Episódio 3: questionando Euclides?

Este Episódio é o recorte do terceiro encontro da aplicação da proposta de intervenção que aconteceu no dia 04 de maio de 2019. O episódio 3 tem sua estrutura captada no momento da plenária da AE II e destacamos o movimento dos licenciandos para formalizar o conceito de retas paralelas e retas coincidentes tanto na Geometria Euclidiana quanto na Geometria Esférica.

Quadro 25 - Episódio 3: Discussão dos participantes sobre a AE II

PP – Duas retas são paralelas se estão, no mesmo plano e não possuem nenhum ponto em comum. Na superfície

esférica existe retas paralelas?

LB 3 – Então... Nosso grupo foi uma briga danada, rsrsrsrs.... Mas a gente mediu certinho a distância entre as

retas foi de 2,5 cm mais não com circunferências máximas.

LB 4 – A gente consegue fazer várias retas paralelas só que com circunferências menores. LB 3 – Mas elas terão a mesma distância entre elas.

LB 3 – Logo existe!

LO 4 – A gente também discutiu bastante... A nossa dúvida inicialmente era referente a retas coincidentes, se

retas coincidentes eram paralelas. Porque na Geometria esférica, a reta ou geodésica, ela só é se ela passa pela circunferência maior. Então, se for ter retas coincidentes você tem retas paralelas. Porém a gente definiu que retas coincidentes não são paralelas, para a nossa discussão aqui não existe retas paralelas na esférica.

LB 3 – Não entendi ainda. Porque na esférica as retas coincidentes não seriam paralelas? LO 4 – As retas coincidentes não são paralelas nem na Geometria Plana.

LB 3 – Mas, a gente considera paralela as retas coincidentes porque tem a mesma distância. A distância é

zero! Se a distância é zero elas são paralelas. Porque... porque fala que dado dois pontos os pontos precisam ter a mesma distância.

LO 4 – viu que não era a única que achava isso. (Risos) PP – Então vamos lá para o V postulado de Euclides. LO 3 – Mas são duas condições para serem paralelas.

LO 4 – Isso que causou uma confusão em minha cabeça porque retas coincidentes eram paralelas. Mas, pela

definição retas paralelas não podem ter pontos em comum, e se elas são coincidentes, elas têm todos os pontos em comum.

PP – Vamos lá então! O V postulado que a gente trabalha hoje na educação básica, que é uma transformação

do postulado de Euclides, uma das ideias é que dado uma reta e um ponto fora desta reta, pode-se traçar uma única reta paralela à reta dada. Então, você tem que ter de certa forma um ponto fora dessa reta.

LB 3 – Mas não fala que não pode ter ... dado apenas um ponto fora dela. Não fala isso! Deixa viés...

PP – Então a gente chega em duas analises ai... primeiro a distância de cada ponto nas retas tem que ser igual

(ponto a ponto) e depois, que a reta formada entre esses pontos formam ângulos de 90 graus com as retas dadas. Para que você mantenha o paralelismo.

LO 3 – Você tem que ter um triangulo entre essas retas paralelas como consequência. (a soma dos ângulos do

triangulo na Geometria Euclidiana é igual a 180º).

PP – Isso mesmo.

LB 3 – Ohhh! É ... porque eu aprendi desse jeito. No meu curso todo e até nos minicursos que eu fiz a gente

aprendeu que retas coincidentes são retas paralelas.

LB 2 – Estou com o pensamento da LO 4, as retas não podem ter pontos em comum... Se forem em comum já

elimina a chance de ser paralelas.

PP – Eu concordo com LO 4 quando ela chega ali. Pois temos V postulado, formulado por Playfair, que dado

uma reta e um ponto fora dela, você tem que ter o ponto fora da reta para ter o conceito de paralelismo.

LB 3 – E se o ponto for nela? Porque ele não da aval para isso, porque ele afirma que existe retas coincidentes

são retas paralelas está no livro isso porque a gente leu.

LB 4 – Isso!

PP – A ideia de paralelismo para mim está na ideia do V postulado, que você tem que ter um ponto fora dessa

reta dada.

LB 3 – Você usa a ideia de perpendicularismo para medir a distância entre as retas, mas se a distância é zero...

eu não preciso do perpendicularismo. Se elas tem as mesmas distancias (ponto a ponto) elas são paralelas.

PO – Vocês estão misturando dois conceitos em um mesmo momento. O conceito de retas distintas paralelas e

de retas paralelas coincidentes. As condição para que as retas sejam distintas paralelas ou retas paralelas coincidentes são diferentes.

PP – Então vamos pensar... Para que que eu abriria a ideia de paralelismo entre retas coincidentes? LO 3 – Não sei ...

PP – Nós temos que sair daqui com o conceito redondo... construído aqui.

LO 3 – Até porque se existir retas coincidentes paralelas na GE, então teremos retas coincidentes paralelas

nessa daqui também (mostrando a bola de isopor). Por isso temos que definir se coincidentes são paralelas ou não, porque se eu passo aqui a minha geodésica todas as vezes que for dar voltas ela será paralela a ela mesma.

LO 4 – Se considerar retas coincidentes paralelas aí vai existir.

PP – Uma das ideias de paralelismo que vimos na apresentação do curso, uma das consequências é que todo

o triangulo euclidiano, a soma dos ângulos é igual a 180º. Se tivermos retas coincidentes paralelas essa consequência cai.

LB 3 – Eu vou ficar com PO que disse que nós estamos confundindo retas paralelas distintas de retas paralelas

coincidentes.

PP – O que a gente determinou aqui... Se existir retas coincidentes na Geometria Euclidiana então vai existir

também retas paralelas na Geometria Esférica somente no caso particular, quando forem retas paralelas coincidentes.

LO 4 – Só nesse caso de coincidente.

PP – Então não pode ser só para um caso particular.

LO 4 – Tanto que a gente colocou assim... na esférica só consideramos que existe retas coincidentes e as

concorrentes, apenas a não ser que você considere coincidentes como paralelas.

PP – Está buscando ajuda nos meios tecnológicos LB3?

LB 3 – Eu estou sim. Rsrsrsrsrsrssrs.... O pior que é mesmo ... ô que desgrama... Eu vou chorar ... O teorema

fala que duas retas paralelas são coplanares e não tem nenhum ponto em comum. Pronto! Já mataria o meu discurso.

LB 2 – Isso! PO – Reta distintas!

PP – Eu já ouvi a terminologia de retas paralelas coincidentes.

PO – Retas paralelas coincidentes serve apenas para esclarecer que existe uma infinidade de retas, porque na

verdade a gente só consegue representar uma única reta, mas na verdade tem uma infinidade de retas.

PP – Eu não concordo e prefiro usar retas coincidentes do que retas coincidentes paralelas porque você acaba

mexendo com um outro conceito. Você acaba criando um caso particular.

LB 3 – Gente! Gente! É inapropriado. (Realizaram buscas em artigos na internet pelo celular)

LB 4 – No Brasil, muitos textos didáticos apresentam uma terminologia inapropriada - retas paralelas

impressão que seria considerada mais de uma reta, repare: se r e s são retas coincidentes porque representam o mesmo conjunto de pontos não importa que são dados vários nomes, r e s está na mesma reta.

LB 3 – E fala que não existe paralelismo em retas coincidentes. Ensinei errado!

Fonte: Elaborado pelo pesquisador a partir da transcrição das áudio-gravações do encontro em 04/05/2019.

No Episódio 3 destacamos o movimento dos licenciandos durante a discussão acerca da construção do conceito de paralelismo entre retas em uma superfície esférica a partir do uso de material manipulativo. Assim, cada grupo recebeu um kit contendo os seguintes materiais: bola de isopor, fitas adesivas de cores diferentes, tesoura, canetas coloridas, borrachinha de dinheiro (elástico), régua e alfinetes (QUADRO 25).

Nessa etapa da AE II, esperávamos que os participantes cientes que a superfície em estudo era esférica buscassem construir o conceito de paralelismo considerando as noções de deslocamento e o conceito de geodésica em uma superfície esférica. Na Cena 1 observamos que há aceitação por parte dos participantes da existência do modelo geométrico esférico e analisamos a atribuição de significados dos mesmos para o conceito de paralelismo a partir da categoria nomeada de “Ruptura – do espaço euclidiano para outros espaços.”

Quadro 26 - Cena 1: Discussão acerca do paralelismo entre retas na superfície esférica

PP – Duas retas são paralelas se estão, no mesmo plano e não possuem nenhum ponto em comum. Na superfície

esférica existe retas paralelas?

LB 3 – Então... Nosso grupo foi uma briga danada (risos). Mas a gente mediu certinho a distância entre as

retas foi de 2,5 cm mais não com circunferências máximas.

LB 4 – A gente consegue fazer várias retas paralelas só que com circunferências menores. LB 3 – Mas, elas terão a mesma distância entre elas. Logo existe!

LO 4 – A gente também discutiu bastante... A nossa dúvida inicialmente era referente a retas coincidentes, se

retas coincidentes eram paralelas. Porque na Geometria esférica, a reta ou geodésica, ela só é se ela passa pela circunferência maior. Então, se for ter retas coincidentes você tem retas paralelas. Porém a gente definiu que retas coincidentes não são paralelas, para a nossa discussão aqui não existe retas paralelas na esférica.

LB 3 – Não entendi ainda. Porque na esférica as retas coincidentes não seriam paralelas? LO 4 – As retas coincidentes não são paralelas nem na Geometria Plana.

LB 3 – Mas, a gente considera paralela as retas coincidentes porque tem a mesma distância. A distância é

zero! Se a distância é zero elas são paralelas. Porque... porque fala que dado dois pontos os pontos precisam ter a mesma distância.

Fonte: Dados da pesquisa – Episódio 3.

Na discussão presente na Cena 1 (QUADRO 26) inquirimos que o grupo LB propõem a existência de paralelismo entre retas na Geometria Esférica relacionando esse conceito com a ideia de distância entre as retas, ou seja, tem-se paralelismo entre retas quando a distância entre os pontos de uma reta a outra forem da mesma medida sucessivamente, como sugere LB 3

“Então... Nosso grupo foi uma briga danada (risos). Mas, a gente mediu certinho a distância entre as retas foi de 2,5 cm mais não com circunferências máximas.” (LB 3, Episódio 3, 2019).

Na Figura 18 apresentamos a construção realizada pelo grupo LB de retas paralelas na bola de isopor para justificar a existência desse conceito na Geometria Esférica.

Figura 18 - Construção de retas paralelas na bola de isopor

Fonte: Dados da pesquisa (04/05/2019).

A representação proposta pelo grupo LB na Figura 18 sugere que as fitas azul e vermelha representam duas geodésicas que são paralelas por manterem uma distância de 2,5 cm entre elas no transcorrer de suas finitudes. Observa-se que o grupo LB procura dar coerência ao conceito de paralelismo na superfície esférica a partir de uma das consequências do Postulado das Paralelas de Euclides que sugere a existência de um par de retas equidistantes. Nesse contexto, analisamos que há uma ruptura por parte dos participantes em relação à existência de um único modelo geométrico ao aceitarem a ideia de paralelismo na superfície esférica e que os mesmos atribuem significados para esse novo conceito considerando apenas a equidistância entre retas como juízo de valor para a formalização desse conceito.

A ideia construída pelo grupo LB é refutada pela participante LO 4 quando sinaliza que

“na Geometria Esférica, a reta ou geodésica, ela só é se ela passa pela circunferência maior”

(LO 4, Episódio 3, 2019), o que evidencia um erro conceitual cometido pelo grupo LB ao proporem que existe paralelismo na superfície esférica por admitirem que a fita vermelha descreve uma geodésica na representação exposta na Figura 18. Em nossa análise, a participante LO 4 não só rompe com a ideia de um único modelo geométrico por meio da aceitação do modelo esférico, como transcende o conceito de paralelismo ao internalizar o conceito de geodésica em uma superfície esférica, produzindo novos significados, tornando-os capazes de questionar a existência de paralelismo na superfície esférica ao dizer que “Porque na

se for ter retas coincidentes você tem retas paralelas. Porém a gente definiu que retas coincidentes não são paralelas, para a nossa discussão aqui não existe retas paralelas na esférica” (LO 4, Episódio 3, 2019).

O movimento realizado pelos participantes no Episódio 3 se manifestou no primeiro momento por meio da “ruptura” do paradigma da existência de um modelo geométrico único, capaz de representar a realidade física em sua totalidade. Assim, os participantes ao constatarem algumas limitações no modelo geométrico euclidiano para modelar as diversas situações que emergem numa superfície não plana passaram a atribuir novos significados para o conceito de paralelismo, na qual o conhecimento geométrico não se apresenta mais como algo pronto e acabado e sim como algo plenamente vivo e passivo de ser construído e/ou reconstruído.

Dito isto, compreendemos que os participantes ao romperem com a ideia de uma única Geometria do real ao longo do processo interativo apresentado na Cena 1 foram refinando seu processo de pensamento e tomando decisões que os levaram a afirmar corretamente que na Geometria Esférica não existe paralelismo entre geodésicas. Essa afirmação foi proposta pelo grupo LO, que condicionou a existência de paralelismo entre geodésicas na superfície esférica ao propor como verdadeira a premissa de que retas coincidentes não se constituem em retas paralelas.

No diálogo apresentado pelos participantes na Cena 1 notamos que a premissa proposta por LO 4 “As retas coincidentes não são paralelas nem na Geometria Plana.” (Episódio 3, 2019) gerou uma espécie de conflito para os participantes que defendiam a existência de paralelismo entre geodésicas na superfície esférica. A participante LB 3 confronta os dizeres de LO 4 ao propor que “Mas, a gente considera paralela as retas coincidentes porque tem a mesma

distância. A distância é zero! Se a distância é zero elas são paralelas. Porque... porque fala que dado dois pontos os pontos precisam ter a mesma distância.” (LB 3, Episódio 3, 2019).

Em nossa análise, os dizeres da participante LB 3 expressam que os participantes desse grupo atribuem significados para o paralelismo entre retas na Geometria Euclidiana considerando a equidistância entre os pontos pertencentes as retas como o único aspecto necessário para determinar o paralelismo entre retas. Assim, compreendemos que os integrantes do grupo LB não internalizaram o conceito de paralelismo entre retas a partir do entendimento do Postulado das Paralelas aceito atualmente para a Geometria Euclidiana – dado uma reta e

um ponto fora dela existe apenas uma única reta paralela à reta dada, mas sim, a partir de uma

das consequências imposta pelo Postulado das Paralelas que resulta na equidistância entre retas. Nesse contexto, atribuímos as dificuldades dos participantes em verificar a existência de paralelismo na Geometria Esférica ao fato de não terem internalizado o conceito de

paralelismo na Geometria Euclidiana e que a formação deficitária desse conhecimento contribuiu para a consolidação de um erro conceitual quando propõem que retas coincidentes são retas paralelas.

Na Cena 2 destacamos a atribuição de significados dos participantes para retas coincidentes a partir da aceitação de que há paralelismo entre essas retas coincidentes. A ideia de retas coincidentes atrelada ao conceito de paralelismo é aos poucos descontruída pelos participantes, no momento que recorrem ao Postulado das Paralelas como proposto por Playfair e utilizado atualmente - dado uma reta e um ponto fora dela, pode-se traçar por este ponto uma única reta paralela à reta dada (QUADRO 27).

Quadro 27 - Cena 2 : Discussão acerca do paralelismo a partir do Postulado das Paralelas

PP – Então, vamos lá para o V postulado de Euclides. LO 3 – Mas são duas condições para serem paralelas.

LO 4 – Isso que causou uma confusão em minha cabeça porque retas coincidentes eram paralelas. Mas, pela

definição retas paralelas não podem ter pontos em comum, e se elas são coincidentes, elas têm todos os pontos em comum.

PP – Vamos lá então! O V postulado que a gente trabalha hoje na educação básica, que é uma transformação

do postulado de Euclides, uma das ideias é que dado uma reta e um ponto fora desta reta, pode-se traçar uma única reta paralela à reta dada. Então, você tem que ter de certa forma um ponto fora dessa reta.

LB 3 – Ohhh! É ... porque eu aprendi desse jeito. No meu curso todo e até nos minicursos que eu fiz a gente

aprendeu que retas coincidentes são retas paralelas.

LB 2 – Estou com o pensamento da LO 4, as retas não podem ter pontos em comum... Se forem em comum já

elimina a chance de ser paralelas.

Fonte: Dados da pesquisa – Episódio 3.

Na Cena 2 observamos o movimento da participante LO 4 para descontruir a ideia de que retas coincidentes são retas paralelas. A participante assume o conflito como um caminho para questionar algo que lhe parecia verdadeiro e definido ao dizer que “Isso que causou uma

confusão em minha cabeça porque retas coincidentes eram paralelas.” (LO 4, Episódio 3,

2109). Nos dizeres da participante LB 3 encontramos indícios de que esse erro conceitual foi propagado durante o curso superior “É ... porque eu aprendi desse jeito. No meu curso todo e

até nos minicursos que eu fiz a gente aprendeu que retas coincidentes são retas paralelas” (LB

3, Episódio 3, 2019). Nesse contexto, compreendemos que os participantes se apropriaram de maneira equivocada do conceito de paralelismo entre retas e que os estudos realizados durante o curso de Licenciatura em Matemática não foram suficientes para a compreensão da dimensão conceitual que envolve a ideia de paralelismo.

O movimento dos participantes para a construção do conceito de paralelismo na superfície esférica motivou os licenciandos a repensarem o conceito de paralelismo na Geometria Euclidiana, na qual a existência de paralelismo na Geometria é algo aceito e

consolidado. A aceitação desse conceito pelos participantes suscitou a busca por pelo menos um caso particular para validar a ideia de paralelismo, considerando a existência desse conceito independentemente do tipo de superfície em estudo.

Outro aspecto salutar para a construção de conhecimentos geométricos foi constatado no processo de desenvolvimento da AE II, que diz respeito ao modo de pensar e agir dos participantes ao buscarem na definição do conhecimento de paralelismo argumentos para atribuir significados para o conceito de paralelismo na superfície esférica, como podemos observar nos dizeres de LO 4 e LB 2:

“[...] pela definição retas paralelas não podem ter pontos em comum, e se elas são coincidentes, elas têm todos os pontos em comum.” (LO 4, Episódio 3, 2019). “Estou com o pensamento da LO 4, as retas não podem ter pontos em comum. Se forem em comum já elimina a chance de ser paralelas.” (LB 2, Episódio 3, 2019).

Observamos que os participantes ao refletirem sobre a definição de paralelismo na Geometria Euclidiana para construírem o conceito de paralelismo na Geometria Esférica passam a reconhecer o conhecimento geométrico como uma atividade humana que se transforma gradativamente por meio de um processo histórico e cultural no qual estabelece significados de acordo com as necessidades dos homens. Essa visão pode ampliar o entendimento dos licenciandos sobre o conhecimento geométrico a partir da diversidade de contextos de sua aplicação em nosso cotidiano, podendo atribuir novos significados para o seu estudo durante a formação inicial do professor de Matemática.

Na cena 3 evidenciamos, a partir da inferência do professor observador (PO 2), um novo “conflito” ao propor durante a discussão que os participantes estão misturando o conceito de retas distintas paralelas e retas paralelas coincidentes. Essa afirmação sugere que PO 2 tem o paralelismo entre retas coincidentes como uma verdade e que este conceito é válido pela organização lógica do sistema geométrico Euclidiano (QUADRO 28).

Quadro 28 - Cena 3: Discussão acerca da existência de paralelismo entre retas coincidentes

PO 2 – Vocês estão misturando dois conceitos em um mesmo momento. O conceito de retas distintas paralelas

e de retas paralelas coincidentes. As condição para que as retas sejam distintas paralelas ou retas paralelas coincidentes são diferentes.

PP – Nós temos que sair daqui com o conceito redondo... construído aqui.

LO 3 – Até porque se existir retas coincidentes paralelas na GE, então teremos retas coincidentes paralelas

nessa daqui também (mostrando a bola de isopor). Por isso temos que definir se coincidentes são paralelas ou não, porque se eu passo aqui a minha geodésica todas as vezes que for dar voltas ela será paralela a ela mesma.

LO 4 – Se considerar retas coincidentes paralelas aí vai existir.

PP – Uma das ideias de paralelismo que vimos na apresentação do curso, uma das consequências é que todo

o triângulo euclidiano, a soma dos ângulos é igual a 180º. Se tivermos retas coincidentes paralelas essa consequência cai.

LB 3 – Eu vou ficar com PO 1 que disse que nós estamos confundindo retas paralelas distintas de retas

paralelas coincidentes.

PP – O que a gente determinou aqui... Se existir retas coincidentes na Geometria Euclidiana então vai existir

também retas paralelas na Geometria Esférica somente no caso particular, quando forem retas paralelas coincidentes.

LO 4 – Só nesse caso de coincidente.

PP – Então não pode ser só para um caso particular.

LO 4 – Tanto que a gente colocou assim... na esférica só consideramos que existe retas coincidentes e as

concorrentes, apenas a não ser que você considere coincidentes como paralelas.

No documento Geometrias não euclidianas na formação inicial do professor de Matemática : uma proposta à produção de significados no estudo de Geometria (páginas 170-180)