Vamos agora considerar em detalhe a rela¸c˜ao entre a fun¸c˜ao de onda e a localiza¸c˜ao do el´etron. Para tanto, faremos, inicialmente, uma analogia entre as ondas associadas a el´etrons e o caso da luz. A Equa¸c˜ao de Onda ∂2∂xy(x,t)2 =
1 v2
∂2y(x,t)
A interpreta¸c˜ao probabil´ıstica ... Miotto e Ferraz 95 se considerarmos que a fun¸c˜ao de onda ´e o campo el´etrico. A energia por unidade de volume em uma onda luminosa ´e proporcional ao quadrado do campo el´etrico9. Por outro lado, sabemos que a energia deve ser dada em
unidades de hν, pois cada f´oton possui essa quantidade de energia. Assim, ´e de se esperar que o n´umero de f´otons por unidade de volume seja proporcional ao quadrado do campo el´etrico.
Considere a famosa experiˆencia de interferˆencia com fenda dupla (tamb´em chamada de Experimento de Young10) esquematizada na figura 5.6. O padr˜ao observado na tela ´e determinado pela interferˆencia das ondas provenientes das fendas. Em um ponto da tela no qual a onda proveniente de uma das fendas est´a 180 graus fora de fase com a proveniente da outra fenda, o campo el´etrico resultante ´e nulo, n˜ao havendo energia luminosa neste ponto, o que nosso sentido de vis˜ao detectam como um ponto negro na tela.
Se agora substituirmos o anteparo por um filme fotogr´afico e reduzirmos a intensidade da onda luminosa a um valor muito baixo, ou seja, se o n´umero de f´otons que atingem o filme for baixo, poderemos observar a evolu¸c˜ao do padr˜ao de interferˆencia da onda do ponto de vista quˆantico11.
Se expormos o filme somente por um tempo curto, n˜ao veremos uma vers˜ao mais fraca do padr˜ao de alta intensidade, mas sim pontos no filme, causados pela intera¸c˜ao dos f´otons individuais, como representado na figura 5.7. Nos pontos em que as ondas provenientes das fendas interferem destrutivamente n˜ao h´a marcas e, em pontos onde as ondas interferem construtivamente, obser- vamos muitas marcas. Se a exposi¸c˜ao for curta, observaremos flutua¸c˜oes, mas se a exposi¸c˜ao for longa, as flutua¸c˜oes desaparecem e a natureza quˆantica da luz n˜ao ser´a percebida. O padr˜ao de interferˆencia depende somente do n´umero total de f´otons que interagem com o filme e n˜ao com o n´umero de f´otons por unidade de tempo. Mesmo que a intensidade seja t˜ao baixa que somente um f´oton atinja o filme por unidade de tempo, a teoria de ondas prevˆe o padr˜ao m´edio correto. Para intensidades baixas, interpretamos o quadrado do campo el´etrico como sendo proporcional `a probabilidade de detec¸c˜ao de um f´oton por unidade de volume. Em pontos da tela ou do filme em que o quadrado do campo el´etrico ´e nulo nunca s˜ao observados pontos. Por outro lado, quando o quadrado do campo el´etrico ´e grande, os pontos s˜ao facilmente distinguidos.
9A energia de uma onda eletromagn´etica ´e proporcional ao Vetor de Poyinting, ou seja,
aos quadrados do campo el´etrico e magn´etico (ver, por exemplo, Curso de F´ısica B´asica, vol. 3, Eletromagnetismo, H. Moys´es Nussenzveig, Editora Edgard Bl¨ucher, 2003). Por simplicidade, estamos considerando apenas o campo el´etrico.
10Para uma descri¸c˜ao mais detalhada do experimento, ver, por exemplo, Richard P. Feyn-
man, R. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. 3 (USA: Addison- Wesley) pp. 18 (1965).
11A intera¸c˜ao da luz com o filme ´e um fenˆomeno quˆantico, j´a que ´e poss´ıvel identificar
os f´otons individuais que impressionam o filme desde que a intensidade da luz seja baixa o suficiente. No caso de uma intensidade de luz alta, ou de um tempo suficientemente grande, o efeito coletivo predomina e a an´alise s´o pode ser feita utilizando-se a Teoria Ondulat´oria.
96 Miotto e Ferraz Propriedades ondulat´orias de part´ıculas
Figura 5.7: Crescimento do padr˜ao de inter- ferˆencia de duas fendas (a → e). Com o au- mento da contagem de f´otons que alcan¸cam o filme, o padr˜ao de interferˆencia fica cada vez mais evidente. Experimento realizado pelo Dr. Tonomura e dispon´ıvel na wikipedia.
Ondas associadas a el´e- trons produzem padr˜oes de interferˆencia semelhantes `a- queles produzidos por f´otons. Na teoria ondulat´oria de el´etrons, o movimento de um ´
unico el´etron ´e descrito pela fun¸c˜ao de onda ψ(x,t). Por analogia ao caso dos f´otons, a quantidade ψ2(x,t) ´e pro-
porcional `a probabilidade de detectar um el´etron em uma regi˜ao do espa¸co. Em uma dimens˜ao ψ2(x,t)dx ´e a pro-
babilidade de um el´etron es- tar no intervalo dx. Se deno- minarmos esta probabilidade de P (x)dx, onde P (x) ´e uma fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de proba- bilidade, teremos P (x)dx = |ψ2(x,t)|dx. A interpreta¸c˜ao
probabil´ıstica da fun¸c˜ao de onda, muitas vezes chamada de Interpreta¸c˜ao de Cope- nhagen, foi uma teoria desen- volvida por Bohr, Heisenberg e colaboradores entre 1924 e 192712. Essa interpreta¸c˜ao,
apesar de ser a mais aceita, nunca foi uma unanimidade. De fato, a famosa frase de Einstein: I, at any rate, am convinced that He (God) does not throw dice. (em uma tradu¸c˜ao livre, Eu, de mi- nha parte, estou convencido de que Ele (Deus) n˜ao joga dados.13
12Jan Faye, Copenhagen Interpretation of Quantum Mechanics, The Stanford Encyclope-
dia of Philosophy (Fall 2008 Edition), Edward N. Zalta (ed.), http://plato.stanford. edu/archives/fall2008/entries/qm-copenhagen
13The Born-Einstein Letters: Correspondence between Albert Einstein and Max and
Hedwig Born from 1916 to 1955, (Walker and Company, New York, 1971), carta de Einstein para Born datada de 4 de dezembro de 1926.)