Essa é a pergunta que eu mais escuto quando digo que passo a vida brincando com números. Contudo, exatamente da mesma forma como lançar uma moeda, os números que saíram nos sorteios das semanas anteriores não podem influenciar os números que sairão no próximo sábado.
É isso que significa ser aleatório, porém, algumas pessoas jamais ficarão convencidas.
O sorteio da loteria federal quinzenal da Itália ocorre em dez cidades por todo o país, e os participantes precisam escolher números de 1 a 90. A certa altura, a bola de número 53 recusava-se a sair em Veneza após quase dois anos de sorteios lotéricos. Seguramente, depois de tanto tempo, era certo que ela saísse na semana seguinte — ou assim pensavam muitos italianos. Uma mulher apostou todas as economias de sua família no 53.
Quando o número deixou de sair mais uma vez, ela se afogou no mar. Mais trágico ainda, um homem matou a família toda e depois se suicidou após contrair dívidas de apostas enormes na certeza de dar 53. Estima-se que os italianos investiram £ 2,4 bilhões — uma média de £ 150 por família — na certeza de que ia dar 53.
Houve inclusive pedidos ao governo para eliminar o 53 do sorteio, pondo fim à obsessão do país por esse número. Quando a represa
finalmente arrebentou, em 9 de fevereiro de 2005, e a bola 53 saiu no sorteio, foram pagos £ 400 milhões a um número não especificado de ganhadores. Inevitavelmente, algumas pessoas acusaram o governo de guardar de propósito a bola 53 para evitar um pagamento monstro — e não foi a primeira vez que circulou um boato desses. Em 1941, a bola número 8 deixou de aparecer durante 201 sorteios em Roma. Muitos acreditavam que Mussolini determinara que ele não fosse sorteado, e estava sugando as apostas do país na bola 8 para ajudar a financiar o esforço de guerra italiano.
Agora, para ver quanta sorte você tem, vamos brincar um pouco na nossa própria loteria. Não posso lhe prometer milhões, mas a boa notícia é que esta é uma loteria grátis. Para jogar loto na Num8er My5teries, comece escolhendo seis números entre os 49 da cartela (Figura 3.02).
FIGURA 3.02
Para ver se você ganhou, vá ao site especificado no quadro. Selecione uma cartela, United Kingdom e National Lottery (Reino Unido e Loteria Nacional), e clique em “Pick Tickets” (Escolha cartelas). Se você não tiver acesso à internet, há uma escolha predeterminada de seis números no fim deste capítulo. Agora, não trapaceie. Tal como resolver uma charada matemática, é muito mais gostoso você mesmo dar a resposta que a espiar.b
Escolheu seus números? Para ver se você ganhou, vá ao site http://bit.ly/quickpick/ ou use o seu smartphone para escanear o código.
Quais são suas chances de escolher corretamente todos os seis números e ganhar a loteria? Para calcular as possibilidades, você precisa determinar quantas escolhas possíveis diferentes de seis números existem — vamos chamá-las de n. Então, a probabilidade de você ter escolhido os números vencedores é 1 em n. Para aquecer, comecemos olhando quantas maneiras diferentes há para se escolher dois números. Há 49 escolhas para o primeiro número. Para o segundo, você tem uma escolha de 48 opções. Cada escolha do primeiro número pode fazer par com um dos 48 números restantes. Isso nos dá 49 × 48 pares possíveis. Mas espere um pouco, na verdade, contamos cada par escolhido duas vezes. Por exemplo, se escolhemos 27 como primeiro número e 23 como segundo, é o mesmo que escolher primeiro 23 e depois 27. Então, há apenas metade dos pares de números que pensamos inicialmente, o que significa que a quantidade de pares que você pode escolher é ½ × 49 × 48.
Agora, seis números. Há 49 opções para a primeira escolha, 48 para a segunda, 47 para a terceira, 46 para a quarta, 45 para a quinta e, finalmente, 44 opções para o último número. Isso equivale a 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 combinações de seis números. Exceto que, novamente, contamos algumas combinações mais de uma vez. Quantas vezes contamos, por exemplo, a combinação 1 2 3 4 5 6? Bem, podemos ter escolhido qualquer um desses números em primeiro lugar (digamos, 5). Isso deixaria cinco números para a possível segunda escolha (digamos, 1), quatro números para a escolha seguinte (digamos, 2), três para a seguinte (digamos, 6), duas opções para o penúltimo número (digamos, 4), e então o número final precisa ser o que sobrou (nesse caso, 3). Logo, poderíamos ter escolhido os seis números 1 2 3 4 5 6 de 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 maneiras diferentes. Isso vale para qualquer combinação de seis números. Precisamos então dividir 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 por 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 para obter o total de modos possíveis de esgotar a nossa cartela de loteria. A resposta?
13.983.816.
Esse número também nos diz nossa chance de ganhar, uma vez que é o total de possíveis combinações de como as bolas são sorteadas na lotérica.
Em outras palavras, a chance de você escolher a combinação correta no total de combinações possíveis é de 1 em 13.983.816.
Quais são as chances de você não acertar nenhum número?
Trabalhamos do mesmo jeito. O primeiro número precisa ser um dos 43 não sorteados, o segundo, um dos 42 restantes, e assim por diante. Isso nos dá
43 × 42 × 41 × 40 × 39 × 38 combinações distintas. Mas cada combinação foi contada 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 vezes. Logo, o número total de combinações que não possuam nenhum número correto é 43 × 42 × 41 × 40
× 39 × 38 divididos por 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, ou 6.096.454. Assim, pouco menos da metade de escolhas possíveis não tem nenhum número incluído entre os seis vencedores. Para calcular sua chance de não acertar nenhum número, divida 6.096.454 por 13.983.816. Isso dá, aproximadamente, 0,436 ou 43,6% de ter errado tudo no sorteio.
Então, você tem uma chance de 56,4% de acertar pelo menos um número. Quais são as chances de acertar dois números? Para calcular isso, você precisa achar a quantidade de combinações com dois números corretos. Você tem seis opções para o primeiro número correto e outras cinco para o segundo. Isso é 6 × 5, porém, de novo, você precisa dividir por 2 para fazer a correção por ter contado duas vezes. Para os quatro números errados você tem uma escolha de 43 × 42 × 41 × 40, que vai ter de dividir por 4 × 3 × 2 × 1, que é a quantidade de maneiras de ter contado a combinação duas vezes. Assim, a quantidade de combinações com exatamente dois números corretos é
A Tabela 3.01 mostra as chances de adivinhar de zero a seis números corretamente, todas calculadas da mesma maneira. Para dar alguma perspectiva a esses números, se você jogasse na Loteria Nacional da Inglaterra toda semana, pouco depois de um ano, seria de esperar que você tivesse um volante com pelo menos três números corretos. Após vinte anos, você teria um volante com pelo menos quatro números corretos. O rei Alfredo,c se tivesse jogado na loteria toda semana, a essa altura provavelmente teria um volante com cinco números corretos. Se o primeiro pensamento na cabeça do primeiro Homo sapiens fosse ir até a casa lotérica mais próxima e começar a jogar toda semana, hoje ele já poderia ter recebido o grande prêmio.
Se você algum dia tiver a sorte de acertar os seis números e ganhar uma grande bolada, tudo que você não quer que aconteça é o que ocorreu no Reino Unido em 14 de janeiro de 1995, apenas nove semanas depois de a
Loteria Nacional ter sido instituída. O prêmio acumulado naquela semana era uma bolada de £ 16 milhões. Quando saíram as seis bolas numeradas da máquina, os ganhadores devem ter dado pulos e gritos histéricos de alegria.
Mas quando foram reclamar o prêmio, cada qual descobriu que teria de dividir o bolo com outros 132 portadores de volantes vitoriosos. Cada ganhador recebeu a ninharia de £ 122.510 libras (pouco mais de R$ 400 mil).
Como é possível que tanta gente tenha adivinhado a combinação correta? A razão remonta a um ponto que abordei quando analisamos o jogo pedra, papel e tesoura: nós, seres humanos, somos ruins em escolher números ao acaso. Considerando que toda semana 14 milhões de pessoas jogam na loteria, muitos se veem atraídos por números muito similares, tais como 7, número da sorte, ou datas de aniversário ou de casamento (o que exclui os números de 32 a 49). Uma coisa em particular que caracteriza as escolhas de muita gente é o desejo de distribuir os números com regularidade.
TABELA 3.01: As chances de adivinhar corretamente de 0 a 6 números na Loteria Nacional da Inglaterra.
Por que os números gostam de se amontoar
Eis como calcular quantas combinações de loteria têm dois números consecutivos. Os matemáticos muitas vezes usam o truque esperto de olhar o problema ao contrário, e isso é o que se pode fazer aqui. Primeiro contam-se as combinações sem números consecutivos, depois se subtrai o resultado da quantidade total de combinações possíveis para encontrar quantas combinações têm números consecutivos.
Primeiro, pegue quaisquer seis números de 1 a 44. (Só se pode pegar até 44, não 49. Já, já você verá por quê. Chame a sua escolha de A1, …, A6, com A1 sendo o menor e A6 o maior.
Agora, A1 e A2 podem ser consecutivos, mas A1 e A2 + 1 não podem. A2 e A3 podem ser
consecutivos, mas A2 e A3 + 2 não serão. Então, se você pegar os seis números A1, A2 + 1, A3+ 2, A4+ 3, A5 + 4 e A6 + 5, nenhum deles será consecutivo. (A restrição de escolher números até 44 agora fica clara, porque se A6 for 44, então A6= 5 é 49.)
Usando esse truque, você pode gerar todas as cartelas de combinações sem números consecutivos simplesmente escolhendo seis números de 1 a 44, e então ampliá-los somando um pouquinho a cada um. E descobrimos que a quantidade de cartelas sem números consecutivos é a mesma que a quantidade de combinações de seis números de 1 a 44. Há
opções. Logo, a quantidade de cartelas com números consecutivos é 13.983.816 – 7.059.052 = 6.924.764
A Figura 3.03 mostra os números vencedores na nona semana da loteria:
FIGURA 3.03
O espaçamento regular de números não é particularmente típico da aleatoriedade: os números têm tanta probabilidade de se amontoar quanto de não se amontoar. Das 13.983.816 diferentes combinações possíveis das cartelas de loteria, 6.924.764 terão dois números consecutivos. Isso equivale a 49,5%, aproximadamente metade das combinações. Por exemplo, na semana anterior tinham saído os números 21 e 22. Na semana posterior saíram 30 e 31.
Mas não se acostume muito a números consecutivos. Você poderia achar que 1 2 3 4 5 6 é uma escolha inteligente. Afinal, a essa altura, espero que você já considere que a combinação é tão provável quanto qualquer outra (ou seja, extremamente improvável!). Se você ganhasse a bolada com essa combinação, ia achar que recebeu o prêmio sozinho. Mas, aparentemente, mais de 10 mil pessoas no Reino Unido escolhem essa
combinação toda semana — o que só serve para mostrar como a população britânica é de fato inteligente. O único problema é que, se você acertar o resultado com essa combinação, terá de dividir o prêmio com mais de 10 mil pessoas inteligentes.