Autor: MBT Curso: Licenciatura (2007)
Título: Estudo dos estados de energia de pontos quânticos cúbicos na presença de campo magnético externo
O Trabalho Acadêmico de Final de Curso (TAFC) de MBT inscreve-se na grande área da Física do Estado Sólido, sub-área de Materiais Semicondutores, com ênfase em heteroestruturas semicondutoras, mais especificamente. É um trabalho que remonta à Dissertação de Mestrado do Orientador, Prof. Dr. Fábio Ribeiro (1994), coerente com seu campo de investigação nos últimos anos.
Ao estudar os pontos quânticos na presença de campos magnéticos estáticos, Trindade amplia a discussão nessa área, do ponto de vista teórico, investigando os efeitos, no espectro de energia, da competição entre o confinamento de elétrons devido ao campo magnético uniforme, por um lado, e as barreiras de potencial formadas pelas heteroestruturas semicondutoras, por outro. Seus resultados são comparados à literatura corrente, envolvendo pontos quânticos de outras geometrias.
O título da monografia (TAFC) de MBT sugere, pelo uso da palavra “quânticos”, que seu trabalho está inserido no racionalismo completo. Esse título anuncia também o objetivo do trabalho: um estudo de estados de energia de pontos quânticos cúbicos. Todavia, o autor não obtém as funções de onda (soluções analíticas da equação de Schrödinger) que descrevem/caracterizam os estados, mas apenas o espectro de energia. Isso pode significar que o autor usa indistintamente os conceitos de “nível de energia” e de “auto-estado de energia”. Isso não caracteriza uma falha, mas antes uma forma corrente de uso dessas noções, principalmente para problemas nos quais ocorrem níveis de energia não degenerados56. No Quadro 14, abaixo, estão relacionados alguns enunciados que caracterizam a escrita da monografia de MBT, teórica e epistemologicamente, seguidos de discussão sob as perspectivas teórico-epistemológica e discursiva.
56 Diz-se que um nível de energia (um valor particular de energia em um espectro discreto) é não degenerado
quando a ele está associada uma única função de onda. A degenerescência está caracterizada para aq uele n ível de energia ao qual correspondem várias funções de onda.
Quadro 14. Enunciados teórico-epistemológicos extraídos da monografia de MBT.
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Neste trabalho apresentamos um estudo dos estados de energia de pontos quânticos cúbicos, formados pelo semicondutor Arseneto de Gálio (GaAs), na presença de campo magnético uniforme. (: 2007, p.10)
Aqui aparece uma metáfora: um ponto quântico de forma cúbica. Na geometria euclidiana o ponto, a reta e o plano são conceitos primitivos. O primeiro não tem dimensão – porque não tem extensão –, o segundo tem uma dimensão, e o terceiro tem duas dimensões. Assim, se o ponto quântico tem forma cúbica, então possui arestas, isto é, extensões; logo, não pode ser um ponto. É, portanto, um conceito metafórico, um deslizamento de sentidos.
O mais importante, porém, é o contexto epistemológico dessa metáfora. Dentro do racionalismo clássico (Newtoniano) uma partícula é já um objeto de pensamento, no sentido bachelardiano, porque fala-se de algo sem extensão, isto é, sem volume ou capacidade, mas que pode conter uma quantidade de carga ou de massa. Porém, no contexto epistemológico do racionalismo completo, o princípio de incerteza de Heisenberg coloca uma situação muito mais complexa sobre o significado de uma coisa, um corpo, um corpúsculo ou uma partícula. Vê-se, pois, que a noção mecanicista de corpúsculo ou partícula constitui-se em obstáculo epistemológico. Esse caráter de obstáculo aparece na literatura em conexão com os argumentos estatísticos elaborados por Paul Langevin, como nos ensina Freire Jr. (2001, p.53): “Langevin concentra, então, sua crítica sobre a noção de corpúsculo como objeto destacável do universo, colocando em evidência a inadequação desse conceito face à teoria dos quanta”. Ainda no mesmo texto, Freire Jr (p.53) acrescenta: “o físico francês sustenta, então, que a idéia de um objeto individualizável, destacado do universo, é um conceito arcaico, que deve ser modificado”. Entretanto, Freire Jr adverte-nos de que a opção epistemológica de Langevin o distancia da proposta de Niels Bohr sobre o princípio de complementaridade (op. cit. p.53). Aqui, em resumo, no contexto desse trabalho, cabe-nos assinalar o caráter de obstáculo epistemológico atribuído à noção de partícula.
Assim, diferentemente da utilização dessas noções de partícula ou corpúsculo (por necessidade de linguagem) na Física Newtoniana, um objeto quântico não pode ter uma descrição clássica no sentido mecanicista ordinário do termo, porque segundo Barbosa e Bulcão (2004, p.36-37): “o corpúsculo não pode ser pensado como um corpo pequeno (...). O corpúsculo não tem dimensões assinaláveis, ele não tem forma assinalável. (...) ‘o elemento não tem geometria’”.
porque os objetos do mundo atômico – no contexto do racionalismo completo – são construções mentais, são objetos de pensamento, e como tais são noumeno. Eles não se oferecem à percepção imediata, marca do primeiro obstáculo epistemológico. Antes, eles podem somente ser descritos a partir de leituras de suas relações matemáticas, de categorias da abstração (teoria) que os criou. Ainda segundo Barbosa e Bulcão (2004):
(...) é preciso compreender uma coisa/não coisa que se singulariza por propriedades que nada têm a ver com as propriedades das coisas comuns. É preciso renunciar à noção de objeto, de coisa, pelo menos no estudo do mundo atômico. (BARBOSA & BULCÃO: 2004, p.37). (Grifo nosso).
Assim, pois, dá-se o salto do fenômeno, do objeto de percepção – daquilo que aparece, que pode ser descrito, portanto interpretativo – para o noumeno, objeto de pensamento.
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Devido a seu diminuto tamanho os QD´s [quantum dots – pontos quânticos] se
comportam como um poço de potencial que confina os elétrons nas três
dimensões espaciais. Os elétrons confinados em um poço quântico têm sua energia quantizada em valores discretos, como em um átomo. E por esta razão, pontos quânticos são por vezes chamados de átomos artificiais. (MBT: 2007, p.9). (Grifo nosso).
Com esse enunciado, o autor desloca-se do pensamento metafórico para o conhecimento teórico, trazendo uma definição operacional de ponto quântico dentro do racionalismo completo. É aqui que trabalha a teoria quântica na definição de seu problema de pesquisa.
O processo de racionalização do autor em relação à teoria quântica, que ele usa enquanto aprende (por estar em processo de formação inicial, sendo apresentado a essa disciplina) e aprende quando usa (porque desenvolve um trabalho monográfico – o TAFC –, ou um projeto de iniciação científica), fica marcado pela repetição de significado da expressão: “quantizada em valores discretos”. Sabe-se que quantizado é já discreto, descontínuo, que muda por saltos. Mas essa repetição , aqui, não se trata nem mesmo de um erro, de um lapso ou de uma figura de linguagem, mas de um reforço (ao esforço) de compreensão da natureza da mecânica quântica.
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A computação quântica é uma proposta para realizar um processo utilizando os princípios da mecânica quântica, teoria que governa os fenômenos físicos no
mundo microscópico, onde os sistemas físicos existem numa escala de
Com esse enunciado, o autor coloca uma restrição não essencial à teoria quântica, quando diz que ela “governa os fenômenos físicos no mundo microscópico”. No entanto, apesar de ter sido criada em intensa relação com fenômenos atômicos, a mecânica quântica, tal como é proposta, é uma teoria fundamental da natureza e não apenas do mundo microscópico, de acordo com Peacock (2008, p.xv)
(...) quantum mechanics57 is the branch of physical science that deals with
the very small — the atoms and elementary particles that make up our physical world. But even that description is not quite right, since there is increasing evidence that quantum mechanical effects can occur at any size scale. There is even good reason to think that we cannot understand the origins of the universe itself without quantum theory. It is more accurate, although still not quite right, to say that quantum mechanics is something that started as a theory of the smallest bits of matter and energy. (Cursivo do original).
Mas a visão da Mecânica Quântica expressa na monografia não é um erro do estudante. Antes, isso revela também – e fundamentalmente – a presença ou trabalho do pré-
construído no processo de racionalização de MBT, porque aqui trabalha implicitamente a
idéia de que a teoria clássica (newtoniana) dá conta dos fenômenos macroscópicos. Essas restrições do campo de aplicação, tanto da clássica para o macroscópico quanto da quântica para o microscópico, se devem ao efeito da presença discursiva da FD Mecânica de Newton, como uma exterioridade à mecânica quântica.
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A justaposição (“sanduíche”) de dois ou mais semicondutores de diferentes gaps de energia formam as chamadas heteroestruturas/nanoestruturas semicondutoras. Essas estruturas geram um perfil de potencial que consiste de
barreiras e poços ao longo da direção em que vão se justapondo os materiais
(direção de crescimento do material). (MBT: 2007, p.15)
Esse enunciado complementa a caracterização do problema de pesquisa, porque o coloca em um contexto experimental e teórico mais bem definido: heteroestruturas e
57 Livre-tradução: (...) mecânica quântica é o ramo da ciência física que lida com o muito pequeno – os átomos
e as partículas elementares que compõem nosso mundo físico. Mas mesmo essa descrição não é totalmente correta, porque há evidência crescente que efeitos quantum-mecânicos podem ocorrer em qualquer escala de tamanho. Há mesmo boas razões para pensar que nós não podemos entender as origens do universo sem a teoria quântica. É mais acurado, embora ainda não totalmente correto, dizer que mecânica quântica é alguma coisa que
nanoestruturas. Aqui, observa-se uma naturalização de conceitos, tais como semicondutor e
gap, ou mesmo heteroestrutura e nanoestrutura.
Em particular, a palavra gap, originária da língua inglesa, está a tal ponto conformada ao texto da monografia que nem mesmo vem marcada em cursivo ou entre aspas. A origem é silenciada, mas traz um assujeitamento da comunidade local/nacional a uma ideologia de comunidade científica internacional. É uma prática discursiva da Comunidade de Semicondutores, e dos físicos em geral. Todavia, essa apropriação feita por um autor em formação – semelhante à que ocorre com a palavra spin, em vários manuais de Física – não é garantia de uma apropriação significativa do conceito, de sua re-significação.
Há também uma descrição geométrica das heteroestruturas, mas não se observa um trabalho da teoria quântica que as justifique. Não se diz, à luz dessa teoria, como elas podem se formar ou existir.
A naturalização da palavra, silenciando seus sentidos e significados, constitui-se, nesse caso, em obstáculo verbal. Por outro lado, esse é um dos sentidos da formação inicial: inscrever o indivíduo em uma FD, ou em um conjunto bem delimitado de FDs correspondentes à sua profissão.
O autor prossegue a caracterização teórica de seu trabalho com o enunciado abaixo:
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Se a largura do poço for pequena o bastante, a ser comparável ao comprimento de onda de De Broglie dos elétrons, uma série de estados quânticos se forma nos poços onde os elétrons estão confinados. Este confinamento restringe fortemente o movimento dos elétrons ao plano das camadas (confinamento bidimensional). (MBT: 2007, p.15)
Aqui, mais uma vez, aparece a interação discursiva entre o racionalismo clássico e o racionalismo completo. Expressão do tipo “uma série de estados quânticos” é incomensurável com “o movimento dos elétrons”. Movimento tem uma carga semântica muito forte, mas também tem uma carga discursiva que, nesse enunciado, invoca a noção kuhniana de incomensurabilidade. Não é possível, dentro do racionalismo completo da mecânica quântica, admitir-se a observação do movimento dos elétrons, porque não é possível atribuir-lhes trajetórias. Mais uma vez, percebe-se que (compreender) a racionalização do problema de pesquisa passa pela noção de perfil epistemológico de Bachelard: o autor constrói um quadro interpretativo/compreensivo que mantém elementos teórico-metodológicos pertencentes a diferentes regiões do espectro epistemológico. Esse fenômeno pode ser um indicador de que
racionalização – marcado pela superposição de várias partes do espectro, significando aqui a
dispersão do sujeito sobre muitas discursividades – é um incontornável.
Após uma etapa de caracterização do problema de pesquisa, o autor começa a trabalhar os aspectos teórico-metodológicos da pesquisa.
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O hamiltoniano de um elétron sob a influência de um campo magnético uniforme externo, negligenciando o momento magnético intrínseco e dentro da aproximação de massa efetiva, é dado por (Landau, 1997)
) ( ) ( ˆ ˆ * 2 1 Ar 2 V r c e P m H , onde P
é o operador momento, Aé o potencial vetor magnético, sendo o campo magnético escrito como BA. O termo
) (r
V é a barreira de potencial que é tomada como (Aparece a função que representa o potencial de uma caixa). (MBT: 2007, p.22)
No enunciado acima, nota-se o uso do recurso da teorização por citação (ORLANDI: 2007c, p.143). O autor traz a referência de Landau (1997) para justificar a escolha do hamiltoniano. Todavia, por não problematizá-lo, ignora (silencia) que se trata de uma “simplificação”, de um modelo. Essa característica do conhecimento que ele produz está marcada pelos verbos negligenciar (deixar de lado quantidades ou relações que não são a causa mais forte de um dado efeito) e aproximar (substituir funções por expansões polinomiais, e.g.), bem como pela noção de massa efetiva (algo que se comporta como se...).. Essa é a forma ordinária de resolução de problemas na perspectiva empírico-analítica. Não se quer dizer com isso que há problemas em trabalhar com modelos. De fato, os modelos são formas de realização da teoria; é neles e por meio deles que a teoria manifesta sua materialidade.
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Aplicando a equação de autovalores 3.22 e considerando a função de onda como o produto de três funções independentes para cada variável, utilizamos o método de separação de variáveis (ARFKEN, 2001; EISBERG, 1979). (MBT: 2007, p.25)
Tal como foi identificado no enunciado MBT_TD2, aqui também ocorre, pela repetição de significados, o reforço; é o processo de racionalização do estudante, um trabalho (cognitivo) de compreensão. Fala-se do método, que é na verdade uma técnica particular de resolução de equações sob certas condições, de duas maneiras distintas, como para garantir ou convencer-se de que o enunciado produzirá o efeito de sentido desejado. A teorização ou justificação está presente na forma de citação, trazendo os nomes de Arfken e Eisberg,
autores bem conhecidos da comunidade de físicos.
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O procedimento utilizado neste trabalho foi o de, para um determinado valor de energia, como nós conhecemos o valor de Y0 e Yn que são as condições de
contorno (...), atribuímos um valor pequeno para Y1, encontrando Y2 e assim
sucessivamente os demais pontos da malha (...). O valor de energia que nos interessará será aquele em que o valor de Yn seja zero (zero numérico), de
modo que temos a quantização da energia no sistema. (MBT: 2007, p.28).
O enunciado acima descreve a técnica de resolução da equação diferencial (método de diferenças finitas). O “zero numérico” marca tanto o caráter aproximado das soluções numéricas quanto o nível técnico de conhecimento (computacional) do problema proposto.
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Nas figuras 4.2 e 4.3 vimos que , aumentando-se o comprimento da aresta da direção em que o campo magnético é aplicado, não ajuda ao sistema a entrar num regime linear entre a energia e o campo. Quanto maior for LZ menor é o
confinamento nesta direção. (MBT: 2007, p. (p.32)
Referindo-se às linguagens gráfica e simbólica, o texto acima é meramente descritivo. Parece-nos que as equações (linguagem simbólica) e os gráficos (linguagem gráfica) são entendidos como coisas distintas do ponto de vista compreensivo, em vez de representações distintas. A FD de fundo – escolhida pelo autor ou naturalizada pela Comunidade Discursiva (institucionalmente) – é a mecânica quântica; o processo de interpretação/compreensão, portanto, deve passar por ela.
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Podem se construir computadores quânticos, também com átomos que podem estar excitados e não excitados ao mesmo tempo. Uma proposta para se construir a parte ativa dos processadores quânticos, são os pontos quânticos (quantum dots – QD’s): uma heteroestrutura semicondutora com dimensões de alguns nanômetros. (MBT: 2007, p.9). (Grifo nosso).
A justificativa da necessidade da pesquisa passa por apontar um horizonte tecnológico:
computadores quânticos. A base teórica para tal fim é a teoria quântica, porque ela pode
sustentar a idéia de um sistema que pode estar em vários estados simultaneamente, como os
átomos que podem estar excitados e não excitados ao mesmo tempo. Átomos não excitados
são aqueles cujos elétrons encontram-se no estado fundamental, estado de energia mais baixa possível. Átomos excitados são aqueles que têm elétrons ocupando níveis de energia acima do estado fundamental. Ter átomos que podem estar excitados e não excitados, ao mesmo tempo, é uma possibilidade inexistente nas teorias do racionalismo clássico – pautado na lógica
disjuntiva que exige estar o átomo em uma configuração ou na outra, nunca em ambas –, mas perfeitamente aceitável no racionalismo completo. Diz-se que o átomo é então descrito por uma função de onda (ou um vetor de estado) dado pela superposição (combinação linear) de uma função que descreve o estado fundamental e outra função que descreve o estado excitado.
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Neste trabalho apresentamos um estudo dos estados de energia de pontos quânticos cúbicos, formados pelo semicondutor Arseneto de Gálio (GaAs), na presença de campo magnético uniforme. Os pontos quânticos cúbicos têm
geometria mais adequada para serem utilizados em dispositivos eletrônicos,
enquanto que, o composto semicondutor GaAs, tem propriedades adequadas à fabricação de heteroestruturas. (MBT: 2007, p. 10)
Os dois enunciados acima justificam tanto a realização da pesquisa quanto a opção pelos pontos quânticos, bem assim pelo Arseneto de Gálio. Os comentários ao enunciado MBT_TD1 complementam as observações feitas aqui.
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Neste trabalho estamos interessados na energia do estado fundamental devido ao elétron confinado em um QD de barreira de potencial infinita, sob a influência de um campo externo. (p.29)
Aqui a expressão “estado fundamental” significa aquele que tem o menor valor possível de energia. Essa expressão tem/produz sentido dentro do racionalismo completo, sob os auspícios da teoria quântica. Porém, no contexto do racionalismo clássico, onde predomina o paradigma mecanicista, sob a hegemonia das idéias de Newton, fala-se antes de mínimo de
energia, porque aqui a energia é entendida como um continuum, assim como as demais
variáveis. A expressão “confinado” também tem sentidos distintos nas duas regiões do espectro epistemológico. No racionalismo clássico uma partícula que está restrita a uma dada região do espaço não pode escapar dela se sua energia total não superar a energia da barreira de potencial. Já o racionalismo completo prevê a possibilidade de uma partícula escapar de uma dada região, mesmo que sua energia não supere a da barreira. Esse fenômeno é conhecido como tunelamento de barreira ou efeito túnel. No enunciado acima, o confinamento está garantido pela expressão “barreira de potencial infinita”.
A influência de um campo externo pressupõe a realidade ou existência do campo, como um dado empírico, um fenômeno. Mas o conceito de campo é uma abstração físico- matemática boa, isto é, que ajuda a entender muitos fenômenos e a prever outros, como aconteceu para as ondas eletromagnéticas a partir das equações de Maxwell.
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A tecnologia utilizada na fabricação de computadores começa a esbarrar nas dificuldades imposta (sic) pela redução do tamanho dos componentes eletrônicos. Os efeitos quânticos interferem no funcionamento dos componentes à medida que eles se tornam cada vez menores. (MBT: 2003, p.8)
Aqui, mais uma vez, aparece a influência da física dos manuais na formação do autor. Os livros ligam geralmente a mecânica quântica ao mundo atômico, quase exclusivamente. Quando o autor relaciona “os efeitos quânticos ” à re dução de tamanho, pode estar restringindo o campo de atuação da mecânica quântica, que é uma teoria para a natureza e não somente para os objetos atômicos e sub-atômicos.
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Entretanto, para o funcionamento correto de um computador quântico, deve-se evitar, a qualquer custo a descoerência, pois com ela, a superposição recai em bits clássicos. Uma dificuldade adicional é que o ato de medir ou observar um sistema quântico destrói a superposição de estados. Medir um bit para verificar se está certo destruirá a coerência entre os estados. (MBT: 2003, p. 8- 9)
O conceito de decoerência faz alusão direta à teoria quântica. Quando o autor fala da destruição da superposição de estados, está se referindo ao pressuposto do colapso da função de onda. Todavia, essa é uma questão polêmica, tanto no aspecto técnico quanto teórico- epistemológico, como assevera Toledo Piza (2003, p.80-90).
Do ponto de vista técnico ressalta-se a dificuldade/impossibilidade de resolução das equações de evolução temporal dos vetores de estado que descrevem o aparato de medição e a partícula ou sistema sobre o qual se realiza a medição. Do ponto de vista teórico-