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F FFÍÍÍSSSIIICCCAAA IIIIIIIII Paulo Henrique Ribeiro Barbosa Francisco Ferreira Barbosa Filho Departamento de Física Universidade Federal do Piauí Fevereiro de 2010
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PRESIDENTE DA REPÚBLICA MINISTRO DA EDUCAÇÃO GOVERNADOR DO ESTADO REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA DO MEC COORDENADORIA GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE DUCAÇÃO ABERTA À DISTÂNCIA DA UFPI SUPERITENDENTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO DIRETOR DO CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA COORDENADOR DO CURSO DE FÍSICA COORDENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI DIAGRAMAÇÃO FICHA CATALOGRÁFICA Serviço de Processamento Técnico da Universidade Federal do Piauí Biblioteca Comunitária Jornalista Carlos Castello BrancoB238f Barbosa, Paulo Henrique Ribeiro Barbosa Filho, Francisco Ferreira.
Física III /Paulo Henrique Ribeiro Barbosa
Francisco Ferreira Barbosa Filho. – Teresina : CEAD/UFPI, 2010. 200 p.
1. Física. 2. Física – Eletromagnetismo. I. Título.
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Este texto é destinado aos estudantes que participam do programa de Educação à Distância da Universidade Aberta do Piauí (UAPI) vinculada ao consórcio formado pela Universidade Federal do Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e Centro Federal de Educação Tecnológica (CEFET – PI), com apoio do Governo do Estado do Piauí, através da Secretaria de Educação.
O texto é composto de duas unidades, constituídas de cinco capítulos cada uma. Nos cinco capítulos iniciais (primeira unidade), iremos tratar da eletrostática, e nos cinco capítulos finais (segunda unidade) trataremos de correntes elétricas, circuitos elétricos, campo magnético, lei de Ampère e Lei de Faraday.
A bibliografia para leitura complementar é indicada ao final de cada unidade, bem como exercícios resolvidos e exercícios visando avaliar o entendimento do leitor serão apresentados ao longo do texto de cada unidade.
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Sumário Geral
UNIDADE I
1. A LEI DE COULOMB 1.1 Introdução 10 1.2 A carga elétrica 11 1.3 Condutores, Isolantes e Cargas induzidas 13 1.4 Processos de Eletrização 14 1.5 Lei de Coulomb 16 1.6 Problemas Resolvidos 16 1.7 Problemas Propostos 21 1.8 Referências bibliográficas 23 1.9 Web‐bibliografia 23 2 O CAMPO ELÉTRICO 2.1 Introdução 26 2.2 Ação à Distância e o Campo Elétrico 26 2.3 Dipolo Elétrico 28 2.4 Linhas de Campo Elétrico 29 2.5 Carga Elétrica na Presença de um campo Elétrico 31 2.6 Dipolo Elétrico Sob Ação de um Campo elétrico Externo 32 2.7 Problemas Resolvidos 33 2.8 Problemas Propostos 35 Referências bibliográficas 37 Web‐bibliografia 37 3 LEI DE GAUSS 3.1 O Fluxo de Campo Vetorial 40 3.2 O Fluxo do Campo Elétrico e a Lei de Gauss 42 3.3 Aplicações da Lei de Gauss 44
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3.4 Usando a Lei de Gauss para Discutir o Campo Elétrico emCondutores 49 3.5 Problemas Propostos 51 Referências bibliográficas 54 Web‐bibliografia 54 4 POTENCIAL ELÉTRICO 4.1 Definindo Capacitor 57 4.2 Energia Armazenada em um Capacitor 57 4.3 Associação de Capacitores 62 4.4 Capacitores com Dielétricos 64 4.5 Potencial de um dipolo dielétrico 65 4.6 Potencial de uma linha de carga 66
4.7 Diferença de potencial elétrico entre as placas de um capacitor 67 4.8 O cálculo do campo elétrico a partir do potencial elétrico 68 4.9 Superfícies equipotenciais 69 4.5 Problemas Propostos 71 4.6 Referências bibliográficas 72 4.7 Web‐bibliografia 73 5 CAPACITORES E DIELÉTRICOS 5.1 Definindo Capacitor 75 5.2 Energia Armazenada em um Capacitor 78 5.3 Associação de Capacitores 81 5.4 Capacitores com Dielétricos 84 4.5 Problemas Propostos 85 4.6 Referências bibliográficas 87 4.7 Web‐bibliografia 87
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UNIDADE II
6 CORRENTE E RESISTÊNCIA ELÉTRICA 6.1 A corrente elétrica 90 6.2 Corrente e velocidade de deriva 926.3 Densidade de corrente, lei de Ohm, condutividade, resistência e resistividade 96 6.4 Resistência e temperatura 102 6.5 Avanços na área: supercondutividade 104 6.6 Potencia elétrica 105 Questões 109 Problemas 110 Bibliografia 111 7 CIRCUITOS ELÉTRICOS 7.1 Elementos e diagramas de circuitos 115 7.2 Força eletromotriz 117 7.3 Associação de resistores 119 7.3.1 Resistores em série 119 7.3.2 Resistores em paralelo 120 7.4 Leis de Kirchoff e circuito básico 122 7.5 Circuitos RC 129 Questões 136 Problemas 137 Bibliografia 139 8 O CAMPO MAGNÉTICO 8.1 Magnetismo 142 8.2 O campo magnético e suas fontes 145
8.3 Movimento de uma partícula carregada em um campo magnético 148 8.4 Aplicações envolvendo movimento de partículas carregadas na presença de campo magnético 150 8.5 A força magnética agindo sobre um condutor portando
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corrente elétrica 152 8.6 Torque 157 Questões 161 Problemas 163 Bibliografia 165 9 A LEI DE AMPÈRE 9.1 Lei de Biot – Savart 168 9.2 Lei de Ampère 173 9.3 A lei de Ampère e os solenóides 176 Questões 178 Problemas 179 Bibliografia 181 10 A LEI DE FARADAY 9.1 Introdução 185 9.2 O fluxo magnético 185 9.3 A lei de Lenz 188 Questões 194 Problemas 196 Bibliografia 200
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UNIDADE 1
A LEI DE COULOMB
ResumoNesta unidade iremos discutir os fenômenos elétricos numa visão eletrostática, onde idealizamos as cargas em repouso. Começaremos discutindo a natureza da carga elétrica, sua conservação a quantização e os processos de eletrização. Em um ponto culminante da unidade veremos como calcular a força elétrica estática entre cargas distribuídas discretamente a partir da lei de Coulomb.
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Sumário UNIDADE 1: Lei de Coulomb Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 1.1 Introdução 10 1.2 A carga elétrica 11 1.3 Condutores, Isolantes e Cargas induzidas 13 1.4 Processos de Eletrização 14 1.5 Lei de Coulomb 16 1.6 Problemas Resolvidos 16 1.7 Problemas Propostos 21 1.8 Referências bibliográficas 23 1.9 Web‐bibliografia 23
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1.1 ‐ Introdução
O fenômeno eletromagnético está associado a uma propriedade fundamental das partículas, chamada “carga elétrica”. Entretanto, diferentemente da massa de um corpo que somente pode exercer atração gravitacional sobre outra massa, as cargas podem exercer tanto atração quanto repulsão umas sobre outras, através de uma interação denominada de eletromagnética. Das quatro interações até então conhecidas, podemos dizer que a interação eletromagnética é a mais importante, pois está presente desde a escala microscópica até a escala macroscópica. No momento iremos tratar apenas de eventos que ocorrem na escala macroscópica, pois a descrição do fenômeno eletromagnético em escala microscópica demandaria conhecimentos de mecânica quântica. Ocasionalmente poderemos fazer uma abordagem microscópica de um sistema, mas numa visão clássica.
Ações comuns como o acionamento do interruptor de uma lâmpada, o apertar de uma tecla de um computador ou o simples acionamento de um controle remoto para ligar uma TV ou abrir um portão, envolvem aplicações de fenômenos eletromagnéticos. Ao acionar o interruptor de uma lâmpada, por exemplo, estabelecemos ou interrompemos a passagem de uma corrente elétrica através de um fio, onde presenciamos concomitantemente efeitos elétricos e magnéticos. Até o fim do século XVIII os fenômenos elétricos e magnéticos eram tratados como mera curiosidade e completamente descorrelacionados. Esta visão deixou de existir com a verificação experimental, no início do século XIX, de que correntes elétricas originam campos magnéticos. A descoberta de Faraday da indução magnética, onde campos magnéticos variáveis produzem campos elétricos demonstrou mais uma vez que os fenômenos elétricos e magnéticos são facetas diferentes de um único fenômeno, o eletromagnetismo. Com a reestruturação do estudo do eletromagnetismo por Maxwell, e a reformulação da lei de Ampère com a inclusão da corrente de deslocamento pela invocação de argumentos de simetria, foi possível prever a geração de ondas eletromagnéticas, posteriormente comprovadas por Hertz.
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Apresentaremos aqui as bases do eletromagnetismo seguindo umaseqüência que coincide com a construção cronológica do eletromagnetismo. Neste primeiro capítulo, e nos próximos três capítulos, iremos discutir os fenômenos elétricos do ponto de vista eletrostático, onde idealizamos as cargas em repouso. Começaremos discutindo a natureza da carga elétrica, sua conservação, sua quantização, e os processos de eletrização. Ainda neste capítulo veremos como calcular a força elétrica entre cargas a partir da lei de Coulomb.
1.2 – Carga Elétrica
Primeiramente devemos fazer algumas considerações de caráter microscópico. A matéria é formada de pequenas partículas, os átomos. Cada átomo, por sua vez, é constituído de partículas ainda menores, os prótons, os elétrons e os nêutrons. Os prótons e os nêutrons localizam‐ se na parte central do átomo, e formam o núcleo. Os elétrons giram em torno do núcleo na região denominada eletrosfera. Os prótons e os elétrons apresentam uma importante propriedade física, a carga elétrica. A carga elétrica do próton e a do elétron tem a mesma intensidade, mas sinais contrários. A carga do próton é, por convenção, positiva e a do elétron, negativa. Num átomo neutro não existe predominância de cargas elétricas; o número de prótons é igual ao número de elétrons. O átomo é um sistema eletricamente neutro. Entretanto quando ele perde ou ganha elétrons, fica eletrizado. O átomo está eletrizado positivamente quando tem mais prótons que elétrons e
negativamente quando tem mais elétrons que prótons. A carga do
elétron é a menor quantidade de carga elétrica estável existente na natureza, sendo por isso tomada como carga padrão nas medidas de carga elétricas. No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de
medida de carga elétrica é o coulomb (C).
A carga do elétron, quando tomada em módulo, é chamada de carga elementar e é representada por e,com valor absoluto de 1,6.10 ‐ 19 C. • carga do elétron: ‐ 1,6.10 ‐ 19 C
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Do ponto de vista macroscópico, uma forma de construirmos umconceito acerca de carga elétrica consiste em realizar um pequeno número de experimentos, descritos abaixo. Considere (ver Fig. 1.1a) dois bastões de plástico e esfregue um pedaço de camurça em cada um deles. Ao tentar aproximar os bastões constatar‐se‐á uma repulsão entre os mesmos. Ao repetir o mesmo experimento usando dois bastões de vidro e um pedaço de seda verificará, também, uma repulsão entre os bastões de vidro (Fig.1.1b). Entretanto, ao aproximar um bastão de plástico esfregado com camurça de um bastão de vidro esfregado com seda verifica‐se uma atração entre os mesmos (Fig.1.1c). Experimentos dessa natureza revelam que existem dois tipos de cargas elétricas: o tipo de carga elétrica acumulada no bastão de plástico e na seda (convencionada de carga negativa) e o tipo de carga acumulada no bastão de vidro e na camurça (carga positiva). Conclusão: “Cargas elétricas de mesmo sinal se repelem, enquanto cargas elétricas de sinais opostos se atraem”. Há dois princípios importantes acerca das cargas elétricas. Para apresentar o primeiro princípio consideremos a eletrização do bastão de Figura 1.1: (a) Eletrização de bastões de plástico com camurça. (b) Eletrização de bastões de vidro com lã. (c) Atração entre bastões de plástico e de vidro
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plástico com camurça. Inicialmente estes corpos estão descarregados, edepois de atritados ficam carregados. O primeiro princípio, da
“conservação da carga elétrica”, afirma que:
A soma algébrica de todas as cargas elétricas antes da eletrização é igual a soma das cargas depois da eletrização.
Assim, em qualquer processo de eletrização no qual um corpo é carregado, a carga elétrica não é nem criada nem destruída, mas meramente transferida de um corpo a outro. O segundo princípio importante acerca da carga é o que diz respeito à sua quantização:
O módulo da carga elétrica do elétron ou do próton é uma unidade de carga natural “e”.
Qualquer quantidade de carga elétrica observada é sempre um múltiplo inteiro dessa unidade básica, caracterizando assim a quantização da carga. Entretanto, existem fortes evidências de que o próton não seja uma partícula elementar, e de que o mesmo seja formado de três partículas menores denominadas de quarks, sendo dois
com carga +2e/3 e um com carga –e/3. Entretanto, como os quarks não
são encontrados livres na natureza fica valendo a carga do elétron como a unidade fundamental.
1.3 Condutores, Isolantes e Cargas induzidas
Alguns materiais permitem a migração de cargas elétricas de uma região para outra, enquanto outros impedem esta movimentação de cargas dentro do material e entre materiais. Grosso modo podemos classificar os materiais quanto à mobilidade das cargas elétricas em:
• Condutores elétricos
Meios materiais nos quais as cargas elétricas movimentam‐se com facilidade. Pertencem a esta categoria os metais, como ouro, cobre, alumínio e outros. Estes elétrons que podem se mover ao longo do material geralmente são os periféricos e que estão fracamente presos aos núcleos de seus átomos. Quando uma quantidade de carga é colocada no interior de um condutor esta se distribuirá por toda a sua superfície.
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Meios materiais nos quais as cargas elétricas não têm facilidadede movimentação. A borracha, vidro etc. Ao contrário dos condutores seus elétrons estão fortemente ligados aos seus respectivos núcleos. Ao colocarmos uma quantidade de carga nestes materiais isolantes a carga não se espalha por todo o material, permanecendo localizada na região em que foi colocada.
Existem ainda os semicondutores, que são materiais de propriedades intermediárias entre os isolantes e condutores.
1.4 ‐ Processos de Eletrização
Um material pode ser eletrizado através de dois processos: (a)
Eletrização por atrito, ocorre quando materiais não condutores são
atritados uns contra os outros. Nesse processo, um dos materiais perde elétrons e outra ganha, de modo que um tipo de material fica positivo e outro fica negativo. Uma experiência típica e simples consiste em atritar a lã no vidro, como mostrado na Figura 1.2. A comprovação de que ele ficou carregado é obtida atraindo‐se pequenas partículas, por exemplo, de pó de giz. (b) A Eletrização por indução se dá geralmente entre um corpo carregado e um descarregado (geralmente um condutor). A figura 1.3 ilustra as etapas essenciais do processo de eletrização por indução. Na ilustração, tem‐se inicialmente (Fig.1.3a) uma esfera condutora
descarregada e isolada por um suporte não condutor. A aproximação do corpo negativamente carregado atrai as cargas positivas da esfera
Figura 1.2: Após serem eletrizadas por atrito vidro e lã se atraem.
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eletricamente neutra (Fig.1.3b). A extremidade próxima ao corpocarregado fica positiva, enquanto a extremidade oposta fica negativa. Mantendo‐se o corpo carregado próximo, liga‐se o corpo eletricamente neutro a terra (Fig.1.3c). Elétrons descerão pra terra. Cortando‐se a ligação com terra (Fig.1.3d), obtém‐se um corpo positivamente carregado (Fig.1.3e).
O processo de carregamento de um corpo por indução funcionaria igualmente bem se as cargas móveis sobre a esfera fossem positivas em vez de negativos, ou ate mesmos se existissem simultaneamente cargas móveis positivas e negativas. Em um condutor as cargas móveis são sempre elétrons.
É bom observar que um corpo carregado pode exercer força de atração sobre objetos descarregados (neutros). O exemplo ilustrado na Figura
1.3 é uma demonstração desse fato. Entretanto, a atração pode ocorrer
entre um corpo carregado e um isolante, onde as cargas negativas e positivas do isolante neutro ficam ligeiramente separadas espacialmente. Este caso pode ser observado quando aproximamos um pente eletrizado de pequenos pedaços de papel. Figura 1.3: Etapas do processo de eletrização por indução
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1.5 – Lei de Coulomb
As principais interações entre partículas devem‐se à sua massa (interação gravitacional) e a sua carga (interação elétrica). Motivado pelos estudos de Cavendish da interação gravitacional, Charles Augustin Coulomb (1736‐1806) estudou a força de interação entre partículas carregadas. Podemos dizer que dois corpos eletrizados estacionários exercem predominantemente uma força elétrica entre si, uma vez que a interação gravitacional é desprezível em comparação a primeira. A eletrostática é a área do eletromagnetismo que aborda interações entre cargas estacionárias ou quase estacionárias. Coulomb descobriu, experimentalmente, que o módulo da força elétrica entre duas cargas puntiformes q1 e q2, separadas por uma distância r, é dada por:
| |
(lei de Coulomb) (1.1) onde k é a constante elétrica e tem o seguinte valor no Sistema Internacional: 8,988 10 . / . A constante ε0 (=8,854x10‐12C2/N.m2) é a permissividade do vácuo.
Podemos expressar a Eq.1‐1 na forma vetorial usando a Figura 1.4a, onde as cargas q1 e q2 de mesmo sinal são ligadas pelo vetor posição , que tem origem em q2 e extremidade em q1. O sentido da força , que a partícula 1 sofre devido a carga da partícula 2, aponta no mesmo sentido do vetor depende do sinal de suas cargas. Podemos representar a força como
̂ (1.2) Da mesma forma a força , que a partícula 1 exerce na partícula 2 aponta no sentido oposto ( ). A Figura 1.4b esquematiza o caso em que as cargas têm sinais opostos. Consideremos agora a carga pontual q1 interagindo com um conjunto de N cargas pontuais qi (i= 2,3,...,N). Cada
uma das cargas qi exercem uma força sobre a carga q1. Pode‐se representar a força total sofrida pela partícula 1 como
∑ (1.3)
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Figura 1.4 (a) Força entre cargas de mesmo sinal. (b) Força entre cargas Figura 1.5: Átomo de hidrogênio onde a força é a força que a i‐ésima carga exerce sobre a partícula 1. No próximo capítulo descreveremos como calcular a força elétrica de uma distribuição contínua de cargas sobre uma carga pontual, após a introdução do conceito de campo elétrico.
1.6 – Problemas Resolvidos
Exemplo 1.1 – Para se ter uma idéia da ordem de grandeza da interação
eletrostática comparativamente à força gravitacional entre duas partículas de cargas q1 e q2, com respectivas massas m1 e m2, considere o átomo de hidrogênio cuja separação média entre o elétron e o próton é de 5,3x10‐11m. Calcule a razão entre a sua
interação elétrica e a sua interação gravitacional.
Solução: Um esquema do átomo de
hidrogênio seguindo o modelo de Bohr é apresentado na Figura 1.5. Sabendo que o valor da carga elementar e = 1,602x10‐19C e
as massas do elétron, me = 9,1x10‐31kg e a
massa do próton mp =1 ,6x10‐27kg podemos
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Calcular o módulo da forças elétricas, Fe, e da gravitacional, Fg. Assim,como e , sua razão é:
, . /
, . /
,
, , 2,3 10 .
Isto mostra que na escala microscópica a interação gravitacional pode ser ignorada. Outra diferença entre estas duas interações é que enquanto a força gravitacional é somente atrativa, a força elétrica pode ser atrativa ou repulsiva.
Caso Especial: As semelhanças entre a interação gravitacional e
a eletrostático é muito grande. No caso gravitacional, estabeleceram‐se duas propriedades da força exercida por uma casca esférica de massa específica uniforme sobre uma massa pontual: (a) a força sobre uma partícula dentro desta casca esférica é zero e (2) a força sobre uma partícula externa é a mesma como se toda a massa da casca esférica estivesse concentrada em seu centro. Vamos importar estes teoremas da interação gravitação sem prová‐los, por enquanto, e estender ao caso de uma casca esférica com distribuição uniforme de cargas:
Uma casca esférica uniformemente carregada não aplica nenhuma força eletrostática sobre uma carga pontual posicionada em qualquer ponto no seu interior
Uma casca esférica uniformemente carregada aplica uma força eletrostática sobre uma carga pontual do lado de fora da casca como se todas as cargas da casca estivessem concentradas em uma carga pontual no seu centro
Usaremos este resultado para calcular a força entre uma esfera de carga com distribuição uniforme e uma carga pontual situada tanto em pontos internos quanto externos à esfera. Podemos estender o primeiro
teorema a uma distribuição não‐uniforme de cargas na superfície de uma esfera? Qual é o campo elétrico no interior de condutores? Nos
próximos capítulos (campo elétrico e lei de Gauss) discutiremos estas questões com mais detalhes.
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Exemplo 1.2 – Duas cargas puntiformes positivas, Q1 e Q2 de módulos iguais a q, são colocadas ao longo do eixo y nas posições y=‐a e y=+a. Considere uma terceira carga positiva, Q3=q, posicionada ao longo do eixo x na posição x. (a) Calcule o módulo da força resultante sobre a carga Q3. (b) Encontre a posição ao longo do eixo x em que a força resultante é máxima.
Solução: (a) O problema está esquematizado na Figura 1.6.
Considerando a simetria do
problema decorrente do arranjo geométrico (cargas eqüidistantes em relação ao eixo x) e o fato de que as cargas têm o mesmo módulo q, vemos que a força resultante aponta ao longo do eixo x. Assim, cos cos 1 4 1 4 / , onde usamos o fato de que cos / / .
(b) Para encontrarmos o ponto em que a força resultante atinge um máximo ao longo do eixo x derivamos a expressão da força obtida no item (a) e igualamos a derivada à zero, o valor de x encontrado é o que
Figura 1.6: Ação das cargas Q1 e Q2 sobre Q3.
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Figura1.7: (a) Calculo da força para uma carga q0 no interior da esfera de raio R. (b) Força entre a carga q0 e a esfera para pontos no exterior.
maximiza a força desde que a segunda derivada seja negativa neste ponto: / 0, leva a . Para verificarmos que este valor maximiza a força calculemos a segunda derivada: / , substituindo x=a/2 constata‐se que 0 e portanto a força atinge o máximo em x=±a/2.
Exemplo 1.3 – Calcule a força de interação entre uma esfera maciça
uniformemente carregada com densidade volumétrica ρ(carga total Q) e uma carga pontual q0 situada em um ponto (a) no interior da esfera e (b) no seu exterior.
Solução: Para resolver este problema vamos usar o fato de que o campo
no interior de uma casca esférica uniforme de cargas não exerce força sobre cargas no seu interior e quando a carga está no seu exterior a esfera de carga uniforme pode ser tratada como uma carga pontual. Sendo assim, para um ponto interno à esfera de raio R (Figura 1.7(a)), podemos considerar que toda a carga q’ na esfera de raio r está concentrada no seu centro. Os valores da carga total Q e da carga q’ são:
e .
Dessa forma temos . Aplicando a lei de Coulomb temos o
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Para r>R (Fig. 1.7(b)) a carga se comporta com estivesse concentrada nocentro da esfera: .
1.7 – Problemas Propostos
Problema 1.1 ‐ Duas partículas igualmente carregadas, com um
afastamento de 3x10‐3 m entre elas, são largadas a partir do repouso. As partículas têm massas iguais a 7,0x10‐7 kg e 5,4x10‐7 kg, e a aceleração inicial da primeira partícula é de 700 m/s2. Quais são: (a) a aceleração da segunda partícula? (b) O módulo da carga comum?
R.: 900 m/s2; 7x10‐10 C.
Problema 1.2 ‐ Duas cargas pontuais livres, +q e +9q, estão afastadas
por uma distância d. Uma terceira carga é colocada de tal modo que todo o sistema fica em equilíbrio. (a) Determine a posição, o módulo e o sinal da terceira carga. (b) Mostre que o equilíbrio é instável.
R.: Carga –9q/16, colocada entre as cargas +q e +9q, a uma distância d/4 a partir da carga +q.
Problema 1.3 ‐ Cargas iguais a +Q são colocadas nos vértices de um
triângulo eqüilátero de lado L. Determine a posição, o módulo e o sinal de uma carga colocada no interior do triângulo, de modo que o sistema fique em equilíbrio.
R.: Carga
√ colocada na bissetriz, a uma distância /√3a partir do vértice.
Problema 1.4 ‐ Uma carga Q igual a 2x10‐19 C é dividida em duas, (Q‐q)
e q, de modo que a repulsão coulombiana seja máxima. Calcule a distância que uma carga deve ficar da outra, para que esta força seja igual 9x10‐9 N.
R.: 1Å
Problema 1.5 ‐ Duas cargas pontuais idênticas, de massa m e carga q,
estão suspensas por fios não condutores de comprimento L, conforme ilustra a figura 1.8. Considerando o ângulo q tão pequeno de modo que seja válida a aproximação tan sin , mostre que
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Figura 1.9 / , onde x é a separação entre as bolas. (b) Se L=122 cm, m=11,2 g e x=4,70 cm, qual o valor de q?Problema 1.5 – Cinco cargas Q estão igualmente espaçadas em um
semicírculo de raio R como mostrado na Figura 1.9. Encontre a força na carga q localizada no centro do semicírculo.
Problema 1.6 – Três cargas de q1=‐1.o μC, q2=2.0 μC e q3=4.0μC têm suas localizações dadas pelos pares ordenados, respectivamente em metros, (0,0), (0,0.1),(0.2,0). Encontre as forças que atuam em cada uma das três cargas.
Problema 1.7 – (a) Se a convenção de sinal da carga fosse mudada de
modo que a carga do elétron fosse positiva e a carga do próton fosse negativa, a lei de Coulomb ainda valeria? (b) Discuta as semelhanças e as diferenças entre as leis de Coulomb e a lei de gravitação universal.
Problema 1.8 – Quando duas cargas de iguais massas e cargas são
liberadas sobre uma mesa horizontal e sem atrito, cada massa terá uma
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aceleração inicial a0. Se ao invés disso mantivermos uma das cargas fixase a outra livre, qual será sua aceleração inicial: a0, 2a0 ou a0/2? Explique.
1.8 Referências bibliográficas
Livro Texto
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física. V. 3, 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
Bibliografia complementar
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002. TIPLER, P. Física 3. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 3: mecânica. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. V. 3. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 1.9 Web‐bibliografia http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.ht ml
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UNIDADE 2
O CAMPO ELÉTRICO
RESUMONesta unidade vamos introduzir o conceito de campo elétrico, importante para o entendimento de como as interações à distância entre cargas se estabelecem, principalmente se estas cargas estão em movimento, como poderá ser discutido em um estudo mais avançado da eletrodinâmica clássica. Neste capítulo discutiremos somente o campo elétrico estático devido a cargas em repouso.
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Sumário UNIDADE 2: O campo Elétrico Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 2 O CAMPO ELÉTRICO 2.1 Introdução 26 2.2 Ação à Distância e o Campo Elétrico 26 2.3 Dipolo Elétrico 28 2.4 Linhas de Campo Elétrico 29 2.5 Carga Elétrica na Presença de um campo Elétrico 31 2.6 Dipolo Elétrico Sob Ação de um Campo elétrico Externo 32 2.7 Problemas Resolvidos 33 2.8 Problemas Propostos 35 2.9 Referências bibliográficas 37 2.9 Web‐bibliografia 37
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2.1 – Introdução
Qual é o mecanismo pelo qual uma partícula consegue exercer uma força sobre outra atravessando o espaço vazio que as separa? Supondo que uma partícula em um determinado ponto é subitamente movida, a força que uma segunda partícula a uma distância r exercia na primeira é subitamente alterada? Neste capítulo vamos introduzir o conceito de campo elétrico, importante para o entendimento de como as interações à distância entre cargas se estabelecem, principalmente se estas cargas estão em movimento, como poderá ser discutido em um estudo mais avançado da eletrodinâmica clássica. Neste capítulo discutiremos somente o campo elétrico estático devido a cargas em repouso.
2.2 ‐ Ação à Distância e o Campo Elétrico
A força coulombiana, assim como a força gravitacional, é uma interação à distância e algo mal compreendido até meados do século dezenove quando Michael Faraday introduziu o conceito de campo que permite‐os raciocinar como se dá a ação à distância. De acordo com o conceito de campo, a interação entre duas cargas, q1 e q2, ocorre através da ação do campo elétrico de uma delas sobre a outra. Definimos então o campo elétrico , em um ponto, produzido por um conjunto de cargas, como a força elétrica que atua sobre uma carga q0 neste ponto devido às outras, dividida pela carga q0,
, (2.1) onde q0 é a carga de prova, convencionalmente tomada como positiva.
No Sistema internacional (SI) a unidade de campo elétrico é 1 newton
por coulomb (1N/C). Operacionalmente devemos considerar a carga de
prova, q0, tão pequena quanto possível para que esta não perturbe o
arranjo original de cargas do qual se quer medir o campo elétrico. Isto pode ser resumido na equação abaixo
lim
Assim, para se conhecer o valor do campo elétrico em determinado ponto, basta colocar uma carga de prova naquele ponto e dividir a força medida pelo valor da carga de prova q0.
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Considere q uma carga puntiforme positiva como uma fonte decampo elétrico. Coloquemos a carga de prova positiva q0 a uma distância r desta (ver Figura 2.1a). A carga de prova experimentará uma força de repulsão de módulo | |. Substituindo F0 no módulo da Eq. (2.1) temos | | (2.2) Vetorialmente, temos | | ̂, (2.3)
onde ̂ é o vetor unitário que aponta na direção do ponto P, onde foi aferido o campo elétrico. Observe que o campo elétrico de uma carga positiva aponta na mesma direção da força que atua na carga de prova e é, portanto de afastamento. Se q for negativa (Fig. 2.1b) a força será de atração sobre a carga de prova e o campo elétrico será de aproximação. Também se observa que o módulo do campo elétrico de uma carga pontual para uma mesma distância ao redor da fonte é o mesmo. Campos elétricos cujo módulo independem da orientação espacial, mas tão somente da distância da fonte ao ponto de observação são denominados de radiais.
Considere uma pequena carga de prova q0 em um ponto P distante ri0 de uma carga qi. A força na carga de prova devido à carga qi é
̂ e o campo elétrico é, usando Eq.(2‐1)
Figura 2.1: Campo Elétrico de uma carga pontual q.(a) carga fonte poisitiva e (b) carga fonte negativa
28
Figura 2.3: (a)Molécula de água como dipolo permanente e (b) dipolo induzido
̂ ,
onde ̂ é o vetor unitário apontado da carga qi ao ponto onde se quer medir o campo . Para uma distribuição discreta de cargas o campo total no ponto P é
1
4 ̂ . 2.4
A propriedade acima é conhecida como princípio da superposição, que decorre da existência de respostas lineares do sistema de cargas discretas ou contínuas. A propósito, para uma distribuição contínua de cargas a equação acima é escrita como
, 2.4 onde em coordenadas cartesianas ̂ ̂ , e , sendo r a distância do elemento de carga dq ao ponto de observação.
2.3 ‐ Dipolo Elétrico
Um sistema formado de duas cargas de mesmo módulo e de sinais opostos separadas por uma pequena distância L é chamado de dipolo elétrico. Sua amplitude e orientação são descritos pelo vetor dipolo
elétrico , que é um vetor que aponta da carga negativa para a carga
positiva e tem módulo qL (ver Figura 2.2).
Um sistema pode naturalmente apresentar propriedades polares (chamados de dipolos permanentes) ou estas podem ser induzidas pela aplicação de um campo elétrico no sistema (dipolos induzidos). Como um exemplo de um dipolo permanente podemos citar o caso da molécula de água (Fig2.3a), onde os elétrons “preferem” passar mais
Figura 2.2: Dipolo Elétrico
29
tempo próximos ao oxigênio do que dos hidrogênios. No caso de umdipolo induzido podemos ter uma molécula em que inicialmente os centros das distribuições das cargas positivas e negativas coincidem, mas são deslocados pela ação de um campo elétrico externo (Fig2.3b). Em muitas investigações em ciências físicas e químicas somos solicitados a verificar se um determinado sistema pode apresentar comportamento dipolar. Por isso é importante calcularmos o campo do dipolo elétrico para conhecermos suas propriedades matemáticas. O exemplo abaixo ilustra este procedimento.
Exemplo 2.1: A figura 2.4 mostra um dipolo elétrico com suas cargas
posicionadas ao longo do eixo x nas posições x=‐a e x=+a. (a) Encontre o campo elétrico em um ponto x>a. (b) Encontre a forma matemática do campo elétrico para a situação limite x>>a. Solução: (a) Considere um ponto x>a, e aplique a Eq.(2‐4): ̂ ̂ ̂. (b) O comportamento do campo elétrico do dipolo para x>>a é ou ̂ , (2.5) onde fizemos a aproximação e 2 . A Eq.(2.5) mostra que para pontos afastados das cargas o campo do dipolo cai mais rapidamente e com o cubo da distância. Figura 2.4: Dipolo elétrico formado de duas cargas de módulo q e distância L=2a
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2.4 ‐ Linhas de Campo Elétrico
Podemos representar o campo elétrico traçando linhas que indicam a sua direção. As linhas de campo elétrico, introduzidas por Faraday, são também conhecidas como linhas de força. Em qualquer ponto o campo elétrico, , é tangente à linha. A Figura 2.5(a) mostra que para uma carga pontual positiva o campo elétrico aponta radialmente para fora, como mostram as linhas de força. No caso de uma carga pontual negativa as linhas de força convergem para o ponto aonde se encontra a carga. Observe como a representação do campo elétrico em termos de linhas de força é útil. Por exemplo, a medida que nos afastamos da carga pontual positiva as linhas de força estarão cada vez mais afastadas, mostrando que o campo vai ficando cada vez mais fraco. Considere uma esfera de raio r centrada em torno de uma carga pontual. Se N linhas de força emergem da carga, o número de linhas de força por unidade de área que atravessarão a superfície da esfera é N/πr2. Assim, a densidade de linhas decresce com a distância com 1/r2, que é o mesmo comportamento do campo elétrico. As Figuras 2.6(a) e (b) mostram a representação do campo elétrico em termos de linhas de força respectivamente para duas cargas iguais e positivas e para um dipolo elétrico. É muito intuitiva a construção de tal representação baseada na justaposição das representações em termos das linhas de força de cada Figura 2.5: Representação do campo elétrico por meio de linhas de força para (a) carga positiva e (b) carga negativa Figura 2.6: (a) Cargas iguais e positivas e (b) cargas iguais e opostas
31
carga isoladamente. É muito instrutivo resumir em um conjunto deregras a serem seguidas na representação do campo elétrico de um conjunto de cargas elétricas pontuais:
2 As linhas de campo elétrico começam nas cargas positivas (ou no infinito) e terminam nas cargas negativas (ou no infinito);
3 As linhas de campo são traçadas simetricamente entrando ou saindo de uma carga isolada;
4 O número de linhas de campo deixando uma carga positiva ou entrando em uma carga negativa é proporcionais à magnitude da carga;
5 A densidade de linhas de campo (o número de linhas por unidade de área perpendicular às linhas) em qualquer ponto é proporcional à magnitude do campo elétrico naquele ponto; 6 Á grandes distâncias de um conjunto de cargas, as linhas de campo são igualmente espaçadas e radiais, como se elas se originassem de uma carga pontual de carga líquida igual à do conjunto; 7 Linhas de campo resultante não se cruzam. 2.5 ‐ Carga Elétrica na Presença de um campo Elétrico Quando uma carga elétrica pontual q é colocada em um ponto com campo elétrico , a carga fica submetida a uma força . Se a força elétrica é a única força significativa a que a carga q está submetida, esta sofrerá uma aceleração dada pela segunda lei de Newton
∑
, 2.6 onde m é a massa partícula com carga q. No caso do elétron a velocidade envolvida é muito grande e devemos considerar correções relativísticas. Se o campo elétrico é conhecido a relação q/m pode ser calculada pela medida da aceleração. Esta foi a base da experiência de J. J. Thomson em 1897 para a determinação da existência do elétron. Este experimento é a base de funcionamento de uma série de dispositivos eletrônicos, como osciloscópios, monitores de computador, monitores de TV, etc.
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Figura 2.7: Elétron na presença de um campo elétrico uniforme.
Figura 2.8: Dipolo elétrico sob ação de um campo elétrico externo uniforme, 1000 ̂ , com uma velocidade inicial
2 10 ̂ na direção do campo (ver Fig.2.7). Que distância o elétron viajará na região de campo antes de parar?
Solução: Considerando que a única força significativa é a elétrica e
sendo a carga do elétron negativa esta força é , constante e apontando no sentido oposto ao do campo elétrico. Assim, podemos usar as equações do movimento uniformemente variado para encontrarmos a variação da posição até repouso instantâneo do elétron: 1. O deslocamento Δx esta relacionado às velocidades inicial e final pela equação de Torricelli: 2 ∆ , 2. O módulo da aceleração é , 3. Quando v=0 temos ∆ 1.14 10 . 2.6 – Dipolo Elétrico Sob Ação de um Campo elétrico Externo
Já discutimos o caso do campo elétrico gerado por um dipolo elétrico, que pode ser uma molécula de água ou uma molécula de ácido clorídrico, que são moléculas polares. Vamos discutir agora o que acontece com um dipolo quando este é submetido a um campo elétrico externo. Para simplificar vamos considerar que este campo é uniforme. Vamos mostrar que o campo externo não exerce nenhuma força externa
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determinando ângulo. Considere a figura 2.8, que mostra o dipolo numaregião de campo elétrico uniforme. Observe que as forças e têm mesmo módulo, F1=F2=qE, mas sentidos opostos, o que dá uma resultante nula. Por outro lado, estas forças exercem um torque que tende a girar e alinhar o dipolo com o campo externo. Por exemplo, o torque em torno da carga negativa tem módulo sin
sin sin . A direção do torque, pela regra da mão direita, é aquela entrando na página. Em notação vetorial podemos escrever o torque como :
. 2.7 Quando um dipolo gira de um ângulo dθ, o trabalho realizado pelo torque é sin . O sinal vem do fato de que o torque tende a decrescer θ. Como este trabalho é igual ao decréscimo da energia potencial, temos sin . Integrando, obtemos cos . Escolhendo U0=0 para θ=π/2, temos cos · , 2.8 Que é a energia potencial elétrica armazenada no dipolo elétrico.
Fornos de micro‐ondas exploram o fato de que existe uma
grande quantidade de água (moléculas polares) nos alimentos para poder cozinhá‐los. Ao funcionar na faixa de vibração das moléculas de água estas vibram por ressonância e os alimentos são aquecidos
2.7 – Problemas resolvidos
Exemplo 2.3: Uma carga pontual q1=8 nC está na origem , e uma
segunda carga q2=12 nC está no eixo x, em a=4m (Figura 2.9). Encontre o campo elétrico total (a) em P1, no eixo x, a x=7 m e (b) em P2 no eixo x em x=3 m. Figura 2.9: Duas cargas pontuais dispostas ao longo do eixo x
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Solução: Como o ponto P1 está à direita das duas cargas e as mesmas são ponto P2 (x=3 m), que está mais próximo da carga q2, o campo elétrico resultante apontará para a esquerda. Vejamos isto quantitativamente:
(a) Usando a Eq. (2.4) para o ponto P1 temos
̂ ̂ ̂ ̂,
Usando x=7 m, a=4 m, q1=8 nC e q2=12 nC, temos 13.5 ̂. (b) Para o ponto P2 temos ̂ ̂ ̂ ̂, o que dá 100 ̂. A Figura 2.10 mostra graficamente o comportamento do campo elétrico para todos os pontos ao longo do eixo x. Exemplo 2.4: Encontre o campo elétrico no eixo y a y=3 m para as cargas vistas na Figura 2.9.
Solução: Observe que para um ponto sobre o eixo y o campo elétrico,
, devido à carga q1, aponta ao longo do eixo y, enquanto o campo , devido à carga q2, faz um ângulo θ com o eixo y (Figura 2.11a). Para encontrar o campo resultante procedemos com a decomposição analítica, encontrando as componentes x e y de cada campo, como mostrado na figura 2.11b.
Figura 2.10: Gráfico do campo elétrico resultante da configuração de cargas vista na Fig. 2.9 ao longo do eixo x
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Figura 2.12 Observe que o campo da carga q1 tem módulo 7.99 N/C,
0, 7.99 . O campo da carga q2 tem módulo 4.32 . Suas componentes são cos , sin . Da Figura 2.11a obtemos sin 0.8 e cos 0.6. Assim temos,
3.46 / e
10.6 . Dessas componentes obtemos a magnitude do campo
resultante, 11.2 / , fazendo um ângulo tan 108°, com o eixo x. 2.8 –Problemas Propostos Problema 2.1‐ As linhas de campo de duas esferas condutoras são mostradas na Figura 2.12. Qual o sinal relativo das cargas e a magnitude das cargas das duas esferas?
Problema 2.2‐ Um elétron entra em
uma região de campo elétrico
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Figura 2.13: Quadrado de lado a
2000 ̂ com uma velocidade inicial 10 ̂ perpendicular ao campo. (a) Faça uma comparação entre as forças gravitacional e elétrica que agem no elétron. Qual é a deflexão do elétron após ele ter percorrido 1 cm na direção x?
Problema 2.3‐ Calcule o campo elétrico no centro do quadrado da figura 2.13 abaixo.
Problema 2.4‐ Em um particular ponto do espaço, uma carga Q é
posicionada e não sobre nenhuma força elétrica. Analise cada uma das alternativas abaixo, justificando sua resposta:
(a) Não existem cargas nas proximidades;
(b) Se existem cargas próximas, estas têm sinais opostos ao de Q;
(c) Se existem cargas próximas, a carga total positiva deve ser igual a carga total negativa;
(d) Nenhuma das alternativas acima precisa ser verdadeira.
Problema 2.5‐ Uma carga de +5.0 μC está localizada em x=‐3.0 cm e uma
segunda carga de ‐8.0 μC está localizada em x=+4.0 cm. Onde devemos posicionar uma terceira carga de +6.0 μC de modo a termos o campo elétrico nulo em x=0.0 cm?
Problema 2.6‐ Duas cargas +4q e ‐3q estão separadas por uma pequena
distância. Trace as linhas de campo elétrico para este sistema.
Problema 2.7‐ Três cargas iguais e positivas são posicionadas nos
vértices de um triângulo eqüilátero. Esquematize as linhas de campo elétrico para este sistema.
Problema 2.8‐ Um elétron, partindo do repouso, é acelerado por um
campo elétrico uniforme de módulo 8 x 104 N/C que se estende por uma região de 5.0 cm. Encontre a velocidade do elétron depois que ele deixa a região de campo elétrico uniforme.
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Problema 2.9‐Duas cargas pontuais, q1=+2.0 pC e q2=‐2.0 pC estão separadas por uma distância de 4μm. (a) Qual é o momento de dipolo do par de cargas? (b) Esquematize o dipolo e mostre a direção do momento de dipolo. 2.8 Referências bibliográficas Livro Texto HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física. V. 3, 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. Bibliografia complementar HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002. TIPLER, P. Física 3. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999. NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 3: mecânica. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. V. 3. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 2.9 Web‐bibliografia http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.ht ml
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UNIDADE 3
A LEI DE GAUSS
RESUMO Nesta unidade discute‐se uma alternativa à lei de Coulomb, chamada de lei de Gauss, que permite uma abordagem mais prática e instrutiva no cálculo do campo elétrico em situações que apresentam certas simetrias. Entretanto, o cálculo do campo elétrico na forma como apresentada na unidade anterior permanece infalível, embora trabalhosa em muitos casos. Neste capítulo apresentaremos o conceito de fluxo de um campo vetorial, importante na apresentação da lei de Gauss e depois faremos aplicações.
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Sumário UNIDADE 3: A Lei de Gauss Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 3.1 O Fluxo de Campo Vetorial 3.1 3.2 O Fluxo do Campo Elétrico e a Lei de Gauss 3.2 3.3 Aplicações da Lei de Gauss 3.33.4 Usando a Lei de Gauss para Discutir o Campo Elétrico em Condutores 3.4 3.5 Problemas Propostos 3.5 3.6 Referências bibliográficas 3.7 Web‐bibliografia
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3.1 O Fluxo de Campo Vetorial
Uma forma de entendermos o significado de fluxo é imaginarmos que estamos às margens de uma auto ‐ estrada e realizando a contagem da quantidade de carros que cruzam a via em determinado ponto durante certo tempo. Ao fazer isto estamos calculando o fluxo de carros na estrada naquele ponto. Se associarmos um vetor velocidade a cada carro que ocupam a via teremos vários vetores velocidade espacialmente distribuídos, compondo o que denominamos campo vetorial de velocidades .
Para uma análise quantitativa do fluxo vetorial consideremos o escoamento de um fluido em regime estacionário, representado pela especificação do vetor velocidade em cada ponto (ver Fig.3.1). Na Fig.3.1a colocam‐se um fio retangular de modo que seu plano seja perpendicular ao vetor velocidade, , associado ao fluxo do fluido que
escoa ao longo de um canal. Definindo‐se o fluxo do campo de velocidades de modo que seu valor absoluto seja dado por
| | , (3.1) onde v é a intensidade da velocidade no local em que está posicionado o fio retangular. A unidade do fluxo do fluido é m3/s, que é o mesmo que a vazão do fluido que passa através da área A delimitada pelo fio retangular. Em termos do conceito de campo, podemos considerar o
fluxo como uma medida do número de linhas de campo que
Figura 3.1: (a) Fio retangular em um fluido com área normal ao vetor velocidade. (b) Fio retangular com área formando um ângulo Ф com o vetor velocidade.
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atravessam a área do fio retangular. Se inclinarmos o fio retangular de
forma que o seu plano não seja mais perpendicular à direção do vetor velocidade (ver Fig. 3.1b), o número de linhas do campo de velocidade atravessando a área, A, do retângulo não será mais o mesmo e diminuirá. Para calcular o fluxo do fluido observemos que o número de linhas do campo de velocidade que atravessam a área, A, na forma inclinada é o mesmo número de linhas que atravessam a área projetada, Acosφ, perpendicularmente às linhas de . Assim, a intensidade do fluxo correspondente a situação retratada na Fig. 3.1b é
|Φ| vA cos . (3.2) Se o fio retangular for girado de modo que sua área seja paralela ao vetor velocidade (φ=90°), nenhuma linha de velocidade atravessará a área e o fluxo de velocidades é nulo (| | 0 . Podemos dar uma interpretação vetorial à Eq.(3.2), introduzindo o vetor área, , que emerge perpendicularmente (normal) à superfície de área A do fio retangular:
· . 3.3 Observe que esta definição nos coloca diante da possibilidade de um fluxo de positivo ( 0 90°), bem como um fluxo de negativo ( 0 90°). Assim, no caso de uma superfície aberta deve‐se escolher um sentido para a normal à superfície em questão. No caso de uma superfície fechada, na qual se refere a lei de Gauss, adota‐se o sentido do vetor área, , como sendo o sentido da normal saindo da superfície. Dessa forma, o fluxo associado a um campo vetorial que atravessa a superfície e deixa o volume será um fluxo positivo (fonte de linhas de campo), caso contrário o fluxo será negativo (sumidouro de linhas de campo). Podemos estender a definição acima para uma superfície qualquer considerando que a mesma é formada de um número muito grande de superfícies retangulares de área, , elementares, cujo fluxo de linhas de através da superfície de área ΔA será · . Em seguida somamos e tomamos o limite de | | tendendo a zero,
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lim · . . . , (3.4) onde é o vetor unitário normal à superfície de área elementar dA no ponto considerado. 3.2 – O Fluxo do Campo Elétrico e a Lei de GaussO fluxo do campo elétrico, , é análogo ao fluxo de , resultando em expressão idêntica quando substituímos por em todas as etapas da dedução. A Fig. (3.2) mostra as linhas de campo elétrico não uniforme e o elemento de área . Tomando os devidos limites o fluxo elétrico,
ΦE, será dado por
. (3.4) Esta integral indica que a superfície em questão deve ser dividida em elementos infinitesimais de área , que é atravessado por um campo
elétrico, , e que a quantidade escalar . deve ser calculada para cada elemento e somada, contemplando‐se toda a área da superfície. No caso da lei de Gauss, a superfície considerada é fechada, sendo a Eq.(3.4) modificada para . , onde o círculo na integral sinaliza que a mesma é fechada. Figura 3.2: Linhas de campo atravessando uma superfície S.
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Dissemos acima que o fluxo de através de uma superfície éuma medida do número de linhas de campo que atravessam a mesma, ou que é uma medida da vazão do fluido. Podemos dar uma interpretação análoga para o caso do campo elétrico, dizendo que o fluxo elétrico é uma medida do número de linhas que atravessam uma superfície. Como não existem linhas de campo sem cargas elétricas, podemos dizer que para uma superfície fechada o fluxo elétrico está diretamente ligado à carga elétrica envolvida por esta. Imagine uma superfície fechada, que chamaremos a partir de agora de superfície
gaussiana, contendo uma certa quantidade de carga q (discreta e/ou
contínua). A lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico através desta superfície fechada é proporcional à quantidade de carga q envolvida:
, ou
. =q. (3.5) A Eq. (3.5) contabiliza o número de linhas que atravessam a superfície gaussiana ou a quantidade total de cargas internas a esta superfície. Embora a escolha da superfície gaussiana seja arbitrária e não altere o resultado da integral na Eq. (3.5), deve‐se fazer uma escolha que explore a simetria da distribuição de cargas. A lei de Gauss estabelece uma relação entre grandezas (o fluxo elétrico e a carga total q envolvida pela superfície S) que, em princípio, não são definidas para um ponto, pelo menos na forma como está expressa na Eq. (3.5). Assim sendo, não é de se estranhar que a mesma não sirva para calcular o módulo do campo elétrico de uma distribuição qualquer. Na próxima seção vamos mostrar que a lei de Gauss pode ser útil no cálculo do campo elétrico (que é uma grandeza local) de um número relativamente reduzido de distribuições de cargas que geram campos elétricos com determinadas simetrias, desde que se faça uma escolha apropriada da superfície gaussiana.
A lei de Gauss e a lei de Coulomb são formas diferentes de abordar o mesmo problema, e conseqüentemente fornecem a mesma resposta. Então, quando e por que usar uma ou outra lei? O uso de uma ou outra lei é determinado pelas seguintes circunstâncias: (a) se a distribuição de
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cargas apresenta um alta simetria a resposta é obtida mais facilmenteusando a Lei de Gauss, (b) Entretanto se a distribuição de cargas apresenta um baixa grau de simetria a Lei de Coulomb é a mais adequada.
3.3 – Aplicações da Lei de Gauss
(a) Carga Puntiforme e a Lei de Coulomb
Por argumentos de simetria conclui‐se que o campo de uma carga puntiforme tem simetria esférica (campo é o mesmo para qualquer ponto sobre uma esfera de raio r e é perpendicular a superfície da esfera). Assim, ao escolhermos como superfície gaussiana uma esfera de raio r com a carga q em seu centro (Fig.3.3) teremos a possibilidade de obter o campo elétrico da carga Q. Como é paralelo a em qualquer ponto sobre a Gaussiana, o produto escalar destes dois vetores na superfície da esfera gaussiana será sempre · =EdA. Tomando a lei de Gauss temos, · 4 / , ou , (3.6) que é a eq. 2.3, o campo de uma carga puntiforme. Figura 3.3: Carga pontual Q envolvida por uma superfície esférica de raio r.
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Figura 3.4: Linha de carga positiva envolvida por uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento l.
No cálculo da integral fechada sobre a superfície esférica tiramos o módulo do campo de baixo do símbolo da integral porque o mesmo é constante.
(b) Linha Infinita de Cargas
Considere uma linha infinita de carga com densidade linear, positiva e constante λ, conforme mostrado na Fig.3.4. Deseja‐se calcular o campo elétrico a uma distância perpendicular r da linha de carga. Por considerações de simetria conclui‐se que as linhas de campo são radiais. Ou seja, o campo elétrico, , é perpendicular à linha de carga. A
superfície gaussiana mais apropriada para o cálculo do campo elétrico é uma superfície cilíndrica de raio r, comprimento l, com a linha de carga passando pelo seu eixo. Observe que é constante ao longo de toda a superfície cilíndrica e perpendicular a ela. O fluxo de através desta superfície é
· · · · / .
Como para as superfícies S1, S2 e S3 o campo elétrico e o elemento de área mantém as respectivas relações , , que darão produto interno não‐nulo somente para a integral na superfície S1. Assim, usando q=λl temos,
