se refere à tendência de fazer com que a alavanca gire ao redor do fulcro. O ingrediente (I) pode ser considerado uma definição de igualdade de pesos, enquanto que o ingrediente (II) pode ser consi- derado como um resultado que vem da experiência, ou então pode ser postulado teoricamente. No momento vamos usá-lo como um resultado experimental.
PS CG
0
PS d d PS d + x d d x Figura 9.2: Condição experimental de equilíbrio para uma alavanca. Vamos usar agora um cabide como alavanca. O fulcro ou P S é o eixo hori- zontal passando pelo gancho do cabide. Consideramos ainda que este eixo está, no equilíbrio, verticalmente acima do CG da alavanca e acima do centro O da seção horizontal do cabide.A condição experimental (II) pode ser representada pela Figura 9.2c. Ou seja, se a situação da Figura 9.2b é de equilíbrio, vem da experiência que a situação da Figura 9.2c também será de equilíbrio.
Assumindo a condição (II), é fácil chegar à lei da alavanca, bastando que não se imponham limites ao valor de x. Para ver isto, começamos com dois pesos P iguais entre si atuando à mesma distância d de um lado do fulcro, equilibrando outros dois pesos de mesmo valor à distância d do outro lado do fulcro. Movendo
um dos pesos da direita para a posição d−x e o outro peso da direita para d+x, com x = 2d, terminamos com a situação mostrada na Figura 9.3b. Isto é, uma balança em equilíbrio com um peso 3P à distância d do fulcro, juntamente com um peso P à distância 3d do outro lado do fulcro, que é um caso particular da lei da alavanca. Ou seja, temos PA/PB= dB/dA= 3.
0
2d d
d 2d
3d
0
2d d
d 2d
Figura 9.3: Um caso particular da lei da alavanca para o qual PA/PB =
dB/dA= 3.
Se tivéssemos feito x = d chegaríamos na situação de equilíbrio mostrada na Figura 9.4a. Como um dos pesos está no mesmo plano vertical que passa pelo fulcro e pelo CG da alavanca, ele pode ser retirado do sistema sem alterar o equilíbrio. Terminamos então na situação de equilíbrio mostrada na Figura 9.4b. Isto é, uma balança em equilíbrio com um peso 2P à distância d do fulcro e outro peso P à distância 2d do outro lado do fulcro, que é um outro caso particular da lei da alavanca. Ou seja, PA/PB = dB/dA= 2.
0
2d d
d 2d
2d d
0
d 2d
Figura 9.4: Um caso particular da lei da alavanca para o qual PA/PB =
dB/dA= 2.
Vamos agora começar com três pesos P atuando à mesma distância d de um lado do fulcro, sendo equilibrados por outros três pesos P atuando à mesma distância d do outro lado do fulcro, ver a Figura 9.5a. Vamos considerar agora os três pesos P que estão do lado direito do cabide. Podemos manter o equilíbrio movendo um destes pesos para a direita, de uma distância x = 2d, movendo um outro destes pesos simultaneamente para a esquerda, também de uma distância x = 2d, enquanto que o terceiro destes pesos P permanece fixo em sua posição. Chegamos então ao caso intermediário de equilíbrio mostrado na Figura 9.5b. Isto é, um peso 4P à distância d de um lado do fulcro, um peso P à distância d do outro lado do fulcro, e um peso P à distância 3d deste mesmo lado do fulcro.
O equilíbrio ainda vai ser mantido se juntarmos estes dois últimos pesos P no ponto intermediário entre eles, ver a Figura 9.5c. Este é um outro caso particular da lei da alavanca, isto é, um peso 4P à distância d do fulcro e um peso 2P à distância 2d do outro lado do fulcro. Esta relação PA/PB = dB/dA = 2 é a
mesma relação obtida anteriormente, mas agora não precisamos excluir nenhum peso do sistema, Figura 9.5c.
0
d d d 0 d 2d d 0 d 2d
3d
Figura 9.5: Um caso particular da lei da alavanca para o qual PA/PB =
dB/dA= 2.
Vamos começar novamente com três pesos iguais P de cada lado da alavanca, afastados de uma distância d do fulcro, Figura 9.6a. Vamos considerar os três pesos da direita. Movendo um deles para a distância d − x = 0 do fulcro e um outro para a distância d + x = 2d do fulcro (x = d), terminamos na situação de equilíbrio mostrada no caso intermediário da Figura 9.6b. Como o peso que está no plano vertical passando pelo fulcro e pelo CG da alavanca não afeta o equilíbrio, podemos retirá-lo do sistema. Juntando depois os dois pesos da direita no ponto intermediário entre eles, terminamos no terceiro caso de equilíbrio mostrado na Figura 9.6c. Isto é, um peso 3P à distância d do fulcro e um outro peso 2P à distância 1, 5d do outro lado do fulcro. Este é um outro caso particular da lei da alavanca no qual PA/PB = dB/dA= 3/2 = 1, 5.
0 d d d 1,5d 2d 0 d d d 0 d 2d
Figura 9.6: Um caso particular da lei da alavanca para o qual PA/PB =
dB/dA= 1, 5.
Se tivéssemos começado com 5 clipes iguais de cada lado da alavanca pode- ríamos chegar nesta mesma relação sem ter de tirar qualquer corpo do sistema. É fácil estender esta análise para outros casos. Isto mostra como derivar a lei da alavanca começando com o resultado experimental de que um peso 2P atuando a uma distância horizontal d do plano vertical passando pelo fulcro é equivalente a um peso P agindo a uma distância d − x do fulcro, juntamente
com um outro peso P agindo à distância d + x do fulcro.