EQUILÍBRIO DE NASH

Para que se possa compreender mais profundamente a Teoria dos Jogos, desvela-se o teorema do Equilíbrio de Nash, que tem como elemento sustentável o equilíbrio.

Nem a evolução biológica nem a história humana são processos constantes. Wright (2001) narra que ambos enfrentam limiares e podem oscilar de um equilíbrio a outro, assim como de mais velho a mais novo ou do mais baixo ao mais alto nível. Os seres humanos apresentam uma inquietação, uma busca constante do novo e, até mesmo, do fora de controle na busca de seus propósitos, sendo esse comportamento consciente ou inconsciente. O autor soma a essas questões comportamentais as modificações tecnológicas, geopolíticas e econômicas que se mostram velozes, enquanto a sociedade se mostra em outro ritmo.

Esse estado de equilíbrio que tem mobilidade e pode ser inconstante, iminente nos seres humanos, está presente no seu dia-a-dia, seja em fenômenos físicos, biológicos e até mesmo químicos. Entende-se por equilíbrio (SCHOPPING, 2003) a condição de um sistema físico em que as forças que sobre ele atuam se constituem para não causar nenhuma alteração em seu estado. Ventri (2001) acrescenta que isso ocorre para que não surjam oscilações ou desvios, mantendo-se a posição do corpo estável, inalterado. Obtém-se, dessa forma, uma proporção harmônica (MONSALVE, 2003).

Nos termos da Teoria dos Jogos, a interação e a combinação das estratégias de todos os jogadores produzem um efeito denominado equilíbrio (RASMUSEN; BLACKWELL, 2001). Ressalte-se que, nesta tese, conforme visto anteriormente, entende-se por estratégias as escolhas, os conjuntos de alternativas ou de movimentos, os tipos de comportamento que determinado agente racional pode utilizar no jogo.

Nash (1951) atribui o nome equilíbrio à situação centrada na impossibilidade de os jogadores terem qualquer incentivo para alterar sua estratégia – que será sempre a melhor resposta à estratégia do outro agente. Como Nash foi o primeiro estudioso da Teoria dos Jogos a discutir situações desse tipo, criando um teorema, este leva o seu nome. Além dessa denominação, segundo Turocy (2001), encontram-se sinônimos como Teoria do Equilíbrio e até mesmo Equilíbrio Estratégico. Nesta tese, em relação à Teoria dos Jogos, toma-se por base a denominação Equilíbrio de Nash; os sinônimos, contudo, são aceitos.

Esse teorema demonstra a existência de equilíbrio para qualquer tipo de situação finita, sendo cooperativa ou não-cooperativa, soma zero ou variante, de dois ou mais agentes, de acordo com Passos e Nakabashi (2000). Segundo esses autores, todo esforço está centrado para se tornarem mais úteis e aplicáveis as idéias lançadas por Von Neumann e Morgenstern em seu célebre livro. Contudo, o foco de Nash (1951) foi desenvolver um conceito de equilíbrio de jogos não-cooperativos. Lima (2005) complementa que o teorema tinha como alvos, também, o número de jogadores diferente de um e com soma não-zero – jogos esses que predominam nas relações sociais.

Quanto à possibilidade de aplicação constante em situações reais e em relação à evolução desse teorema, além da total relevância de Nash (1951), têm-se Selten (1965) e Harsanyi (1967) como pesquisadores que fizeram contribuições eminentes para esse tipo de análise do equilíbrio. Nash (1994) enaltece que os estudos desses teóricos foram fundamentais para o desenvolvimento da Teoria dos Jogos após a década de 50. Passos e Nakabashi (2000)

vão além, engrandecendo o Equilíbrio de Nash, considerando-o um marco do período recente da evolução da Teoria dos Jogos.

Um Equilíbrio de Nash representa a situação em que, num jogo, envolvem-se dois ou mais jogadores. Há, segundo Goldman e Stone (1960b), nesse tipo de teorema, uma lista de estratégias que podem ser utilizadas; uma delas é o Equilíbrio de Nash. Isso se nenhum jogador apresentar estímulos para modificar a sua ação, jogando diferentemente, de maneira unilateral (SCHELLING, 1960; GOLDMAN; STONE, 1960b; RASMUSEN; BLACKWELL, 2001; SARTINI et al., 2004), e também em conformidade com a condição de que os outros jogadores não se desviem da estratégia proposta (RASMUSEN; BLACKWELL, 2001), a qual é ótima para ambos, como acrescenta Poundstone (1992).

O Equilíbrio de Nash representa uma série de estratégias alternativas, das quais, segundo Abrantes (2004), só uma se apresenta a cada jogador. Dessa maneira, nenhuma delas pode desviar-se da ação que lhe é anunciada, sendo considerada, assim, a estratégia dominante. Nesse teorema, em termos de estratégias dominantes, o que se apresenta é a dependência do comportamento do oponente, como declara Ávila (2006). Esse autor expõe que isso ocorre quando cada jogador faz sua melhor escolha, independentemente da escolha do outro jogador. Todo equilíbrio em estratégia dominante é um Equilíbrio de Nash, porém, o contrário não é verdadeiro. De forma comparativa, o mesmo autor apresenta um exemplo no qual se tem o equilíbrio de escolhas e o Equilíbrio de Nash, com dois jogadores, A e B, em situação de tomada de decisões distintas, opostas ou não. O jogador A está fazendo o melhor que pode frente àquilo que o jogador B está fazendo; o jogador B, por seu turno, reconhece que o jogador A está fazendo o melhor que pode frente ao que B está fazendo. Já em estratégias dominantes, o que se tem é o jogador A fazendo o melhor que pode independentemente do que B esteja fazendo. Por sua vez, o jogador B está fazendo o melhor que pode independentemente do que A esteja fazendo.

A partir dessa comparação, constata-se que o jogador faz o que pode em função das estratégias dos outros jogadores. Esse pensamento é compartilhado por Colman (2004), Bêrni (2004), Silva (2004) e Zugman (2005). Dessa maneira, toda vez que um jogador se encontra em uma situação em que poderia estar melhor, como coloca Zugman (2005), mas faz o melhor possível, dada a posição de seus oponentes, existirá um Equilíbrio de Nash. Seguindo esse pensamento, encontra-se nesse teorema o que Bêrni (2004) indica como sendo uma das mais interessantes características do ser humano: a capacidade e o desejo de buscar o melhor

para si, mesmo que para o alcance desse propósito seja meritório combinar com o que o outro considera como sendo o melhor para si.

Dessa forma, Samuelson (1953) e Miller (2003) são enfáticos ao afirmarem que não são identificados, nesse tipo de teorema, lamúria ou arrependimento, sendo que nenhum jogador lamenta a sua estratégia. Miller (2003) explica que há um resultado sem pesares, no qual todos os jogadores são satisfeitos com a sua estratégia, dado o que cada outro jogador fez. Esse autor enfatiza que no teorema não necessariamente se é feliz com as estratégias dos outros jogadores; a sua estratégia, no entanto, é uma ótima resposta a movimentos dos seus oponentes.

Segundo Kreps (1996) e Aumann e Brandenburger (1995), um dos fatores que denotam um Equilíbrio de Nash é a interação entre agentes racionais. Essa racionalidade, desenvolve Kreps (1996), dispensa a intromissão de repressão externa, sendo auto-imposto. Segundo a interpretação racionalista, de acordo com Nash (1951), os jogadores são percebidos como racionais e possuem a informação completa da estrutura do jogo, inclusive das preferências dos jogadores quanto a resultados possíveis, sendo essa informação de conhecimento comum. Desde que todos os jogadores tenham a informação completa de cada uma das alternativas estratégicas dos outros e o conhecimento de suas preferências, eles também podem computar cada (ótima) escolha desses na estratégia de cada jogo de expectativas. Caso todos os jogadores esperem o mesmo Equilíbrio de Nash, então não há estímulo para que alguém modifique a sua estratégia. Saliente-se que, segundo a interpretação de Nash (1951), todo esse processo é útil e adaptável aos chamados jogos evolutivos, desenvolvidos na biologia para entender como os princípios da seleção natural funcionam na interação estratégica dentro e entre as espécies.

Seguindo a explanação em relação aos agentes racionais, Lessa (1998) entende que esses não jogam estratégias dominadas quando há Equilíbrio de Nash, uma vez que, quando há racionalidade, tem-se o indicativo de comportamento maximizador, que, além de demonstrado, é de conhecimento comum. Dessa forma, o número de rodadas requerido corresponde ao número de eliminações de estratégias dominadas possível no jogo, estando excluída a possibilidade de erro por parte dos outros jogadores.

Após escolhidas as estratégias por parte de cada jogador, levando-se em consideração os movimentos dos outros jogadores, em Equilíbrios de Nash tem-se sempre uma melhor resposta possível ou um melhor resultado, segundo os pressupostos teóricos de Arrow (1951),

Schelling (1960), Poundstone (1992) e Binmore (1994). A intenção de ‘melhor possível’ como resultado é o destaque que todos esses autores fazem. Assim, cada jogador está atuando de maneira satisfatória tal que possa fazer frente à ação de seu oponente. De maneira detalhada, exemplifica-se que, quando a eleição estratégica do jogador A é a melhor resposta às eleições estratégicas dos jogadores B, C e demais, tem-se um Equilibrio de Nash. Dessa forma, o payoff obtido pelos jogadores é maximizado, de acordo com Fiani (2006), apesar de existirem interesses conflitantes entre eles, como acrescenta Poundstone (1992).

Nesse momento, consegue-se perceber a existência do ponto de equilíbrio proposto, testado e comprovado por Nash (1951). Este afirma que existe pelo menos um ponto de equilíbrio para qualquer tipo de jogo. O ponto de equilíbrio, ao olhar de Nash (1951), é o conjunto de resultados opostos que maximiza os payoffs de cada jogador face à melhor estratégia do outro. Essa noção de um ponto de equilíbrio, conforme denota Colman (2004), é o ingrediente básico na Teoria dos Jogos não-cooperativos. Silva (2004), por sua vez, acrescenta que foi formalizada como uma generalização da solução maximin, que será estudada posteriormente, para jogos não-cooperativos de N-pessoas e soma não-zero, não se restringindo aos cooperativos de duas pessoas e soma zero.

Dessa maneira, constata-se que o Equilíbrio de Nash representa um resultado estável, em jogos não-cooperativos, segundo Harsanyi (1994) e Carraro (1996). Isso se dá, tendo-se em vista que apenas esse teorema apresenta uma situação na qual a estratégia de cada jogador é a melhor resposta à estratégia do outro, de forma que nenhum jogador tem incentivo para modificar a outra estratégia. Além disso, o Equilíbrio de Nash é visto como útil, de acordo com Holt e Roth (2004), por ser um prognosticador exato de como o indivíduo se comportará em um jogo, bem como um identificar de situações em que há uma tensão entre estímulos individuais e outras motivações.

Junto a isso, tem-se o princípio de reciprocidade. Poundstone (1992) explica que é da situação de equilíbrio que as regras se desenvolvem, segundo o princípio social da reciprocidade. Sem que isto ocorra, não haverá sequer a possibilidade de que regras recíprocas evoluam.

Como há, em Equilíbrios de Nash, pensamentos e ações antecipadas de parte de jogadores que estão de olho em movimentos alheios, há estratégias predeterminadas, segundo Rufasto (2000). Ao se observar o oponente, em termos de movimentos e estratégias, vê-se que são capazes de escolher ações próprias dentro de uma sucessão de possibilidades, tendo, dessa

maneira, uma multiplicidade de movimentos. A partir da multiplicidade, Selten (1965) e Kreps (1996) identificam que, em Equilíbrios de Nash, em jogos não-cooperativos, pode haver vários equilíbrios. Samuelson (1953) esclarece que não é necessário escolher um equilíbrio único para cada jogo. Pode haver alguns jogos nos quais a melhor conjectura é o resultado ser de vários equilíbrios.

Em evolução e refinamento da noção do Equilíbrio de Nash, apresentam-se os estudos de Selten (1965), conhecidos como Equilíbrio Perfeito em Subjogos. Esse tipo de jogo conduz a uma noção mais restritiva de equilíbrio do que o Equilíbrio de Nash. O conceito de subjogo remete, segundo Fiani (2006), aos possíveis desdobramentos de um processo de interação estratégica em que os agentes tomam suas decisões em uma ordem predeterminada, podendo ser com escolhas sucessivas. Selten (1965) prossegue expondo que, ao sugerir que um Equilíbrio de Nash ocorra para todos os subjogos, se está justamente solicitando que a combinação de movimentos seja a melhor resposta em todas as situações possíveis do processo de interação estratégica. Esse autor enfatiza que tal tipo de equilíbrio foi fundamental às análises estratégicas; isto porque em jogos que envolvem alianças e ameaças, permite-se discriminar quais compromissos e intimidações foram plausíveis e quais não o foram. Dessa forma, uma combinação de estratégias é um Equilíbrio Perfeito em Subjogos se corresponder, simultaneamente, a ser um Equilíbrio de Nash para o jogo na sua totalidade e ser um Equilíbrio de Nash para cada subjogo.

Segundo Holt e Roth (2004), o conceito de Equilíbrio Nash tornou-se marca de referência com a qual os economistas e outros cientistas medem tanto o comportamento racional como a extensão da racionalidade pura de que partem os seres humanos. Em relação a essa interação, salienta-se que pode servir para compreender, principalmente, a interação de grupos numerosos. Os autores seguem destacando que durante anos esse conceito inspirou questionamentos na economia, psicologia e até mesmo na biologia, mas é na economia que se identifica como conceito de maior importância e aplicação.

Sobretudo, de acordo com Monsalve (2003), o Equilíbrio de Nash é visto como o maior passo na aplicação da Teoria dos Jogos à economia, desde Von Neumann e Morgestern. Tanto que esse reconhecimento foi confirmado, depois de 40 anos, em 1994, quando Nash, aos 66 anos, foi contemplado com o prêmio Nobel da Economia, com outros teóricos de jogos, conforme já relatado. Para finalizar, Nash (1994) discorre que todo o edifício da Teoria

dos Jogos repousa sobre dois teoremas: do minimax, de Von Neumann, e do Equilíbrio, de Nash.

Para finalizar, a seguir quadro elaborado, a partir das referências estudadas, que pode oferecer uma visão teórica sumarizada a respeito do teorema do Equilíbrio de Nash, facilitando a sua fixação e compreensão.

SINTESE DO TEOREMA DO EQUILÍBRIO DE NASH

Jogos cooperativos ou não-cooperativos, jogos de soma zero ou não-zero – de dois ou mais jogadores.

Foco na estratégia pré-determinada frente ao oponente.

Impossibilidade de os jogadores terem qualquer incentivo, estímulo para alterar sua estratégia, que será sempre a melhor resposta à estratégia do outro agente.

Estratégias alternativas, das quais só uma se apresenta a cada jogador – estratégia dominante. Payoff do jogador A é maximizado em função do que o jogador B pode fazer um frente ao outro em termos de atitude. É obter o maior lucro possível, em função do que os oponentes estão fazendo.

Ponto de equilíbrio: conjunto de resultados opostos que maximiza os payoffs de cada jogador em face da melhor estratégia do outro.

Quadro 5 – Síntese do teorema do Equilíbrio de Nash.

Fonte: Elaborado pela autora para este estudo a partir das referências teóricas estudadas.