Relações diretas e inversas

Estudos que investigam o desenvolvimento conceitual focalizam a dificuldade dos estudantes na resolução de problemas de três variáveis em que a terceira variável está numa relação inversa com as outras duas. Um aspecto central nesses estudos é que o reconhecimento dos estudantes sobre como as variáveis estão relacionadas não é apenas um passo qualitativo na resolução dos problemas, mas uma parte essencial na sua compreensão (PIAGET, 1970, ACREODOLO; ADAMS; SCHMID, 1984, SQUIRE; BRYANT, 2003, NUNES; DESLI; BELL, 2003).

Examinando os conceitos de movimento e velocidade, Piaget (1970) distinguiu entre direções diretas ou localizações e direções inversas ou deslocamentos como formadores da origem da compreensão qualitativa desses conceitos. Essas relações são denominadas por Piaget como relações de primeira ordem, pois requer dos estudantes um raciocínio centrado na ordenação das quantidades. Embora as relações de primeira ordem permitam que as crianças analisem a menor ou a maior velocidade numa perspectiva relativa, elas não são suficientes para que comparações proporcionais sejam realizadas. Apenas a integração da idéia de direção (positiva ou negativa) com a idéia de movimento em sucessão, a qual envolve a variável tempo, pode preparar o caminho para o desenvolvimento da idéia de movimentos em sucessão e que incluem o raciocínio proporcional. Estas relações são consideradas por Piaget como relações de segunda ordem, pois os estudantes precisam estabelecer relações entre as três variáveis do problema: movimento, velocidade e duração.

Investigando como 90 estudantes de seis a 13 anos de idade compreendiam a relação entre velocidade, duração e distância, Acreodolo, Adams e Schmid (1984) oferecem evidências de que as crianças desenvolvem o entendimento da relação direta entre duração e distância antes da relação inversa. A relação direta significa que um valor percebido como maior em uma dimensão se correlata com um valor também percebido como maior na outra dimensão.

Acreodollo et al. (1984) contavam às crianças uma história sobre um fazendeiro que deixou um cachorro próximo ao seu jardim para prevenir que coelhos e gambás comessem os seus repolhos. Os animais ficavam na rua esperando que o cachorro dormisse e então comiam os repolhos. A história era contada com a ajuda de desenhos ilustrando a situação. Foi também explicado às crianças que algumas vezes os coelhos e gambás corriam com a mesma velocidade, enquanto em outras um animal podia correr mais rápido do que o outro. As

crianças também foram informadas de que os dois animais podiam correr durante o mesmo período ou não.

As crianças deveriam deduzir a relação de uma variável (ex. qual animal corre por mais tempo) somente na base da informação sobre as relações das outras duas variáveis. As crianças erraram mais quando os problemas requeriam que elas usassem o conhecimento da relação inversa entre velocidade e duração, e entre duração e distância. Uma análise do tipo de erros revelou que as crianças assumiam a idéia de que existia uma relação direta entre as variáveis em vez de uma relação inversa.

Nunes, Desli e Bell (2003), oferecem evidências de que as dificuldades que crianças pequenas apresentam para entender quantidades intensivas encontram-se relacionadas com o seu entendimento de relações inversas. Neste estudo, crianças de seis a oito anos resolveram problemas sobre paladar, velocidade e custo, entre outros. Os problemas não requeriam que as crianças realizassem uma computação; além disso, eram apresentados por meio de desenho para facilitar a comunicação.

As relações diretas e inversas foram acessadas por meio de questões diretas ou inversas aplicadas ao mesmo tipo de problema. Por exemplo, no problema sobre o paladar, dois copos de suco de limão com a mesma quantidade de suco e diferentes quantidades de açúcar eram apresentados às crianças. Elas deviam então responder uma questão direta na qual a quantidade total de suco era mantida constante e a quantidade de açúcar variava: um suco está mais doce do que o outro ou eles têm o mesmo sabor? Elas deviam também responder a uma questão inversa na qual a quantidade de açúcar era mantida constante e a quantidade total de suco variava: um suco tem um sabor mais forte do que o outro ou eles têm o mesmo sabor? Os resultados indicaram que as crianças de todas as idades tiveram mais dificuldades em resolver as questões inversas do que as diretas.

O tipo de informação possibilita a combinação de tipos diferentes de relações entre as variáveis com base no uso de questões específicas. Este ponto não tem sido investigado de forma sistemática nos estudos sobre gráficos. Entende-se que o tipo de relação, direta ou inversa, se encontra associada com a lógica da informação e pode influenciar na construção dos significados pelos estudantes. Esse aspecto encontra-se investigado nos Experimentos 3, 4 e 6, elaborados nessa tese e descritos em capítulos posteriores.

Os economistas, em particular, estão freqüentemente examinando como uma variável afeta outra: como a compra de carros é afetada pelos preços dos carros; como os gastos dos consumidores são afetados pelas taxas que eles pagam; e como o custo na produção de máquinas de lavar é afetado pelo preço da matéria-prima. Algumas dessas situações

representam funções lineares simples e podem ser apresentadas por meio de um gráfico de linhas. O gráfico da Figura 3 apresenta uma situação comum nos livros de Economia.

Figura 3 – Gráfico de linhas com inclinação negativa. Fonte: McConnell e Brue (1996), p. 15.

O gráfico mostra uma relação entre os preços dos ingressos (tickets prices) e o número de pessoas que comparecem aos jogos (attendance in thousands); isto é, que compraram os ingressos. Nessa situação, quando o número de pessoas presentes aos jogos aumenta, é porque os preços dos ingressos diminuíram, sendo esse aspecto representado pela inclinação negativa do gráfico. Quando o preço do ingresso é $20, o número de pessoas presentes aos jogos é 4.000, e quando os ingressos são de graça, 20.000 pessoas vão aos jogos. É possível que a relação entre o preço dos ingressos e o número de pessoas que assistem aos jogos seja facilmente interpretada nesses gráficos, pois, para cada valor no preço do ingresso, tem-se uma quantidade correspondente de pessoas que os compraram efetivamente e compareceram aos jogos.

Embora o problema apresentado no gráfico da Figura 3 envolva duas variáveis, para a resolução dele, os estudantes devem estabelecer correspondência entre as variáveis. Dentre os problemas multiplicativos, esses são considerados os mais fáceis de resolver (NUNES; BRYANT, 1996).

O gráfico da Figura 4 apresenta uma informação diferente daquela focalizada no gráfico da Figura 3. A Figura 4 exibe uma relação entre distância e tempo: quanto maior a distância, maior é o tempo; no entanto, a velocidade é o elemento importante nesse gráfico. É a terceira variável não diretamente inferida, mas pode ser obtida com base na relação entre a distância e o tempo considerados simultaneamente. Relações dessa natureza são representadas graficamente e o seu significado requer a representação mental do conceito de velocidade pelo leitor.

Figura 4 – Gráfico de linhas com inclinação positiva.

Qual carro vai mais rápido, o carro A ou o carro B? Essa questão associada a esse gráfico requer um raciocínio inferencial sobre a velocidade, que só pode ser deduzida firmada na relação entre as variáveis apresentadas graficamente.

Problemas envolvendo a terceira variável são mais complexos do que problemas que compreendem apenas duas variáveis porque, nesses últimos, os estudantes precisam apenas estabelecer ações de correspondência entre as variáveis, enquanto nos primeiros os estudantes precisam realizar o produto de medidas (VERGNAUD, 1983; NUNES; BRYANT, 1996; NUNES, 2004), o que requer o estabelecimento de relações entre variáveis. A compreensão de gráficos apresentando três variáveis, como é caso do gráfico da Figura 4, requer o raciocínio inferencial sobre a terceira variável e não apenas a análise das duas variáveis.

Problemas dessa natureza são classificados por Nunes e Bryant (1996) como problemas que requerem relações entre variáveis, pois incluem um terceiro fator ou quantidade intensiva.

Na prática da matemática escolar, o uso freqüente de gráficos com inclinação positiva pode contribuir para os estudantes realizarem inferências diretas, sendo baseadas somente nos aspectos visuais. No gráfico da Figura 4, por exemplo, os estudantes poderiam responder que o Carro A é o mais veloz porque ele está representado pela linha mais alta. Nessa perspectiva, o seu raciocínio não necessita estar focado no conceito de velocidade (relação entre espaço e tempo), mas na associação visual da linha mais alta com aquela que tem a maior quantidade dos valores da variável. Nesse caso, em vez de estabelecer uma integração entre os aspectos conceituais e visuais, o aluno procede somente pelo processo visual.

A Figura 5 mostra o mesmo tema do gráfico da Figura 4, entretanto, desta feita, os eixos são invertidos. No gráfico da Figura 5, há troca nos rótulos dos eixos: no eixo x é Distância em quilômetros e no eixo y Tempo em horas. Esta inversão resulta numa mudança do significado das linhas. Nesse caso, a linha mais inclinada representa o carro que está indo mais devagar.

Figura 5 – Gráfico de linhas com inclinação positiva e eixos invertidos.

A pergunta associada a velocidade requer uma análise dos alunos: qual carro vai mais rápido, o carro A ou o carro B? A questão associada a esse gráfico requer dos estudantes uma

inferência inversa sobre a velocidade. Neste caso, quanto maior o tempo em horas para percorrer uma mesma distância, menos veloz é o carro. Para proceder a uma inferência inversa, os estudantes precisam ler e formular uma compreensão sobre a terceira variável e não apenas proceder à interpretação dos aspectos visuais da informação.

A utilização de gráficos com os eixos invertidos não é usual na literatura sobre gráficos. Pode-se mencionar apenas um gráfico utilizado por Kerslake (1981), no qual os alunos eram solicitados a descrever a aparência de uma pessoa cujas medidas da altura e cintura encontrava-se traçadas. Em vez de altura e cintura serem traçadas no eixo vertical (eixo y) e horizontal (eixo x), respectivamente, como seria esperado convencionalmente, os eixos foram invertidos. Os alunos apresentaram muita dificuldade em compreender como ficaria a aparência de uma pessoa cuja altura foi apresentada horizontalmente, fato esse aqui analisado apenas superficialmente.

Nas tarefas elaboradas para o Experimento 3, os aspectos diretos ou inversos dos gráficos com a inclinação positiva foram controlados com base na aparência dos gráficos, obtendo-se: um gráfico com as variáveis convencionalmente representadas nos eixos x e y e outro gráfico com as variáveis apresentadas na forma invertida. Em ambos os casos, era aplicada a mesma questão. Nos gráficos de inclinação negativa, os aspectos diretos ou inversos foram controlados com o suporte de questões diretas ou inversas. Todo esse controle foi realizado com base num mesmo conteúdo. Como resultado, para o mesmo conteúdo, foi obtido quatro gráficos: dois com inclinação positiva, um com questão direta e outro com aparência inversa; e dois com inclinação negativa, um com uma questão direta e outro com questão inversa.

A representação de informações sobre variáveis, seja em tabelas ou gráficos, toma forma distinta, dependendo da natureza das variáveis (contínuas ou discretas), do número de variáveis (duas, três ou mais) e do tipo de relação entre elas (correspondência ou relações entre variáveis). Na seção seguinte, serão apresentados alguns estudos que ilustram a relação entre o tipo de variável e a sua apresentação em casos isolados, tabelas e gráficos.