◗ Os programas de elaboração de planilhas, como o Excel, apresentam funções internas para a resolução de proble- mas de fluxos de caixa descontado (FCDs). É possível encontrá-las pressionando a aba fx na barra de ferramen- tas do Excel. Se, em seguida, você der um clique na função que deseja usar, o programa lhe pede os dados necessá- rios. No botão à esquerda da caixa de funções há o recurso
“Ajuda sobre esta opção”, dotado de um exemplo de como a função é utilizada.
Eis aqui uma lista das funções úteis para a resolução desses problemas e alguns pontos para lembrar quando se digitar os dados:
◗ VF: valor futuro do investimento ou anuidade individuais.
◗ VP: valor presente do fluxo de caixa ou anuidade individuais.
◗ TAXA: taxa de juros (ou taxa de retorno) necessária para gerar um dado valor futuro ou uma anuidade.
◗ NPER: número de períodos (por exemplo, anos) que um investimento leva para gerar um dado valor futuro ou uma série de fluxos de caixa futuros.
◗ PGTO: quantidade de pagamentos de anuidade com um dado valor presente ou futuro.
◗ VPL: calcula o valor de uma série de fluxos de caixa negativos e positivos. (Quando utilizar essa função, observe o aviso a seguir.)
◗ XVPL: calcula o valor presente líquido de uma série de fluxos de caixa desiguais na data do primeiro fluxo de caixa.
◗ EFETIVA: a taxa de juros anual efetiva, dada a taxa de juro anual (TJA) e o número de pagamentos de juros em um ano.
◗ NOMINAL: a taxa de juro anual (TJA) dada a taxa anual efetiva de juros.
Podemos digitar todos os dados diretamente nessas fun- ções como números ou como endereços de células con- tendo os números. Três avisos:
1. VP é a quantia que precisa ser investida hoje para gerar um determinado valor futuro. Portanto, deve-se digitá- -lo como um número negativo. Digitar VP e VF com o mesmo sinal na solução de problemas com a função TAXA resulta em uma mensagem de erro.
2. Entre sempre com a taxa de juros ou de desconto como um valor decimal.
3. Use a função VPL com cuidado. Ela fornece o valor dos fluxos de caixa em um período anterior ao primeiro flu- xo de caixa, e não o valor na data do primeiro fluxo de caixa.
QUESTÕES COM PLANILHAS
As questões a seguir oferecem oportunidades de prati- car cada uma das funções do Excel.
2.1 (VF) Em 1880, foi prometida uma recompensa equi- valente a 100 dólares australianos a cinco batedores aborígines, por ajudarem na captura do famoso ban- dido Ned Kelley. Em 1993, as netas de dois desses batedores reclamaram que a recompensa não tinha sido paga. Se a taxa de juros durante esse período oscilou próximo de 4,5%, qual seria o montante acumulado da época até agora?
2.2 (VP) Sua empresa pode alugar um caminhão por $10 mil ao ano (pagos no fim do ano) durante seis anos, ou pode comprá-lo hoje por $50 mil. Após seis anos, o caminhão não terá valor nenhum. Se a taxa de ju- ros é de 6%, qual é o valor presente dos pagamentos do leasing? Vale a pena fazer o leasing?
2.3 (TAXA) As ações da Ford Motor foram uma das vítimas da crise de crédito de 2008. Em junho de 2007, o preço das ações ficava em $9,42. Passados 18 meses, caíram a $2,72. Para um investidor nesses pa- péis, qual foi a taxa de retorno anual nesse período?
2.4 (NPER) Uma consultora de investimentos prometeu dobrar o seu dinheiro. Se a taxa de juros é de 7% ao ano, em quantos anos ela conseguirá fazer isso?
2.5 (PGTO) Você precisa contrair uma hipoteca de $200 mil para a compra de uma casa. Se os pagamentos são feitos anualmente durante 30 anos e a taxa de juros é de 8%, qual é o seu pagamento anual total?
2.6 (XVPL) Seu edifício de escritórios está precisando de um dispêndio em capital inicial de $370 mil. Su- ponha que você pretende alugá-lo durante três anos a $20 mil ao ano e, depois, vendê-lo por $40 mil.
Se o custo do capital é de 12%, qual é o seu valor presente líquido?
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2.7 (EFETIVA) O First National Bank paga 6,2% de juros compostos anuais. O Second National Bank paga 6% de juros compostos mensais. Qual é o ban- co que oferece a taxa efetiva de juros anual mais alta.
2.8 (NOMINAL) Que taxa de juros compostos mensal- mente o Second National Bank precisaria pagar para depósitos em poupança de modo a oferecer uma taxa efetiva de 6,2%?
Para quaisquer outros pagamentos contínuos, podemos sempre aplicar a nossa fórmula de avaliação das anuidades. Por exemplo, suponha que você tem pensado novamente sobre sua doação e decidiu montar um programa de vacinação em países emergentes, que custará $1 bilhão por ano, com início imediato e uma distribuição uniforme ao longo de 20 anos. Usamos anteriormente uma taxa de juros composta de 10% ao ano; devemos agora utilizar uma taxa de juros com capitalização contínua de r = 9,53% (e0,0953 = 1,10). Para cobrir essas despesas, você tem, então, de reservar o seguinte montante:11
VP = C 1 r − 1
r × 1 ert = $1 bilhão C 1
0,0953 − 1
0,0953 × 1
6,727 = $1 bilhão × 8,932 = $8,932 bilhões
Se você voltar a ler a nossa explicação anterior sobre as anuidades, verificará que o valor presente de $1 bilhão, pago no fim de cada um dos 20 anos, era de $8,514 bilhões. Portanto, a obrigação de satisfazer uma corrente contínua de pagamentos lhe custará mais $418 milhões – ou 5%.
Frequentemente, em finanças, necessitamos apenas de uma estimativa aproximada do valor pre- sente. Um erro de 5% no cálculo de um valor presente pode ser perfeitamente aceitável. Normal- mente, nesses casos, não faz diferença supor que os fluxos de caixa surjam no final do ano, ou sob a forma de uma corrente contínua. Em outras circunstâncias, a precisão é importante e temos mesmo de nos preocupar com a frequência exata dos fluxos de caixa.
11Lembre-se de que uma anuidade é simplesmente a diferença entre uma perpetuidade recebida hoje e uma perpetuidade recebida no ano t. Uma corrente contínua de C dólares anuais em perpetuidade vale C/r, onde r é a taxa de juros com capitalização contínua. A nossa anuidade vale, então:
VP= C
r − valor presente de C
r recebido no ano t
Umavez que r é a taxa de juros com capitalização contínua, C/r recebido no ano t vale hoje (C/r) x (1/ert). A nossa fórmula de anuidade é, portanto:
VP= C r − C
r × 1 ert àsvezes expressa da seguinte forma:
C r (1–e–rt)
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RESUMO
As empresas podem ajudar seus acionistas aceitando todos os projetos que valham mais do que seus custos; ou seja, devem procurar projetos com um valor presente líquido positivo. Para determinarmos o valor presente líquido, calculamos primeiro o valor presente. Basta descontar os fluxos de caixa futuros com a taxa r correta, geralmente chamada taxa de desconto, taxa mínima de retorno ou custo de oportunidade do capital:
Valor presente (VP) = C1
(1 + r) + C2
(1 + r)2 + C3 (1 + r)3 + … O valor presente líquido é o valor presente somado a qual- quer fluxo de caixa imediato:
Valor presente líquido (VPL) = C0 + VP
Lembre-se de que C0 é negativo se o fluxo de caixa ime- diato for um investimento, isto é, se representar um fluxo negativo de caixa.
A taxa de desconto r é determinada por meio de taxas de retorno que prevalecem nos mercados de capitais. Se o fluxo de caixa futuro for absolutamente seguro, então a taxa de desconto será a taxa de juros de títulos sem risco, como os da dívida do Tesouro dos Estados Unidos. Se o montante do fluxo de caixa futuro for incerto, então o fluxo de caixa esperado deverá ser descontado pela taxa de retorno esperada e oferecida por títulos de risco equi-
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valente. (Falaremos mais sobre riscos e o custo do capital entre os Capítulos 7 e 9).
Os fluxos de caixa são descontados por duas simples razões: (1) porque o dinheiro disponível hoje vale mais do que o dinheiro disponível amanhã e (2) porque dinheiro com risco vale menos do que dinheiro sem risco. As fórmu- las do VP e VPL são expressões numéricas dessas noções.
Os mercados financeiros, incluindo o mercado de ações e o de obrigações, são os mercados nos quais fluxos de caixa futuros, com ou sem risco, são trocados e avaliados.
É por isso que damos atenção às taxas de remuneração que prevalecem nos mercados financeiros, para determinar a influência do tempo e do risco sobre a taxa de desconto.
Ao calcularmos o valor presente de um ativo, estamos, na verdade, estimando quanto as pessoas estariam dispostas a pagar por ele se tivessem a alternativa de fazer um investi- mento no mercado de capitais.
Você sempre pode calcular qualquer valor presente usando a fórmula básica, mas há algumas fórmulas reduzi-
das que podem minimizar o tédio. Mostramos como ava- liar um investimento que gera uma série contínua de fluxos de caixa interminavelmente (uma perpetuidade) e um que gera uma série contínua durante um período limitado (uma anuidade). Mostramos também como avaliar investimen- tos que geram séries crescentes de fluxos de caixa.
Quando alguém se oferece para lhe emprestar um dólar a uma taxa de juros nominal, você deve sempre verificar com que frequência os juros devem ser pagos. Por exem- plo, suponha que um empréstimo de $100 peça pagamen- tos de $3 durante seis meses. O pagamento total da taxa de juros anual será de $6, e os próprios juros serão cotados com uma taxa capitalizada semestral de 6%. A taxa capi- talizada anual equivalente é (1,03)2 − 1 = 0,061, ou 6,1%.
Por vezes, pode ser conveniente supor que o pagamento do juro deva ser uniforme durante o ano inteiro, de forma tal que ele seja cotado como uma taxa de juros de capitaliza- ção contínua.
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PROBLEMAS
BÁSICO
1. A uma taxa de juros de 12%, o fator de desconto por seis anos é de 0,507. Quanto valerá $0,507 daqui a seis anos se for investido a 12%?
2. Se o valor presente de $139 for de $125, qual será o fator de desconto?
3. Se o custo do capital for de 9%, qual será o VP de
$374 a ser pago no ano 9?
4. Um projeto gera um fluxo de caixa de $432 no ano 1,
$137 no ano 2 e $797 no ano 3. Se o custo do capital for de 15%, qual é o VP do projeto?
5. Se você investir $100 a uma taxa de juros de 15%, quanto terá ao fim de oito anos?
6. Um investimento de $1.548 rende $138 em perpetui- dade. Se a taxa de juros for de 9%, qual será o seu valor presente líquido?
7. Uma ação ordinária proporcionará um dividendo de
$4 no próximo ano. Depois disso, espera-se que os dividendos aumentem indefinidamente a 4% ao ano.
Se a taxa de desconto for de 14%, qual será o VP da série de dividendos?
8. A taxa de juro é de 10%.
a. Qual é o VP de um ativo que rende $1 por ano em perpetuidade?
b. O valor de um ativo que se valoriza a uma taxa de 10% ao ano duplica aproximadamente em um período de sete anos. Qual é o VP aproximado de
uma ativo que rende $1 por ano em perpetuidade, começando no ano 8?
c. Qual é o VP aproximado de um ativo que rende $1 por ano em cada um dos próximos sete anos?
d. Um lote de terreno produz um rendimento que cresce 5% ao ano. Se o rendimento do primeiro ano for de $10 mil, qual é o valor do terreno?
9. a. O custo de um automóvel novo é $10 mil. Se a taxa de juros for de 5%, quanto é que você terá de re- servar agora para obter esse valor em cinco anos?
b. Você tem de pagar $12 mil por ano em mensali- dades escolares no fim de cada um dos próximos seis anos. Se a taxa de juros for de 8%, que quan- tia você terá que reservar hoje para pagar aqueles montantes?
c. Você investiu $60.476 a 8%. Depois de ter pago as mensalidades escolares do item anterior, quanto restará no fim dos seis anos?
10. A taxa de juros com capitalização contínua é de 12%.
a. Você investiu $1 mil com essa taxa. Qual é o valor do investimento daqui a cinco anos?
b. Qual é o VP de $5 milhões que você receberá em oito anos?
c. Qual é o VP de uma série contínua de fluxos de caixa que totalizam $2 mil por ano, começando imediatamente, por um período contínuo de quin- ze anos?
11. Foi oferecida a você uma taxa de juros de 6% em um investimento de $10 milhões. Qual é o valor de seu investimento, decorridos quatro anos, se a taxa de juros é composta:
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a. Anualmente?
b. Mensalmente ou c. Continuamente?
INTERMEDIÁRIO
12. Qual é o VP de $100 recebidos em:
a. Ano 10 (a uma taxa de desconto de 1%)?
b. Ano 10 (a uma taxa de desconto de 13%)?
c. Ano 15 (a uma taxa de desconto de 25%)?
d. Cada um dos anos 1 a 3 (a uma taxa de desconto de 12%)?
13. a. Se a taxa de desconto anual é de 0,905, qual é a taxa de juros anual?
b. Se a taxa de juros por dois anos é de 10,5%, qual é o fator de desconto por dois anos?
c. Dados esses fatores de desconto por um ano e por dois anos, calcule o fator de anuidade por dois anos.
d. Se o VP de $10 anual durante três anos é de
$24,65, calcule o fator de anuidade por três anos?
e. Com base nas respostas nos itens (c) e (d) calcule o fator de desconto por três anos.
14. Uma fábrica custa $800 mil. Você sabe que vai pro- duzir um fluxo de caixa positivo, depois de descon- tados os custos operacionais, de $170 mil durante 10 anos. Se o custo de oportunidade do capital for de 14%, qual é o valor presente líquido da fábrica?
Qual será o seu valor ao fim de cinco anos?
15. Uma máquina custa $380 mil e espera-se que produ- za os seguintes fluxos de caixa:
Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fluxo de caixa ($000)
50 57 75 80 85 92 92 80 68 50
Se o custo do capital é de 12%, qual é o valor presen- te líquido da máquina?
16. Mike Polanski tem 30 anos e o seu próximo salário anual será de $40 mil. Ele prevê que o seu salário será aumentado a uma taxa constante de 5% ao ano até que se aposente aos 60 anos.
a. Se a taxa de desconto for de 8%, qual é o VP dos seus futuros salários?
b. Se, em cada ano, Mike poupa 5% do seu salário e investe essa economia a uma taxa de juros de 8%, quanto é que ele poupará até os 60 anos?
c. Se Mike planeja gastar essas economias em quan- tias iguais ao longo dos próximos 20 anos, quanto poderá gastar em cada ano?
17. Uma fábrica custa $400 mil. Produzirá um fluxo de caixa positivo, depois de descontados os custos operacionais, de $100 mil no ano 1, $200 no ano 2 e $300 mil no ano 3. O custo de oportunidade do capital é de 12%. Calcule o valor presente líquido.
18. A Halcyon Lines está considerando a compra de um novo cargueiro por $8 milhões. As receitas anuais previstas são de $5 milhões, e os custos operacionais anuais de $4 milhões. Será necessá- ria uma grande reforma, no final do quinto e do décimo anos, no valor de $2 milhões. Depois de 15 anos, o valor de sucata do navio será de $1,5 milhão. Se a taxa de desconto for de 8%, qual será o VPL do navio?
19. Como vencedor de uma licitação para servir café-da- -manhã à base de cereais, você pode escolher entre um dos seguintes pagamentos:
a. $100 mil agora.
b. $180 mil ao fim de cinco anos.
c. $11.400 por ano, indefinidamente.
d. $19 mil durante cada um dos próximos 10 anos.
e. $6.500 no próximo ano, aumentando, a partir de então e indefinidamente, 5% ao ano.
Se a taxa de juros for de 12%, qual será o pagamento mais valioso?
20. Siegfried Basset tem 65 anos e a sua expectativa de vida é de 12 anos. Ele pretende investir $20 mil em uma anuidade que produza rendimentos constantes no fim de cada ano, até a sua morte. Se a taxa de juros for de 8%, que rendimento o sr. Basset poderá esperar receber em cada ano?
21. David e Helen Zhang estão economizando para comprar um barco ao final de cinco anos. Se o barco custar $20 mil e se eles puderem ganhar 10% por ano sobre as suas economias, quanto precisarão de- positar entre o fim do ano 1 e o fim do ano 5?
22. A Kangaroo Autos está facultando um crédito gra- tuito para a compra de carros novos no valor de $10 mil. Para tanto, você deverá fazer um pagamento inicial de $1 mil e liquidar $300 por mês durante os próximos meses. A Turtle Motors, situada na porta ao lado, não oferece qualquer crédito gratuito, mas oferece um desconto de $1 mil sobre o preço de ta- bela. Se a taxa de juros anual for de 10% (cerca de 0,83% ao mês), qual das duas empresas oferece me- lhores condições de compra?
23. Volte a calcular o valor presente líquido do empre- endimento do edifício de escritórios da Seção 2.1, às taxas de juros de juros de 5%, 10% e 15%. Com esses valores, desenhe um gráfico com o VPL no eixo vertical e as taxas de desconto no eixo horizontal. A que taxa de desconto (aproximadamente) o projeto terá um VPL igual a zero? Justifique a sua resposta.
24. Se a taxa de juros for de 7%, qual será o valor dos três investimentos seguintes?
a. Um investimento que lhe oferece $100 anuais, inde- finidamente, com pagamento no fim de cada ano.
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b. Um investimento semelhante ao anterior, com pa- gamento no princípio de cada ano.
c. Um investimento semelhante, com pagamento dis- tribuído, uniformemente, durante cada ano.
25. Consulte novamente as Seções 2.2 e 2.4. Se a taxa de juros for de 8% em vez de 10%, quanto você precisa- rá reservar para fazer uma doação de cada uma das seguintes verbas:
a. $1 bilhão no final de cada ano, em perpetuidade.
b. Uma perpetuidade que proporcione $1 bilhão no final do primeiro ano e que aumente 4% ao ano.
c. $1 bilhão no final de cada ano e durante 20 anos.
d. $1 bilhão por ano, distribuídos uniformemente por 20 anos.
26. Quanto se terá ao fim de 20 anos, se for investida hoje a quantia de $100 a 15%, com capitalização composta? E com capitalização contínua?
27. Você acabou de ler o seguinte anúncio: “Pague hoje
$100 por ano, durante dez anos, e, depois, nós lhe pagaremos $100 por ano, indefinidamente”. Se esse for um negócio justo, qual é a taxa de juros?
28. Qual dos seguintes investimentos você escolheria?
a. Um investimento com juros de 12% com capitali- zação anual.
b. Um investimento com juros de 11,7% com capita- lização semestral.
c. Um investimento com juros de 11,5% com capita- lização contínua.
Calcule o valor de cada um desses investimentos ao fim de 1, 5 e 20 anos.
29. Um contrato de locação exige o pagamento imediato de $100 mil e, subsequentemente, nove pagamentos semestrais de $100 mil. Qual é o VP desses paga- mentos se a taxa de desconto anual for de 8%?
30. Há muitos anos, o The Wall Street Journal noticiou que o vencedor do prêmio da loteria do estado de Massachusetts havia tido o infortúnio de estar falido e preso por fraude. O prêmio era de $9.420.713 a ser pago em 19 prestações anuais iguais. (Eram 20 prestações, mas o premiado já havia recebido uma.) O tribunal de falências decidiu que o prêmio deveria ser vendido ao maior licitador e as receitas, utiliza- das para pagar os credores.
a. Se a taxa de juros fosse de 8%, quanto você estaria disposto a oferecer pelo prêmio?
b. Consta que a Enhance Reinsurance Company ofe- receu $4,2 milhões. Utilize o Excel para calcular o retorno que a empresa desejava obter.
31. Uma hipoteca lhe obriga a pagar $70 mil no fim de cada um dos próximos oito anos. A taxa de juros é de 8%.
a. Qual é o valor presente desses pagamentos?
b. Calcule, para cada ano do empréstimo, a quantia que continua por ser paga, o pagamento dos juros e a redução do capital.
32. Segundo suas estimativas, quando se aposentar, dentro de 35 anos, você terá acumulado economias no valor de $2 milhões. Se a taxa de juros for de 8% e você viver 15 anos depois de se aposentar, qual o nível anual de despesas compatível com essas economias?
Infelizmente, a inflação vai afetar o valor da sua aposentadoria. Pressupondo uma taxa de inflação de 4%, faça um plano de despesas para a aposentadoria que lhe permita aumentar seus gastos de acordo com a inflação.
33. A taxa de desconto, em uma capitalização anual, é de 5,5%. Pedem-lhe para calcular o valor presente de uma anuidade por 12 anos com pagamentos de
$50 mil ao ano. Calcule o VP para cada um dos seguintes casos:
a. Os pagamentos da anuidade são feitos em interva- los de um ano. O primeiro pagamento é realizado daqui a um ano.
b. O primeiro pagamento é realizado em seis meses.
Os pagamentos seguintes o são em intervalos de um ano (ou seja, em 1 ano e meio, 2 anos e meio etc.).
34. Caro Assessor Financeiro.
Eu e minha esposa temos 62 anos e esperamos nos aposentar em três anos. Após a aposentadoria, rece- beremos $7.500 por mês, descontados os impostos, de nossos planos de pensão particulares, e $1.500 por mês, descontados os impostos, da Previdência Social.
Infelizmente, nossas despesas habituais mensais são de $15 mil. Nossas obrigações sociais impedem que tenhamos mais economias.
Temos um fundo mútuo municipal de alto grau e livre de imposto no valor de $1 milhão. O retorno desse fundo é de 3,5% ao ano. Planejamos fazer retiradas no fundo para cobrirmos a diferença entre nossos rendimentos da pensão e da Previdência Social e de nossas despesas do dia a dia. Quantos anos ainda te- remos antes de consumirmos todo o nosso dinheiro?
Atenciosamente, Rico Desafiado Marblehead, MA
Você pode supor que as retiradas (uma por ano) serão depositadas em uma conta corrente (sem juros). O ca- sal utilizará essa conta pra cobrir as despesas mensais.
35. Os geólogos de sua empresa descobriram um pe- queno poço petrolífero no condado de Westcherst, no estado de Nova York. As previsões são de que ele produzirá um fluxo de caixa C1 de $2 milhões no primeiro ano. Você estima que pode obter um