Figura 7.11 Circuito dom duas malhas 

Exemplo Resolvido 

na  figura.  Observe  que  encontramos  queda  de  potencial  quando  atravessamos  a  fonte  de  fem  entre  os  pontos    e    e  um  aumento  quando atravessamos a fonte de fem entre os pontos   e  . Iniciando no  ponto  , obtemos da regra das malhas de Kirchoff que 

0        7.15   Resolvendo para a corrente  , obtemos 

       7.16  

Se   é maior que  , teremos um valor negativo para a corrente  ,  indicando que convencionamos uma direção errada para  .    Para analisar circuitos contendo mais de uma malha, precisamos usar as  duas regras de Kirchoff, com a regra dos nós (junção) aplicada a pontos  onde corre divisão de corrente em duas ou mais partes.  (a) Determine a corrente em cada parte do circuito mostrado na Figura  7.11  (b) Determine a energia dissipada no resistor de 4 Ω em 3  .  Solução 

Como  existem  três  correntes,  ,  ,  e    a  serem  determinadas,  assim  necessitamos  de  três  condições.  Uma  condição  pode  ser  obtida  aplicando a regra do nó (junção) ao ponto  . Podemos também aplicar a  regra  do  nó  ao  aponto  ,  o  único  outro  nó  no  circuito,  mas  fornece 

 

127

exatamente a mesma informação. As outras duas condições são obtidas 

aplicando  a  regra  da  malha.  Existem  três  malhas  no  circuito:  as  duas  malhas  interiores,    e  ,  e  a  malha  externa  .  Podemos  usar  quaisquer  duas  destas  malhas  –  a  terceira  dará  informação  redundante.  A  direção  da  corrente    de    para    não  é  conhecida  antes  de  o  circuito  ser  analisado.  Os  sinais  mais  e  menos  sobre o resistor 4 Ω são para a direção convencionada de   de   para  .  (a)  Para  determinar  as  correntes  em  cada  malha  seguiremos  os  passos  abaixo.  Aplicando a regra dos nós ao ponto  :  .       7.17   Aplicando a regra das malhas a malha mais externa,    12 2  5 3 Ω 0        7.18   Dividindo a equação acima por 1 Ω, relembrando que  1 / 1 1 ,  então simplificando  7  3 5 0       7.19   Para obter a terceira condição, aplicamos a regra das malhas à malha da  esquerda,  , obtemos  12 4Ω 3Ω 0       7.20   Ou após a simplificação ao dividir por 1  ficamos com  12  7 3 0       7.21   Combinando  as  Equações  (7.19)  e  (7.21)  para  resolver  para    e  .  Multiplicando (7.22) por 3 e (7.23) por 5 obtemos  21  9 15 0       7.22   60  35 15 0       7.23   Subtraindo (7.22) de (7.23) ficamos então com  39  26  0             39/26 1,5    Substituindo o valor de   na (7.15) obtemos  7 5 3 5 1,5 0,5   

 

128

 

Figura 7.12 

Exemplo resolvido 

Determinado   e  , usando a Equação (7.17) pode‐se calcular    1,5  0,5  2,0    (b) A potencia dissipada no resistor de 4Ω é  1,5  4Ω 9 W  A energia total dissipada no intervalo de tempo   é  9  3    27     

Determine  a  corrente  em  cada  parte  do  circuito  mostrado  na  Figura  7.12. Desenhe o diagrama circuito com os módulos e direções corretas  da  corrente  em  cada  parte.  (b)  Atribua  0  ao  ponto    e  então  determine o potencial nos outros pontos de a até  . 

Solução 

Primeiro,  troque  os  resistores  em  paralelo  por  uma  resistência  equivalente. Seja   a corrente que flui através da bateria de 18  , e   a  corrente  de    para  .  As  correntes  podem  então  ser  determinadas 

aplicando a regra dos nós aos pontos   e   e a regra das malhas a cada  das malhas. Veja a Figura (7.13). 

 

129

 

Figura  7.13  o  mesmo  circuito  que  na  Figura  7.12  indicando  as  correntes circulando que circulam em cada malha do circuito. 

Vamos  inicialmente  determinar  a  resistência  equivalente  para  os  resistores em paralelo de 3 Ω e 6 Ω mostrados na Figura 7.12 entre os  pontos   e  . Usando a Equação 7.13 obtemos que 

2 Ω       7.24   Aplicando  a  regra  dos  nós  nas  junções    e    determinamos  que  existe uma corrente 

       7.25   fluindo do ponto   ao ponto  , passando através da fem de 21   até o  ponto   e depois ate o ponto  . 

Aplicando  a  regra  de  Kirchoff  à  malha  ,  encontramos  a  relação 

18  12 Ω 6 Ω 0        7.26   Usando  a  expressão  para  a  corrente    dada  pela  Equação  (7.25)  na expressão (7.26), após simplificações, obtemos  2 3         7.27   Aplicando a regra das malhas a malha  , obteremos  3  21  2  6 0       7.28   que após aplicarmos o resultado (7.25) e fazer as simplificações devidas  resulta em  5 11 21         7.29  

 

130

Resolvendo  as  equações  (7.27)  e  (7.29)  para  as  correntes    e   

obteremos  que  2   e  1  .  Assim  da  (7.25)  tiramos  que  3  . 

Observamos  que  o  valor  1    informa  que  o  sentido  da  corrente   na Figura 7.13 aponta em sentido contrario ao desenhado na  mesma. 

Assim poderemos fazer um mapa do circuito indicando o valor do  potencial  em  cada  um  dos  pontos  indicados  no  circuito  da  Figura  7.12,  tomando o ponto   como tendo potencial nulo.  21  21    3 2  21  6  15    15    18  15  18  33    12  12  33  24  9    Agora o leitor pode fazer diversos testes. Por exemplo, entre os pontos    e  ,  circula  a  corrente  3    atraves  do  resistor  de  3  .  Assim  a  queda  de  potencial  ou  diferença  de  potencial  Δ 9  .  Portanto o potencial no ponto   é de 9  . 

 

7.6 Circuitos RC 

Um circuito contendo resistor e capacitor é chamado um circuito RC. A  corrente em um circuito RC flui em uma unida direção, como em todos  os  circuitos  de  corrente  contínua,  mas  o  valor  da  corrente  varia  com  o  tempo.  Um  exemplo  prático  de  um  circuito  RC  é  o  circuito  no  flash  acoplado a uma câmera. Antes que um flash fotográfico seja disparado,  uma  bateria  acoplada  ao  flash  carrega  o  capacitor  através  de  um  resistor. Quando o processo de carga está completo, o flash está pronto.  Quando  a  imagem  é  capturada,  o  capacitor  descarrega  atravavés  do  filamento  da  lâmpada.  O  capacitor  é  então  recarregado  pela  bateria,  e  num  curto  intervalo  de  tempo  o  flash  está  pronto  para  uma  outra  fotografia. Usando as regras de Kirchoff, podemos obter equações para 

 

131

  Figura 7.14 (a) Um capacitor em série com um resistor, chave e bateria. (b)  Diagrama de circuito representando este sistema no instante  0, antes a  chave seja fechada. (c) Diagrama de circuito num instante  0, após a  chave ter sido fechada. 

carga   e a corrente   como funções do tempo para ambos os processos  de carga e descarga do capacitor através do resistor. 

Suponha  que  o  capacitor  na  Figura  7.14  esteja  inicialmente  descarregado.  Não  existirá  corrente  enquanto  a  chave    estiver  aberta  (Figura  7.14  (b)).  Se  a  chave  é  fechada  no  instante  0,  contudo,  a  carga  começa  a  fluir,  estabelecendo  uma  corrente  no  circuito,  e  o  capacitor  começa  a  ser  carregado.  Observe  que  durante  o  processo  de  carregamento,  as  cargas  não  pulam  de  uma  placa  para  outra  no  capacitor porque a lacuna entre as placas representa um circuito aberto.  Em  vez  disso,  carga  é  transferida  entre  as  placas  através  dos  fios  conectores,  devido  a  ação    do  campo  eletrico  criado  nos  fios  pela  bateria,  até  que  o  capacitor  esteja  totalmente  carregado.  Quando  as  placas  tornam‐se  carregadas,  a  diferença  de  potencial  através  do  capacitor  aumenta.  O  valor  da  carga  máxima  depende  da  voltagem  da  bateria. Uma vez que a carga máxima foi atingida, a corrente no circuito  é  nula  porque  a  diferença  de  potencial  através  do  capacitor  iguala‐se  aquela fornecida pela bateria. 

Para  analisar  o  circuito  quantitativamente,  aplica‐se  a  regra  das  malhas  de  Kirchoff  ao  circuito  após  a  chave  ter  sido  fechada.  Percorrendo a malha no sentido horário obtém‐se 

 

132

onde  /   é  a  diferença  de  potencial  através  do  capacitor  e    é  a 

diferença de potencial através do resistor. Observe que   e   são valores 

instantâneos  que  dependem  do  tempo  (contrario  aos  valores 

estacionários) enquanto o capacitor está sendo carregado. 

Da  Equação  (7.30)  podemos  determinar  a  corrente  inicial  no  circuito  e  a  carga  máxima  no  capacitor.  No  instante  em  que  a  chave  é  fechada  ( 0),  a  carga  no  capacitor  é  zero,  e  portanto  da  (7.30)  determinamos que a corrente inicial no circuito   é máxima e igual a 

        7.31   Neste  instante  a  diferença  de  potencial  entre  os  terminais  da  bateria  aparece  inteiramente  através  do  resistor.  Mais  tarde  quando  capacitor  está  carregado  com  seu  valor  máximo  ,  a  carga  deixa  de  fluir,  a  corrente no circuito é zero, e a diferença de potencial entre os terminais  da bateria aparece totalmente através do capacitor. Dessa forma  0 e  carga no capacitor, usando a Equação (7.30) será  

       7.32   A  expressão  analítica  da  dependência  temporal  da  carga    e  corrente    é  obtida  fazendo  a  substituição  /   na  Equação  (7.30), ficando com a equação para variável           7.33   Após a separação de variáveis a Equação (7.33) pode ser escrita como  1         7.34   Integrando (7.34) e observando que  0 0, obtemos  1   ou ainda,  ln 1 RC  Daí segue que 

 

133

 

Figura  7.15  (a).  Gráfico  da  carga  do  capacitor  em  função  do  tempo  para  o  circuito exibido na Figura 7.14. A carga aproxima‐se do seu valor máximo    quando t ∞. Atinge o valor de 63,2 % da carga máxima quando  . (b)  Gráfico  da  corrente  em  função  do  tempo  para  o  circuito  da  Figura  7.14.  A  corrente  é  máxima  em  0,  /   e  decai  para  zero  quando  t ∞.  Atinge o valor 36,8 % do valor inicial quando  .    Figura 7.16 Um capacitor carregado conectado a um resistor e uma chave,  que está aberta em  0. (b) Após a chave ser fechada, uma corrente que  decresce em modulo com o tempo é estabelecida na direção mostrada, e a  carga no capacitor decresce exponencialmente com o tempo.  1 / ₁ /         _7.35   Usando a definição de corrente  / , determinamos que           7.36   Os  gráficos  da  carga  e  da  corrente  no  capacitor  em  função  do  tempo estão mostrados nas Figuras 7.15(a) e 7.15(b). Observe da Figura  7.15  (a)  que  a  carga  é  zero  no  instante  0  e  aproxima‐se  do  valor  máximo    quando  ∞.  A  quantidade  ,  que  aparece  nos  expoentes  das  Equações  (7.35)  e  (7.36),  é  chamada  a  constante  do  tempo  de  relaxação    do  circuito.  Representa  o  tempo  que  a  corrente  leva  para  atingir  o  valor  / 0,368  .  De  forma  semelhante    representa o tempo para a carga passar do valor zero em  0 para o 

valor  1 1/ 0,632 . 

Agora  vamos  analisar  o  que  acontece  quando  o  capacitor  está  carregado, com carga máxima, e fechamos a chave de forma que passa a  circular,  inicialmente,  uma  corrente  máxima.  Aos  poucos  está  corrente  vai  diminuindo  devido  a  dissipação  no  resistor.  O  capacitor  e  resistor 

 

134

  Figura 7.17 

Exemplo resolvido 

pertencem ao circuito mostrado na Figura 7.16, que consiste também de  uma  chave.  A  carga  inicial  é    e  a  diferença  de  potencial  através  do  capacitor  é  igual  a  /   e  zero  através  do  resistor  uma  vez  que  0.  Quando a chave é fechada em  0, o capacitor começa a descarregar  através do resistor. Em algum instante   durante a descarga, a corrente  no circuito é   e carga no capacitor é  .  A aplicação das regras de Kirchoff ao circuito da Figura 7.16, após  fechar a chave, fornece a seguinte relação  0        7.37   Substituindo  a  expressão  de  definição  de  corrente  /   na  expressão  (7.37),  separando  variáveis,  considerando    em  0 e  integrando  de  ’ 0 até  ’ ,  obtém‐se  a  expressão  para  a  carga  no  capacitor em função do tempo  /         _7.38   Diferenciando a expressão (7.38) com respeito ao tempo obtemos  a corrente instantânea como função do tempo  /         _7.39   /  é a corrente inicial. O sinal negativo indica que a direção da  corrente  agora  que  o  capacitor  está  descarregando  é  oposta  a  direção  de quando o capacitor está sendo carregado. Tanto a carga no capacitor  quanto  a  corrente  no  circuito  decai  exponencialmente  a  uma  taxa  caracterizada pela constante de tempo  . 

 

Um  capacitor  descarregado  e  um  resistor  estão conectados em série a uma bateria,  como  mostrado  na  Figura  7.17.  Se 

12,0  ,  5,00  ,  e  8,00 10  Ω,  determine  a  constante  de  tempo  do  circuito,  a  carga  máxima  no  capacitor,  a corrente máxima no circuito, e a carga e 

 

135

  Figura 7.18  Exemplo resolvido  corrente como função do tempo.  Solução 

A  constante  de  tempo  do  circuito  é  8,00 10  Ω 5,00 10 4,00  .  A  carga  máxima  no  capacitor  é 

5,00 12,0  60,0 .  A  corrente  máxima  no  circuito  é  / 12,0V / 8,00 10  Ω 15,0 µA. Usando estes valores  nas Equações (7.35) 3 (7.36), determinamos que  60,0 1 / ,     15,0  / ,     Graficos destas funções são mostrados nas Figuras 7.18   

Exercício Calcule a  carga  no capacitor e a corrente  no circuito após ter 

decorrido um tempo superior a constante de tempo 

Resposta: 37,9   e 5,52  

Considere  o  capacitor  de  capacitância  C  que  está  sendo  descarregado  através de um resistor de resistência R, como mostrado na Figura 7.19(a)   (a)  Após  quantas  constantes  de  tempo    a  carga  no  capacitor  estará  reduzida a 1/4 do seu valor inicial? 

 

136

  Figura 7.19  (b) A energia armazenada no capacitor decresce com o tempo quando o  capacitor descarrega. Após quantas constantes de tempo   esta energia  armazenada será um quarto do seu valor inicial?  Solução 

(a)  A  carga  sobre  o  capacitor  varia  com  o  tempo  de  acordo  com  a  Equação  (7.38).  Para  determinar  o  tempo  que  ela  toma  para  ser  reduzida  a  um  quarto  do  seu  valor  inicial,  isto  é,  /4 pode ser  obtido resolvendo (7.38) para  : 

4 /  

O que resulta, após simplificações em  1

4 /     ln 4 4 1,39   

(b)  Usando  a  expressão  que  fornece  a  energia  armazenada  em  um  capacitor  cuja  carga  é  ,  /2   e  a  Equação  (7.38)  obtemos  a  expressão da energia armazenada no capacitor para qualquer tempo  : 

2

/

2 2 / /  

Onde  /2   é  a  energia  inicial  armazenada  no  capacitor.  Queremos  saber  quanto  tempo  decorre  até  que  a  energia  armazenada  no capacitor seja reduzida a um quarto do seu valor inicial: 

/ / _{ln 4 0,693}  

 

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Exercício  Após  quantas  constangte  de  tempo    a  corrente  no  circuito 

estará reduzida a metade do seu valor inicial 

Resposta:0,693  0,693  

QUESTÕES 

Q1  Explique  a  diferença  entre  carga  resistiva  em  um  circuito  e 

resistência interna em uma bateria.  Q2 Sob que condições a diferença de potencial através dos terminais de  uma bateria é igual a sua fem? Pode a voltagem entre os terminais  exceder a fem? Explique.  Q3 A direção da corrente através dos terminais de uma bateria é sempre  do terminal negativo para o terminal positivo? Explique. 

Q4  Como  você  conectaria  resistores  de  modo  que  a  resistência 

equivalente seja maior que a maior das resistências individuais? Dê  um exemplo envolvendo três resistores. 

Q5  Como  você  conectaria  resistores  de  modo  que  a  resistência 

equivalente seja menor que a menor das resistências individuais? Dê  um exemplo envolvendo três resistores. 

Q6  Dadas  três  lâmpadas  incandescentes  e  uma  bateria.  Esquematize 

quantos circuitos elétricos diferentes você pode montar. 

Q7  Qual  a  vantagem  que  pode  existir  em  usar  dois  resistores  idênticos 

em  paralelo  conectados  em  série  com  outro  par  idêntico  em  paralelo, em vez de usar exatamente um único resistor? 

Q8  Uma  lâmpada  incandescente  conectada  a  uma  fonte  de  120  V  com 

um  fio  de  extensão  curto  fornece  mais  iluminação  que  a  mesma  lâmpada  conectada  a  mesma  fonte  com  um  fio  de  extensão  mais  longo. Explique por que. 

Q9  Quando  a  diferença  de  potencial  através  de  um  resistor  pode  ser 

positiva? 

Q10  Qual  a  vantagem  que  a  operação  em  120    oferece  em  relação  a 

 

138

  Figura 7.20  Figura 7.21  Q11 Quando eletricistas trabalham com fios que estão energizados (fio  fase), freqüentemente eles usam as costas das suas mãos ou dedos  para mover os fios. Por que será que eles empregam esta técnica?  Q12 Que  procedimento você usaria para tentar salvar uma pessoa que 

está  “grudado”  a  um  fio  energizado  de  alta  voltagem  sem  colocar  em risco sua própria vida? 

 

PROBLEMAS  

P1  (a)  Qual  é  a  corrente  em  um  resistor  de  5,60 Ω  conectado  a  uma 

bateria  que  possui  uma  resistência  interna  de  0,200 Ω  se  a  voltag  em  entre os terminais da bateria é 10,0  ? (b) Qual é a fem da bateria?  P2  Duas  baterias  de  1,50      –  com  seus  terminais  positivos  na  mesma  direção – estão inseridas em série no tambor de uma luz de flash. Uma  bateria  tem  resistência  interna  de  0,255  Ω,  a  outra  uma  resistência  interna de 0,153 Ω. Quando a chave é fechada, uma corrente de 600 mA  aparece  na  lâmpada.  (a)  Qual  é  a  resistência  da  lâmpada?  (b)  Qual  é  a  porcentagem  da  potencia  das  baterias  que  é 

consumida  nas  próprias  baterias,  quando  observamos um aumento de temperatura?  P3  A  corrente  em  um  circuito  fechado  que  possui uma resistência   é 2,00  . A corrente  é  reduzida  para  1,60    quando  um  resistor 

adicional  3,00 Ω é adicionado em série com  . Qual é o valor de  ? 

P4  (a)  Determine  a  resistência  equivalente  entre  os  pontos    e    na  Figura 7.20. (b) Calcule a corrente em cada resistor se uma diferença de  potencial de 34,0   é aplicada entre os pontos 

 e  ? 

P5  Considere  o  circuito  mostrado  na  Figura  7.21.  Determine  (a)  a  corrente  no  resistor  de  20,0 Ω e (b) a diferença de potencial entre os  pontos   e  . 

 

139

  Figura 7.22    Figura 7.23  P6 Usando as regras de Kirchhoff determine a corrente em cada resistor  mostrado na Figura 7.22 e (b) determine a diferença de potencial entre  os  pontos    e  .  Que  ponto  está  no  potencial  mais alto? 

P7  Um  capacitor  de  2,00    com  uma  carga  inicial  de  5,10    é  descarregado  através  de  um  resistor  de  1,30  Ω.  (a)  Calcule  a  corrente  através  do  resistor  9,00    após  o  resistor  ser  conectado através dos terminais do capacitor,.  (b)  Que  carga  permanece  no  capacitor  após  8,00  ? (c) Qual é a corrente máxima no resistor? 

P8  Um  capacitor  completamente  carregado  armazena  energia  .  Quanta energia permanece quando sua carga decresce para metade do  seu valor original? 

P9  No  circuito  da  Figura  7.23  ,  a  chave  S  foi  aberta  por  um  longo  tempo.  Ela  é  então  subitamente  fechada.  Determine  a  constante  de tempo (a) antes da chave ser fechada e (b)  após  a  chave  ser  fechada.  (c)  Se  a  chave  é  fechada  em  0,  determine  a  corrente  através dele como função do tempo. 

 

 

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BIBLIOGRAFIA 

 

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No documento Paulo Henrique Ribeiro Barbosa Francisco Ferreira Barbosa Filho Departamento de Física Universidade Federal do Piauí (páginas 126-141)