O Fluxo de Campo Vetorial

Uma  forma  de  entendermos  o  significado  de  fluxo  é  imaginarmos  que  estamos às margens de uma auto ‐ estrada e realizando a contagem da  quantidade de carros que cruzam a via em determinado ponto durante  certo  tempo.  Ao  fazer  isto  estamos  calculando  o  fluxo  de  carros  na  estrada naquele ponto. Se associarmos um vetor velocidade a cada carro  que  ocupam  a  via  teremos  vários  vetores  velocidade  espacialmente  distribuídos,  compondo  o  que  denominamos  campo  vetorial  de  velocidades  .  

Para  uma  análise  quantitativa  do  fluxo  vetorial  consideremos  o  escoamento  de  um  fluido  em  regime  estacionário,  representado  pela  especificação  do  vetor  velocidade  em  cada  ponto  (ver  Fig.3.1).  Na  Fig.3.1a  colocam‐se  um  fio  retangular  de  modo  que  seu  plano  seja  perpendicular ao vetor velocidade, , associado ao fluxo do fluido que                   

escoa  ao  longo  de  um  canal.  Definindo‐se  o  fluxo  do  campo  de  velocidades de modo que seu valor absoluto seja dado por  

      | | ,      (3.1)  onde v é a intensidade da velocidade no local em que está posicionado o  fio retangular. A unidade do fluxo do fluido é m3/s, que é o mesmo que a  vazão  do  fluido  que  passa  através  da  área  A  delimitada  pelo  fio  retangular.  Em  termos  do  conceito  de  campo,  podemos  considerar  o 

fluxo  como  uma  medida  do  número  de  linhas  de  campo  que 

  Figura 3.1: (a) Fio retangular em um fluido com área normal ao vetor  velocidade. (b) Fio retangular com área formando um ângulo Ф com  o vetor velocidade.

 

41 

atravessam a área do fio retangular. Se inclinarmos o fio retangular de 

forma  que  o  seu  plano  não  seja  mais  perpendicular  à  direção  do  vetor  velocidade (ver Fig. 3.1b),  o número de linhas do campo de velocidade  atravessando  a  área,  A,  do  retângulo  não  será  mais  o  mesmo  e  diminuirá. Para calcular o fluxo do fluido observemos que o número de  linhas  do  campo  de  velocidade  que  atravessam  a  área,  A,  na  forma  inclinada é o mesmo número de linhas que atravessam a área projetada,  Acosφ, perpendicularmente às linhas de  . Assim, a intensidade do fluxo  correspondente a situação retratada na Fig. 3.1b é  

       |Φ| vA cos .      (3.2)  Se  o  fio  retangular  for  girado  de  modo  que  sua  área  seja  paralela  ao  vetor  velocidade  (φ=90°),  nenhuma  linha  de  velocidade  atravessará  a  área  e  o  fluxo  de  velocidades  é  nulo  (| | 0 .  Podemos  dar  uma  interpretação  vetorial  à  Eq.(3.2),  introduzindo  o  vetor  área,  ,  que  emerge  perpendicularmente  (normal)  à  superfície  de  área  A  do  fio  retangular: 

· .       3.3   Observe  que  esta  definição  nos  coloca  diante  da  possibilidade  de  um  fluxo  de    positivo  ( 0    90°),  bem  como  um  fluxo  de    negativo  ( 0    90°).  Assim,  no  caso  de  uma  superfície  aberta  deve‐se  escolher  um  sentido  para  a  normal  à  superfície  em  questão. No  caso de uma superfície fechada, na  qual se refere a lei de  Gauss,  adota‐se  o  sentido  do  vetor  área,  ,  como  sendo  o  sentido  da  normal saindo da superfície. Dessa forma, o fluxo associado a um campo  vetorial  que  atravessa  a  superfície  e  deixa  o  volume  será  um  fluxo  positivo (fonte de linhas de campo), caso contrário o fluxo será negativo  (sumidouro  de  linhas  de  campo).  Podemos  estender  a  definição  acima  para uma superfície qualquer considerando que a mesma é formada de  um  número  muito  grande  de  superfícies  retangulares  de  área,  ,  elementares, cujo fluxo de linhas de   através da superfície de área ΔA  será  · .  Em  seguida  somamos  e  tomamos  o  limite  de  | | tendendo a zero,  

 

42 

lim · . .          .  ,       (3.4)  onde   é o vetor unitário normal à superfície de área elementar dA no  ponto considerado.   3.2 – O Fluxo do Campo Elétrico   e a Lei de Gauss 

O  fluxo  do  campo  elétrico,  ,  é  análogo  ao  fluxo  de  ,  resultando  em  expressão idêntica quando substituímos   por   em todas as etapas da  dedução. A Fig. (3.2) mostra as linhas de campo elétrico não uniforme e  o  elemento  de  área    .  Tomando  os  devidos  limites  o  fluxo  elétrico, 

ΦE, será dado por  

       .        (3.4)  Esta  integral  indica  que  a  superfície  em  questão  deve  ser  dividida  em  elementos infinitesimais de área  , que é atravessado por um campo                    

elétrico,  ,  e  que  a  quantidade  escalar  .   deve  ser  calculada  para  cada  elemento  e  somada,  contemplando‐se  toda  a  área  da  superfície. No caso da lei de Gauss, a superfície considerada é fechada,  sendo a Eq.(3.4) modificada para   . ,  onde o círculo na integral sinaliza que a mesma é fechada.     Figura 3.2: Linhas de campo atravessando uma  superfície S.   

 

43 

  Dissemos  acima  que  o  fluxo  de    através  de  uma  superfície  é 

uma medida do número de linhas de campo que atravessam a mesma,  ou  que  é  uma  medida  da  vazão  do  fluido.  Podemos  dar  uma  interpretação  análoga  para  o  caso  do  campo  elétrico,  dizendo  que  o  fluxo  elétrico   é  uma  medida  do  número  de  linhas  que  atravessam  uma superfície. Como não existem linhas de campo sem cargas elétricas,  podemos  dizer  que  para  uma  superfície  fechada  o  fluxo  elétrico  está  diretamente  ligado  à  carga  elétrica  envolvida  por  esta.  Imagine  uma  superfície  fechada,  que  chamaremos  a  partir  de  agora  de  superfície 

gaussiana,  contendo  uma  certa  quantidade  de  carga  q  (discreta  e/ou 

contínua).  A  lei  de  Gauss  afirma  que  o  fluxo  elétrico   através  desta  superfície fechada é proporcional à quantidade de carga q envolvida: 

 ,   ou 

. =q.      (3.5)  A  Eq.  (3.5)  contabiliza  o  número  de  linhas  que  atravessam  a  superfície  gaussiana  ou  a  quantidade  total  de  cargas  internas  a  esta  superfície.  Embora  a  escolha  da  superfície  gaussiana  seja  arbitrária  e  não  altere  o  resultado da integral na Eq. (3.5), deve‐se fazer uma escolha que explore  a  simetria  da  distribuição  de  cargas.  A  lei  de  Gauss  estabelece  uma  relação entre grandezas (o fluxo elétrico   e a carga total q envolvida  pela  superfície  S)  que,  em  princípio,  não  são  definidas  para  um  ponto,  pelo menos na forma como está expressa na Eq. (3.5). Assim sendo, não  é  de  se  estranhar  que  a  mesma  não  sirva  para  calcular  o  módulo  do  campo elétrico de uma distribuição qualquer. Na próxima seção vamos  mostrar  que  a  lei  de  Gauss  pode  ser  útil  no  cálculo  do  campo  elétrico  (que  é  uma  grandeza  local)  de  um  número  relativamente  reduzido  de  distribuições  de  cargas  que  geram  campos  elétricos  com  determinadas  simetrias,  desde  que  se  faça  uma  escolha  apropriada  da  superfície  gaussiana. 

A  lei  de  Gauss  e  a  lei  de Coulomb são  formas  diferentes  de  abordar  o  mesmo  problema,  e  conseqüentemente  fornecem  a  mesma  resposta.  Então, quando e por que usar uma ou outra lei? O uso de uma ou outra  lei é determinado pelas seguintes circunstâncias: (a) se a distribuição de 

 

44 

cargas  apresenta  um  alta simetria  a  resposta  é  obtida  mais  facilmente 

usando  a  Lei  de Gauss,  (b)  Entretanto  se  a  distribuição  de  cargas  apresenta  um  baixa  grau  de  simetria  a Lei  de  Coulomb  é  a  mais  adequada. 

 

3.3 – Aplicações da Lei de Gauss 

(a) Carga Puntiforme e a Lei de Coulomb 

Por  argumentos  de simetria  conclui‐se  que  o  campo  de  uma  carga  puntiforme  tem simetria  esférica  (campo  é  o  mesmo  para  qualquer  ponto  sobre  uma  esfera  de  raio  r  e  é  perpendicular  a  superfície  da  esfera). Assim, ao escolhermos como superfície gaussiana uma esfera de  raio r com a carga q em seu centro (Fig.3.3) teremos a possibilidade de  obter o campo elétrico da carga Q. Como   é paralelo a   em qualquer  ponto  sobre  a  Gaussiana,  o  produto  escalar  destes  dois  vetores  na  superfície  da  esfera  gaussiana  será  sempre  · =EdA.  Tomando  a  lei  de Gauss temos,  · 4 / , ou  ,      (3.6)  que é a eq. 2.3, o campo de uma carga puntiforme.                       Figura 3.3: Carga pontual Q envolvida por uma superfície  esférica de raio r. 

 

45 

 

Figura 3.4: Linha de carga positiva envolvida por uma superfície  gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento l. 

No  cálculo  da  integral  fechada  sobre  a  superfície  esférica  tiramos  o  módulo  do  campo  de  baixo  do  símbolo  da  integral  porque  o  mesmo  é  constante. 

 

(b) Linha Infinita de Cargas 

Considere  uma  linha  infinita  de  carga  com  densidade  linear,  positiva  e  constante λ, conforme mostrado na Fig.3.4. Deseja‐se calcular o campo  elétrico  a  uma  distância  perpendicular  r  da  linha  de  carga.  Por  considerações de simetria conclui‐se que as linhas de campo são radiais.  Ou  seja,  o  campo  elétrico,  ,  é  perpendicular  à  linha  de  carga.  A 

superfície gaussiana mais apropriada para o cálculo do campo elétrico é  uma superfície cilíndrica de raio r, comprimento l, com a linha de carga  passando pelo seu eixo. Observe que   é constante ao longo de toda a  superfície  cilíndrica  e  perpendicular  a  ela.  O  fluxo  de    através  desta  superfície é  

· · · · / . 

Como para as superfícies S1, S2 e S3 o campo elétrico   e o elemento de  área  mantém  as  respectivas  relações  ,     ,  que  darão produto interno não‐nulo somente para a integral na superfície S1.  Assim, usando q=λl temos,  

 

46 

  Figura 3.5: Superfície gaussiana cilíndrica envolvendo uma parte da  carga de um  plano infinito de carga uniforme contida na área A.  2 /   ou   .      (3.7)    (c) Plano Infinito de Cargas  A Fig. 3.5 mostra parte de uma placa fina, não‐condutora e infinita, com  densidade superficial de carga σ (carga por unidade de área) constante e  positiva.  Deseja‐se  calcular  o  campo  elétrico  em  pontos  próximos  à  placa. Devido à simetria retangular da placa o campo é perpendicular a  superfície  da  mesma.  A  superfície  gaussiana  adequada  é  um  pequeno  cilindro  de  comprimento  2r  e  área  A,  como  ilustrado  na  Fig.3.5.  Da  simetria,  o  campo  tem  a  mesma  intensidade  nas  extremidades  do  cilindro. Assim, da lei de Gauss temos   . ,      ou   .  Isolando E temos          (3.8)     

 

47 

 

Figura 3.6: Casca esférica com distribuição uniforme de carga.  Ilustração da superfície gaussiana esférica de raio r>R. 

(d) Casca Esférica de Carga 

A  Fig.3.6  mostra  uma  casca  esférica  fina  de  raio  R,  com  uma  carga  q  uniformemente distribuída em sua superfície. A casca está envolvida por  uma superfície esférica de raio r. Dos estudos anteriores sabe‐se que o  campo tem somente a componente radial. Deseja‐se encontrar o campo  elétrico  para  pontos  em  que  r>R  e  r<R.  Aplicando‐se  a  lei  de  Gauss  à  superfície esférica de raio r>R, obtém‐se 

4 , 

ou 

  (casca esférica, r>R)      (3.9)  • Uma  casca  esférica  uniformemente  carregada  comporta‐se 

como uma carga pontual para todos os pontos exteriores a ela. 

Se  considerarmos  que  a  superfície  gaussiana  tem  um  raio  r  <R,  ao  aplicarmos a lei de Gauss encontraremos  

. 0, 

pois  não  há  nenhuma  carga  interna  à  superfície.  Como  a  carga  está  distribuída  uniformemente  sobre  a  superfície  esférica  conclui‐se  que  0  para  qualquer  ponto  interno  à  casca  esférica  de  raio  R.  Resumindo, 

0,  (casca esférica com σ uniforme e r<R)       (3.10)  • Uma  casca  esférica  uniformemente  carregada  não  exerce 

nenhuma  força  elétrica  em  uma  partícula  carregada  localizada  em seu interior, em qualquer ponto, pois Er=0.  

 

48 

 

Figura  3.7:  Comportamento  do  campo  elétrico  de  uma  casca  esférica em função do raio. 

  Figura 3.8: Esfera carregada uniformemente. Superfície gaussiana  esférica com (a) raio r>R e (b) r<R. 

A  Fig.3.7  descreve  o  comportamento  gráfico  do  campo  em  função  do  raio desde r=0 até r infinito. 

 

(e) Distribuição de Carga com Simetria Esférica 

A  Fig.3.8  mostra  uma  esfera  de  raio  R  uniformemente  carregada  com  densidade  volumétrica  de  carga  positiva  ρ  (coulombs  por  metros  cúbicos)  ao  longo  de  todo  o  seu  volume  esférico.  Pergunta‐se  pelo  campo elétrico para pontos interiores ou exteriores à esfera. Tomando‐ se uma superfície gaussiana de raio r>R (Fig.3.8a) (análogo ao caso (d)) e  usando a lei de Gauss temos, 

 

49 

  Figura 3.9: Comportamento gráfico do campo elétrico da esfera  uniformemente carregada da figura 3.8.  .  ou    (esfera de carga q, r>R).  Ou seja, a carga distribuída uniformemente por todo o volume da esfera  comporta‐se como uma carga pontual localizada no centro da esfera. No  caso  da  Fig.3.8b  a  superfície  gaussiana  envolve  somente  uma  carga  q’,  uma fração da carga total q. Assim, da lei de Gauss temos,  ·

   ou    (r<R).  Como  a  densidade  de  carga  ρ  é  uniforme,  podemos  escrever  q’  em  termos  de  q:  ,  de  forma  que  o  campo interno à esfera é  

       (3.11).  Graficamente  o  módulo  do  campo  elétrico  para  pontos  internos  e  externos à esfera é dado na Fig.3.9  3.4 – Usando a Lei de Gauss para Discutir o Campo Elétrico em  Condutores  Pode‐se usar a lei de Gauss para discutir as propriedades de condutores  em que circule carga elétrica. Uma das mais interessantes propriedades  é a seguinte: 

• Uma  carga  excedente  localizada  em  um  condutor  isolado 

desloca‐se  totalmente  para  a  superfície  externa  do  condutor.  Nenhuma  carga  excedente  permanece  no  interior  do  corpo  do  condutor. 

 

50 

O que acontece quando uma quantidade de carga elétrica é armazenada 

em  qualquer  ponto  no  interior  de  um  condutor  isolado?  Quando  esta  carga  elétrica  (elétrons)  é  depositada  em  qualquer  ponto  do  condutor,  esta  estabelece  um  campo  elétrico  no  interior  do  condutor  que  exerce  uma  força  elétrica  entre  as  cargas,  fazendo‐se  com  que  as  mesmas  se  empurrem ao máximo e se redistribuam ao longo da superfície externa.  Este processo leva em torno de 10‐9s, levando a um campo interno nulo  e  ao  estabelecimento  do  equilíbrio  eletrostático.  Se  houvesse  algum  campo  no  interior  do  condutor  isolado,  haveria  uma  força  elétrica  atuando nos elétrons de condução do metal. Um fio transportando uma  corrente elétrica não pode ser considerado um condutor isolado, porque  este  está  sob  influência  de  uma  ação  externa  (uma  bateria,  por  exemplo),  que  estabelece  um  campo  elétrico  interno.  A  lei  de  Gauss  pode  ser  usada  para  mostrar  que  qualquer  excesso  de  carga  em  um  condutor  em  equilíbrio  eletrostático  deve  estar  exclusivamente  na  sua  superfície  externa.  Para  mostrar  isso  considere  a  Fig.3.10,  onde  uma  superfície gaussiana é traçada, internamente, bem próxima à superfície  do condutor. Se o campo elétrico é nulo em todos os lugares no interior  do condutor, este será nulo em todos os pontos da superfície gaussiana,  que  se  encontra  totalmente  dentro  do  condutor.  Assim  sendo,  o  fluxo  total através da superfície gaussiana é nulo. Se o fluxo total é nulo, pela  lei  de  Gauss,  conclui‐se  que  a  carga  total  líquida  dentro  do  condutor  é  nula.           

Deve  ficar  claro  que  o  campo  elétrico  nulo  no  interior  de  condutor  isolado  não  é  devido  simplesmente  ao  fato  das  cargas  estarem  na  superfície externa, mas também devido à adequada distribuição destas  cargas na parte externa deste. Além disso, se o condutor isolado possui  uma superfície interna (um buraco, por exemplo), não deve haver carga    Figura 3.10: Condutor de forma arbitrária e o seu  campo interno.

 

51 

 

Figura 3.11: Campo elétrico imediatamente acima de uma superfície  condutora. 

na  sua  superfície  interna.  Outra  característica  do  campo  elétrico    na  superfície  externa  de  um  condutor  em  equilíbrio  eletrostático  é  que  o  mesmo  é  normal  a  esta  superfície.  Se  existisse  uma  componente  tangencial na superfície externa haveria uma corrente elétrica nesta.  Uma vez que o excesso de carga de um condutor isolado permaneça na  sua superfície externa deve‐se calcular o campo nas proximidades desta  superfície. Para determinar a amplitude do campo próximo à superfície  de um condutor usaremos a lei de Gauss aplicada à superfície gaussiana  cilíndrica desenhada na Fig. 3.11, cujas superfícies retas são paralelas à  superfície  do  condutor.  Parte  do  cilindro  está  dentro  do  condutor  e  parte  fora.  Da  condição  de  equilíbrio  eletrostático,  o  campo  elétrico  é  nulo dentro do condutor e perpendicular externamente. O fluxo através  do cilindro vem somente da parte externa de sua superfície. Assim, 

· , 

Resolvendo para E temos, 

  ,      (3.12)  Este  campo,  imediatamente  acima  da  superfície,  é  normal  à  superfície  do condutor. 

 Problemas  Propostos  

Problema 1‐ Uma rede de caçar borboleta está numa região onde existe 

 

52 

aberta é limitada por um aro de área A, perpendicular ao campo. Calcule  o fluxo de E através da rede.                      Problema 2 ‐ A figura 3.13 mostra parte de dois longos e finos cilindros  concêntricos de raios a e b. Os cilindros possuem cargas iguais e opostas,  com  densidade  linear  λ.  Use  a  lei  de  Gauss  para  mostrar  que:  (a)  E=0  para r<a e (b) que entre os cilindros  .                              Problema 3 ‐ Qual é o fluxo elétrico através de cada uma das superfícies  na Fig. 3.14? Dê sua resposta em termos de múltiplos de q/ε0.        Figura 3.13: Cilindros concêntricos com cargas iguais  e opostas,    Figura 3.12: Fluxo elétrico que atravessa uma  rede de borboletas. 

 

53 

                       

No documento Paulo Henrique Ribeiro Barbosa Francisco Ferreira Barbosa Filho Departamento de Física Universidade Federal do Piauí (páginas 40-53)