CAPÍTULO 9 A LEI DE AMPÈRE
10.3 Correntes induzidas e lei de Faraday
Os experimentos realizados por Faraday, Henry, e outros mostraram que se o fluxo magnético, através de uma área limitada por um circuito, é alterado de alguma forma, uma fem, igual em modulo a
taxa de variação do fluxo, é induzida no circuito. Usualmente
detectamos a fem observando uma corrente no circuito, mas ela está presente mesmo quando o circuito está incompleto (aberto) e não existe corrente. Anteriormente havíamos considerado fem que estavam localizadas em uma parte especifica do circuito, tal como entre os terminais da bateria. Contudo, fem’s induzidas podem ser consideradas distribuídas através do circuito.
O fluxo magnético através de um circuito pode ser alterado de muitos modos diferentes. A corrente produzindo o campo magnético pode ser aumentada ou diminuída, magnetos permanentes podem ser movidos em direção ao circuito ou afastados dele, o circuito em si pode ser movido para perto ou para longe da fonte do fluxo, a orientação do circuito pode alterada, ou a área do circuito em um campo magnético
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Exemplo resolvido
fixo pode ser aumentada ou diminuída. Em qualquer caso, uma fem é induzida no circuito que é igual em modulo a taxa de variação do fluxo magnético.
A Figura 10.2 mostra uma bobina simples de uma volta em um campo magnético gerado por um magneto que ora é aproximado (Figura 10.2 (a)), ora permanece constante (Figura 10.2 (b)), ou ora é afastado (Figura 10.2 (c)). Como mencionado acima, se o fluxo está variando, uma fem é induzida na espira. Uma vez que a fem é o trabalho feito por unidade de carga, deve existir uma força exercida sobre a carga associada com a fem. A força por unidade de carga é o campo elétrico , que neste caso é induzida pela variação do fluxo. A integral de linha do campo elétrico em torno do circuito completo é igual ao trabalho feito por unidade de carga, que, por definição, é a fem no circuito
· 10.8
O campo elétrico que estudamos anteriormente resultou de cargas eletrostáticas. Estes campos são conservativos, significando que o trabalho realizado pelo campo eletrostático em torno de um caminho fechado é zero. O campo elétrico resultando da variação do fluxo magnético não é conservativo. Sua integral de linha em torno de uma curva fechada é igual a fem induzida, que é igual a taxa de variação do fluxo magnético:
· 10.8
Este resultado é conhecido como a lei de Faraday. O sinal negativo na lei de Faraday tem a ver com a direção da fem induzida, a ser discutida mais a frente.
Um campo magnetico uniforme faz um angulo de 30 com o eixo de uma espira circular de 300 voltas e um raio de 4 . O campo varia a uma taxa de 85 / . Determine o modulo da fem induzida na espira.
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Exemplo resolvido
Solução A fem induzida é igual a vezes a taxa de variação do fluxo
através de cada volta. Uma vez que B é uniforme, o fluxo através de cada volta é simplesmente cos , onde é a área da bobina. O modulo da fem induzida é dada pela lei de Faraday | | Para um campo uniforme, o fluxo é
cos
Substituindo a expressão para o fluxo
na expressão para
| | obtemos | | cos cos 10.9 300 3.14 0,04 cos 30 85 / 111Exercício Se a resistencia da bobina é de 200 Ω, qual é a corrente
induzida?
Resposta 0.555
Uma bobina com 80 voltas possui um raio de 5,0 cm e uma resistência de 30 Ω. A que taxa deve um campo magnético perpendicular variar para produzir uma corrente de 4,0 A na bobina?
Solução
A taxa de variação do campo magnético está relacionada à taxa de variação do fluxo, que está relacionada à fem induzida pela lei de Faraday. A fem na bobina é igual a .
O fluxo magnético é dado em termos de e o raio pela expressão
192
Figura 10.3 Uma espira condutora de raio colocada em um campo magnético uniforme perpendicular ao plano da espira. Se varia no tempo, um campo elétrico é induzido em uma direção tangente à circunferência da espira.
Exemplo resolvido
Tomando a derivada temporal de podemos relacionar a taxa de variação temporal do campo com a taxa de variação do fluxo e daí com a corrente e resistência do circuito 1 Mas como 120 segue que 120 80 3,14 5,0 10 191 / Um campo magnético B é perpendicular ao plano da página e uniforme em uma região circular de raio R como mostrado na Figura 10.3. Fora da região circular, 0. A taxa de variação da magnitude de é / . Qual é o módulo do campo elétrico induzido no plano da página (a) a uma distância do centro da região circular, (b) a uma distância
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Solução
O campo magnético entrando na página é uniforme sobre a região circular de raio . Quando varia, o fluxo magnético varia e uma fem · é induzida em torno de alguma curva englobando o fluxo.
O campo elétrico induzido é determinado aplicando a lei de Faraday. Uma vez que estamos interessados apenas em módulos, desprezaremos o sinal menos e usaremos · / .
Para tirar vantagem da simetria do sistema escolheremos uma curva circular de raio para calcular a integral de linha. Por simetria, é tangente a esta curva e tem o mesmo modulo em qualquer ponto sobre ela. Então calculamos o fluxo magnético e tomamos sua derivada temporal. Fazendo a integral e a derivada temporal iguais, otemos uma expressão para .
(a) Aplicando a integral de linha para um circulo de raio , considerando que é tangente ao circulo e tem módulo constante, obtemos
· 2 10.10
Por outro da lei de Faraday sabemos que a integral de linha está relacionada à variação do fluxo magnético como
· 10.11
Para , é constante sobre o circulo. Uma vez que é perpendicular ao plano do circulo, o fluxo é simplesmente . Assim
De onde segue que
10.12 De (10.10), (10.11) e (10.12) segue que
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2 A expressão do campo elétrico em função de r e da variação do fluxo do campo magnético é 2 , 10.13 ( b ) Para o circulo de raio , onde o campo magnético é nulo, a integral de linha é a mesma que antes: · 2Uma vez que 0 para , o fluxo magnético é , isto é,
Aplicando a lei de Faraday determinamos o campo elétrico induzido como
2
Resolvendo para teremos
2
,
10.14
Observe que o campo elétrico, no exemplo acima (Equações (10.13) e (10.14)), é produzido por uma variação do campo magnético em vez de ser produzido por cargas elétricas. Se cargas tivessem produzido o campo , teriamos de partir de cargas positivas e finalizar em cargas negativas. Uma vez que cargas não estão presentes, contudo, forma circulos que não tem inicio e não tem fim. Observe também que a fem existe em qualquer curva fechada limitando a área através da qual o fluxo magnético está variando na presença ou não de um fio ou circuito ao longo da curva.
Exercício Uma bobina de 40 voltas move‐se de forma brusca. Esta
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Figura 10.4 Quando a o magneto em forma de barra está se movendo em direção a espira, a fem induzida na espira produz uma corrente na direção mostrada. O campo magnético devido a corrente induzida na espira (indicada por linhas pontilhadas) produz um fluxo que se opõe ao aumento no fluxo através da espira devido ao movimento da barra magnética.
por um ângulo de 180 em um campo magnético de 5000 , quanta carga passa através dela?
Resposta 7,07