CATEGORIA 2 – ÁREA MATEMÁTICA - ESTUDO DA BISSETRIZ DE UM ÂNGULO E APLICAÇÃO DE UMA

PARTE

As pesquisas que compõem essa categoria, têm como principal objetivo o ensino de Geometria por meio das construções geométricas com régua e compasso.

Silva (2018), Oliveira (2015), Castro (2018) e Alves (2017) realizaram suas pesquisas e aplicaram uma sequência de atividades para alunos do ensino fundamental, respectivamente, 7º, 8º e 9º anos. Já as pesquisas de Almeida (2014) e Marca (2015) foram realizadas e uma sequência de atividades foi aplicada para alunos do 3º ano do Ensino Médio. Ressaltamos que os documentos oficiais sugerem o trabalho com o nosso objeto de pesquisa nos últimos anos do ensino fundamental.

As pesquisas de Marca (2015), Oliveira (2015) e Alves (2017) adotaram como referencial a Teoria de Van Hiele, a qual sugere um modelo onde é possível desenvolver o pensamento geométrico em cinco níveis de aprendizagem:

visualização, análise, dedução informal, dedução formal e rigor. As atividades foram elaboradas com base nessa teoria, mas apenas as pesquisas de Marca (2015) e Alves (2017) fizeram a análise dos resultados baseados nos níveis de aprendizagem em geometria, propostos por Van Hiele.

Com relação as definições de bissetriz, Almeida (2014) e Oliveira (2015) apresentam: “a bissetriz de um ângulo é a semirreta que divide o ângulo em dois outros congruentes”

Almeida (2014, p. 29) primeiro define ângulo da seguinte maneira: “dadas duas semirretas 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ num plano 𝛼, um ângulo (ou região angular) de vértice 𝑂 e lados 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ é uma das duas regiões do plano limitadas pelas semirretas 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .”

Observamos que o pesquisador utiliza a definição de ângulo como uma região do plano, assim como Sangiorgi (1963). Verificamos que a representação Figura 62 apresentada pelo autor evidencia o ângulo por semirretas.

Figura 62 - Ângulo AÔB

Fonte: (Almeida, 2014, p. 30)

A bissetriz é definida como: “dado um ângulo 𝐴Ô𝐵, sua bissetriz é a semirreta 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ que o divide em dois ângulos congruentes. Neste caso, dizemos ainda que 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

bissecta 𝐴Ô𝐵.” (p. 34).

Com relação a definição de bissetriz, a representação da Figura 63 está de acordo com a definição, os ângulos identificados na figura são “congruentes”, ou seja, considerado como grandeza. Apesar do autor ter definido ângulos como região, ao representar a bissetriz de um ângulo, evidenciamos os ângulos representados por semirretas.

Figura 63 - Bissetriz de AÔB

Fonte: (Almeida, 2014, p. 34)

A respeito da construção da bissetriz, Almeida (2014) apresenta o passo a passo. Embora as orientações indiquem a construção de circunferências, a Figura 64 que representa essa construção apresenta apenas os arcos traçados.

Figura 64 - Construção da Bissetriz

Fonte: (Almeida, 2014, p. 59)

Ao final do passo a passo a pesquisa descreve a seguinte justificativa:

“notemos que 𝑂𝐶̅̅̅̅=𝑂𝐷̅̅̅̅=𝐶𝐸̅̅̅̅=𝐷𝐸̅̅̅̅, ou seja, os pontos O e E equidistam de C e D, o que nos garante que 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ é a bissetriz do ângulo AÔB.” (p. 59). A representação figural da justificativa não é realizada e a falta de elementos como as circunferências, dificultam a visualização dos segmentos de mesma medida (que seriam os raios dessas circunferências) e da equidistância da bissetriz aos lados do ângulo.

Oliveira (2015) acrescenta que todo ponto da bissetriz de um ângulo equidista dos lados do ângulo. O autor descreve “temos que 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 e esses segmentos são perpendiculares aos lados do ângulo”.

Na representação (Figura 65) da bissetriz não consta a identificação dos ângulos congruentes, conforme a definição e nem a perpendicularidade descrita pelo autor. Apesar da definição mencionar ângulos “congruentes”, ou seja, entende ângulo por grandeza, Oliveira (2015, p. 42) cita: “utilizando o transferidor podemos medir um

ângulo qualquer e dividir o resultado da medição por dois e traçar a bissetriz com facilidade se essa medida nos der um valor exato [...].”

Figura 65 - Bissetriz

Fonte: (Oliveira, 2015, p. 42)

Entendemos por esse comentário que a bissetriz aqui não é considerada como um objeto geométrico e que sua única característica é a divisão de um ângulo em dois

“iguais”, considerando ângulo como medida, o que difere da definição mencionada acima.

Em seguida, o autor descreve que se os ângulos não forem exatos existe um método para o traçado da bissetriz de um ângulo qualquer e descreve os passos da construção completa (com as circunferências), e em seguida, a construção simplificada (apenas com os arcos de circunferência). Não foi realizada a justificativa da construção por meio da congruência de triângulos.

Alves (2017) apresenta a definição de bissetriz implícita na justificativa da construção, como a semirreta que divide os ângulos em dois de mesma medida. Uma breve justificativa da congruência de triângulos pelo caso LLL é mencionada.

Figura 66 - Construção da bissetriz

Fonte: (Alves, 2017, p. 42)

Apesar de o autor não ter definido ângulos, menciona “𝐴Ô𝐶 = 𝐶Ô𝐵” (p. 42), pela definição de bissetriz e sua representação Figura 66, entendemos ângulo formado por

semirretas e considerado como medida. São descritos os passos da construção simplificada (arcos de circunferência), mas a figura apresenta as circunferências e a bissetriz é identificada por um segmento. Não são identificados os ângulos “iguais”

Castro (2018, p. 24) define ângulos: “dadas, no plano, duas semirretas 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ , um ângulo (ou região angular) de vértice 𝑂 e lados 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ é uma das duas regiões do plano limitadas pelas semirretas 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ". Embora a definição de ângulo apresentada sugira que ele seja uma região, sua representação Figura 67, não especifica se é bidimensional.

Figura 67 – Ângulo convexo e não convexo

Fonte: (Castro, 2018, p. 24)

Com relação a bissetriz define: “a bissetriz de um ângulo 𝐴Ô𝐵 é uma semirreta 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ tal que 𝐴Ô𝐶 = 𝐶Ô𝐵". (p. 24). Observamos que nessa definição, os ângulos são apresentados como “iguais”, ou seja, ângulo é considerado como medida. Na seção de construções de ângulos, a construção da bissetriz de um ângulo é apresentada Figura 68. São descritos os passos de uma construção simplificada (constam apenas arcos de circunferência) e não é apresentada a justificativa da construção por meio da congruência de triângulos.

Figura 68 - Construção da bissetriz

Fonte: (Castro, 2018, p. 26)

Marca (2015) e Silva (2018) definem bissetriz como: “é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas ou lados de um ângulo”.

Na pesquisa de Marca (2015) é proposta numa mesma atividade para o transporte de ângulo e a construção da bissetriz. São descritos o passo a passo para a construção da bissetriz de um ângulo que é realizada por meio da mediatriz do

segmento formado pelos pontos de intersecção entre o arco e os lados do ângulo, como mostra a Figura 69, que também foi utilizada para a justificativa da construção.

Figura 69 - Construção da bissetriz

Fonte: (Marca, 2015, p. 59)

A justificativa é realizada por meio dos triângulos congruentes que emergem e do caso de congruência de triângulos LLL. É mencionado que o ângulo foi dividido pela bissetriz formando dois ângulos “congruentes”, ou seja, o ângulo é considerado como grandeza, porém não são identificados na figura. Não é apresentada a definição de ângulo, mas a sua representação sugere ângulo por semirretas.

Silva (2018) apresenta: bissetriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados de um ângulo que pertencem à região interior desse ângulo”. A representação da Figura 70 não apresenta os ângulos, a equidistância e nem a perpendicularidade.

Figura 70 - Construção da bissetriz de um ângulo

Fonte: (Silva, 2018, p. 8)

O autor não realiza a construção do lugar geométrico bissetriz. São descritos os passos da construção por meio de circunferências. A justificativa é feita pela congruência de triângulos que não são identificados na figura. O autor relata: “assim

por LLL, estes triângulos são congruentes, portanto, 𝑋𝐵̂𝑊 = 𝑌𝐵̂𝑊". Essa notação descreve ângulos iguais, o que indica ângulo considerado como medida. O autor define ângulos por regiões do plano limitada por semirretas. Essa pesquisa aborda a construção por meio de dobraduras. Apresenta a descrição do passo a passo para a construção da bissetriz de um ângulo por meio de dobradura e sua representação figural. Em seguida, apoiado na Figura 71, são apresentadas as justificativas por meio da congruência de triângulos (LAL), o autor descreve: “como QÔP = Q’ÔP, m é a bissetriz do ângulo [...]” (p. 40).

Figura 71 - Justificativa da construção da bissetriz

Fonte: (Silva, 2018, p. 40)

Na Figura 71 podemos inferir a equidistância e a perpendicularidade da bissetriz em relação ao segmento QQ´ e os ângulos congruentes formados, considerando ângulo como grandeza, porém a justificativa apresenta ângulo como medida (“iguais”).

A respeito das atividades aplicadas, analisamos que Almeida (2014), Marca (2015), Alves (2017) e Castro (2018) propõem aos alunos a construção da bissetriz de um ângulo com régua e compasso, sem apresentar o passo a passo. Oliveira (2015) propõe que os alunos realizem a divisão de um ângulo em 4 partes. Silva (2018) apresenta o passo a passo da construção tanto nas atividades com régua e compasso, como nas atividades de construção por dobradura.

Verificamos ser unânime, nas pesquisas dessa categoria, enfatizar a construção em si, pois quase não ocorreram justificativas a respeito das construções realizadas pelos alunos. Não existiram situações problemas em que fosse necessário mobilizar características e propriedades da bissetriz.

Com relação aos resultados das atividades com a bissetriz, destacamos algumas análises. Marca (2015) relata que os alunos entenderam facilmente os conceitos geométricos que lhe foram apresentados, porém apresentaram dificuldades

em compreender os passos que devem ser executados para efetivar a construção, ficaram confusos mesmo após a realização da construção correta. Um dos alunos, inclusive, ao realizar a justificativa da construção menciona de maneira equivocada os ângulos congruentes. Em uma construção das bissetrizes dos ângulos centrais de um pentágono, outro aluno identificou a bissetriz como sendo referente a cada ponto (vértice) do pentágono, quando deveria ter mencionado a bissetriz de um ângulo. No segundo questionário, após a realização do trabalho com construções, a autora questionou se os alunos saberiam construir um ângulo de 45°. Uma resposta nos chamou a atenção: “usaria um ângulo de 90° e com o compasso traçaria a mediatriz”.

Segundo Marca (2015) o aluno cometeu um equívoco ao citar mediatriz, quando o termo correto seria bissetriz.

Na leitura da dissertação verificamos que o aluno que escreveu mediatriz é o mesmo que se referiu a bissetriz de cada vértice. Entendemos que embora esse aluno tenha realizado as construções de maneira correta, nos parece que não compreende a definição de bissetriz e nem suas propriedades, pode ser que ainda não faça sentido para ele, esse objeto matemático.

Oliveira (2015) destaca o desempenho de um aluno na atividade de divisão de um ângulo em 04 partes. O aluno construiu a bissetriz de um ângulo apenas duas vezes e o outro ângulo foi transportado por ser congruente ao já traçado na segunda construção.

Com relação aos resultados, as pesquisas que utilizaram a Teoria de Van Hiele em suas análises, Marca (2015) conclui que a resposta é afirmativa a sua questão: as construções geométricas são capazes de desenvolver o pensamento matemático e elevar o nível de aprendizagem geométrica dos alunos do Ensino Médio? As construções foram capazes de desenvolver o pensamento matemático e elevar o nível de aprendizagem geométrica dos alunos. Anteriormente a aplicação da oficina, a maioria dos alunos se encontravam no nível 2 – análise da Teoria de Van Hiele. Após a realização da oficina, a maioria dos alunos atingiram o nível 3 – dedução informal e alguns se destacaram, atingindo o nível 4 – dedução formal. Nenhum aluno atingiu o nível 5 – rigor. Para a autora as atividades de construções geométricas foram capazes de reconstruir conceitos que já haviam sido estudados, além da construção de conceitos novos.

Alves (2017) buscou avaliar de que maneira o Desenho Geométrico auxiliou na aprendizagem dos alunos, após a aplicação da sequência de atividades. Para isso, foi aplicado o mesmo teste da avaliação prévia utilizando a Teoria de Van Hiele para fazer as análises dos resultados que seguem: 6 alunos no nível abaixo de 1 - visualização, 23 alunos no nível 1 - visualização, 6 alunos no nível 2 - análise e 1 aluno no nível 3 – dedução informal. Devido aos resultados, a pesquisadora entende que atingiu seus objetivos, que a realização das atividades trouxe grande aprendizagem para os alunos e para a docente e que o trabalho com desenho geométrico foi realmente significativo na construção do conhecimento em Geometria.

A respeito dos resultados das demais pesquisas dessa categoria. Almeida (2014) aplicou um teste de sondagem para saber o conhecimento prévio dos alunos.

Após a realização da pesquisa, aplicou um novo teste. Conclui que houve um maior número de acertos em todas as questões com relação a sondagem. Nas atividades que envolveram definições e construções, os alunos apresentaram respostas incompletas. O reconhecimento de figuras teve um maior número de acertos. Foram constatados avanços em todas as questões, mas com relação a construções os alunos ainda apresentaram dificuldades, inclusive na maneira correta de usar os instrumentos. Para o autor a aprendizagem foi mais eficaz quando os conceitos foram associados a figura e quando os alunos participavam das elaborações das definições sejam através dos questionamentos ou da construção.

Oliveira (2015) conclui que os fatores determinantes para o sucesso na realização das atividades foram a utilização dos instrumentos régua e compasso e as atividades terem sido preparadas de acordo com o nível geométrico que os alunos se encontravam. O autor entende que o objetivo da pesquisa foi alcançado, que era tornar significativa a aprendizagem dos conceitos sobre construções de retas paralelas, retas perpendiculares, bissetrizes, ponto médio e mediatrizes, pois os alunos puderam participar mais ativamente de todo o processo de construção do conhecimento.

Castro (2018) conclui que ocorreu um grande avanço no conhecimento e desenvolvimento dos alunos. Eles foram motivados a desenvolver na prática, os conceitos geométricos e verificarem que suas propriedades são evidentes, com isso, o pesquisador acredita que o conhecimento foi construído de maneira mais sólida. A oficina fez com que os participantes tivessem um olhar diferenciado para a geometria

e consequentemente para a matemática, tornando-a mais concreta e acessível, mesmo para aqueles alunos que não apresentavam um rendimento muito satisfatório.

Assim o autor conclui que as aplicações das construções geométricas como uma metodologia de ensino da geometria, pode e deve ser utilizada para a formulação de conceitos e verificação de propriedades e teoremas.

Silva (2018) menciona nas análises que no começo das atividades os alunos não possuem destreza e com o decorrer das aulas eles conseguiram realizar com esmero até as construções com mais traçados. Para o autor, o material de desenho geométrico com a utilização de régua e compasso ou por meio das dobraduras, mostrou-se uma boa ferramenta, não apenas para o ensino dos conceitos geométricos, como para a resolução de problemas e no desenvolvimento matemático do aluno de maneira geral.

4.3.3 CATEGORIA 3 – ÁREA MATEMÁTICA - ESTUDO DA BISSETRIZ DE UM