Episódio 1: o que diz Euclides?

O episódio 1 é um recorte do segundo encontro da aplicação da proposta de intervenção que aconteceu no dia 27 de abril de 2019, na qual os participantes foram distribuídos em quatro grupos de trabalho para discutir conceitos fundamentais da Geometria Euclidiana com o intuito de explorar os conhecimentos prévios dos participantes a respeito desses conceitos. As AE foram pensadas pelo professor-pesquisador e seguiu os moldes da AOE, destacando em sua constituição o personagem Anselmo que passa a conduzir uma história virtual para introduzir o problema desencadeador de aprendizagem.

O episódio 1 se constitui no momento da plenária, em que cada grupo expôs as possíveis respostas para as situações vivenciadas na AE I e buscam na discussão formalizar a solução mais adequada para a situação vivenciada.

Quadro 20 - Episódio 1: Discussão dos participantes sobre a AE I

PP – Suponha que Anselmo fincasse uma estaca no chão e fosse desenrolando um fio bem esticado e fosse em

frente sempre em frente, o mais longe possível. Do ponto de vista geométrico o que poderíamos dizer sobre essa construção? Desenhe o caminho percorrido por Anselmo. O que podemos dizer sobre essa construção?

LB 3 – Uma semirreta.

PP – Alguém colocou alguma coisa diferente? Algum outro grupo? Qual é a característica dessa semirreta? LB 3 – Porque olha só... A gente sabe se alguém olhasse essa semirreta que ele construiu em algum momento

iria achar que era uma reta. Mas, nós sabemos que ele fincou, que ele tem um ponto de partida. Então no caso semirreta porque semirreta tem uma origem, só não tem no caso o fim dela, tende ao infinito.

LB 2 – Colocar uma ideia... que assim... do grupo. A gente está falando de plano, né. Mas, se a gente for olhar

em relação a ... o espaço! Aí já não seria ... já uma ... Se ele seguisse reto, aí seria uma curva. Aí ficou essa dúvida se é uma curva? Se é uma reta?

PP – Se é uma curva ou uma reta?

LB 2 – Porque ele vai andando o mais longe que puder...

LB 3 – Mas, a gente sabe que a Terra, ela é um círculo. Porque você vai andando, andando... Como seria isso? LB 2 – Porque se olhar de perto seria uma reta e se olhar de longe seria uma curva.

PP – Se você pudesse estar bem longe possível. Entendi! Se você pudesse ampliar seu campo de visão o máximo

possível ela não seria a reta como idealizamos. Mais ou menos isso?

Todos – Isso!

LO 4 – A gente colocou como uma reta infinita né. Ela não teria fim definido. Mas, a gente entrou nessa

discussão que não seria reta, que seria curva. Então tem esse debate aí.

PP – Aí voces colocaram como reta né? LO 4 – Sim.

PP – E o grupo de lá (LB) como uma semirreta. Tem um ponto de origem e não tem fim. LB 3 – Sim.

PP – Só que vocês trouxeram elementos que trazem um certo conflito aí... Se você olhar bem próximo você tem

a ideia de reta né. Mas, aí vocês pensando no espaço, espaço diferenciado, que a superfície pode ser ou não. Vocês falaram assim... Nao! Talvez essa reta para gente não é bem uma reta... ela pode se estruturar em uma curva.

PP – Tem uma outra pergunta que segue a mesma ideia. Ele fala bem assim... Uma geodésica é uma reta. Ele

afirma – Anselmo. O que quer dizer Anselmo sobre essa afirmação?

LB 3 – A gente chegou que ele teria conhecimento dos postulados no caso. Ele foi lá e fez essa reta. Ele

percebeu que essa reta é a menor distância entre esses dois pontos. Então, a geodésica seria a menor distância entre esses dois pontos.

PP – Otimo! Então a menor distância entre dois pontos seria a ideia de geodésica. Alguém já tinha ouvido

falar de geodésica antes?

Todos – Não!

Fonte: Elaborado pelo pesquisador a partir da transcrição das áudio-gravações do encontro em 27/04/2019.

Na discussão apresentada no Episódio 1 podemos observar que a ideia da AE I foi propor através do personagem Anselmo que os licenciandos revisitassem conceitos geométricos euclidianos a partir de alguns questionamentos do personagem acerca da aplicação desses conhecimentos no mundo em que vive (QUADRO 20).

Dito isto, destacamos no Episódio 1 as ações desenvolvidas pelos participantes que denotaram significados produzidos acerca do conceito de semirreta, reta e geodésica, destacando no processo os conceitos que os licenciandos possuíam e os que foram formalizados a partir dos conflitos gerados ao aplicarem conceitos geométricos básicos em situações cotidianas.

Quadro 21 - Cena 1: Discussão sobre o experimento de Anselmo na construção de uma semirreta

LB 3 – Porque olha só... A gente sabe se alguém olhasse essa semirreta que ele construiu em algum momento

iria achar que era uma reta. Mas, nós sabemos que ele fincou, que ele tem um ponto de partida. Então no caso semirreta porque semirreta tem uma origem, só não tem no caso o fim dela, tende ao infinito.

LB2 – Colocar uma ideia... que assim... do grupo. A gente está falando de plano, né. Mas, se a gente for olhar

em relação a ... o espaço! Aí já não seria ... já uma ... Se ele seguisse reto, aí seria uma curva. Aí ficou essa dúvida se é uma curva? Se é uma reta?

PP – Se é uma curva ou uma reta?

LB2 – Porque ele vai andando o mais longe que puder...

LB3 – Mas, a gente sabe que a Terra, ela é um círculo. Porque você vai andando, andando... Como seria isso? LB2 – Porque se olhar de perto seria uma reta e se olhar de longe seria uma curva.

Fonte: Dados da pesquisa – Episódio 1.

Na discussão exposta na Cena 1 (QUADRO 21) o grupo Beta (LB) ao explicar o conceito de semirreta “Semirreta tem uma origem, só não tem no caso o fim dela, tende ao

do pensamento geométrico euclidiano, como algo determinado e incapaz de ser modificado, associando a ideia de semirreta como uma parte de uma reta “A gente sabe se alguém olhasse

essa semirreta que ele construiu em algum momento iria achar que era uma reta” (LB 3, Episódio, 2019). Mas, os participantes colocaram em xeque este conceito ao questionarem o tipo de superfície em que o personagem Anselmo realizou o seu experimento.

Na discussão, o grupo LB transcende os conceitos de uma Geometria absoluta (Euclidiana) ao propor que a materialização de uma semirreta pelo personagem Anselmo desarticulou a ideia de que ao esticarmos uma linha indefinidamente teríamos uma reta. Na situação, o grupo LB compartilha por meio de suas reflexões os significados que possuíam sobre o conceito de semirreta, relacionando-o aos conceitos geométricos básicos desenvolvidos por Euclides. Mais adiante, o grupo promove novas reflexões que se modificam a partir de suas experiências, construindo um olhar diferenciado ao questionarem o espaço em que o personagem Anselmo se encontra “Mas, a gente sabe que a Terra, ela é um círculo. Porque

você vai andando, andando... Como seria isso?” (LB 3, Episódio 1, 2019) e produzem um novo

significado para o comportamento da reta quando chegam a uma generalização e a estabilização do conteúdo das ações ao afirma “Porque se olhar de perto seria uma reta e se

olhar de longe seria uma curva.” (LB 2, Episódio 1, 2019). De maneira intuitiva, os

participantes apontam uma característica importante para a construção do pensamento geométrico ao constatar que os conceitos da Geometria Euclidiana atendem satisfatoriamente o nosso mundo físico quando utilizada em situações bem determinadas.

Nesse contexto, compreendemos que os significados produzidos acerca do conceito de semirreta despontaram incialmente através do “conflito” entre a validade lógica do sistema euclidiano internalizado pelos licenciandos e a validade empírica vivenciada pelos mesmos ao verificarem que o conceito de reta está atrelado ao tipo de superfície em estudo, afirmando nesse caso que a trajetória descrita por Anselmo pode ser uma reta quando analisamos uma região delimitada ou uma curva quando ampliamos nosso campo de visão. A ideia principal da AE I foi criar condições para que os licenciandos pudessem compreender que a superfície em que Anselmo se encontra não é plana, mas sim, esférica.

No registro realizado pelo grupo Beta na AE I, sobre a construção da semirreta no experimento de Anselmo podemos perceber que o grupo se restringe somente a representação gráfica da situação, como podemos ver na Figura 15.

Figura 15 - Representação gráfica da construção de uma semirreta em relação ao experimento de Anselmo

Fonte: Dados da pesquisa – Grupo Beta - AE I, produzido em 27/04/2019.

Nas análises realizadas, perscrutramos que os grupos no registro escrito se limitaram a responder o questionamento de Anselmo acerca da construção de uma semirreta apenas por meio de sua representação gráfica, o que limitaria a nossa análise nesse estudo apenas ao conhecimento geométrico euclidiano dos participantes. As ações dos participantes captadas no momento da discussão foram imprescindíveis para a apreensão de significados diferenciados que extrapolaram o conhecimento geométrico euclidiano dos mesmos sobre o conceito de semirreta e reta.

Seguindo com a análise do Episódio 1 selecionamos a fala da participante LB 3 na tentativa de aproximação do conceito de geodésica ao considerar a afirmação do personagem Anselmo de que uma geodésica é uma reta. Essa situação constitui a cena 2 dessa análise (QUADRO 22).

Quadro 22 - Cena 2: Aproximação do conceito de geodésica

PP – Tem uma outra pergunta que segue a mesma ideia. Ele fala bem assim... Uma geodésica é uma reta. Ele

afirma – Anselmo. O que quer dizer Anselmo sobre essa afirmação?

LB3 – A gente chegou que ele teria conhecimento dos postulados no caso. Ele foi lá e fez essa reta. Ele percebeu

que essa reta é a menor distância entre esses dois pontos. Então, a geodésica seria a menor distância entre esses dois pontos.

PP – Otimo! Então a menor distância entre dois pontos seria a ideia de geodésica. Alguém já tinha ouvido

falar de geodésica antes?

Todos – Não!

Fonte: Dados da pesquisa – Episódio 1.

Na Cena 2 captamos na discussão que o termo geodésica era desconhecido pelos participantes da pesquisa e compreendemos que não houve resistência por parte dos licenciandos em aceitar essa nova terminologia, uma vez que este termo emergiu em meio ao conflito gerado ao verificarem que o conceito de reta está relacionado ao tipo de superfície em estudo. Em nossa análise, a aceitação do conceito de geodésica se deve a necessidade que os participantes tiveram para justificar o comportamento da reta em um espaço não plano.

Na fala de LB 3 exposta na cena 2 podemos constatar que o grupo LB busca construir o conceito de geodésica a partir de significados atribuídos a ideia de reta que foram formalizados pela Geometria Euclidiana “A gente chegou que ele teria conhecimento dos postulados no caso.

Ele foi lá e fez essa reta. Ele percebeu que essa reta é a menor distância entre esses dois pontos.” (LB 3, Episódio, 2019). A participante LB 3 propõem um conceito para geodésica ao

enunciar que “Então, a geodésica seria a menor distância entre esses dois pontos.” (LB 3, Episódio 1, 2019), o que demonstra a atribuição de novo significado para descrever a trajetória entre dois pontos em diferentes espaços geométricos.

O conceito de geodésica proposto pelo o grupo LB se estabeleceu a partir dos conhecimentos prévios dos participantes e pela compreensão de que o espaço vivenciado pelo personagem Anselmo não é plano. Esse movimento conduziu os licenciandos a formação de um novo conceito científico para expressar a menor distância entre dois pontos em qualquer superfície.