2.3 Consequˆ encias dos Postulados de Einstein
2.3.3 A contra¸ c˜ ao espacial
Em todos os exemplos discutidos, o fato de dois observadores inerciais em movimento relativo discordarem se dois acontecimentos que tenham ocorrido em lugares diferentes s˜ao simultˆaneos ou n˜ao desempenha um papel fundamen- tal na compreens˜ao dos fenˆomenos discutidos. Ocorre que a influˆencia dessa n˜ao simultaniedade n˜ao se limita `as medidas temporais.
Considere, por exemplo, o ato de medir o comprimento de um corpo. Se o objeto est´a em repouso em rela¸c˜ao ao observador, o ato de medir pode ser feito simplesmente colocando ao lado do objeto um padr˜ao para sua determina¸c˜ao. Por outro lado, se o objeto estiver em movimento, uma poss´ıvel estrat´egia seria adotar um eixo coordenado, como o representado na figura ao lado, e medir os intervalos de tempo nos quais o objeto passa por um determinado ponto de referˆencia, no caso o eixo y. Sabendo a velocidade e o tempo necess´ario para que o objeto passe pelo ponto de referˆencia, obt´em-se seu comprimento.
37Veja, por exemplo, Paul A. Tipler e Ralph Al. Llwellyn, F´ısica Moderna, tradu¸c˜ao
2.3 Consequˆencias dos Postulados de Einstein Miotto e Ferraz 23
Figura 2.6: Representa¸c˜ao esquem´atica de duas poss´ıveis formas de se medir um ob- jeto. Para um objeto em repouso, coloca- mos um padr˜ao ao seu lado. J´a para um objeto em movimento, adotamos um eixo coordenado e observamos os intervalos de tempo nos quais o objeto passa por um de- terminado ponto de referˆencia, no caso o eixo y. Sabendo a velocidade e o tempo ne- cess´ario para que o objeto passe pelo ponto de referˆencia, obt´em-se seu comprimento. Ocorre que, devido a n˜ao si-
multaniedade, observadores em diferentes referenciais inerciais podem n˜ao concordar sobre o instante em que o objeto passa pelo ponto de referˆencia, ou seja, em diferentes referenciais os eventos de medi¸c˜ao s˜ao n˜ao si- multˆaneos. Isso significa que a medida do comprimento do ob- jeto n˜ao ´e ´unica, mas depende do referencial38.
Vamos agora estimar o valor dessa varia¸c˜ao considerando um outro exemplo em que a medida do comprimento do objeto ´e feito da mesma forma tanto para o re- ferencial em repouso quanto para o referencial em movimento. Su- ponha que em um dado referen-
cial, P0, o objeto, no caso uma barra, encontra-se em repouso, com uma das suas extremidades na posi¸c˜ao x01e a outra na posi¸c˜ao x02. Nesse caso, podemos medir o comprimento da barra em um dado instante t0 qualquer atrav´es da rela¸c˜ao Lp= x02−x01. Considere, agora, um outro referencial S, em movimento
em rela¸c˜ao a P0 com velocidade v. Se utilizarmos o mesmo procedimento para medir a barra, seu comprimento no referencial S ´e dado por L = x2− x1,
onde x1´e a posi¸c˜ao de uma das extremidades da barra no instante t1 e x2´e a
posi¸c˜ao da outra extremidade medida no mesmo instante t2= t1= t. Como
P0 e S est˜ao em movimento relativo, a n˜ao simultaniedade prevˆe que os tem- pos medidos nos dois referenciais t0 e t n˜ao s˜ao idˆenticos. Vamos agora, com o aux´ılio das Transforma¸c˜oes de Lorentz (equa¸c˜ao 2.4) relacionar as posi¸c˜oes das extremidades das barras nos dois referenciais:
( x02= γ (x2− vt) x01= γ (x1− vt) , com γ = q 1 1−v2 c2
. Subtraindo as duas equa¸c˜oes temos
x02− x0
1= γ(x2− x1),
38Como discutido anteriormente, essa constata¸c˜ao ´e consistente com a proposta de Fitz-
Gerald segundo a qual o comprimento dos corpos muda de uma quantida que depende do quadrado do raz˜ao entre sua velocidade e a velocidade da luz, necess´aria para explicar o Experimento de Michelson-Morley no contexto da Teoria do ´Eter.
24 Miotto e Ferraz A Teoria da Relatividade Especial ou seja Lp= γL −→ L = r 1 − v 2 c2 ! Lp. (2.6)
Como do ponto de vista do observador em S ´e o objeto que est´a se movendo, essa express˜ao equivale a dizer que o comprimento de um objeto ´e menor quando ele ´e medido em um referencial em que ele se encontre em movimento. Essa consequˆencia dos Postulados de Einstein ´e conhecida como contra¸c˜ao espacial ou contra¸c˜ao de Lorentz-FitzGerald.
´
E importante salientar que a contra¸c˜ao espacial s´o se verifica na dire¸c˜ao do movimento relativo entre o referencial e o objeto. Assim, se considerarmos, por exemplo, um quadrado em movimento de tal forma que dois de seus lados est˜ao posicionados na dire¸c˜ao do movimento e dois na dire¸c˜ao perpendicular a do movimento, a contra¸c˜ao s´o se verificaria nos lados paralelos `a dire¸c˜ao do movimento e sua forma final seria a de um retˆangulo. Se o quadrado estiver posicionado de tal forma que suas faces formam um ˆangulo em rela¸c˜ao `a dire¸c˜ao de movimento, n˜ao s´o suas faces ser˜ao deformadas, mas tamb´em os ˆangulos internos deixar˜ao de ter 90◦.
Agora ´e a sua vez: Verifique que um quadrado cujo lado A forma um ˆ
angulo de 30◦ em rela¸c˜ao `a dire¸c˜ao x ser´a visto como um paralelogramo com lados 0,901A e 0,968A, cujos lados menores fazem um ˆangulo de 33,7◦ em rela¸c˜ao `a dire¸c˜ao x0 quando visto de um referencial que se move a uma veloci- dade v = 0,5c.
Quer saber mais? Os m´uons, um exemplo da dilata¸c˜ao temporal e contra¸c˜ao espacial
Um exemplo interessante que ilustra a dilata¸c˜ao temporal e a contra¸c˜ao espacial est´a relacionado ao decaimento de m´uons que se formam na atmosfera a partir dos chamados chuveiros de raios c´osmicosa. Os m´uons decaem de acordo com a lei estat´ısica da
radiotividade N (t) = Noe−τ /r, onde No ´e o n´umero de m´uons no instante t = 0,
N (t) o n´umero de m´uons no instante t e τ o tempo m´edio de vida, que no caso dos m´uons ´e de aproximadamente 2 µs. Os m´uons s˜ao formados nas camadas superiores da atmosfera, aproximadamente 10 km acima do n´ıvel do mar. Um m´uon t´ıpico, com uma velocidadesde 0,998c, percorreria apenas 600 m em 2 µs. Ocorre que tais part´ıculas s˜ao detect´aveis na superf´ıcie terrestre e mesmo abaixo do n´ıvel do marb.
A explica¸c˜ao desse aparente paradoxo est´a na dilata¸c˜ao temporal: para um observador na Terra, o m´uon tem um tempo de vida t0 = t
q
1 −vc22 = 30 µs. Esse tempo ´e o
suficiente para que o m´uon, que tem velocidade 0,998c, percorra cerca de 9.000 metros antes de decair quando visto do referencial da terra.
aO estudo dos chuveiros c´osmicos foi de fundamental importˆancia no desenvolvi-
mento da f´ısica no Brasil. Grandes pesquisadores como C´esar Lattes, Marcelo Damy, Gleb Wataghin, e Paulus Pomp´eia, dedicaram parte de suas carreiras a essa importante ´
area. S˜ao dignos de nota os trabalhos de Wataghin, Dami e Pomp´eia sobre o compo- nente penetrante da radia¸c˜ao c´osmica (Phys. Rev. 59, 902 (1941)) e o estabelecimento da existˆencia do m´eson-π por Lattes (Nature 159, 694 (1947)).
bEm 1947, Wataghin, Damy e Pomp´eia relataram em seu trabalho a detec¸c˜ao de tais
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