Consiste na observac¸˜ao do trabalho di´ario realizado pelo aluno em sala de aula podendo incluir o questionamento oral sobre as tarefas da aula.
• Apresentac¸ ˜oes orais
Consiste na exposic¸˜ao oral pelo aluno, perante os colegas e o professor, de trabalho previa- mente preparado, submetendo-se `as eventuais quest˜oes que lhe sejam colocadas.
• Entrevistas ou questionamentos escritos ou orais
Em geral visam conhecer as atitudes, crenc¸as e valores dos alunos acerca da matem´atica e da sua aprendizagem. O uso de question´arios e entrevistas pode revelar-se uma pr´atica de grande utilidade na avaliac¸˜ao de fatores do dom´ınio afetivo do aluno.
• Portef ´olios
O portef´olio do aluno ´e uma pasta ou um dossier que cont´em os elementos mais significativos do trabalho realizado pelo aluno ao longo de um ano letivo ou de um m ´odulo de ensino. Deve conter os principais trabalhos do aluno e estar acompanhado dos coment´arios do professor e do pr´oprio aluno a respeito das diversas atividades realizadas, refletindo o percurso global do aluno.
As Normas para a avaliac¸˜ao descritas e enunciadas em cima, foram, de alguma forma, inte- gradas no novo programa do ensino b´asico, onde se d´a uma grande ˆenfase ao car´ater formativo da avaliac¸˜ao como instrumento regulador do ensino e da aprendizagem, e se distingue entre avaliac¸˜ao e classificac¸˜ao. Segundo o novo programa, “avaliar e classificar s˜ao acc¸ ˜oes muito diferentes. A classificac¸˜ao atribu´ıda aos alunos ´e um valor numa escala unidimensional enquanto que a avaliac¸˜ao implica uma interpretac¸ ˜ao sobre o grau em que os objetivos foram atingidos e uma tomada de decis˜ao com vista ao futuro” (Ponte & et al., 2007).
As Normas do NCTM referem um conjunto de aspetos que devem merecer uma atenc¸˜ao especial do professor: avaliar o que os alunos sabem e como pensam sobre a matem´atica, focar uma grande variedade de tarefas matem´aticas e adoptar uma vis˜ao hol´ıstica da matem´atica.
9.5
Resoluc¸˜ao de problemas no ensino da matem´atica
A resoluc¸˜ao de problemas ´e a quinta norma das “Normas Profissionais para o Ensino da Ma- tem´atica” (NCTM, 1991), ´e uma das normas dos “Princ´ıpios e Normas para a Matem´atica Esco- lar” (NCTM, 2000) e assume um papel de destaque nas novas filosofias e metodologias educacionais, ocupando um papel central no novo programa de matem´atica do ensino b´asico como competˆencia
9.5. Resoluc¸˜ao de problemas no ensino da matem´atica
transversal nos trˆes ciclos deste ensino. Segundo o novo programa do ensino b´asico, “a resoluc¸˜ao de problemas n˜ao s´o ´e um importante objetivo de aprendizagem em si mesmo, como constitui uma atividade fundamental para a aprendizagem dos diversos conceitos, representac¸ ˜oes e procedimentos matem´aticos”. (Ponte & et al., 2007).
Um problema em matem´atica ´e uma situac¸˜ao para a qual um indiv´ıduo ou grupo de indiv´ıduos, que ´e solicitado a dar resposta, n˜ao possui nenhum algoritmo dispon´ıvel que determine completa- mente o m´etodo de resoluc¸˜ao, ou seja, ´e uma situac¸˜ao `a qual n˜ao ´e poss´ıvel dar uma resposta usando o conhecimento imediatamente dispon´ıvel. Para que uma dada situac¸˜ao matem´atica constitua um problema para um dado indiv´ıduo, ou grupo, ´e necess´ario que a tarefa proposta seja desejada por esse indiv´ıduo ou grupo, de outro modo a situac¸˜ao proposta n˜ao pode ser considerada um problema. Por outro lado, uma situac¸˜ao matem´atica cuja soluc¸˜ao seja imediata ou que esteja para l´a da com- preens˜ao do indiv´ıduo, ou grupo, tamb´em n˜ao pode constituir um problema para esse indiv´ıduo, ou grupo.
Uma dada situac¸˜ao pode constituir um problema para um dado indiv´ıduo ou grupo num determi- nado momento e n˜ao o ser para o mesmo indiv´ıduo ou grupo noutro momento.
Os problemas em matem´atica s˜ao habitualmente classificados de acordo com o seu grau de di- ficuldade. Em geral designam-se por problemas rotineiros aqueles cuja resoluc¸˜ao n˜ao tem um grau muito elevado de dificuldade. A “problematicidade” (ou grau de dificuldade) de uma situac¸˜ao de- pende do indiv´ıduo e do conjunto de instrumentos e saberes dispon´ıveis ao indiv´ıduo em cada mo- mento. Uma situac¸˜ao matem´atica pode constituir um problema de rotina para um indiv´ıduo e ser um problema complexo para outro.
Portanto, a resoluc¸˜ao de problemas implica o envolvimento numa tarefa cujo algoritmo de resoluc¸˜ao n˜ao ´e conhecido. O NCTM (2000) diz que os alunos devem ter muitas oportunidades para formular, discutir e resolver problemas complexos que requeiram um esforc¸o significativo, e, em seguida dever˜ao ser encorajados a refletir sobre os seus racioc´ınios. Para al´em disso, defende ainda que a resoluc¸˜ao de problemas estimula a curiosidade, a persistˆencia e a autoconfianc¸a, estimulando assim, nos alunos, atitudes e crenc¸as positivas face `a matem´atica, `a aprendizagem da matem´atica e `as suas pr´oprias capacidades em matem´atica.
Os autores s˜ao unˆanimes relativamente `a importˆancia que d˜ao `a resoluc¸˜ao de problemas como componente essencial do processo de aprendizagem da matem´atica. A resoluc¸˜ao de problemas ma- tem´aticos, como aspeto importante da educac¸˜ao matem´atica, exige a aplicac¸˜ao de uma s´erie de ap- tid˜oes de natureza cognitiva, metacognitiva e afetiva, e, por isso, ´e apontada por todos como a tarefa mais dif´ıcil que se pode dar a um aluno do ensino b´asico. A componente cognitiva est´a associada `a necessidade de emprego de estrat´egias de resoluc¸˜ao ou `a compreens˜ao do pr´oprio problema. A
9.5. Resoluc¸˜ao de problemas no ensino da matem´atica
componente metacognitiva est´a presente quando o aluno olha para tr´as para analisar uma dada es- trat´egia de resoluc¸˜ao aplicada, para analisar o seu pr´oprio pensamento e racioc´ınio na estrat´egia de resoluc¸˜ao escolhida. A componente afetiva est´a presente, por exemplo, no valor que o aluno atribui ao problema quer pela sua importˆancia, quer pelo seu interesse ou utilidade, quer por qualquer outro motivo objetivo, ou subjetivo. A componente afetiva est´a igualmente presente na motivac¸˜ao para a resoluc¸˜ao do problema ou na orientac¸˜ao do aluno para o objetivo que envolve a percec¸˜ao do aluno sobre as raz˜oes para se comprometer na resoluc¸˜ao de um determinado problema de matem´atica, ou na resoluc¸˜ao de problemas matem´aticos de uma forma geral.
V´arias investigac¸ ˜oes tˆem mostrado que o ensino de modelos de resoluc¸˜ao de problemas a alunos do ensino b´asico e secund´ario melhora a sua capacidade de resoluc¸˜ao de problemas e o seu desem- penho. Outros estudos significativos mostram que em alguns casos o desempenho dos alunos na resoluc¸˜ao de problemas piorou quando se misturou a resoluc¸˜ao de problemas com o ensino de es- trat´egias de resoluc¸˜ao. Existem estudos que mostram que o efeito do ensino de modelos de resoluc¸˜ao de problemas no desempenho evidenciado pelos alunos na resoluc¸˜ao de problemas de matem´atica depende da forma como os modelos s˜ao ensinados e da forma como o professor trabalha a resoluc¸˜ao de problemas.
Existem v´arios modelos e heur´ısticas de resoluc¸˜ao de problemas de matem´atica, a maior parte dos quais se centram na fragmentac¸˜ao do problema dado em problemas menores que se resolvem de forma fragmentada e hierarquizada. Um exemplo deste tipo de modelos ´e o bem conhecido modelo de quatro etapas de Polya (2007). Segundo este modelo de quatro etapas, a primeira etapa consiste na compreens˜ao do problema. Durante esta etapa ou fase o aluno deve compreender de que problema se trata, quais os dados de que disp˜oe, quais os que s˜ao relevantes, podendo inclusive fracionar o problema dado noutros menores ou mais simples. O aluno poder´a responder a quest˜oes como (Silva, 1943):
De que se trata? O que se d´a?
Quais os dados relevantes e quais os irrelevantes?
Os dados determinam a inc´ognita ou s˜ao insuficientes? Ou s˜ao superabundantes? Pode-se por a quest˜ao ou o problema de outro modo?
Posso relacionar o problema dado com outro cuja soluc¸˜ao j´a conhec¸o? Ou que seja mais simples? Estou a tomar em considerac¸˜ao todos os factos?
A segunda etapa do modelo de Polya ´e a formulac¸˜ao ou estabelecimento de um plano. Nesta etapa o aluno procurar´a um plano de resoluc¸˜ao que lhe permita ir dos dados que lhe s˜ao fornecidos at´e `a resposta que lhe ´e pedida, estabelecendo relac¸ ˜oes entre dados e inc´ognita ou inc´ognitas, trans-
9.5. Resoluc¸˜ao de problemas no ensino da matem´atica
formando os elementos dados, procurando deduzir novos elementos mais pr´oximos dos que lhe s˜ao pedidos, etc.
A terceira etapa ´e a execuc¸˜ao do plano. Nesta etapa o aluno usa a hip´otese ou estrat´egia de resoluc¸˜ao por si definida.
A quarta e ´ultima etapa do modelo de Polya ´e a verificac¸˜ao da soluc¸˜ao. Nesta etapa o aluno procurar´a verificar se a soluc¸˜ao encontrada ´e plaus´ıvel e responde ao problema proposto. Poder´a analisar a forma como chegou `a soluc¸˜ao, ou seja, o seu pr´oprio racioc´ınio, e, pensar outros caminhos poss´ıveis. O aluno poder´a responder a quest˜oes como (Silva, 1943):
O resultado ´e plaus´ıvel? Porquˆe?
Pode-se fazer uma verificac¸˜ao da soluc¸˜ao encontrada? Como? H´a outros caminhos que conduzem ao resultado? Quais? H´a algum modo mais directo de resoluc¸˜ao? Qual?
O caminho usado pode conduzir a outros resultados? Quais?
Os meus colegas de grupo tˆem outras estrat´egias? Quais? A que soluc¸ ˜oes conduzem?
O modelo de Polya est´a esquematizado na figura 9.2, onde as setas pretendem ilustrar como as etapas deste modelo se relacionam e a direcc¸˜ao normal de execuc¸˜ao do modelo.
Figura 9.2: Modelo de resoluc¸˜ao de problemas de Polya.
Existem v´arios outros modelos de resoluc¸˜ao de problemas que prop˜oem estrat´egias para a abor- dagem e resoluc¸˜ao de problemas de matem´atica, muitos dos quais s˜ao alterac¸ ˜oes ou adaptac¸ ˜oes do