TEOREMAS MINIMAX E MAXIMIN

Existem dois teoremas ou estratégias, conforme o referencial teórico utilizado, a serem aplicados à Teoria dos Jogos, que são os teoremas minimax e maximin. Von Neumann (1928, p.51) demonstrou que o máximo do mínimo de um jogador é igual ao mínimo do máximo do seu adversário. Ou, nas palavras dele, “o meu máximo do seu mínimo é igual ao seu mínimo do meu máximo”. Tem-se, então, o teorema do minimax, ou, em português, do minimáximo. Como afirma Binmore (1997, p.219), “o teorema minimax de Von Neumann é talvez o mais celebrado resultado da Teoria dos Jogos”. O teorema de minimax refere-se às estratégias

escolhidas pelos jogadores, conforme suas capacidades de informação e racionalidade, anota Shubik (1992). Com esse teorema, é possível se ter um instrumento eficiente para examinar jogos de N-pessoas (TUCKER; HALPERIN, 1984).

Entende-se por teorema de minimax, segundo Abrantes (2004), a minimização do ganho máximo pela qual se deverá posicionar o adversário. Shubik (1992) explica que é a busca de um jogador para tomar o quanto seja possível de um oponente previsível e passivo. Aumann (1987) demonstra sob outra ótica, segundo a solução de minimax: cada jogador tenta maximizar o seu lucro no resultado que é o mais desvantajoso para ele, sendo que o pior resultado é determinado pela escolha da estratégia do seu oponente. De acordo com esse autor, através dessa estratégia, cada jogador pode garantir para si um lucro mínimo; destaca, contudo, que não há certeza de que as escolhas das estratégias dos jogadores sejam compatíveis.

Von Neumann (1928) mostra que sempre existe uma solução de minimax, o que significa afirmar que sempre se terá presente uma solução consistente, desde que as estratégias variadas sejam introduzidas. O autor explica que uma estratégia variada consiste na distribuição da probabilidade de um repertório de estratégias disponíveis a um agente, segundo o que um jogador é assumido a escolher a estratégia com menor probabilidade.

Por sua vez, Pombo (1999) complementa que, no teorema minimax, há sempre uma solução racional para um conflito bem definido entre dois agentes com interesses opostos. A autora explica que é uma solução racional, pois ambos podem convencer-se de que não devem esperar para fazer melhor, dada a natureza do conflito. Strathern (2003) corrobora com o pensamento de Pombo (1999) e acrescenta que Von Neumann possuía uma visão um tanto cautelosa sobre jogos e conflitos entre dois indivíduos. O autor explana que a derrota é inevitável, caso o objetivo do jogador seja ganhar, em lugar de evitar a perda. Von Neumann (1928) entende que a finalidade do exercício é limitar a perda, e não maximizar o ganho. Strathern (2003) retoma, explicando que, em cada estágio avançado pelo jogador, este deve calcular cada jogada possível de ser feita e, posteriormente, calcular a máxima perda possível que possa sofrer, caso se efetive. Em seguida, o jogador precisa selecionar a jogada que contenha a mínima perda dentro do máximo possível. Assim, o teorema de minimax se concretizaria.

Por causa do teorema minimax, o jogo geral de duas pessoas de soma zero adquire uma base teórica consistente, afirma Aumann (1987). Isso ocorre porque, como explica Silva

(2004), num jogo de dois jogadores com soma zero é racional para cada jogador selecionar a estratégia que maximiza seu ganho mínimo, ou, de forma equivalente, minimiza o ganho máximo do outro. O autor segue explanando que, para a obtenção da solução do jogo, tem-se o par de estratégias em que cada jogador maximiza seu payoff mínimo. Em relação a esse par, dá-se ciência de que significa que dois jogadores escolheram a sua melhor estratégia dentre as piores, e isso garante que, enquanto um dos agentes racionais mantiver sua estratégia minimax, não importa o que faça o seu adversário, o resultado do jogo será, no mínimo, o valor do equilíbrio, desenvolve Almeida (2005).

Junto a isso, há os jogos de soma zero com informação perfeita que também sempre possuem um ponto minimax, enaltece o autor citado. No seu entendimento, um ponto minimax é aquele no qual um jogador nunca ganhará menos que um valor X. Esse jogador garante que seu mínimo máximo seja aquele valor, e o oponente garante que o seu ganho nunca seja menor que um valor Y, sendo o seu máximo mínimo, discorre o autor. Complementando, em jogos de duas pessoas, de soma zero, também há um Equilíbrio de Nash, declaram Sartini et al. (2004). O jogo tem um valor bem definido, explica Davis (1983), e qualquer jogador pode forçar esse valor, selecionando a estratégia apropriada.

Além disso, Shapley (1967) e Aumann (1987) registram que tal teorema teve influência considerável em diversas disciplinas, além da Teoria dos Jogos. Esses estudiosos citam alguns exemplos, como a programação matemática, a teoria estatística e o desenho de sistemas computacionais distribuídos, nos quais esse teorema é usado para o pior caso de análise, conduzem os autores.

Oposto ao teorema do minimax, em Teoria dos Jogos, encontra-se o teorema maximin. Para o entendimento dessa estratégia, faz-se uso da indagação de Doria e Doria (1999, p.156): “Qual o raciocínio orienta a escolha, para uns e outros jogadores?“. Em termos da estratégia de maximin, entende as autoras, é uma uma estratégia na qual se escolhe o máximo dos mínimos. Nesse tipo de teorema, inicialmente o jogador procura minimizar as perdas. Em outras palavras, resulta numa estratégia defensiva, numa estratégia de retranca, com a qual se assegura a maximização do ganho mínimo o jogador que tiver a iniciativa do jogo, denota a autora. Abrantes (2004) indica que se seleciona o maximin dada a forma como o adversário deve se posicionar.

Ávila (2006) explica que, numa estratégia maximin, cada jogador especifica o pior resultado para si, dada cada uma das possíveis ações de seus adversários e, a partir de então,

escolhe a opção que maximiza o ganho mínimo que pode ser obtido. O autor destaca que diferentemente do Equilíbrio de Nash, a solução maximin não requer que jogadores reajam à escolha de um oponente, pois caso inexista uma estratégia dominante, em que os resultados dependem do comportamento do oponente, os jogadores podem reduzir a incerteza ligada à confiança na racionalidade do oponente, seguindo, conservadoramente, uma estratégia maximin. A solução maximin, possivelmente, será mais provável do que a solução proposta por Nash em situações em que há uma probabilidade maior de comportamento irracional, não otimizadora, por parte do adversário.

Assim, Teorema de maximin são estratégias escolhidas pelos jogadores, conforme suas capacidades tanto de racionalidade como de informação, comenta Shubik (1992). O tomador de decisão, como nos informa Bêrni (2004), buscará cenários que lhe possibilitarão maiores custos e, posteriormente, selecionará o menor deles. Acrescenta-se que, desde que os interesses dos jogadores sejam diametralmente opostos, pode-se considerar a solução maximin, então, uma extensão plausível do conceito de comportamento individual racional (SHUBIK, 1992). Além disso, contata-se que o teorema do maximin remete a uma questão específica, vista como níveis de segurança. Bêrni (2004) demonstra que esses níveis de segurança existem porque os jogadores buscam precaver-se contra a ação mais predatória possível a ser adotada pelo oponente.

Em termos de relacionamento entre os teoremas minimax e maximin, percebe-se que são considerados, segundo Nash (1994), conceitos-chave da Teoria dos Jogos ou, mais especificamente, as bases para a formação de estratégias. Nash (1953) demonstrou que as ótimas estratégias em jogos com dois jogadores terão propriedades de minimax e maximin. Bêrni (2004), por sua vez, explica que, no instante em que os teoremas minimax e maximin coincidem, então, se está diante da solução do jogo – ao que se chama ponto de sela, desenvolvido por Von Neumann (1928) na forma de um teorema bastante associado ao conceito de Equilíbrio de Nash. Quanto a essa denominação, o autor a justifica pela semelhança com o ponto específico de contato, e equilíbrio, de um cavaleiro em uma sela de cavalo. Como elucidação dessa situação, o autor apresenta a imagem de uma bola de futebol que é colocada sobre outra; o ponto mínimo da bola superior coincide com o ponto máximo da bola inferior.

Lisboa (2003) acrescenta que, para qualquer jogo de duas pessoas e soma zero, o valor minimax é sempre maior ou igual ao valor maximin, e que, no caso dessa igualdade, as

estratégias são chamadas ótimas e o jogo tem um ponto de sela. No entendimento do autor, esse ponto ao qual se refere é o ponto ótimo do jogo, e é igual ao valor maximin e ao valor minimax. Lisboa segue explicando que o ponto é ótimo, desde que nenhum jogador mude sua estratégia – uma vez que o resultado será pior, caso o outro jogador mantenha a estratégia. O fato de existirem pontos de sela denota que existe a possibilidade de uma solução minimax ou maximin, enfatiza Silva (2004c). O autor explicita que toda vez que houver mais de um ponto de sela, todos os resultados serão iguais. Contudo, no caso desses resultados serem intercambiáveis, o jogo terá, assim, uma solução no estrito senso, como nos jogos de soma variável.

Para finalizar, apresenta-se quadro sumarizado, com o intuito de facilitar a comparação, a fixação e a compreensão das diferenças que se mostram entre os teoremas minimax e maximin, a partir das referências teóricas estudadas.

TEOREMA MINIMAX TEOREMA MAXIMIN

Máximo do mínimo. Mínimo do máximo.

Garantia de ganho mínimo. Garantia de perda mínima. Escolher a melhor estratégia possível

dentre as piores.

Estratégia defensiva, de retranca, pela qual assegura a maximização do ganho mínimo o jogador que tiver a iniciativa do jogo.

Tomar a iniciativa. Estratégia conservadora.

Ação e reação. Ação que pode não ter reação.

Busca-se tomar o quanto seja possível do oponente previsível e passivo

Quando se tem reação busca-se proteger, defender do oponente.

Não importa o que faça o adversário, o resultado do jogo será, no mínimo, o valor do equilíbrio – estratégia dominante.

Caso inexista uma estratégia dominante, em que os resultados dependem do comportamento do oponente, os jogadores podem reduzir a incerteza ligada à confiança na racionalidade do oponente.

Minimização do ganho máximo pelo qual

se posicionará o adversário. Seleciona-se o maximin pela forma como o adversário deve se posicionar. Quadro 11 – Síntese comparativa entre os teoremas Minimax e Maximin.