Ronei_fisica_quantica

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Introdu¸

c˜

ao `

a Relatividade e F´ısica

Quˆ

antica

Ronei Miotto

Centro de Ciˆencias Naturais e Humanas Universidade Federal do ABC

Armando Corbani Ferraz

Instituto de F´ısica Universidade de S˜ao Paulo

Universidade Federal do ABC Santo Andr´e, dezembro de 2011.

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Introdu¸

c˜

ao `

a Relatividade e F´ısica

Quˆ

antica

Ronei Miotto

Centro de Ciˆencias Naturais e Humanas Universidade Federal do ABC

Armando Corbani Ferraz

Instituto de F´ısica Universidade de S˜ao Paulo

Universidade Federal do ABC Santo Andr´e, dezembro de 2011.

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R. Miotto e A. C. Ferraz

Dados Internacionais de Cataloga¸cão na Publica¸cão (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Bibliotec´ario Gesialdo Silva do Nascimento CRB-8 no ₇₁₀₂

Introdu¸cão à relatividade e f´ısica quântica / Ronei Miotto, Armando Corbani Ferraz –

Santo Andr´e: Universidade Federal do ABC, 2011. 156 p.

ISBN: 978-85-65212-05-2

1.F´ısica 2. Relatividade 3. F´ısica quˆantica 4.Ensino a distˆancia I. MI-OTTO, Ronei .II. FERRAZ, Armando Corbani III. Titulo.

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Apresenta¸

c˜

ao

Já é centenária a chamada F´ısica Moderna que através de ousadas con-cep¸cões transformou e continua a transformar nosso cotidiano e nos propiciou uma nova concep¸cão de como a natureza se manifesta.

Essa verdadeira revolu¸cão cient´ıfica ocorreu com o desenvolvimento das Teoria da Relatividade e da Mecânica Quântica no in´ıcio do século XX, dando respostas e explicando de maneira inovadora os descobrimentos e resultados experimentais inexplicáveis pelas Leis da Natureza conhecidas e estabelecidas até aquela época.

O objetivo desse livro é apresentar um breve histórico, os princ´ıpios funda-mentais e o desenvolvimento conceitual em um curso de um per´ıodo, voltado aos estudantes que já tenham conclu´ıdo cursos de f´ısica básica e cálculo ele-mentar. Através de exemplos simples associados a nossa atualidade, aplicamos essas novas teorias em alguns sistemas, notadamente os microscópicos.

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(7)

Sum´

ario

Apresenta¸c˜ao v

1 Introdu¸c˜ao 1

2 A Teoria da Relatividade Especial 3

2.1 Antecedentes Hist´oricos . . . 3

2.1.1 O Conceito Mecˆanico . . . 4

2.1.2 A natureza da luz e o ´eter . . . 7

2.2 A proposta de Einstein . . . 15

2.3 Consequˆencias dos Postulados de Einstein . . . 16

2.3.1 A dilata¸c˜ao temporal . . . 18

2.3.2 O Paradoxo dos Gˆemeos . . . 21

2.3.3 A contra¸c˜ao espacial . . . 22

2.3.4 Dinˆamica relativ´ıstica . . . 25

2.4 A utilidade da Teoria da Relatividade . . . 32

3 A Teoria Quˆantica 33 3.1 Antecedentes experimentais . . . 33

3.1.1 Primeiras Descobertas . . . 34

3.2 Radia¸c˜ao do corpo negro . . . 35

3.2.1 Form´ulas emp´ıricas da distribui¸c˜ao espectral . . . 41

3.2.2 A Lei Clássica da Radia¸cão Térmica . . . 41

3.2.3 A teoria de Planck sobre a radia¸c˜ao do calor . . . 45

3.2.4 A introdu¸c˜ao dos quanta . . . 48

3.2.5 Implica¸c˜oes do postulado de Planck . . . 50

3.3 O efeito fotoel´etrico . . . 52

3.3.1 Os argumentos de Einstein . . . 56

3.4 Efeito Compton . . . 58

3.4.1 An´alise Quantitativa . . . 59

(8)

viii Miotto e Ferraz SUM ´ARIO

4 Modelos Atˆomicos 63

4.1 Antecedentes Experimentais . . . 64

4.1.1 F´ormulas emp´ıricas espectrais . . . 64

4.1.2 A descoberta do el´etron . . . 67

4.2 O Modelo de Thomson . . . 69

4.3 Modelo de Rutherford . . . 71

4.3.1 A estabilidade do ´atomo nuclear . . . 73

4.4 O modelo de Bohr . . . 74

4.4.1 Aplica¸c˜ao do Princ´ıpio da Correspondˆencia . . . 79

4.4.2 Extens˜oes do Modelo . . . 79

4.5 Confirma¸c˜oes experimentais . . . 80

4.5.1 O Experimento de Moseley dos espectros de Raios-X . . 81

4.5.2 O experimento de Franck-Hertz . . . 81

4.6 A regra de quantiza¸c˜ao de Wilson-Sommerfeld . . . 84

4.7 Cr´ıtica à teoria de Bohr e à Velha Teoria Quântica . . . 85

5 Propriedades ondulat´orias de part´ıculas 87 5.1 Evidˆencias Experimentais . . . 89

5.2 Pacotes de ondas . . . 92

5.3 Pacotes de ondas associadas a el´etrons . . . 93

5.4 A interpreta¸c˜ao probabil´ıstica da fun¸c˜ao de onda . . . 94

5.5 O Princ´ıpio de Incerteza . . . 97

5.6 Dualidade onda-part´ıcula . . . 99

5.7 Algumas consequˆencias do Princ´ıpio de Incerteza . . . 102

6 Introdu¸cão à Mecânica Quântica 105 6.1 A equa¸cão de Schrödinger . . . 106

6.1.1 Condi¸c˜oes sobre a fun¸c˜ao de onda . . . 108

6.1.2 A Equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo . . . 109

6.1.3 O po¸co quadrado infinito . . . 110

6.1.4 O po¸co quadrado finito . . . 113

6.2 Valores esperados e operadores . . . 116

6.3 Transi¸c˜oes entre estados de energia . . . 118

6.3.1 Elementos de Matriz e Regras de Sele¸c˜ao . . . 120

6.4 Reflex˜ao e transmiss˜ao de ondas . . . 121

6.4.1 Potencial degrau . . . 122

6.4.2 Potencial po¸co quadrado . . . 123

6.4.3 Penetra¸cão em uma barreira de potencial (tunelamento) 124 6.5 A equa¸cão de Schrödinger em três dimensões . . . 125

6.6 A equa¸c˜ao de Schr¨odinger para duas ou mais part´ıculas . . . . 126

6.7 Atomos de um el´´ etron . . . 130

6.8 O spin do el´etron . . . 136

6.9 O experimento de Stern-Gerlach . . . 138

(9)

SUM ´ARIO Miotto e Ferraz ix

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Ao final do século XIX a F´ısica parecia ter atingido o seu cl´ımax. As Leis de Newton para a Mecânica e a Gravita¸cão vinham sendo aperfei¸coadas desde o século XVII, e descreviam com grande precisão o comportamento dos corpos celestes e terrestres. As propriedades elétricas e magnéticas, por sua vez, ha-viam sido unificadas por James Maxwell em uma Teoria Eletromagnética. Um dos mais notáveis avan¸cos da Teoria de Maxwell foi a demonstra¸cão de que a luz, o raio-X e o raio ultravioleta são exemplos de ondas eletromagnéticas que se propagam pelo espa¸co. Do ponto de vista microscópico, a Termodinâmica e a então nascente Mecânica Estat´ıstica relacionavam efeitos macroscópicos, como pressão e temperatura, com causas microscópicas como a distribui¸cão de energia dos gases ideais. Com as regras para o comportamento da matéria e das ondas definidas, caberia aos f´ısicos apenas o trabalho de aplicá-las. Não existiriam fenômenos que não pudessem ser explicados através de tais teo-rias e bastaria o desenvolvimento das técnicas existentes para fenômenos mais complexos.

Um fato marcante que ilustra esse quadro ocorreu em 27 de abril de 1900, de forma aparentemente casual. Lorde Kelvin, então dirigente da Royal Ins-titution of Great Britain (uma das mais prestigiadas sociedades cient´ıficas de então), proferia uma palestra intitulada Nineteenth-Century Clouds over the Dynamical Theory of Heat and Light (As nuvens do século dezenove sobre a Teoria Dinâmica do Calor e da Luz), descrevendo as teorias aceitas até então. Kelvin chegou, inclusive, a sugerir que a F´ısica teria atingido o seu limite. No entanto, como ele mesmo observou, havia um porém, dois fenômenos ainda es-tavam para ser explicados. A esses dois fenômenos Kelvin chamou de nuvens que obscureciam a beleza e clareza das teorias f´ısicas: a primeira nuvem, envol-via a forma como a luz se propaga pelo espa¸co; a segunda, está relacionada ao problema de como distribuir energia de forma homogênea entre moléculas vi-brantes. Em sua apresenta¸cão, Kelvin chegou a propor suas próprias solu¸cões para tais nuvens. Todavia, suas previsões mostraram-se totalmente

(12)

equivoca-2 Miotto e Ferraz Introdu¸cão das. Ironicamente, o que Kelvin chamou de nuvens no horizonte eram de fato tempestades que modificaram substancialmente toda a F´ısica do século XX. Os fenômenos em questão eram o experimento de Michelson e Morley, que procurava determinar a velocidade da luz que incidia sobre a Terra vinda de diferentes dire¸cões, e o estudo da distribui¸cão de energia da luz emitida por materiais em altas temperaturas.

Para Kelvin, e também para os demais f´ısicos da época, a luz era uma vibra¸cão e, como qualquer outra vibra¸cão, podia ser tratada através das Leis de Newton. Tais vibra¸cões deveriam ocorrer em algum meio, de forma que os f´ısicos propuseram que o espa¸co não era vazio, mas sim preenchido por um meio com propriedades quase m´ısticas chamado éter. Todavia isso significa que a velocidade da luz medida a partir de um referencial na Terra deveria depender de quão rápido e em qual dire¸cão a Terra se move. Como a Terra gira em torno do sol, essa dire¸cão muda a cada instante, o que implica dizer que a velocidade da luz também deveria variar no decorrer do ano. Michelson e Morley propuseram um experimento que tinha por finalidade detectar tais varia¸cões. Apesar das varia¸cões na posi¸cão da Terra em rela¸cão a estrelas muito distantes, não foram observadas quaisquer varia¸cões na velocidade da luz nesse experimento. O mistério sobre a velocidade da luz e a existência ou não do éter só pode ser resolvido com a introdu¸cão de uma nova abordagem: a Teoria da Relatividade, que abordaremos no Cap´ıtulo 2.

A outra nuvem no horizonte de Kelvin, a distribui¸cão de energia em mol´ ecu-las vibrantes, demandou uma revolu¸cão tão radical na forma de pensarmos quanto a Teoria da Relatividade: a Teoria Quântica. A solu¸cão para tais pro-blemas revolucionaria a forma como encaramos o mundo e são as consequências dessa revolu¸cão em nosso dia a dia que queremos trazer para vocês. No cap´ıtulo 3, abordaremos as primeiras descobertas relacionadas ao calor e uma de suas formas de propaga¸cão que levaram à proposta de Planck da quantiza¸cão. Nos demais cap´ıtulos serão discutidas outras descobertas que se seguiram, como o efeito fotoelétrico, o efeito Compton e a descri¸cão microscópica da matéria através de modelos matemáticos. Finalmente, abordaremos a descri¸cão mo-derna dos estados microscópicos da matéria, a chamada Mecânica Quântica.

(13)

Cap´ıtulo 2

A Teoria da Relatividade

Especial

Por mais de 200 anos acreditou-se que as equa¸cões de movimento enun-ciadas por Newton descreviam a natureza corretamente. Apenas no final do século XIX, observa¸cões experimentais que não podiam ser explicadas através das rela¸cões de Newton culminaram com o desenvolvimento, por Einstein, da Teoria da Relatividade. Por razões históricas a Teoria da Relatividade é usual-mente dividida em duas partes: a Teoria da Relatividade Especial (ou Restrita) e a Teoria da Relatividade Geral. A primeira foi introduzida por Einstein em 1905 e apresenta uma formula¸cão matemática relativamente simples, enquanto a segunda, desenvolvida também por Einstein em 1916, é baseada em um for-malismo matemático elaborado, sendo utilizada principalmente para resolver problemas nas áreas de Cosmologia e Gravita¸cão. Neste trabalho discutiremos como a Teoria da Relatividade Especial foi sendo paulatinamente constru´ıda pelo método indutivo, partindo dos vários fenômenos e dados experimentais relacionados com a velocidade da luz. Nas seçcões seguintes analisaremos o processo de extensão desse modelo para outros campos e sua utiliza¸cão, mesmo que não diretamente percebida, em fenômenos e aplica¸cões cotidianas.

2.1 Antecedentes Hist´

oricos

A Teoria da Relatividade Especial prevê que relógios e réguas que se movem em rela¸cão a um referencial inercial comportam-se de maneira diferente da-queles que se encontram em repouso em rela¸cão a este referencial. Relógios em movimento funcionam mais devagar e réguas se encolhem ao longo da dire¸cão do movimento. Se na F´ısica Clássica espa¸co e tempo fornecem, em cada teoria ou experimento, um alicerce absoluto e imutável de qualquer processo f´ısico; na Teoria Especial, este alicerce depende do sistema de referência no qual um

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4 Miotto e Ferraz A Teoria da Relatividade Especial processo f´ısico particular ´e medido1_{, o que contradiz nossas experiˆ}_encias

coti-dianas. Mas como ocorreu essa revolu¸cão nos conceitos f´ısicos? Nessa seçcão vamos analisar os conceitos e experimentos que levaram Einstein a reformu-lar a f´ısica clássica2_{. Inicialmente apresentaremos suscintamente o conceito}

mecânico, ideia predominante na época, os experimentos que culminaram com o seu decl´ınio e a proposi¸cão de Einstein da Teoria da Relatividade Especial.

2.1.1 O Conceito Mecˆ

anico

A Mecânica Clássica, também conhecida como Mecânica Newtoniana, é utilizada na descri¸cão do movimento de objetos macroscópicos quer sejam eles pequenos projéteis, partes de outros sistemas mecânicos ou objetos as-tronômicos. Sua formula¸cão é razoavelmente simples e permite a obten¸cão de resultados bastante precisos das grandezas macroscópicas medidas, sendo uma das mais antigas áreas da Ciência. De fato, apesar de sua formula¸cão matemática só ter sido proposta por Newton, filósofos gregos e, em especial, Aristóteles estão entre os primeiros a propor os princ´ıpios abstratos que go-vernam a natureza. Em sua obra De Caelo (ou Nos Céus), Aristóteles já fazia distin¸cão entre movimento natural e movimento for¸cado e já lan¸cava as primeiras bases para o conceito de inércia.

O processo anal´ıtico intuitivo de Aristóteles foi, posteriormente, substitu´ıdo pela metodologia cient´ıfica de Galileu, onde a experimenta¸cão era utilizada para a comprova¸cão de hipóteses. Uma das grandes contribui¸cões de Gali-leu para o avan¸co da Ciência foi propor que as leis da natureza poderiam ser expressas matematicamente3_{. Essa proposta, aparentemente simples,}

revolu-cionou a forma de representar os fenˆomenos cotidianos.

Algumas contribui¸cões de Galileu para a compreensão do movimento dos corpos estão em seu conhecido trabalho de 1638 Discorsi e dimostrazioni ma-tematiche intorno a due nuove scienze4_.

Esses estudos combinados com o trabalho de Newton sintetizado no Philo-sophae Naturalis Principia Mathematica5(Princ´ıpios Matem´aticos da Filosofia

1_{Na Teoria da Relatividade Geral o problema ´}_{e ainda mais complexo, pois os alicerces}

da teoria dependem at´e mesmo da distribui¸c˜ao de massa e energia no universo.

2_{Revista Brasileira de Ensino de F´ısica (vol. 27, n´}_{umero 1, p. 27 (2004))}

3_{Em seu livro Il Saggiatore, de 1623, Galileu j´}_{a registra: A filosofia est´}_{a escrita neste}

grande livro que está sempre aberto diante dos nossos olhos (eu digo o universo), mas não se pode entender o que ali está sem se entender a l´ıngua, conhecer os personagens, nem o que está ali escrito. Ele está escrito na linguagem matemática. Tradu¸cão livre do autor para o original em italiano La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica. As obras completas de Galileu estão dispon´ıveis em italiano em http://www.liberliber.it/biblioteca/g/galilei/index.htm.

4_{Ver http://www.liberliber.it/biblioteca/g/galilei/index.htm (em}

ita-liano) e http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/tns_draft/index. html(em inglˆes).

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2.1 Antecedentes Históricos Miotto e Ferraz 5 Natural) constituem a Mecânica Newtoniana, um dos principais fundamentos da F´ısica Clássica. A Mecânica Newtoniana é modernamente expressa através de três Leis Fundamentais (ou Leis de Newton) que representam as bases da Dinâmica6_:

1. Todo corpo persiste em seu estado de repouso, ou de movimento retil´ıneo uniforme, a menos que seja compelido a modificar esse estado pela a¸c˜ao de for¸cas impressas sobre ele;

2. Um corpo que sofre a a¸cão de uma for¸ca move-se de modo tal que a taxa de varia¸cão temporal do momento linear é igual à for¸ca;

3. A toda a¸cão corresponde uma rea¸cão igual e contrária, ou seja, as a¸cões de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas em sentidos opostos.

Todavia, para que possamos obter de tais leis fundamentais conclusões quantitativas é necessário introduzir uma matematiza¸cão do problema que exige um conjunto de suposi¸cões, especialmente àquelas relacionadas à natu-reza do espa¸co e do tempo, sobre as quais muitas vezes não nos damos conta. Um dessas suposi¸cões é a existência de um tempo absoluto, definido por New-ton em seu Principia como: O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si só e por sua própria natureza, flui uniformemente, sem rela¸cão com nenhuma coisa extensa, e é também chamado dura¸cão. Em outras palavras, Newton propõe que o tempo f´ısico tem sua defini¸cão associado a objetos concretos, como relógios ou outros sistemas de medi¸cão. Todavia, Newton não conside-rou a possibilidade de que esses objetos, também sujeitos as Leis da F´ısica, poderiam ter seu funcionamento afetado por alguma condi¸cão f´ısica especial.

Outro aspecto fundamental da Dinâmica está relacionado à escolha de um sistema de referência, ou por simplicidade, referencial. Um referencial é dito inercial quando nele é válida a Primeira Lei de Newton, ou seja, na ausência de for¸cas o referencial permanece em repouso ou em movimento retil´ıneo uni-forme7_{. Decorre desse fato que qualquer referencial em movimento retil´ıneo}

www.archive.org/details/newtonspmathema00newtrich(em inglˆes).

6_{A breve descri¸}_c˜_{ao aqui apresentada tem como ´}_{unico objetivo introduzir alguns conceitos}

que serão discutidos no contexto da Relatividade Especial. Para maiores detalhes, consulte a literatura especializada, como por exemplo o livro introdutório Curso de F´ısica Básica -1. Mecânica, de autoria de H. Moysés Nussenzveig, Edgard Blücher 1996.

7_{Intuitivamente sabemos que n˜}_{ao existe uma velocidade absoluta, mas ser´}_{a que existe}

uma acelera¸cão absoluta, conforme sugerido por Newton? Imagine que você está no vagão restaurante de um trem que viaja em um estrada retil´ınea e plana, tomando um belo prato de sopa. Se o trem move-se a velocidade constante, a sopa no prato está nivelada e não oferece a você nenhuma informa¸cão acerca da velocidade do trem. Por outro lado se o trem muda sua velocidade, a sopa apresentará um desn´ıvel para um dos lados do prato e você poderá afirmar em qual dire¸cão e com qual intensidade a velocidade varia, ou seja, qual é a intensidade e dire¸cão da acelera¸cão. A partir desse tipo de observa¸cão, Newton sugeriu que seria conveniente indicar uma classe de observadores preferenciais: os observadores não acelerados ou observadores inerciais. Neste trabalho o termo referencial sempre se refere a um observador ou referencial inercial.

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6 Miotto e Ferraz A Teoria da Relatividade Especial uniforme em rela¸cão a um referencial inercial é também inercial. Dessa forma, não existe um referencial privilegiado, o que Galileu sintetizou através do que chamamos Princ´ıpio de Relatividade de Galileu: as leis da Mecânica Newto-niana são as mesmas em qualquer referencial inercial.

Figura 2.1: Representa¸cão esquemática de um referencial O1deslocando-se em rela¸cão

ao referencial O com velocidade v1.

Como sugerido pelo próprio Galileu, é necessário mostrar que esse Princ´ıpio da Relatividade pode ser representado matema-ticamente. Isso significa que é necessário mostrar que as Leis de Newton devem ter expressões equivalentes em dois referenciais inerciais diferentes. Considere, então, um referencial inercial, que chamaremos O1,

deslocando-se com velocidade constante v1

na dire¸cão x em rela¸cão a um outro referencial inercial O. E´ poss´ıvel mostrar que as Leis de Newton permanecem invariantes através da transforma¸cão:

         x1= x − vt y1= y z1= z t1= t (2.1)

Transforma¸cão que é conhecida como Transforma¸cão de Galileu.

O sucesso da Mecânica Clássica na descri¸cão do movimento de objetos ma-croscópicos, desde projéteis até galáxias, levou a tentativas de generalizar seus conceitos aplicando-os a outras áreas do conhecimento. Essa apropria¸cão de ideias de uma área por outra é bastante comum em Ciência e Tecnologia e con-tinua a ocorrer. Os economistas, por exemplo, utilizam a Teoria Lagrangeana e Hamiltoniana (importantes ferramentas matemáticas da Mecânica Clássica) no estudo e análise de casos relacionados à tomadas de decisão, minimiza¸cão de custos e maximiza¸cão de lucros8.

8_{Um exemplo interessante da aplica¸}_c˜_{ao da Teoria de Lagrange em outras ´}_{areas que n˜}_ao

a F´ısica é o trabalho multidisciplinar de Caldas e colaboradores sobre a ocupa¸cão e desma-tamento de áreas da amazônia que pode ser encontrado na Revista Brasileira de Economia 57, 683 (2003) e dispon´ıvel na base de dados www.scielo.br.

(17)

2.1 Antecedentes Hist´oricos Miotto e Ferraz 7

Detalhes matemáticos: A Transforma¸cão de Galileu e as Leis de Newton A partir da transforma¸cão 2.1 é poss´ıvel determinar-se a velocidade ~u1 do corpo em

rela¸c˜ao ao sistema inercial O1em termos das componentes da velocidade ~u em rela¸c˜ao

ao sistema inercial O:      u1,x=dx_dt1 =_dtd(x − v1t) = dx_dt− v1= ux− v1 u1,y=dy_dt1 = _dtd (y) = uy u1,z=dz_dt1 =_dtd (z) = uz. (2.2)

De forma análoga, determina-se a acelera¸cão ( ~a1) em rela¸cão ao sistema inercial O1

em termos das componentes da acelera¸c˜ao (~a) em rela¸c˜ao ao sistema inercial O, o que permite escrever a Segunda Lei de Newton (em termos de suas componentes) como:

     F1,x= ma1,x= m_dtd (u1,x) = m_dtd (ux− v1) = max

F1,y= ma1,y= m_dtd (u1,y) = m_dtd (uy) = may

F1,z= ma1,z= m_dtd(u1,z) = m_dtd (uz) = maz.

(2.3)

ou seja, se no referencial em repouso ~F = m~a, ent˜ao no referencial em movimento tamb´em vale ~F1= m ~a1, demonstrando a validade da Segunda Lei de Newton nos dois

referenciais.

2.1.2 A natureza da luz e o ´

eter

Um outro exemplo da apropria¸cão de ideias de uma área da F´ısica por outra é a utiliza¸cão do conceito mecânico na elabora¸cão de uma teoria para a luz. A teoria é simples e condizente com o conhecimento mais aceito9 _{em meados}

do século XVIII: admite-se que todos os corpos iluminados emitem part´ıculas de luz, ou corpúsculos, os quais, ao atingirem os olhos do observador, criam a sensa¸cão de luz. Esses corpúsculos devem caminhar em linha reta pelo espa¸co vazio com uma velocidade conhecida, levando aos olhos do observador mensagens dos corpos emissores de luz. Todos os fenômenos que exibem a propaga¸cão linear da luz justificam a teoria corpuscular, pois justamente esse tipo de movimento foi previsto para os corpúsculos10_.

Em contraposi¸c˜ao `a teoria corpuscular de Newton, Huygens sugeriu em seu trabalho sobre a luz11 _{que: Se, al´}_{em disso, a luz gastar tempo para a sua}

passagem seguir-se-á que esse movimento, imprimido à matéria intermediária, é sucessivo; e, consequentemente, ela se espalha, como o faz o som, em su-perf´ıcies esféricas e ondas, pois eu as chamo ondas por causa de sua seme-lhan¸ca com as que se vê formarem-se na água quando nela se joga uma pedra,

9_{Isaac Newton, Opticks or a treatise of the reflections, refractions, inflections and colours}

of light (1704), cópias da edi¸cão original estão dispon´ıveis em http://www.rarebookroom. org/Control/nwtopt/index.html

10_{A teoria tamb´}_{em explica com muita simplicidade a reflex˜}_{ao da luz por espelhos como}

sendo o mesmo tipo de reflexão que é mostrado na experiência mecânica de bolas elásticas lan¸cadas de encontro a uma parede. A explica¸cão da refra¸cão é um pouco mais complexa, exigindo considera¸cões sobre a atua¸cão de for¸cas que alterem a velocidade de propaga¸cão dos corpúsculos quando da mudan¸ca de meio, mas não apresenta grandes restri¸cões conceituais.

11_Trait´_{e de la lumiere (Leiden, Netherlands: Pieter van der Aa, 1690), c´}_{opias da edi¸}_c˜_ao

(18)

8 Miotto e Ferraz A Teoria da Relatividade Especial e que apresentam uma expans˜ao sucessiva em c´ırculos, embora estes resultem de outra causa e estejam apenas em uma superf´ıcie plana12_.

Assim, Huygens sugere ser a luz uma onda e propõe a existência de uma substância hipotética, o éter, um meio transparente que permeia todo o uni-verso. O éter seria, então, o suporte para a transmissão da luz, assim como o ar o é para a transmissão do som. A existência dessa substância em todo o espa¸co deveria, de alguma forma, influenciar o comportamento de outros corpos que por ela propagassem, notadamente os planetas. Todavia, os astrônomos não observavam quaisquer anomalias nas trajetórias dos planetas que pudessem ser associadas ao éter. Isso significa que o éter deveria existir, mas ao mesmo tempo ser imóvel e atravessar todos os corpos sem afetá-los de modo algum. Apesar das restri¸cões relacionadas ao éter, a Teoria Ondulatória de Huygens permitia uma explica¸cão mecânica mais simples e completa da propaga¸cão da luz, incluindo não apenas os fenômenos de reflexão e refra¸cão, mas também de interferência. A grande restri¸cão à teoria ondulatória de Huygens era a neces-sidade de supor-se a existência do éter. Esse aspecto, contudo, não impediu a ampla aceita¸cão da teoria ondulatória da luz, já que como em outras tentati-vas de compreender os fenômenos da natureza do ponto de vista mecânico, a introdu¸cão do éter teve o mesmo papel de outras substâncias artificiais com os fluidos elétrico e magnético ou os corpúsculos de luz: concentrar as dificuldades em um único ponto essencial.

Se por um lado, restri¸cões relacionadas ao éter eram apontadas; de outro, algumas evidências importantes davam suporte a teoria ondulatória de Huy-gens. O trabalho de Euler sobre a teoria da luz e das cores13_{, por exemplo,}

pode ser considerado um dos mais completos trabalhos sistemáticos em favor da teoria ondulatória publicado no século XVIII. Nesse trabalho, Euler mostra claramente que a difra¸cão da luz pode ser mais facilmente explicada através de uma teoria ondulatória14_{. Outro trabalho decisivo na aceita¸}_c˜_{ao da teoria}

ondulat´oria para a luz foram os experimentos relatados por Thomas Young em 180315 _{que demonstravam que nessa teoria o fenˆ}_{omeno de interferˆ}_{encia podia}

ser explicado de forma análoga à interferência entre ondas sonoras, além de prever que a luz poderia ser polarizada. Young também mostrou por meio de experimentos de difra¸cão que a luz se comportava como ondas e que cores diferentes eram causadas por diferentes comprimentos de onda da luz.

De todos os estudos que contribuiram para a aceita¸cão da teoria ondulatória da luz, o trabalho de James Clerk Maxwell16sobre a radia¸cão eletromagnética

12_{Extra´ıdo de Albert Einstein e Leopold Infeld, A evolu¸}_c˜_{ao da f´ısica, tradu¸}_c˜_{ao Giasone}

Rebu´a (Zahar Editores, Rio de Janeiro, 1980).

13_{Nova theoria lucis et colorum, Opuscula varii argumenti 1, 169-244 (1746); dispon´ıvel}

em http://eulerarchive.maa.org/pages/E088.html.

14_{Ver, por exemplo, R. W. Home, Leonhard Euler’s Anti-Newtonian Theory of Light,}

Annals of Science 45, 521 (1988).

15_{The Bakerian Lecture:} _{Experiments and Calculations Relative to Physical Optics,}

Philosophical Transactions of the Royal Society of London 94, 1 (1804), dispon´ıvel em http://www.jstor.org/stable/107135.

(19)

2.1 Antecedentes Históricos Miotto e Ferraz 9 e a luz merece destaque. Maxwell demonstrou que ondas eletromagnéticas propagam-se pelo espa¸co a velocidade constante e que essa velocidade era compat´ıvel com os valores obtidos por Fizeau para a luz (discutidas na próxima se¸cão), o que levou-o a concluir que a luz nada mais era do que uma forma de radia¸cão eletromagnética17_.

Quer saber mais? As Equa¸c˜oes de Maxwell

As propostas de Maxwell em seus trabalhos On Physical Lines of Force e A Dynamical Theory of the Electromagnetic Fielda, posteriormente sis-tematizados por Oliver Heavisideb nas conhecidas Equa¸cões de Maxwell são os alicerces da eletrodinâmica clássica. Sua comprova¸cão experimen-talc por Hertz em 1886–1887 foi crucial para sua aceita¸cão. O trabalho original de Maxwell baseava-se na ideia de que a luz propagava-se através do éter e que sua velocidade deveria ser por ele afetada, o que, como ve-remos mais adiante, provou-se um equ´ıvoco. Mas as restri¸cões à Teoria de Maxwell não se restringiam ao éter. Ao contrário do que ocorre com as Leis de Newton, as Equa¸cões de Maxwell não são invariantes por uma Transforma¸cão de Galileu, isto é, as Equa¸cões de Maxwell antes e depois de uma Transforma¸cão de Galileu não são equivalentes. Essa contradi¸cão le-vou um grupo de pesquisadores, conhecidos como Maxwellianos, a estudar alternativas à Transforma¸cão de Galileu, resultando nas Transforma¸cão de Lorentz discutidas mais adiante.

a_Royal _Society _Transactions _155, ₄₅₉ _(1865), _{dispon´ıvel} _em _http:

//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/A_Dynamical_Theory_ of_the_Electromagnetic_Field.pdf

b_{On the Forces, Stresses and Fluxes of Energy in the Electromagnetic Field}

Phi-losophical Transactions of the Royal Society 183A, 423 (1892), dispon´ıvel em http: //www.jstor.org/pss/90590.

c_{Heinrich Rudolph Hertz, Electric waves:} _{being researches on the propagation}

of electric action with finite velocity through space, (MACMILAN AND CO., Lon-don, 1893), dispon´ıvel em http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/ text-idx?c=cdl;cc=cdl;view=toc;subview=short;idno=cdl334.

Além da existência do éter, um outro ponto central na teoria ondulatória de Huygens está no fato da luz ter uma velocidade de propaga¸cão finita. Como veremos a seguir, a determina¸cão da velocidade da luz desempenhou um papel fundamental no desenvolvimento da Teoria da Relatividade Especial (TER), sendo a constância dessa velocidade um dos pontos fundamentais dessa teoria. A história por trás da determina¸cão da velocidade da luz é longa, tendo seus primeiros passos já na época dos filósofos gregos. Aqui discutiremos apenas alguns aspectos que influenciaram decisivamente a TER.

Mag. XXI, pp. 281-291, 338-348 (1861); Part 3 Phil. Mag. XXIII, pp. 12-24 (1862); Part 4 Phil. Mag. XXIII, pp. 85-95 (1862), dispon´ıvel em http://upload.wikimedia.org/ wikipedia/commons/b/b8/On_Physical_Lines_of_Force.pdf.

17_{Utilizando as palavras de Maxwell ... we can scarcely avoid the inference that light}

consists in the transverse undulations of the same medium which is the cause of electric and magnetic phenomena.

(20)

10 Miotto e Ferraz A Teoria da Relatividade Especial Quer saber mais? A determina¸c˜ao da velocidade da luz

Debates acerca da determina¸cão da velocidade da luz datam dos tempos da Grécia Antiga. Aristótoles cita Empedoclesa _{como um dos primeiros a}

sugerir que a luz teria velocidade finita. Essa especula¸cão não era fruto de nenhuma experimenta¸cão, mas sim de puro racioc´ınio. Uma das primei-ras men¸cões a um valor para a velocidade da luz foi feita por Sayana no Rig Vedab, um livro escrito no in´ıcio do século XIV. Surpreeendentemente, o valor sugerido por Sayana, 302.000 km/s, está muito próximo daquele aceito em nossos dias! No século XVII Galileu propôsc que a velocidade da luz poderia ser determinada por dois observadores dotados de lanter-nas e postados em dois montes adjacentes da seguinte forma: o primeiro observador descobriria sua lanterna de modo que o segundo pudesse vê-la; o segundo descobriria sua lanterna e o primeiro anotaria o tempo entre descobrir sua lanterna e a observa¸cão da segunda lanterna. O intervalo de tempo entre os eventos permitiria determinar-se a velocidade da luz a partir do conhecimento da distância que separava os dois observadores. Galileu não conseguiu chegar a um valor para a velocidade da luz, apenas concluiu que ela deveria ser muito grande.

Figura 2.2: Representa¸cão es-quemática das posi¸cões da Terra e de Júpiter em rela¸cão ao Sol. Os astrônomos Jean-Dominique

Cassini e Ole Rømerd _notaram,

quando estudavam as tabelas dos satélites de Júpiter, que o per´ıodo dos eclipses do primeiro satélite de Júpiter são regulares, mas os instantes em que se iniciam avan¸cavam quando a terra se apro-ximava de Júpiter (movendo-se de C para A, conforme a figura2.2) e atrasavam quando a terra se afas-tava. Apesar das discordâncias de

Cassini, Rømer interpretou corretamente essa diferen¸ca como o tempo ne-cess´ario para os sinais luminosos do eclipse atravessarem o diˆametro da ´

orbita terrestre, mas se limitou a afirmar que a velocidade da luz era ex-tremamente alta, n˜ao atribuindo a ela um valor num´erico. Utilizando o formalismo proposto por Rømer, Huygense_{estimou o valor da velocidade}

da luz como sendo 230.000 km/s.

a_{George Sarton, Ancient science through the golden age of Greece, p. 248 (Dover,}

London, 1952).

b_{Subhash C. Kak, Sayana’s Astronomy, Indian Journal of History of Science 33, 31}

(1998).

c_{Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638).} d_{Laurence Bobis e James Lequeux, Journal of Astronomical History and Heritage}

11, 97 (2008).

(21)

2.1 Antecedentes Históricos Miotto e Ferraz 11 No in´ıcio não se sabia como a velocidade da luz estava relacionada com a velocidade de seu corpo emissor ou com o éter. Em analogia ao caso mecânico, supunha-se vagamente que a velocidade da luz era maior quando emitida no mesmo sentido que a do corpo emissor e menor quando no sentido oposto e que o éter deveria, de alguma forma, alterar a velocidade de propaga¸cão da luz. Por volta de 1840-1850, diversas teorias conflitantes acerca do éter foram formu-ladas com o objetivo explicar os resultados experimentais dispon´ıveis, dentre os quais o da aberra¸cão da luz18. Segundo Fizeau19, essas teorias podiam ser resumidas em três hipóteses principais que se referem ao estado no qual o éter, dentro de um corpo transparente, deve ser considerado: a primeira hipótese sugere que o éter adere às moléculas do corpo e, consequentemente, realizam o mesmo movimento imposto a esse corpo; a segunda que o éter é livre e in-dependente, não sendo carregado pelo corpo em seu movimento; finalmente, na terceira apenas uma parte do éter é livre enquanto a outra por¸cão é fixa as moléculas do corpo, realizando o mesmo movimento imposto a ele. A terceira hipótese é uma propotas de Fresnell que funde as duas primeiras propostas e foi concebida para satisfazer ao mesmo tempo o fenômeno de aberra¸cão e um experimento realizado por Arago no qual se mostrou que o movimento da terra não tem nenhum efeito sobre o valor da refra¸cão da luz de uma estrela em um prisma.

Figura 2.3: Representa¸c˜ao esquem´atica do aparato experimental concebido por Fizeau (fonte:wikimedia).

Com o objetivo de contribuir para elucidar essas d´uvidas, Fizeau propˆos20 _{em 1851 um experimento}

que tinha como intuito verificar pe-quenas varia¸cões na velocidade da luz. Para tanto Fizeau sugeriu um arranjo experimental (apresen-tado na Fig. 2.3) que produz fran-jas de interferência entre dois raios de luz depois que eles passam através de dois tubos paralelos onde ar e água podem fluir a grandes velocidades e

em dire¸cões opostas. Em seu experimento, Fizeau verificou um deslocamento das franjas de interferência, o que ele interpretou como sendo uma clara evidência a favor da proposta de Fresnel, segundo a qual o movimento dos corpos produz uma varia¸cão na velocidade da luz. Além disso, Fizeau sugeriu que a magnitude dessa varia¸cão depende do ´ındice de refra¸cão do meio.

18_Aberra¸_c˜_{ao da luz ´}_{e o fenˆ}_{omeno no qual a posi¸}_c˜_{ao aparente de um objeto sofre um desvio}

cuja amplitude depende da amplitude de seu movimento com rela¸cão ao observador (ou seja, sua velocidade relativa ao mesmo). Este efeito está ligado ao fato de ser finita a velocidade de propaga¸cão da luz. Saiba mais em http://www.if.ufrgs.br/oei/santiago/fis2005/ textos/varcrds.htm.

19_{Sur les hypoth`}_{eses relatives `}_{a l’´}_{ether lumineux, Comptes Rendus 33, 349 (1851),}

dis-pon´ıvel em http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29901/f354.

(22)

12 Miotto e Ferraz A Teoria da Relatividade Especial A Ciˆencia em nosso cotidiano: O interferˆometro de Fizeau

Utilizando o mesmo princ´ıpio de funcionamento do equipamento original-mente descrito em 1851, Fizeau desenvolveu um interferômetro que utiliza espelhos giratórios. Posteriormente esse interferômetro foi utilizado por ele e outros pesquisadores como Foucault para determinar a velocidade da luz. Atualmente esse tipo de interferômetro é utilizado na medi¸cão da forma de superf´ıcies ópticas e sensoresa _{de temperatura, press˜}_{ao, etc.}

a_{Veja uma aplica¸}_c˜_{ao interessante em Luciana Montanari; Jaime Gilberto Duduch;}

Arthur José Vieira Porto, Estudo de padrões de franjas interferométricas aplicadas a sistemas de posicionamento de alta precisão, Minerva 4, 113 (2007), dispon´ıvel em http://www.fipai.org.br

Figura 2.4: Representa¸cão esquemática do aparato experimental concebido por Michelson (retirado do artigo original -dom´ınio público).

Os resultados obtidos por Fizeau, embora muito bem recebidos pela co-munidade cient´ıfica, não eram sufi-cientemente precisos para esclarecer totalmente as ambiguidades ineren-tes à teoria do éter. Assim, como esperado outras aproxima¸cões expe-rimentais estavam em estudo. Uma delas, proposta por A. A. Michel-son21 _{em 1881 admitia-se que o ´}_eter

está em repouso e que a Terra move-se através dele. Dessa forma, o tempo que a luz demora para ir de um ponto a outro da superf´ıcie da Terra deve depender da dire¸cão em que viaja. Em analagia ao caso mecânico, a velocidade da luz será maior quando emitida no mesmo sen-tido que a do corpo emissor e menor quando no sentido oposto.

Michel-son utilizou um arranjo experimental como o esquematizado na figura 2.4, a luz emitida em a, passa atrav´es de um vidro plano b, parte atingindo o espelho c e parte sendo refletida para o espelho d. O feixe de luz refletido em c e d retorna a b onde foi originalmente refletido/refratado, de forma que os dois raios de luz s˜ao agora coincidentes.

Sendo a distância bc igual a distância bd, os dois raios de luz tem trajetórias iguais e estão em condi¸cão de interferir22_{. Segundo Michelson, o feixe de luz}

21_{The Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether, American}

Jour-nal of Science 22 , 120 (1881), dispon´ıvel em http://www.archive.org/stream/ americanjournal62unkngoog#page/n142/mode/1up.

22_{O vidro plano g colocado no caminho ´}_{optico bc ´}_{e utilizado para compensar a espessura}

(23)

2.1 Antecedentes Históricos Miotto e Ferraz 13 que viaja na dire¸cão do movimento da terra o faz ₁₀₀4 de um comprimento de onda a mais do que o faria se viajasse em uma dire¸cão na qual a terra está em repouso (ver Detalhes Matemáticos: A hipótese de Michelson). O outro feixe de luz estando a um ângulo reto em rela¸cão ao movimento da terra não seria afetado. Dessa forma a menor diferen¸ca na velocidade de propaga¸cão da luz poderia ser detectada através de varia¸cões na figura de interferência formada pelos feixes de luz em e. Michelson realizou uma série de medidas rotacionando o seu equipamento em torno de seu eixo principal mas observou apenas pequenas varia¸cões nas figuras de interferência obtidas, interpretando-as como desvios inerentes ao seu aparato experimental, o que o levou a concluir que a hipótese de um éter estacionário estava incorreta. Nas palavras de Michelson: The result of the hypothesis of a stationary ether is thus shown to be incorrect, and the necessary conclusion follows that the hypothesis is erroneous.

Detalhes Matem´aticos: A hip´otese de Michelson

Seja V a velocidade da luz, v a velocidade da Terra em rela¸cão ao éter, D a distância entre dois pontos, d a distância que a Terra viaja enquanto o feixe de luz se propagaga de um ponto a outro, e d1 a distância que a

terra viaja quando a luz se propaga na dire¸cão contrária. Suponha que a linha que une dois pontos coincida com a dire¸cão do movimento da terra, com T o tempo necessário para a luz passar de um ponto a outro, e T1 o

tempo necess´ario para realizar o trajeto inverso. Nesse caso T = D+d V =

d v;

e T1 = D−d_V = d_v1. O tempo necess´ario para que um fecho de luz realize

o movimento de ida e volta ´e T + T1= 2DV2V_−v2. Todavia, se a luz viaja

em uma dire¸cão perpendicular ao movimento da terra, sua velocidade não será afetada por esse movimento e o tempo total reduz-se a 2D_V = 2T0. A

diferen¸ca entre os tempos de ida e volta nos dois casos vale T + T1− 2T0= 2DV 1 V2_{− v}2 − 1 V2 = τ τ = 2DV v 2 V2_(V2_{− v}2₎, ou aproximadamente 2T0v 2

V2. No tempo τ a luz viaja a distˆancia V τ =

2V T0v

2

V2 = 2D

v2

V2, ou seja, a distˆancia real que a luz viaja no primeiro caso

´

e 2D_Vv22 maior do que no segundo.

Considerando apenas a velocidade da terra em sua ´orbita, a raz˜ao _Vv22 vale

aproximadamente _{100 000 000}1 milimetros, ou em termos do comprimento de onda da luz amarela 2.000.000 unidades. Em termos da mesma unidade, a distˆancia real que a luz viaja no primeiro caso vale 2Dv2

V2 =

4 100.

A precis˜ao dos resultados de Michelson foi contestada por v´arios pesquisa-dores, como Lorentz23, o que o levou a aperfei¸coar seu experimento. Em 1887,

(24)

14 Miotto e Ferraz A Teoria da Relatividade Especial contando com a colabora¸c˜ao de E. Morley, Michelson publicou novos resulta-dos obtiresulta-dos com um aparato experimental onde as incertezas eram menores do que as anteriormente obtidas24_{. Nesse experimento, conhecido como}

Ex-perimento de Michelson-Morley, estabeleceu-se que a velocidade da Terra em rela¸cão ao éter não podia ser maior que 5 km/s, o que era incompat´ıvel com a teoria de propaga¸cão da luz aceita na época. Mais do que isso, os resultados de Michelson-Morley sugeriam que a idéia de que o éter se comportava como um referencial privilegiado para as equa¸cões de Maxwell teria que ser descartado. O Experimento de Michelson-Morley foi objeto de inúmeros testes e versões mais modernas25 _{utilizando lasers permitem determinar uma anisotropia na}

velocidade da luz da ordem de 10−17_{, o que corresponde a uma velocidade da}

Terra em rela¸c˜ao ao ´eter da ordem de 10−9 m/s.

Ao contrário do que se possa pensar, o resultado obtido por Michelson e Morley não significou o fim da teoria do éter. Muitos pesquisadores renomados, dentre os quais George FitzGerald, Oliver Lodge, Oliver Heaviside e Heinrich Hertz buscavam alternativas que pudessem conciliar as propostas de Maxwell e a teoria ondulatória, que intr´ınsecamente envolvia o conceito do éter. Assim, G. FitzGerald, publicou uma curta nota26 _{em 1889, com o claro intuito de}

reconciliar os experimentos de Michelson-Morley e a teoria do éter. FitzGerald propôs que o comprimento dos corpos muda de uma quantidade que depende do quadrado da razão entre sua velocidade e a velocidade da luz, nas palavras do autor: ... the length of material bodies changes, according as they are moving through the ether or across it, by an amount depending on the square of the ratio of their velocity to that of light. O trabalho de FitzGerald foi posteriormente aperfei¸coado por H. A. Lorentz27_{e expresso matematicamente}

como um conjunto de rela¸cões conhecidas como Transforma¸cões de Lorentz, que para um sistema com velocidade relativa v na dire¸cão x tem a forma:

         t0 = γ t − v_cx2 x0 = γ (x − vt) y0 = y z0 = z (2.4) onde γ = 1 q 1−v2 c2 ´

e chamado fator de Lorentz.

xxi, 2me_{livr. (1886).}

24_{On the Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether, American Journal of}

Science 34, 333 (1887), dispon´ıvel em http://www.aip.org/history/exhibits/gap/ PDF/michelson.pdf.

25_{S. Herrmann, A. Senger, K. M¨}_{ohle, M. Nagel, E. V. Kovalchuk, and A. Peters, Rotating}

optical cavity experiment testing Lorentz invariance at the 10−17 _{level, Phys. Rev. D 80,}

105011 (2009).

26_{The Ether and the Earth’s Atmosphere, Science 13, 390 (1889), dispon´ıvel em http:}

//www.archive.org/details/science131889mich.

27_{Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems, Proceedings}

of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences 1, 427 (1899), dispon´ıvel em http: //www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00014571.pdf.

(25)

2.2 A proposta de Einstein Miotto e Ferraz 15 Um dos aspectos mais importantes relacionados a essas rela¸cões é o fato de que as Equa¸cões de Maxwell são invariantes por uma Transforma¸cão de Lorentz, ou seja, os aspectos f´ısicos observados em diferentes referenciais iner-ciais não se alteram. Note, ainda, que ao contrário da proposta de Galileu, o tempo medido em referenciais em movimento relativo não é necessariamente o mesmo, ou em outras palavras, o conceito de tempo absoluto não existe nessa teoria. Como esse conceito é contrário à intui¸cão clássica, Lorentz assumiu a existência de um tempo absoluto, definido em termos de um sistema de coor-denadas absoluto e um tempo medido em referênciais em movimento, chamado por ele de tempo local.

Quer saber mais? Novamente a velocidade da luz

Recentemente, um grupo de pesquisadores, utilizando o European Synch-rotron Radiation Facility, encontraram um novo limite para a isotropia da velocidade da luz. Utilizando o que poder´ıamos chamar de um in-terferômetro sofisticado, eles determinaram que a velocidade da luz não depende da dire¸cão pelo menos em um parte em 1014_{, isto ´}_{e, a velocidade}

da luz n˜ao apresenta varia¸c˜oes maiores do que 0,000000000001%. Veja o trabalho completo em http://arxiv.org/abs/1004.2867.

2.2 A proposta de Einstein

Assim como FitzGerald e Lorentz, no in´ıcio do século XX, diversos ci-entistas, como Poincaré e Bucherer, buscavam uma forma de reconciliar as Equa¸cões de Maxwell, a Teoria Ondulatória e os muitos experimentos deriva-dos de tais tentativas. Em 1905, Einstein apresentou sua contribui¸cão sobre o tema em um longo trabalho28 com sua interpreta¸cão das teorias e resultados dispon´ıveis. Logo em seu segundo parágrafo, o trabalho de Einstein já expli-cita claramente a quebra do paradigma aceito até então: ... o insucesso dos experimentos feitos para detectar qualquer movimento da Terra em rela¸cão ao éter sugere que os fenômenos da Eletrodinâmica, tal como os da Mecânica, não apresentam nenhuma propriedade que corresponda a idéia de repouso absoluto. Ao contrário, eles sugerem que em todos os sistemas de coordenadas em que são válidas as Equa¸cões da Mecânica também são válidas as Leis Ópticas e Eletrodinâmicas. Vamos elevar à categoria de postulado essa conjectura (que chamaremos daqui em diante Princ´ıpio da Relatividade); vamos, além disso, introduzir o postulado - só aparentemente incompat´ıvel com o primeiro - de que a luz, no vácuo, se propaga com velocidade determinada, independente do estado de movimento da fonte de luz. Estes dois postulados são suficientes para construir uma eletrodinâmica dos corpos em movimento, simples e livre

28_Zur _{Elektrodynamik} _bewegter _K¨_orper, _Annalen _der _Physik _322, ₈₉₁ _(1905),

dispon´ıvel em http://www.archive.org/stream/annalenderphysi108unkngoog# page/n1021/mode/1up.

(26)

16 Miotto e Ferraz A Teoria da Relatividade Especial de contradi¸cões. A introdu¸cão de um “éter” se revelará supérfluo, uma vez que para a teoria que vamos desenvolver não necessitamos introduzir um “espa¸co em repouso absoluto”, nem atribuir um vetor velocidade a um ponto do espa¸co vazio no qual o processo eletromagnético ocorre.29

A proposta de Einstein pode ser simplificada em dois postulados:

1. Postulado (ou Princ´ıpio) da Relatividade: as Leis da F´ısica tˆem a mesma forma em todos os referenciais inerciais;

2. Postulado da constância da velocidade da luz: a velocidade da luz no vácuo é uma constante universal que independe do movimento de sua fonte.

Esses dois postulados são a base do que hoje denominamos Teoria da Rela-tividade Especial ou Restrita. Além desses dois postulados, Einstein indicou claramente que a transforma¸cão de coordenadas e tempos de um referencial estacionário para outro referencial em movimento uniforme em rela¸cão ao pri-meiro obedecia as Transforma¸cões de Lorentz (Equa¸cão 2.4).

Quer saber mais? Por tr´as da Relatividade

Em seu trabalho A f´ısica clássica de cabe¸ca para baixo: Como Einstein des-cobriu a teoria da relatividade especial, Jürgen Renn relata os eventos que culminaram com a introdu¸cão da Relatividade. Veja o trabalho completo em http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/renn.pdf.

2.3 Consequˆ

encias dos Postulados de Einstein

O primeiro postulado é uma generaliza¸cão do Princ´ıpio de Relatividade de Galileu, já que inclui todos os fenômenos e não apenas os Mecânicos. Ele implica na inexistência de um referencial inercial privilegiado. Isso significa

29_Tradu¸_c˜_{ao livre do autor para o original em alem˜}_{ao: sowie die mißlungenen Versuche,}

eine Bewegung der Erde relativ zum ’Lichtmedium’ zu konstatieren, führen zu der Vermu-tung, daß dem Begriffe der absoluten Ruhe nicht nur in der Mechanik, sondern auch in der Elektrodynamik keine Eigenschaften der Erscheinungen entsprechen, sondern daß viel-mehr für alle Koordinatensysteme, für welche die mechanischen Gleichungen gelten, auch die gleichen elektrodynamischen und optischen Gesetze gelten, wie dies für die Größen ers-ter Ordnung bereits erwiesen ist. Wir wollen diese Vermutung (deren Inhalt im folgenden ’Prinzip der Relativität’ genannt werden wird) zur Voraussetzung erheben und außerdem die mit ihm nur scheinbar unverträgliche Voraussetzung einführen, daß sich das Licht im lee-ren Raume stets mit einer bestimmten, vom Bewegungszustande des emittielee-renden Körpers unabhängigen Geschwindigkeit V fortpflanze. Diese beiden Voraussetzungen genügen, um zu einer einfachen und widerspruchsfreien Elektrodynamik bewegter Körper zu gelangen unter Zugrundelegung der Maxwellschen Theorie für ruhende Körper. Die Einführung ei-nes ’Lichtäthers’ wird sich insofern als überflüssig erweisen, als nach der zu entwickelnden Auffassung weder ein mit besonderen Eigenschaften ausgestatteter ’absolut ruhender Raum’ eingeführt, noch einem Punkte des leeren Raumes, in welchem elektromagnetische Prozesse stattfinden, ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet wird.

(27)

2.3 Consequências dos Postulados de Einstein Miotto e Ferraz 17 que nenhum experimento pode medir ou detectar o movimento uniforme do sistema de referência utilizado. Já o segundo postulado indica que a veloci-dade da luz (c) é constante em qualquer referencial inercial. Dessa forma a luz se propagando no vácuo passa a ter propriedades comuns a outras ondas mecânicas, como o som, por exemplo.

O segundo postulado de Einstein, apesar de também parecer bastante razoável, apresenta consequências surpreendentes que contradizem o senso co-mum. Considere, por exemplo, uma fonte de luz L e dois observadores O1,

em repouso em rela¸c˜ao a L, e O2, em movimento em rela¸c˜ao a L com uma

dada velocidade v. A velocidade da luz emitida pela fonte medida a partir do referencial O1 vale c ' 3.108 m/s. Utilizando os conceitos de velocidade

relativa da Mecˆanica Cl´assica, esperamos que o valor da velocidade da luz emitida pela fonte medida a partir do referencial em movimento O2seja v + c.

Observe que, como um sistema no qual o observador O2 est´a em repouso e a

fonte L e o observador O1 est˜ao em movimento, do ponto de vista de O2 ´e a

fonte que está em movimento. Se levarmos agora em considera¸cão o postulado da constância da velocidade da luz que é claro ao dizer que c independe do movimento de sua fonte, temos imediatamente que a velocidade medida a par-tir de O2 também deve ser c. Se a velocidade da luz medida a partir de dois

referenciais em movimento relativo é a mesma, isso significa que não pode-mos perceber o movimento absoluto. Mais do que isso, Einstein sugere que nenhuma experiência poderá medir ou detectar o movimento uniforme do sistema de referência utilizado, o que é coerente com as propostas de Galileu e Newton nas quais se baseiam a Mecânica Clássica.

Vamos analisar outro exemplo sugerido por Einstein30. Considere uma sala em movimento com dois observadores: um posicionado dentro da sala (obser-vador interno) e outro fora dela (obser(obser-vador externo). Um sinal luminoso é emitido do centro da sala e pergunta-se aos dois o que esperam observar consi-derando apenas os postulados propostos por Einstein. Citamos suas respostas: Observador interno: O sinal luminoso que caminha do centro da sala atin-girá as paredes simultaneamente. Isso significa que todas as paredes estão equidistantes da fonte de luz e a velocidade da luz é a mesma em todos as dire¸cões.

Observador externo: Em meu sistema, a velocidade da luz é exatamente a mesma que a medida pelo observador que se move com a sala. Não me im-porta se a fonte de luz se move ou não em meu referencial, seu movimento não influi sobre a velocidade da luz. O que vejo é um sinal luminoso caminhando com uma velocidade padrão idêntica em todas as dire¸cões. Um das paredes se afasta do sinal e a parede oposta aproxima-se dele. Logo, a parede que se afasta será atingida pelo sinal um pouco mais tarde do que a parede que se aproxima. Embora a diferen¸ca seja diminuta se a velocidade da sala for pe-quena em compara¸cão com a velocidade da luz, o sinal luminoso não atingirá

30_{A. Einstein e L. Infeld, A Evolu¸}_c˜_{ao da F´ısica, tradu¸}_c˜_{ao de Giasone Rebu´}_{a, Quarta}

(28)

18 Miotto e Ferraz A Teoria da Relatividade Especial simultaneamente as duas paredes opostas, perpendiculares à dire¸cão do movi-mento. Mais do que isso, as paredes paralelas à dire¸cão do movimento também não serão atingidas no mesmo instante que as paredes perpendiculares, mesmo que todas estejam dispostas simetricamente em rela¸cão ao centro da sala.

Comparando as previsões de nossos dois observadores, encontramos um resultado que contradiz frontalmente os conceitos aparentemente bem funda-mentados da Mecânica Clássica. Dois acontecimentos, no caso os dois raios de luz atingirem as paredes, são simultâneos para o observador interno, mas não para o observador externo. Na Mecânica Clássica t´ınhamos um relógio, um escoamento do tempo, para todos os observadores em todos os referenciais. O tempo, e, portanto, palavras como simultaneamente, mais cedo e mais tarde, tinham um significado absoluto, independente de qualquer referencial. Dois acontecimentos que ocorressem ao mesmo tempo em um referencial, necessa-riamente ocorreriam simultaneamente em qualquer outro referencial.

Os postulados de Einsten nos for¸cam a abandonar esse ponto de vista. Des-crevemos dois acontecimentos ocorrendo ao mesmo tempo em um referencial, mas em instantes diferentes em outro referencial. Isso significa que dois ob-servadores inerciais em movimento relativo discordam se dois acontecimentos que tenham ocorrido em lugares diferentes são simultâneos ou não.

2.3.1 A dilata¸

c˜

ao temporal

Figura 2.5: Representa¸cão esquemática de dois espelhos, A e B, separados por uma distância d e de um observador O em repouso (esquerda) e em movimento (direita).

Mas como explicar esse aparente paradoxo? Para abordar esse problema, con-sidere um exemplo similar ao sugerido por Einstein31

no qual dois espelhos A e B estão dispostos paralela-mente, separados por uma distância d, conforme es-quema ao lado. Um obser-vador O determina o tempo necessário para que um flash

de luz, que viaja em linha reta com velocidade c, efetue o movimento de ida e volta entre os dois espelhos, tal qual o tic-tac de um rel´ogio. No esquema `

a esquerda, o observador O est´a em repouso, o que nos permite escrever a distˆancia entre os espelhos d em termos do intervalo de tempo que a luz leva para viajar de A para B (t0) e da velocidade da luz:

c = d

t0 → d = ct 0_.

31_{Relativity: The Special and General Theory, traduzido por Robert W. Lawson, Methuen}

(29)

2.3 Consequências dos Postulados de Einstein Miotto e Ferraz 19 Agora vamos nos concentrar no caso em que o observador O viaja com velo-cidade v. Nesse caso, como exemplificado no esquema à direita, o observador verá, após um certo intervalo de tempo 2t, o flash de luz refletido por B. Nesse caso, o raio de luz viaja uma distância de A para B maior do que d. Como a velocidade da luz é constante, essa distância vale ct. Nesse mesmo intervalo de tempo t, o observador O terá se deslocado vt em rela¸cão à sua posi¸cão inicial. Do triângulo retângulo formado, temos c2t2= v2t2+ c2t02, ou seja,

t02= t2 1 − v 2 c2 → t0= t s 1 − v 2 c2 . (2.5)

Observe que a equa¸cão acima indica que os tempos medidos em diferentes referenciais em movimento relativo não são idênticos. A expressão acima indica que o tempo medido por um observador em repouso (t0_{) ´}_{e menor do que aquele}

medido por um observador em movimento (t). Em outras palavras, relógios que se deslocam em rela¸cão a um referencial inercial andam mais devagar. Esse efeito é conhecido como dilata¸cão temporal e pode ser enunciado como: dois observadores em movimento relativo medem tempos diferentes para o mesmo acontecimento e para os intervalos entre dois acontecimentos. Não se trata de uma ilusão, mas de um efeito f´ısico real decorrente da não simultaniedade de eventos em referenciais em movimento relativo.

Note que nos eventos cotidianos, a dilata¸cão temporal não pode ser per-cebida, pois as velocidades dos objetos que nos cercam são muito menores do que a velocidade da luz. Considere, por exemplo, o movimento transla¸cão da Terra em torno do Sol. Nosso planeta realiza esse movimento com uma velo-cidade média de aproximadamente 30 km/s, o que é extremamente alta para nossos padrões32_{. Apesar de parecer muito grande, a velocidade de transla¸}_c˜_ao

da Terra resulta em um raz˜ao v_c22 = 10−8! Considere dois observadores, um

na Terra e outro no Sol. Para que a diferen¸ca nos rel´ogios dos dois observa-dores fosse de 1 segundo, ter´ıamos que esperar cerca de 108 segundos, ou seja, milhares de dias!

Para que a dilata¸c˜ao temporal fosse percept´ıvel, os objetos deveriam mover-se a grandes velocidades. Apenas algumas part´ıculas naturais, como os m´uons33_,

por exemplo, que são raios cósmicos, possuem velocidades comparáveis à velo-cidade da luz. Os múons viajam com velocidade média em torno de 0,9992c, o que torna poss´ıvel verificar efeitos relativ´ısticos.

32_{Como compara¸}_c˜_{ao, considere a nave New Horizon desenvolvida pela Nasa para atingir}

Plutão. A New Horizon atingiu uma velocidade máxima de aproximadamente 16 km/s, sendo considerada um dos objetos mais velozes concebidos pelo homem. Confira a trajetória da New Horizon em www.nasa.gov.

33_{No modelo padr˜}_{ao da f´ısica de part´ıculas, o m´}_{uon ´}_{e uma part´ıcula elementar similar ao}

(30)

20 Miotto e Ferraz A Teoria da Relatividade Especial Quer saber mais? Comprova¸c˜ao experimental da dilata¸c˜ao tem-poral

Uma comprova¸cão experimental da dilata¸cão temporal foi obtida por Ha-fele e Keatinga. Durante outubro de 1971, Hafele e Keating utilizaram quatro relógios atômicos transportados em vôos comerciais, com velocida-des médias de 900 km/h, em rotas ao redor do mundo a oeste e a leste e compararam suas medidas com relógios de referência montados no U.S. Naval Observatory. Observe que os relógios de referência não estão de fato parados, mas sim em movimento, devido à rota¸cão da Terra. Os relógios de referência estão no paralelo 39◦, o que significa que eles percorreram uma trajetória de cerca de 31.000 km em aproximadamente 24 horas, ou seja, viajam com uma velocidade de aproximadamente 1.300 km/h. Considere inicialmente o avião voando na dire¸cão oeste, ou seja, contrária a rota¸cão da Terra. A velocidade relativa relógio no avião/relógio de re-ferência é v = 1300 + 900 = 2200 km/h. No experimento de Hafele e Keating o avião, viajando a aproximadamente de 900 km/h demora cerca de t = 31000₉₀₀ ' 31,4 horas ou 124.000 segundos para completar a volta em torno da Terra.

Assim, a Equa¸c˜ao 2.5 tem a forma

t0= 124.000 s 1 − _1.3002 (3,6 × 3 × 108₎2 − s 1 − _2.2002 (3,6 × 3 × 108₎2 ! = 170 × 10−9s.

Observe que o valor acima é uma aproxima¸cão, pois arredondamos os números de forma a facilitar os nossos cálculos. Os valores previstos por Hafele e Keating a partir da Teoria da Relatividade Restrita indicam uma varia¸cão de 275(±21) nanosegundosb_compar´_{aveis aos 273(±7)}

nanosegun-dos obtinanosegun-dos considerando-se a m´edia de mais de 5.000 observa¸c˜oes experi-mentais.

Agora é com você! Estime o valor previsto para a varia¸cão no relógio colocado no avião que viaja para leste e compare com o resultado expe-rimental de 59(±10) nanosegundos e com o valor por eles estimado de 40(±23). Nesse caso, o desvio em rela¸cão ao valor experimental é um pouco maior do que o observado no caso anterior. Você saberia dizer o por quê?

a_{Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains, Science 177,}

166 (1972).

(31)

2.3 Consequˆencias dos Postulados de Einstein Miotto e Ferraz 21

2.3.2 O Paradoxo dos Gˆ

emeos

Em um trabalho de 1911, Einstein34_{sugeriu que suas observa¸}_c˜_{oes relativas}

`

a dilata¸c˜ao temporal tamb´em se aplicam a organismos vivos35_{: Se}

conside-rarmos, por exemplo, um organismo vivo contido em uma caixa e aplicarmos as mesmas condi¸cões observadas anteriormente para os relógios humanos, é poss´ıvel que o organismo retorne ao seu local de origem de um vôo arbitra-riamente longo com pequenas modifica¸cões em rela¸cão ao seu estado origi-nal, enquanto organismos semelhantes mantidos no local de partida já deram espa¸co a novas gera¸cões há muito tempo. Se o movimento ocorreu a velocidade próxima da luz, o longo per´ıodo contabilizado por seus semelhantes no local de origem, para o viajante nada mais representou do que um breve instante! Es-sas são as consequências irrefutáveis dos princ´ıpios por nós estabelecidos e que a experiência nos impõe.

Com base nessas conjecturas, Langevin36 _propˆ_{os um experimento mental}

que classificou como singular e que modernamente denominamos Paradoxo dos Gêmeos. Ao invés de discut´ı-lo na sua forma original, vamos apresentar uma versão mais aplicável ao nosso cotidiano.

As transforma¸cões de Lorentz possuem uma simetria com rela¸cão à dire¸cão da velocidade do observador. Se invertermos apenas o sentido da velocidade, ou seja, considerarmos ~v → −~v, as transforma¸cões de Lorentz não se alteram. Este fato está associado com a equivalência entre observadores inerciais. Des-crever o afastamento de um observador B com velocidade ~v com rela¸cão a um observador A parado é equivalente a descrever o observador B parado e A se movendo com velocidade −~v. No entanto, a passagem de tempo depende do estado de movimento do observador, logo, poder´ıamos fazer a seguinte per-gunta: se dois gêmeos são separados, um permanecendo na Terra e o outro sendo levado para viajar numa espa¸conave com velocidade comparável a da luz durante alguns anos terrestres, ao retornar à Terra como será a rela¸cão entre as idades dos dois gêmeos?

Considere, por exemplo, o caso em que um dos gêmeos fez uma viagem de ida e volta a um determinado local. Essa viagem teve a dura¸cão de 1 ano medida pelo gêmeo no referencial da Terra, e foi feita a uma velocidade média

34_Die _Relativit¨_ats-Theorie, _{Naturforschende} _{Gesellschaft,} _Z¨_urich,

Vierteljah-resschrift 56, 1 (1911), dispon´ıvel em http://www.archive.org/stream/ vierteljahrsschr56natu#page/1/mode/1up.

35_Tradu¸_c˜_{ao livre do autor para o original em alem˜}_{ao ... Wenn wir z. B. einen}

leben-den Organismus in eine Schachtel hineinbrächten und ihn dieselbe Hin- und Herbewegung ausführen liessen wie vorher die Uhr, so könnte man es erreichen, dass dieser Organis-mus nach einem beliebig langen Fluge beliebig wenig geändert wieder an seinen urspr¨ ungli-chen Ort zurückkehrt, während ganz entsprechend beschaffene Organismen, welche an den ursprünglichen Orten ruhend geblieben sind, bereits längst neuen Generationen Platz gema-cht haben. Für den bewegten Organismus war die lange Zeit der Reise nur ein Augenblick, falls die Bewegung annähernd mit Lichtgeschwindigkeit erfolgte! Dies ist eine unabweisbare Konsequenz der von uns zugrunde gelegten Prinzipien, die die Erfahrung uns aufdrängt.

36_{L’ ´}_{Evolution de l’espace et du temps, Scientia 10, 31 (1911), dispon´ıvel em http://fr.}

(32)

22 Miotto e Ferraz A Teoria da Relatividade Especial de 0,8c. Utilizando a equa¸c˜ao 2.5, ´e imediato que

t0 = 1 r 1 −(0,8c) 2 c2 = 3 5anos,

ou seja, para o gêmeo que viaja, passaram-se apenas 3/5 do tempo! Em outras palavras, a dilata¸cão temporal indica que o gêmeo que viajou com velocidade comparável a da luz está mais jovem do que o gêmeo que permaneceu na Terra. Se levarmos, agora, em considera¸cão a simetria das Transforma¸cões de Lorentz, poder´ıamos dizer que do ponto de vista do gêmeo no foguete, é a Terra quem se move a uma velocidade de 0,8c, enquanto ele permanece parado. No seu referencial é o gêmeo terrestre quem deveria ser mais novo, o que nos leva ao paradoxo: qual dos dois irmãos de fato envelheceu mais devagar? A resposta a este aparente paradoxo pode ser dada de diferentes formas37. Aqui abordaremos apenas uma delas.

Embora as transforma¸cões de Lorentz exibam simetria entre o afastamento dos gêmeos, ao longo de toda a jornada, existe uma diferen¸ca fundamental en-tre as duas situa¸cões: enquanto o gêmeo terrestre permanece com velocidade constante ao longo de toda a viagem, o gêmeo viajante é acelerado para pos-sibilitar o seu retorno à Terra. Esta assimetria rompe com a argumenta¸cão de equivalência entre os gêmeos. Enquanto o gêmeo terrestre permanece sempre em um mesmo referencial inercial, o gêmeo viajante muda de referencial ao longo de sua viagem. De fato, o gêmeo viajante encontra-se em parte de sua viagem em um referencial não inercial, pois é acelerado de forma a possibilitar seu retorno à Terra. Lembre-se de que o primeiro postulado de Einstein limita claramente a validade de suas propostas para referenciais inerciais.

2.3.3 A contra¸

c˜

ao espacial

Em todos os exemplos discutidos, o fato de dois observadores inerciais em movimento relativo discordarem se dois acontecimentos que tenham ocorrido em lugares diferentes são simultâneos ou não desempenha um papel fundamen-tal na compreensão dos fenômenos discutidos. Ocorre que a influência dessa não simultaniedade não se limita às medidas temporais.

Considere, por exemplo, o ato de medir o comprimento de um corpo. Se o objeto está em repouso em rela¸cão ao observador, o ato de medir pode ser feito simplesmente colocando ao lado do objeto um padrão para sua determina¸cão. Por outro lado, se o objeto estiver em movimento, uma poss´ıvel estratégia seria adotar um eixo coordenado, como o representado na figura ao lado, e medir os intervalos de tempo nos quais o objeto passa por um determinado ponto de referência, no caso o eixo y. Sabendo a velocidade e o tempo necessário para que o objeto passe pelo ponto de referência, obtém-se seu comprimento.

37_{Veja, por exemplo, Paul A. Tipler e Ralph Al. Llwellyn, F´ısica Moderna, tradu¸}_c˜_ao