Cr´ıtica ` a teoria de Bohr e ` a Velha Teoria Quˆ antica

Quˆantica

As hipóteses quânticas estudadas até o momento e resumidas pela regra de quantiza¸cão de Wilson-Sommerfeld (conhecidas como Velha Teoria Quântica) explicam razoavelmente bem os resultados experimentais observados. Todavia, deve-se ressaltar que a aplica¸cão dessa teoria quântica no in´ıcio do século XX era mais uma arte do que uma Ciência, já que ninguém sabia exatamente quais eram as regras. As falhas da teoria de Bohr e da velha teoria quântica foram principalmente falhas de omissão, pois não se sabia aplicá-las na previsão de sistemas mais complexos. Finalmente, havia o problema filosófico da falta de alicerces para suas hipóteses. Não havia, a priori, razões para se esperar que para explicar o Modelo de Bohr era necessário invocar a Lei de Coulomb, ao mesmo tempo em que era necessário afirmar que as Leis da Radia¸cão não eram válidas. Da mesma forma, recorria-se às Leis de Newton mesmo quando se desejava provar que somente determinados valores de momento angular eram permitidos. Apesar da Regra de Quantiza¸cão de Wilson-Sommerfeld funcionar bem para sistemas periódicos, não se sabia o porquê, e não havia uma teoria para sistemas não periódicos. Tais dificuldades foram superadas gra¸cas aos esfor¸cos de Louis de Broglie, Schrödinger, Heisenberg, Pauli, Dirac e outros. Como veremos a seguir, apesar da formula¸cão que sucedeu a Velha Teoria Quântica ser bastante abstrata, ela pode explicar os fenômenos que observamos sem a necessidade de postulados ou inferências advindas de outras teorias.

Cap´ıtulo 5

Propriedades ondulat´orias

de part´ıculas

Mauricie de Broglie foi um f´ısico experimental francês que, desde o princ´ıpio, apoiou o ponto de vista de Compton em rela¸cão à natureza corpuscular da radia¸cão. Suas experiências e discussões em rela¸cão aos problemas filosóficos da F´ısica, notadamente aquelas associadas à F´ısica Quântica, impressionaram tanto seu irmão Louis que ele resolveu trocar de carreira, deixando a História e passando a estudar a F´ısica. Em sua tese de doutoramento Louis de Bro- glie1_{, que posteriormente ficou conhecido apenas por de Broglie, sugeriu que}

assim como a luz possui propriedades de onda e de part´ıcula, talvez a matéria, em particular elétrons, pudesse também apresentar essa caracter´ıstica. Essa sugestão era altamente especulativa; não existia até então evidências dos as- pectos ondulatórios para elétrons, o que fez com que o trabalho de de Broglie não recebesse a devida aten¸cão.

Supondo a existência de uma onda associada a um elétron de momento p e energia E, de Broglie escolheu para a frequência e o comprimento de onda das ondas associadas a tais elétrons as rela¸cões

ν = E_h (5.1)

λ = h_p (5.2)

onde h é a constante de Planck. Essas rela¸cões foram propostas por analogia com equa¸cões idênticas àquelas válidas para fótons. Ele salientou que, com essa hipótese, a condi¸cão de Bohr de quantiza¸cão do momento angular equivale à condi¸cão de onda estacionária.

88 Miotto e Ferraz Propriedades ondulatórias de part´ıculas Detalhes Matemáticos: Rela¸cão entre a quantiza¸cão do momento angular e a condi¸cão de onda estacionária

Figura 5.1: Representa¸cão es- quemática de uma poss´ıvel onda estacionária (linha cheia) sobreposta `

a órbita de Bohr de um átomo de hidrogênio (linha tracejada).

Seja S = 2πr a circunferˆencia da ´

orbita circular de Bohr de raio r representada na figura 5.1. A quantiza¸cão do momento angular pode ser expressa como mvr = n~. Lembrando que o momento linear pode ser expresso como p = mv e utilizando as rela¸cões de de Broglie (Eq. 5.2), então mvr = nh 2π → 2πr = nh mv = nh p , ou seja, nλ = 2πr = S

Segundo a argumenta¸cão de de Broglie, a regra de quantiza¸cão de Wilson- Sommerfeld poderia ser interpretada como um requisito para ondas estacionári- as. Considere, por exemplo, a condi¸cão quântica de Wilson-Sommerfeld para uma part´ıcula em uma caixa unidimensional de dimensão L é dada por p = nh_2L. Usando p =h_λ, a expressão pode ser reescrita como h_λ = nh_2L ou nλ₂ = L, que é a condi¸cão de onda estacionária em uma corda fixa em ambas as extremidades! Pouco tempo depois, E. Schrödinger2 _{expandiu as ideias de de Broglie,}

englobando-as em uma teoria completa, como veremos adiante. Em 1927, Davisson e Germer3 _{verificaram as hip´}_{oteses de de Broglie diretamente, ob-}

servando padrões de interferência com feixes de elétrons. Podemos entender porque as propriedades ondulatórias da matéria não eram facilmente obser- vadas se nos lembrarmos que as propriedades ondulatórias da luz não foram notadas até que puderam ser obtidas aberturas ou fendas com as mesmas di- mensões do comprimento de onda da luz. Os efeitos de difra¸cão e interferência não são observados quando o comprimento de onda da luz é muito menor do que qualquer abertura. Nesse caso, vale a óptica geométrica. Como a constante de Planck é muito pequena, as rela¸cões de de Broglie implicam em comprimentos de onda muito pequenos para qualquer objeto macroscópico, mesmo que extremamente pequeno.

Para elétrons de baixa energia, a situa¸cão é diferente. Considere um elétron que foi acelerado por um potencial Vo. Para elétrons não relativ´ısticos, ou

seja, quando eVo << mc2, a energia pode ser escrita como E = eVo = p

2m.

Utilizando a rela¸c˜ao de de Broglie (equa¸c˜ao 5.2) determinamos o comprimento

2_{V. V. Raman and Paul Forman, Why Was It Schr¨}_{odinger Who Developed de Broglie’s}

Ideas?, Historical Studies in the Physical Sciences 1, 291 (1969).

5.1 Evidˆencias Experimentais Miotto e Ferraz 89 de onda, em Angstrons, como sendo

λ = h p = hc pc = hc c√2mE = hc √ 2mc2_eV o = 12,26√ Vo . (5.3)

Assim, para um elétron acelerado por uma tensão de 10 V, o comprimento da onda associada é de 3,9 ˚A. Apesar do valor obtido para o comprimento de onda ser pequeno, sua ordem de grandeza é a mesma do valor obtido para o espa¸camento entre os planos de um cristal, ou seja, é poss´ıvel verificar o comportamento ondulatório em elétrons!

5.1 Evidˆencias Experimentais

Figura 5.2: Representa¸cão esquemática da condi¸cão de interferência construtiva de Bragg.

Foi Elsasser4 _{quem mostrou, em}

1925, que a natureza ondulatória da matéria poderia ser testada da mesma forma que a natureza dos Raios X, ou seja, fazendo-se com que um feixe de elétrons de energia apropriada incida sobre um sólido cristalino. Os átomos do cristal agem como um arranjo tridimensional de centros de difra¸cão para a onda eletrônica, espalhando forte- mente os elétrons em certas dire¸cões

caracter´ısticas de acordo com a Lei de Bragg, exatamente como na difra¸c˜ao de Raios X (ver Leitura Complementar: Novamente os Raios X). Essa ideia foi confirmada, em 1927, por experimentos feitos independentemente por Davisson e Germer5_{, nos Estados Unidos da Am´}_{erica do Norte; e por G. P. Thomson}6_,

na Esc´ocia.

Davisson e Germer efetuaram as medidas de comprimento de onda dos elétrons quando estavam estudando a reflexão por um alvo de n´ıquel, conforme esquema na figura 5.3. A figura menor mostra os dados obtidos para um feixe de elétrons de 54 eV, indicando um máximo pronunciado de espalhamento a um ângulo de 50 graus. Considere o espalhamento por um conjunto de planos de Bragg7_{, conforme esquematizado na figura 5.3(direita): a condi¸}_c˜_{ao de Bragg}

para que ocorra interferência construtiva é 2dsenθ = nλ. O espa¸camento dos planos de Bragg pode ser determinado experimentalmente a partir da distância interatômica. No caso do n´ıquel, sabe-se que a distância interatômica é da

4_{Bemerkungen zur Quantenmechanik Freier Elektronen, Naturwiss. 13, 711 (1925).} 5_{Reflection of electrons by a crystal of nickel, Nature 119, 558 (1927).}

6_{Experiments on the Diffraction of Cathode Rays Proceedings of the Royal Society of}

London. Series A 117, 600 (1928).

7_{Um plano de Bragg ´}_{e um plano de ´}_{atomos em um cristal que reflete radia¸}_c˜_{ao de maneira}

90 Miotto e Ferraz Propriedades ondulat´orias de part´ıculas ordem de 2,15 ˚A, o que, para n = 1, equivale a um comprimento de onda λ = 1,65 ˚A.

Figura 5.3: Visão esquemática do aparato experimental desenvolvido por Davisson e Ger- mer: elétrons produzidos por um filamento são espalhados por um cristal de n´ıquel em um ˆ

angulo φ e detectados em uma câmera de io- niza¸cão (esquerda). Exemplo de um gráfico po- lar caracter´ıstico da intensidade espalhada ver- sus ângulo de espalhamento observado para um alvo de n´ıquel (direita).

O valor determinado experimentalmente (λ = 1,65 ˚A) está em bom acordo com o valor determinado através da rela¸cão de de Broglie: λ = 1,67 ˚A. Os comprimentos de onda medidos por difra¸cão são ligeiramente inferiores às previsões teóricas, pois foi desprezada a refra¸cão das ondas associadas a elétrons na superf´ıcie do cristal. Vi- mos, no estudo do Efeito Fo- toelétrico, que é necessário gastar uma quantidade de energia (da ordem de al- guns eV) para remover um elétron de um metal. Da mesma forma, ao introduzir- mos elétrons em um metal eles sofrem um acréscimo em sua energia total. Mesmo se supormos que apenas parte

dessa energia extra seja na forma de energia cinética, esse aumento da energia implica na diminui¸cão, ainda que pequena, do comprimento de onda de de Broglie dentro do cristal, o que explica a diferen¸ca entre o valor previsto pela rela¸cão de de Broglie e o resultado experimental.

Figura 5.4: Padrão de difra¸cão circular obtido por Raios X (esquerda) e por um feixe de elétrons (direita). Fonte: NIST.

Uma confirma¸cão independente da rela¸cão de de Broglie foi feita por G. P. Thomson, filho de J. J. Thom- son, na Escócia, observando que o padrão de difra¸cão produzido por Raios X e por um feixe de elétrons incidentes sobre um alvo de SnO2são

muito semelhantes. Thomson obser- vou que essa semelhan¸ca era veri- ficada para diversos materiais dife- rentes. Como exemplo, considere os padr˜oes da figura 5.4. Nele, o padr˜ao

circular à esquerda foi obtido para um alvo de alum´ınio utilizando Raios X, enquanto o padrão à direita foi obtido para um alvo de ouro utilizando um feixe de elétrons.

5.1 Evidˆencias Experimentais Miotto e Ferraz 91 Leitura complementar: Novamente os Raios X

Figura 5.5: Representa¸cão es- quemática da difra¸cão de um feixe de Raios X por uma amostra e seu espectro caracter´ıstico.

Inspirado pelas palestras de grandes cien- tistas como Voigt, Planck e Lummer, von Laue desenvolveu o que ele pr´oprio cha- mavaa _{de uma intui¸}_c˜_{ao acerca dos proces-}

sos associados à ondas. Essa intui¸cão foi fundamental para que, confrontado com grande desafio a ele oferecido por Sommer- feldb, constru´ısse uma representa¸cão ma- temática para a teoria cristalina, o que lhe valeu o Prêmio Nobel de F´ısica de 1914. Por trás dessa representa¸cão, posterior-

mente desenvolvida por Willian Henry Bragg e seu filho Willian Lawrence Bragg, ganhadores do Prêmio Nobel de F´ısica de 1915, é que encontramos a base do que hoje chamamos cristalografia. Já nos primeiros experimentos realizados por dois alunos de Laue, Walter Friedrich e Paul Knip- ping, tornava-se claro que a difra¸cão de Raios X, utilizando uma estrutura cristalina como rede de difra¸cão tridimensional, propiciaria inúmeras con- tribui¸cões à cristalografia. Supondo que um cristal qualquer possa ser representado por um arranjo periódico de átomos, como representado na figura 5.2, a diferen¸ca entre os caminhos ópticos de dois raios da onda incidente pode ser facilmente determinada em fun¸cão do ângulo de espalhamento θ. A condi¸cão de Bragg para a interferência construtiva é nλ = 2dsenθ, onde n é um número inteiro e d o espa¸camento entre dois planos de Bragg consecutivos que pode ser determinado através de métodos espectroscópicos.

a_{Essa terminologia foi utilizada por von Laue em sua palestra de agradecimento}

quando do recebimento do Prˆemio Nobel de 1914.

b_{Sommerfeld solicitou a von Laue que preparasse o artigo Wellenoptik no qual deveria}

apresentar os desenvolvimentos da ´optica ondulat´oria a ser inclu´ıdo na Encyclopedia of Mathematical Sciences.

Agora ´e a sua vez! ´

E poss´ıvel ilustrar os conceitos desenvolvidos por von Laue e os Bragg, no in´ıcio do século XX, valendo-se de um experimento óptico: utilizando um cd como rede de difra¸cão bidimensional, observe o padrão de difra¸cão da luz proveniente de um laser em um anteparo distante. Você acha que ele se parece com os padrões observados na figura 5.4?

92 Miotto e Ferraz Propriedades ondulat´orias de part´ıculas Leitura Complementar: Velocidade de fase e velocidade de grupo

Para um pacote de ondas genérico, a velocidade do envelope, ou velocidade de grupo, é dada por vg= dw_dk, onde a derivada é calculada no número de

onda central. Todavia, nosso pacote é composto por mais de uma onda e cada onda pode ter uma velocidade de propaga¸cão diferente. Chamamos de velocidade de fase a velocidade de propaga¸cão de cada onda individual. No caso de uma onda harmônica temos:

v = νλ =w 2π 2π k =w k,

o que nos leva a conhecida rela¸c˜ao w = vk. Diferenciando essa rela¸c˜ao, temos dw dk = d dk(vk) = v + k dv dk, ou seja vg= v + k dv dk.

Se a velocidade de fase é a mesma para todas as frequências e comprimentos de onda, a diferencial se anula e a velocidade de fase é igual à velocidade de grupo. Um meio onde isso acontece é denominado não dispersivo. Como exemplos temos a propaga¸cão de ondas sonoras no ar e de ondas eletromagnéticos no vácuo. Neste meio o pacote mantém sua forma enquanto se desloca. Em um meio dispersivo a forma do pacote muda com o tempo, tal qual ocorre com a luz em um meio, como o vidro. Nesse caso, o ´ındice de refra¸cão depende da frequência da onda que se propaga.

No documento Ronei_fisica_quantica (páginas 95-102)