Densidade de corrente, lei de Ohm, condutividade, resistência e resistividade 

Em  um  condutor  em  equilíbrio  estático  o  campo  elétrico  no  interior  do  mesmo  é  zero.  Quando  o  condutor  não  está  em  equilíbrio  passa a existir um campo elétrico não nulo no inteior do condutor. 

Considere,  novamente,  o  condutor  da  Figura  6.1,  com  área  de  seção reta   e transportando uma corrente  . A densidade de corrente    no  condutor  é  definida  como  a  corrente  por  unidade  de  área.  Como  a  corrente  , Eq. (6.5), a densidade de corrente é 

       6.6   onde    é  expresso  em  unidades  SI  de  amperes  por  metro  quadrado.  A  expressão (6.6) é válida apenas se a densidade de corrente é uniforme e  apenas  se  a  superfície  com  área  de  secção  reta  A  é  perpendicular  à  direção da corrente. 

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Figura 6.5 Um condutor com secção reta uniforme. A densidade de corrente é 

uniforme através de qualquer seção reta, e o campo elétrico é constante ao  longo do comprimento. 

A  densidade  de  corrente  e  um  campo  elétrico  são  estabelecidos  em  um  condutor  se  uma  diferença  de  potencial  é  mantida  através  do  condutor. Em alguns materiais, a densidade de corrente é proporcional  ao campo elétrico 

       6.7   A  constante  de  proporcionalidade    é  chamada  a  condutividade  do  condutor.  Materiais  que  obedecem  a  Eq.  (6.7)  são  ditos  obedecer  a  lei 

de Ohm: 

Para muitos materiais (incluindo a maioria dos metais), a razão  da densidade de corrente para o campo elétrico é uma constante   que é independente do campo elétrico que produz a corrente. 

Materiais  que  obedecem  a  lei  de  Ohm  e,  portanto,  apresentam  esta relação simples entre E e J são ditos ôhmicos. Experimentalmente,  contudo,  determina‐se  que  nem  todos  materiais  possuem  esta  propriedade.  Materiais  e  dispositivos  que  não  obedecem  a  lei  de  Ohm  são  ditos  não‐ôhmicos.  A  lei  de  Ohm  é  uma  relação  empírica,  válida  apenas para certos materiais. 

É  interessante  determinarmos  uma  equação  que  seja  útil  em  aplicações práticas da lei de Ohm. Considere um segmento de fio reto de  área  seccional  reta  A  e  comprimento    como  mostrado  na  figura  6.5.  Uma  diferença  de  potencial    é  mantida  através  do  fio, 

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Exemplo Resolvido 6.3 

criando  no  mesmo  campo  elétrico  e  corrente.  Se  o  campo  é  suposto  uniforme, a diferença de potencial está relacionada ao campo através da  equação  ∆        6.8   Portanto, podemos expressar a densidade de corrente no fio como  ∆        6.9   Como  ⁄ , a diferença de potencial através do fio é  ∆         6.10   A quantidade  ⁄  é chamada a resistência do condutor. Podemos  definir a resistência como a razão da diferença de potencial, através de  um condutor, e a corrente no condutor:  ∆         6.11   A  unidade  no  sistema  internacional  SI  para  resistência  é  volt  por 

ampere. Um volt por ampere é definido como um ohm   1Ω 1  1   O inverso da condutividade é a resistividade  :  1        6.12   onde    é  expresso  nas  unidade  ohm‐metro  (Ω · ).  Como  ⁄ ,  podemos  expressar  a  resistência  de  um  bloco  de  material  uniforme  ao  longo do comprimento   como 

        6.13  

Calcule a resistência  de um cilindro de alumínio que tem comprimento  de  10,0  cm  e  área  seccional  reta  de  2,00 10 .  Repita  o  cálculo  para  um  cilindro  com  as  mesmas  dimensões  e  feita  de  vidro  tendo  resistividade de 3,0 10 Ω · . 

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Solução 

Fazendo  uso  da  Equação  (6.12)  e  da  tabela  6.1,  podemos  calcular  a  resistência do cilindro de alumínio da seguinte forma:  2,82 10 Ω · 0,100  2,00 10 1,41 10 Ω  De forma análoga para o vidro determinamos que  3,0 10 Ω · 0,100  2,00 10 1,5 10 Ω  Como podemos observar a grande diferença entre estes cálculos se deve  a  resistividade.  As  resistências  de  cilindros  identicamente  definidos  de  alumínio  e  vidro  diferem  muito:  a  resistência  do  cilindro  vítreo  é  18  ordens  de  grandeza  maior  em  magnitude  que  aquela  do  cilindro  de  alumínio. 

Tabela 6.1 resistividade de alguns materiais 

Resistividades  e  coeficientes  de  temperatura  da  resistividade  para  vários materiais 

Material  Resistividade(a) 

( ·   Coeficiente de resistividade(b)  com a temperatura     Prata  1,59 10 3,8 10 Cobre  1,7 10 3,9 10 Ouro  2,44 10 3,4 10 Alumínio  2,82 10 3,9 10 Tungstênio  5,6 10 4,5 10 Ferro  10 10 5,0 10 Platina  11 10 3,92 10 chumbo  22 10 3,9 10 Níquel‐cromo  1,50 10 0,4 10 Carbono  3,5 10 0,5 10 Germânio  0,46 48 10 Silicio  640 75 10 Vidro  1,59 10   Ebonite  1,59 10   Enxofre  1,59 10   Quartzo (fundido)  1,59 10   a _{Todos os valores a 20}0_C  b _{Veja seção 6.4} 

c  _{Liga  de  níquel‐cromo,  comumente  usada  em  dispositivos  de}  aquecimento 

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Exemplo Resolvido 6.4 

(a)  Calcule  a  resistência  por  unidade  de  comprimento  de  um  fio  de  níquel‐cromo de calibre 22, que possui um raio de 0,321  . 

(b)  Se  uma  diferença  de  potencial  de  10    é  mantida  através  do  comprimento de 1,0   do fio de níquel‐cromo, qual é a corrente no fio?  Solução  A área seccional reta deste fio é  0,321 10 3,24 10   A resistividade do níquel‐cromo (veja tabela 6.1) é de 1,5 10 Ω · m.  Assim, podemos usar a Equação (6.13) para determinar a resistência por  unidade de comprimento  1,5 10 Ω · m 3,24 10 4,6  Ω m⁄   Como o comprimento de 1,0 m deste fio possui uma resistência  de 4,6 Ω, a Equação (6.11) resulta em  ∆ 10  4,6 Ω 2,2   

Observe  da  tabela  6.1  que  a  resistividade  do  fio  de  níquel‐cromo  é  aproximadamente  100  vezes  aquela  do  cobre.  Um  fio  de  cobre  com  o  mesmo  raio  teria  uma  resistência  por  unidade  de  comprimento  de  apenas 0,052  Ω m⁄ . 

  Devido a sua alta resistividade e sua resistência à oxidação, a liga  níquel‐cromo  é  freqüentemente  usada  como  dispositivo  de  aquecimento em torradeira, ferro de engomar e aquecedores elétricos. 

Cabos  coaxiais  são  usados  extensivamente  para  televisão  a  cabo  e  outras  aplicações  eletrônicas.  Um  cabo  coaxial  consiste  de  dois  condutores  cilíndricos  concêntricos.  A  região  entre  os  condutores  é  completamente preenchida com silício, como mostrado na Figura 6.6, e 

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Figura  6.6  Cabo  coaxial  (a)  Com  o  espaço  entre  os  dois  condutores  preenchido  com  silício  (b)  Visão  das  extremidades,  mostrando  o  vazamento de corrente. 

o  vazamento  de  corrente  através  do  silício,  na  direção  radial,  é  algo  indesejado. (O cabo é projetado para conduzir corrente ao longo do seu  comprimento – esta não é a corrente que estamos considerando aqui.)  O  raio  interno  do  condutor  é  0,500  ,  o  raio  externo  é  1,75   e o comprimento é  15,0  . Calcule a resistência do silício  entre os dois condutores. 

Solução 

  Neste  tipo  de  problema  devemos  dividir  o  objeto,  cuja  resistência  está  sendo  calculada,  em  elementos  concêntricos  de  espessura infinitesimal  , veja Figura 6.6 (b). Iniciamos usando a forma  diferencial da Equação (6.13), trocando o comprimento   por   como a   distância  variável:  ⁄ ,  onde    é  a  resistência  de  um  elemento de silício de espessura   e área superficial  . Neste exemplo,  consideraremos  como  nosso  elemento  concêntrico  representativo  um   cilindro  oco  de  silício  de  raio  ,  espessura  ,  e  comprimento  ,  como  mostrado  na  Figura  6.6.  Qualquer  corrente  que  passe  do  condutor  interno para o externo deve passar radialmente através deste elemento  concêntrico,  e  a  área  através  do  qual  esta  corrente  passa  é  2 .  (Esta  é  área  superficial  curvada  –  circunferência  multiplicada  pelo  comprimento  –  do  nosso  cilindro  oco  de  silício  de  espessura  .)  Daí,  podemos escrever a resistência do cilindro oco de silício como  

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2  

Como  desejamos  saber  a  resistência  total  através  da  espessura  inteira  do silício, devemos integrar esta expressão de   a  : 

2 2 ln

b a  

Substituindo  nos  valores  dados,  e  usando  640 Ω · m para o silício,  obtemos  640 Ω · m 2 0,150  ln 1,75 cm 0,500 cm 851 Ω