CAPÍTULO 9 A LEI DE AMPÈRE
9.1 Lei de Biot – Savart
Quando uma carga puntual move‐se com velocidade , ela produz um campo magnético no espaço dado por
4
̂
9.1 ̂ é um vetor unitário que aponta da carga para o ponto P onde estamos medindo o campo e é uma constante de poporcionalidade chamada a permeabilidade do espaço livre2, que tem o valor
4 10 / 4 10 / 9.2 As unidades de são tais que está em Tesla quando está em Coulombs, em metros por segundo, e está em metros. A unidade / vem do fato que 1 1 / · . A constante 1/4 é arbitrariamente incluida na Equação (9.2) de modo que o fator 4 não aparecerá na lei de Ampère, a ser discutida na próxima seção.
Na Equação (9.1) trocando por , obtemos o campo magnético gerado pelo elemento de corrente no ponto é dado pela expressão 4 ̂ 9.3 2 Devemos tomar cuidado para não confundir a constante com o momento magnético .
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Figura 9.1 (a) O campo magnético no ponto devido a corrente fluindo através do elemento de comprimento é dado pela lei de Biot – Savart. A direção do campo está saindo da página em e entrando na página em ’. (b) O produto vetorial ̂ aponta para fora da página quando ̂ aponta em direção a . (c) O produto vetorial ̂ aponta para dentro da página quando ̂ aponta em direção .
Exemplo resolvido
Veja Figura 9.1 para detalhes sobre a geometria do problema. A Equação (9.3) é conhecida como a lei de Biot – Savart que é para o magnetismo, o mesmo que a lei de Coulomb é para a eletrostática.
O campo magnético total , criada em algum ponto por uma corrente de tamanho finito, é determinado somando as constribuições de todos os elementos de corrente que formam a corrente. Integrando a Equação (9.3) obtemos
4
̂
9.4
com a integração sendo realizada sobre toda a distribuição de corrente. Para ilustrar os cuidados no manuseio da integral na Equação (9.4), uma vez que o seu integrando envolve um produto vetorial, vamos apresentar o Exemplo resolvido abaixo.
Considere um fio fino, reto portando uma corrente constante e colocado ao longo do eixo como mostrado na Figura 9.2. Determine o módulo e direção do campo magnético no ponto devido a esta corrente.
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Figura 9.2 (a) Fio fino, reto, transportando uma corrente . O campo magnético no ponto devido à corrente em cada elemento do fio aponta para fora da pagina, de modo que o campo total no ponto está também apontando para fora da pagina. (b) Os angulos e , são usados para determinar o campo total. Quando o fio é infinitamente longo, 0 e
180 .
Solução
A direção do campo magnético no ponto P devido a corrente no elemento de comprimento está apontando para fora da página porque ̂ aponta para fora da página. De fato, uma vez que todos os elementos de corrente estão no plano da página, eles todos produzem um campo magnético dirigido para fora da pagina no ponto P. Assim, temos a direção do campo magnético no ponto , precisamos agora apenas determinar o módulo do campo.
Tomando a origem em e fazendo o ponto P está ao longo do eixo positivo, com sendo o vetor unitario apontando para fora da pagina, vemos que
̂ ̂ sen
onde ̂ representa o módulo de ̂. Como ̂ é um vetor unitario, a unidade do produto vetorial é simplesmente a unidade de , que é o comprimento. A substituição da expressão acima na Equação (9.4) resulta em
4
sen
9.5
Para resolver esta integral devemos relacionar as variáveis , e . Da geometria do problema tiramos que
172
Figura 9.3 O campo magnético em devido a corrente no segmento curvo está entrando na pagina. A contribuição para o campo em devido à corrente nos dois segmentos retos é zero.
sen csc 9.6 Porque tan / para o triangulo da direita na Figura 9.2 (a) (o sinal neativo é necessário porque está localizada em um valor negativo de ), temos cot 9.7 Tomando a derivada desta expressão obtemos csc 9.8 Substituindo os resultados (9.6) e (9.8) na Equação (9.5) ficamos com 4 csc sin csc 4 sin 4 cos cos 9.9 Para o caso especial em que tomamos um fio infinitamente longo (veja a Figura 9.2 (b) para um melhor entendimento), temos que 0 e para a soma de elementos de comprimento entre as posições
∞ e ∞. Como cos cos cos 0 cos 2, a
Equação (9.9) torna‐se 2 9.10 Vemos deste resultado que o módulo de é proporcional ao módulo da corrente e decresce com o aumento da distância ao fio Exercício Calcule o módulo do
campo magnético a 4,0 de um fio infinitamente longo, reto e portando uma corrente de 4,0 .
Resposta 2,5 10
Exercício Calcule o campo
magnético no ponto para o segmento de fio portando
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Figura 9.4 Geometria para calcular o campo magnético em estando sobre o eixo de uma espira de corrente. Por simetria, o campo total está ao longo do eixo.
corrente mostrado na Figura 9.3. O fio coniste de duas porções retas e um arco circular de raio , que subtende um ângulo . As setas sobre o fio indicam a direção da corrente
Resposta / 4 é entra na página
Exercício Uma espira circular de raio formada por um fio porta uma
corrente . Qual é o módulo do campo magnético no seu centro?
Resposta /2
Exercício Considere um espira circular de raio formada por um fio,
localizada no plano e portando uma corrente estacionária , como mostrado na Figura 9.4. Calcule o campo magnético em um ponto axial P a uma distância x do centro da espira
Resposta em 0
Do Exemplo resolvido vemos que o campo magnético, na vizinhança de um fio infinitamente longo e portando uma corrente , possui o mesmo valor para pontos equidistantes do fio e com a direção sempre tagente ao circulo que envolve o fio, como mostra a Figura 9.5.
O sentido do campo em torno do fio é indicado pela direção da ponta dos dedos da mão direita envolvendo o fio, com o polegar
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Figura 9.5 A regra da mão direita para determinar a direção do campo magnético em torno de um fio longo, reto e portando uma corrente . As linhas do campo magnético formam círculos em torno do fio.
apontado no sentido da corrente. Vamos agora apresentar um método que explora a simetria apresentada na Figura 9.5.