Curso: Engenharia Industrial Elétrica. Análise de variáveis Complexas MAT 216 Turma: 01

“ Respondeu Jesus: Em verdade, em verdade te digo: quem não nascer da água e do Espírito não pode entrar no reino de Deus.” Jo 3:5

2003.1 Seja u xe cos(y) ye sen(y) x x



 _:

a) Prove que u é harmônica.

b) Determinar v de tal modo que f(z) = u + iv seja analítica. 2003.1

a) Seja w = f(z)z(2z). Encontre os valores de w correspondentes a z = 1 + i, z = 2 – 2i e esboce os gráficos dos valores correspondentes nos planos w e z.

b) A impedância de um circuito que contém uma resistência e uma indutância em paralelo

é L j R Z   1 1

. Encontre os lugares geométricos da impedância e da admitância quando L varia.

2003.1 Represente graficamente o conjunto de valores de z para os quais z34i 2.

2003.1 Calcule os seguintes limites:

a) 2 4 ) 1 )( 3 2 ( lim ₂ 2 _{ }    _{z z} z z i z b) 2 1 1 2 lim _{4 2} 2      _{z z} iz z i z

2004.1 (Prova Final) Demonstre que u e y

x cos

 _{é harmônica. Então encontre seu} conjugado harmônico v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z = x + iy.

2004.1 Demonstre que u z3 25 é harmônica. Então encontre seu conjugado harmônico v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z = x + iy.

2004.1Calcule

_

 C iz dz e z 2)

( ao longo da parábola C definida por ₂

2  x y  de (0, 0) a ( , 1). 2004.1

_

 C z dz z e 3 2 ) 1 ( , onde C é o círculo z 3.

Curso: Engenharia Industrial Elétrica

Análise de variáveis Complexas

MAT 216

Turma: 01

2004.1 (Prova Final) Calcule



 C iz dz e z 2) (

ao longo da parábola C definida por 2 2  x y  de (0, 0) a ( , 1). 2004.1 (Prova Final)



C  z dz z e 3 2 ) 1 ( , onde C é o círculo z 3. 2005.2 Calcule



C  zt dz z e i 1 2 1 2  , se t > 0 e C é o círculo z 3. 2005.2 Calcule



 C iz dz e z 2) (

ao longo da parábola C definida por 2 2  x y  de (0, 0) a ( , 1). 2005.2



C  z dz z e 3 2 ) 1 ( , onde C é o círculo z 3.

2007.2 Seja f uma função analítica numa região simplesmente conexa R. Sejam C1 e C2

dois contornos arbitrários em R, ligando z0 a z. Verifique se



1 ) ( C dz z f =



2 ) ( C dz z f . 2007.2 Calcule



 C iz dz e z 2) (

ao longo da parábola C definida por 2 2  x y  de (0, 0) a ( , 1). 2007.2 Calcule a integral



  i dz x y 1 0 2 ) ( : a) Ao longo do eixo x = 0 e da reta y = 1;

b) Ao longo do eixo y = 0 e da reta x = 1. (veja figura)

2007.2 Calcule



C   zt dz z z e ) 2 2 ( 2 , se t > 0 e C: z1i 1.

2007.2 Seja C o quadrado de vértices 0, 3, 3i e 3 + 3i, orientado no sentido positivo.

Determine: a)



   C dz i z z 4 2 ) 4 4 ( 1 b)



     C dz i z i z z ) 2 2 ( ) 1 ( 1 2 2

2007.2 (Prova Final) Demonstre que u xe y ye y x x

sen cos 

encontre seu conjugado harmônico v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z = x + iy.

2007.2 (Prova Final) Calcule



C  z dz z e 3 2 ) 1 ( , onde C é o círculo z 3. 2006.2 Calcule



C   zt dz z z z e ) 2 2 ( 2 2 , se t > 0 e C é o círculo 2 1  z . Calcule



C   zt dz z z z e ) 2 2 ( 2 2 , se t > 0 e C é o círculo z  1 4. 2008.1

Seja w = f(z) = 2z + 1. Encontre os valores de w correspondentes aos pontos x2 + y2 = 1 e esboce os gráficos dos valores correspondentes nos planos w e z.

Demonstre que

2 2

ln x y

u  

é harmônica. Então encontre seu conjugado harmônico v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z.

Obs. . tan , 1 2

2 _aarctg _a C aeC cons tes

a d



           2008.1 Calcule



C  z dz z e 3 2 ) 1 ( , onde C é o círculo z 3. 2005.2 Calcule



C   zt dz z z e 2 2 2 , se t > 0 e C é o círculo . 2 1 1   i z

2005.2 Seja C o triângulo orientado no sentido positivo de vértices 0, 2i e 2 + 2i.

Determine: a)



   C dz i z z 2 2 ) 2 1 ( 1 b)



   C dz i z z 2 2 ) 2 ( 1 2005.2 Demonstre que u xe y ye y x x sen cos 

 _{é harmônica. Então encontre seu}

conjugado harmônico v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z = x + iy.

x2 + y2 = 1 e esboce os gráficos dos valores correspondentes nos planos w e z.

2005.2 Seja f uma função analítica numa região simplesmente conexa R. Sejam C1 e C2

dois contornos arbitrários em R, ligando z0 a z. Verifique se



1 ) ( C dz z f =



2 ) ( C dz z f . 2005.2 Calcule



 C iz dz e z 2) (

ao longo da parábola C definida por 2 2  x y  de (0, 0) a ( , 1).

Seja C o triângulo de vértices 0, 2 e 2i, orientado no sentido positivo. Determine:

a)



   C dz i z z 2 2 ) 1 ( 1 b)



   C dz i z z 2 2 ) 5 2 ( 1

2008.1 Seja C o triângulo de vértices 0, 2 e 3i, orientado no sentido positivo. Determine:

a)



   C dz i z z 2 2 ) 1 ( 1 b)



   C dz i z z 2 2 ) 5 2 ( 1

2004.1 Determine o domínio de convergência da série.

      1 1 4 ) 1 ( ) 2 ( n n n n z 2004.1 Expanda ) 2 ( 1  z

z em uma série de Laurent válida para

a) 0 z 2 b) z 2

2004.1 “Quando a resposta forçada é calculada observando-se que o fasor de saída é Y(s) = ) ( ) ( s X s H , o valor de s é determinado pela forma de entrada. H(s) é a função de circuito. Zeros ou pólos são valores de s para os quais a função do circuito se anula ou tende para infinito (função “explodir” ) respectivamente.”

A “função de circuito” para um dado circuito é

) 6 , 8 2 , 8 ( ) 6 , 8 2 , 8 ( ) 5 , 3 ( ) 10 ( 25 ) ( _{2 3} j s j s s s s H      

 . Classifique as singularidades da função

de circuito e represente no plano complexo.

2004.1 Calcule os resíduos de f(z) = ) 4 ( ) 1 ( 2 2 2 2    z z z z .

2004.1 (Prova Final)Expanda ( 2)

1 

z

z _{em uma série de Laurent válida para}

a) 0 z 2 b) z 2

2004.1 (Prova Final) “Quando a resposta forçada é calculada observando-se que o fasor de saída é Y(s)

= ( ) ) ( s X s H

, o valor de s é determinado pela forma de entrada. H(s) é a função de circuito. Zeros ou pólos são valores de s para os quais a função do circuito se anula ou tende para infinito (função “explodir” )

respectivamente.”

A “função de circuito” para um dado circuito é

) 6 , 8 2 , 8 ( ) 6 , 8 2 , 8 )( 5 , 3 ( ) 10 ( 25 ) ( ₃ j s j s s s s H       

. Classifique as singularidades da função de

circuito e represente no plano complexo.

2004.1 (Prova Final) Calcule os resíduos de f(z) = ( 1) ( 4)

2 2 2 2    z z z z .

2004.1Determine o domínio de convergência da série



 1 ( 1) n n n n z . 2004.1 Expanda ( 1)( 3) 1   z

z _{em uma série de Laurent válida para}

a) 1 z  3 b) z 3

2004.1 Encontre a série de Maclaurin da função sen(z) e desenvolva a seguinte função em

série de Laurent em torno do ponto z = 0, dizendo o tipo de singularidade.

3 ) sen( ) ( z z z f 

2004.1 “Quando a resposta forçada é calculada observando-se que o fasor de saída é Y(s) = ( ) ) ( s X s H , o valor de s é determinado pela forma de entrada. H(s) é a função de circuito. Zeros ou pólos são valores de s para os quais a função do circuito se anula ou tende para infinito (função “explodir” ) respectivamente.”

A “função de circuito” para o circuito é ( 3,5)( 8,2 8,6)( 8,2 8,1) ) 10 ( ) ( j s j s s s s H        .

Classifique as singularidades da função de circuito e represente no plano complexo.

2004.1Determine o domínio de convergência da série

      1 1 4 ) 1 ( ) 2 ( n n n n z .

2004.1 Expanda ( 2)

1 

z

z _{em uma série de Laurent válida para}

a) 0 z 2 b) z 2

2004.1 Encontre a série de Maclaurin da função cos(z) e desenvolva a seguinte função em

série de Laurent em torno do ponto z = 0, dizendo o tipo de singularidade.

z z z

f( )1cos( )

2004.1 “Quando a resposta forçada é calculada observando-se que o fasor de saída é Y(s) = ( ) ) ( s X s H , o valor de s é determinado pela forma de entrada. H(s) é a função de circuito. Zeros ou pólos são valores de s para os quais a função do circuito se anula ou tende para infinito (função “explodir” ) respectivamente.”

A “função de circuito” para um dado circuito é

) 6 , 8 2 , 8 ( ) 6 , 8 2 , 8 ( ) 5 , 3 ( ) 10 ( 25 ) ( 3 2 j s j s s s s H       

. Classifique as singularidades da função

de circuito e represente no plano complexo.

2004.1 Se









f z z

z z

( ) 

2 1 2

, encontre o resíduo de f(z) no pólo de ordem 2.

2004.1 Mostre que









z z z z dz i C z C 2 2 2 2 1 4 28 25 3 2      



 : 2004.2 Mostre que 5 2 cos 2 3 2 0      



d 2004.2 Mostre que 8 3 ) 1 ( 2 3   



   x dx

2004.2 Se q(t) é a carga em um circuito utilizado para carregar um capacitor. A inversa de

Laplace da carga               s RC Rs V s Q( ) 0 1 é dada por ). 1 ( ) 1 ( 2 1 ) ( 0 0 RC t i a i a st e C V ds RC s Rs e V i t q         

_



2004.2Se w = f(z) é analítica numa região R, prove que . ) ( ' ) , ( ) , ( 2 z f y v x v y u x u y x v u             Seja ) 2 1 ( 2 ) (_{z e}4_{z i} f w i     

, calcule o jacobiano da transformação. Geometricamente o que isso significa?

2004.2 Seja o potencial complexo

z i z a z V z ln 2 ) ( 2 0             .

a) Determine as linhas equipotenciais e as linhas de corrente. b) Determine a velocidade do fluido em qualquer ponto.

2004.2Determine o domínio de convergência da série

. ) 1 ( 2 ) ( 1 3



nz_n_i n

2004.2 Desenvolva cos(z) em série de Maclaurin.

2004.2 Desenvolva 2 ) cos( ) ( z z z f 

em série de Laurent em torno de z = 0, dizendo o tipo de singularidade. 2004.2 Desenvolva (1 )(2 ) 1 ) ( z z z f    em 1 z 2 (Sabendo que . 1 , 1 1 0   z



z z n ) 2004.2 Calcule



C   zt dz z z z e ) 2 2 ( 2 2 , se t > 0 e C é o círculo 2 1  z .

2004.2 Dada a função de circuito

3 2 ) 2 3 ( ) 5 ( 10 ) ( i s s s s s H      . Classifique as singularidades da função, represente no plano complexo e calcule o resíduo do pólo simples.

2005.2 Demonstre que u z3 25 é harmônica. Então encontre seu conjugado harmônico v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z = x + iy.

      1 1 4 ) 1 ( ) 2 ( n n n n z 2005.2 Expanda ( 2) 1  z z

em uma série de Laurent válida para

a) 0 z 2 b) z 2

2005.2 “Quando a resposta forçada é calculada observando-se que o fasor de saída é Y(s) = ( ) ) ( s X s H , o valor de s é determinado pela forma de entrada. H(s) é a função de circuito. Zeros ou pólos são valores de s para os quais a função do circuito se anula ou tende para infinito (função “explodir” ) respectivamente.”

A “função de circuito” para um dado circuito é

) 6 , 8 2 , 8 ( ) 6 , 8 2 , 8 ( ) 5 , 3 ( ) 10 ( 25 ) ( _{2 3} j s j s s s s H       

. Classifique as singularidades da função

de circuito e represente no plano complexo.

2005.2 Calcule os resíduos de f(z) = ( 1) ( 4) 2 2 2 2    z z z z .

2005.2Determine o domínio de convergência da série

. ) 1 ( ) ( 1 3



_nz_i n

2005.2 Calcule as séries de Laurent em torno das singularidades das seguintes funções. Em

cada caso verifique qual a singularidade.

a)





3 2 1 ) (   z e z f z b)          2 1 sen ) 3 ( ) ( z z z f 2005.2 Desenvolva ( 1)( 3) 1 ) (    z z z f em série de Laurent em 1 z 3.

2005.2 Dada a função de circuito

2 2 ) 2 3 ( ) 5 ( 25 ) ( i s s s s s H      . Classifique as singularidades da função, represente no plano complexo e calcule o resíduo do pólo simples.

2005.2Determine o domínio de convergência da série

. ) ( ) 1 ( 1



  n i z n n

2005.2 Calcule as séries de Laurent em torno das singularidades das seguintes funções. Em

cada caso verifique qual a singularidade.

a)





3 2 3 ) (   z e z f z b)          2 1 cos ) 3 ( ) ( z z z f 2005.2 Desenvolva ( 2) 1 ) (   z z z f

em uma série de Laurent válida para a) 0 z 2 b) z 2 2005.2



C  z dz z e 3 2 ) 1 ( _{, onde C é o círculo} z 3.

2005.2 Dada a função de circuito ( 5)

25 ) ( ₂ i s s s s H    . Classifique as singularidades da função, represente no plano complexo e calcule o resíduo do pólo duplo.

2005.2Mostre que: a) . , 2 sen 2 2 2 0 b a se b a b a d    



 _   b) . 2 ) 5 4 ( 2 2    



   x x dx

2005.2 Determine a região do plano w na qual a região limitada por x = 0, y = 0, x = 2 e y

= 1 é levada pela transformação w = e z i 4

3 

[As equações (u, v) ]. Determine o jacobiano da transformação e interprete o resultado geometricamente.

2005.2 Seja o potencial complexo do escoamento de um fluido dado por          z a z V z 2 0 ) ( .

a) Determine as linhas equipotenciais e as linhas de corrente. b) Determine a velocidade do fluido em qualquer ponto.

2005.2 Demonstre que u e y x

cos

 _{+ x y é harmônica. Então encontre seu conjugado} harmônico v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z = x + iy.

2005.2 Verifique se a função z z f( ) 1 é analítica. 2005.2 Seja C = C(0, 2). Calcular



C dz z 1

. Explique porque o Teorema de Cauchy não vale.

2005.2 Seja f uma função analítica numa região simplesmente conexa R. Sejam C1 e C2

dois contornos arbitrários em R, ligando z0 a z. Verifique se



1 ) ( C dz z f =



2 ) ( C dz z f .

2005.2 Seja C a curva com parametrização dada por z(t) = t2 , 0 t 1. Calcule

 

2 .



C dz z 2005.2 Calcule



C   zt dz z z z e ) 2 2 ( 2 2 , se t > 0 e C é o círculo . 2 1  z

2005.2 Seja C o triângulo de vértices 0, 3i e 3 + 3i, orientado no sentido positivo.

Determine:



_{ } C dz i z z 2 2 ) 2 1 ( 1



_ _ C dz i z z 2 2 ) 2 ( 1 2005.2Mostre que: a) 3 2 2 cos 2 0       



d b) . 4 , , sen , 4 2 2 2 2 do a bec reais b ac b ac c bx ax dx     



   

2005.2 Determine a região do plano w na qual a região limitada por x =1, y = 1 e x + y

= 1 é levada pela transformação w = z2. Determine o jacobiano da transformação e interprete o resultado geometricamente.

2005.2 Seja o potencial complexo devido a uma fonte em z = - a e um poço em z = a de

iguais comprimentos k.           a z a z k z) ln ( .

b) Determine a velocidade do fluido em qualquer ponto.

2006.2 Determine o domínio de convergLncia da série:

  











1

₃

1

1 n n

z

n

_. 2006.2 Espanda

f z

z

z

( )

(

)(

)







1

2

3

_{em uma série de Laurent válida para:}

a)

z  2

b) z  3 2006.2 Prove que: a) d sen









 3 2 0 2     cos _. b)

dx

ax

2

bx

c

_ac

_b

2

2

4







_

   



sendo a, b, c reais e b2 4ac.

c) a inversa de Laplace da funçno transformada

F s

s

( ) 



1

1

2 é

f t

( )



sin( )

t

. Sabendo que f t i F s e ds st C ( ) 1  ( )

2



_{, onde C é um contorno fechado adequadamente}

escolhido que envolve os pólos de F(s).

2006.2 Encontre a série de Maclaurin da funçno cos(z) e desenvolva a seguinte funçno em

série de Laurent em torno do ponto z = 0, dizendo o tipo de singularidade.

f z

sen z

z

( )



( )

3

2006.2 Determine o domínio de convergncia da série:

  

 



  1 2 1 n n z n _. 2006.2 Espanda f z z z ( ) ( )( )    1

1 3 _{em uma série de Laurent válida para:}

2006.2 Prove que: a) d sen









 3 2 0 2     cos _. b) dx x4 0 1 2 2    



.

c) a inversa de Laplace da funçno transformada

F s s s ( )    3 2 4 2 é

f t( )3cos( )2t sin( )2t _{. Sabendo que} f t _i F s e ds

st C

( ) 1  ( )

2



_{, onde C é um}

contorno fechado adequadamente escolhido que envolve os pólos de F(s).

2006.2 Determine a regino do plano W na qual a regino limitada por x = 1, y = 1 e x + y =

1 é levada pela transformaçno w = z2.

2006.2 Determine o jacobiano da transformaçno e interprete o resultado geometricamente. 2006.2 Determine o potencial complexo para um fluido movendo-se com velocidade

constante V0 _{formando um ângulo}



_{com o semi-eixo positivo.}

2006.2 Determine o potencial de velocidade e a funçno de corrente.

2006.2 Seja o potencial complexo

( )

z

V

z

a

ln( )

z

i

z















 

0 2

2





. Determine as linhas equipotenciais e as linhas de corrente.

2006.2 Uma regino é limitada por dois condutores cilíndricos concLntricos e infinitos, de

raios r e r1 2 (r1 r2), carregados a potenciais 1 e2_{, respectivamente. Determine o} potencial e o vetor campo elétrico em qualquer ponto da regino.

Sabendo que: ( )z i



 Alnz B e 1  Alnr1  B e 2  Alnr2  B _e







 grad   r  

2006.2 Encontre a série de Maclaurin da funçno cos(z) e desenvolva a seguinte funçno em

série de Laurent em torno do ponto z = 0, dizendo o tipo de singularidade.

f z z

z

2006.2Determine o domínio de convergência da série . ) 1 ( 2 ) ( 1 3



nz_n_i n

a) Desenvolva cos(z) em série de Maclaurin.

b) Desenvolva 2 ) cos( ) ( z z z f 

em série de Laurent em torno de z = 0, dizendo o tipo de singularidade. c) Desenvolva (1 )(2 ) 1 ) ( z z z f    em 1 z 2 (Sabendo que . 1 , 1 1 0   z



z z n )

2006.2 Dada a função de circuito

3 2 ) 2 3 ( ) 5 ( 10 ) ( i s s s s s H      . Classifique as singularidades da função, represente no plano complexo e calcule o resíduo do pólo simples. 2007.2 Demonstre que ( ) 2 2 2 y x sen e

u  xy  _{é harmônica. Então encontre seu conjugado}

harmônico v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z.

2007.2

1ª QUESTÃO: (valor: 1,0)Determine o domínio de convergência da série . ) ( ) 1 ( 1 4



 _nzi n n

2ª QUESTÃO: (valor: 2,0 cada) Calcule as séries de Laurent em torno das singularidades

das seguintes funções. Em cada caso verifique qual a singularidade.

2.1)





3 2 2 ) (   z e z f z 2.2)          1 1 cos ) 1 ( ) ( z z z f

3ª QUESTÃO: (valor: 2,0) Desenvolva ( 2)

) (   z z z z f

em uma série de Laurent válida para

4ª QUESTÃO: (valor: 1,5 cada) 4.1) Calcule



   C dz z z z z i ( 2) ( 4) 2 2 1 2 2 2  , onde C é o círculo 2 3  z .

4.2) a inversa de Laplace da função transformada 1 ) ( ₂   s s s F é f(t)cos(t). Sabendo que



 C st ds e s F i t f ( ) 2 1 ) ( 

, onde C é um contorno fechado adequadamente escolhido que envolve os pólos de F(s).

2007.2 (Prova Final) Determine o domínio de convergência da série



z i



n n    ₂ 1 1 _.

2007.2 (Prova Final) Desenvolva ( 3)( 2)

1 ) (    z z z f

em uma série de Laurent válida

para 2 z 3.

2007.2 (Prova Final) Mostre que

. , 2 sen 2 2 2 0 b a se b a b a d    



 _  

2007.2 (Prova Final) Mostre que a inversa de Laplace da função transformada

1 ) ( ₂   s s s F

é f(t)cos(t). Sabendo que



 C st ds e s F i t f ( ) 2 1 ) (  , onde C é um contorno fechado adequadamente escolhido que envolve os pólos de F(s).

2007.2 (Prova Final) Seja o potencial complexo

( )z V z a ln( ) z i z          0 2 2   . Determine as linhas equipotenciais e as linhas de corrente.

2007.2 Demonstre que

2 2

ln x y

u 

é harmônica. Então encontre seu conjugado harmônico v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z.

Obs. . tan , 1 2 2 C aeC cons tes a arctg a a d



           . 2007.2 Verifique se a função z z f( ) 1 é analítica. 2007.2 Seja C: z 1. Calcular



C dz z 1

. Explique porque o Teorema de Cauchy não vale.

2007.2 Calcule a integral



  i dz x y 2 0 2 ) ( : a) Ao longo do eixo x = 0 e da reta y = 1;

b) Ao longo do eixo y = 0 e da reta x = 2. (veja figura)

2007.2 Calcule



C   zt dz z z e ) 2 2 ( 2 , se t > 0 e C é o círculo z 2.

2007.2 Seja C o triângulo de vértices 0, 3i e 3 + 3i, orientado no sentido positivo.

Determine: a)



   C dz i z z 2 2 ) 4 4 ( 1 b)



   C dz i z z 2 2 ) 2 1 ( 1 2007.2 Calcule



   C dz z z z z i ( 2) ( 4) 2 2 1 2 2 2  , onde C é o círculo 2 3  z .

2007.2Determine o domínio de convergência da série

. ) ( ) 1 ( 1 4



 _nzi n n

2007.2 Calcule as séries de Laurent em torno das singularidades das seguintes funções. Em

cada caso verifique qual a singularidade.

a)





3 2 2 ) (   z e z f z b)          1 1 cos ) 1 ( ) ( z z z f 2007.2 Desenvolva ( 2) ) (   z z z z f

a) 0 z 2 b) z 2 2007.2 Calcule



   C dz z z z z i ( 2) ( 4) 2 2 1 2 2 2  , onde C é o círculo 2 3  z .

2007.2 Mostre que a inversa de Laplace da função transformada 1 ) ( ₂   s s s F é ). cos( ) (t t f  _{Sabendo que} 



C st ds e s F i t f ( ) 2 1 ) ( 

, onde C é um contorno fechado adequadamente escolhido que envolve os pólos de F(s).

2007.2 Determine o domínio de convergência da série

. ) ( ) 1 ( 1 4



 _nzi n n

2007.2 Calcule as séries de Laurent em torno das singularidades das seguintes funções. Em

cada caso verifique qual a singularidade.

a)





3 2 2 ) (   z e z f z b)          1 1 cos ) 1 ( ) ( z z z f 2007.2 Desenvolva ( 2) ) (   z z z z f

em uma série de Laurent válida para

a) 0 z 2 b) z 2

2007.2 Mostre que a inversa de Laplace da função transformada 1 ) ( ₂   s s s F é ). cos( ) (t t f  _{Sabendo que} 



C st ds e s F i t f ( ) 2 1 ) ( 

, onde C é um contorno fechado adequadamente escolhido que envolve os pólos de F(s).

2007.2Mostre que: a) 3 2 2 cos 2 0       



d . b) dx x2 2x2        .

2007.2 Determine a região do plano w na qual a região limitada por x = 2, y = 0 e

x - y = 0 é levada pela transformação w e z i i

 2_. 4_. ₍1 ₎ 

.

Determine o jacobiano da transformação e interprete o resultado geometricamente. Obs.: . ) ( ' ) , ( ) , ( 2 z f y v x v y u x u y x v u            

2007.2 Seja o potencial complexo ( )z ikln( ),z onde k  0.

a) Determine as linhas equipotenciais e as linhas de corrente.

b) Determine a velocidade do fluido em qualquer ponto. o módulo da velocidade. Obs.:       ( ) ( ) z i Linhas equipotenciais Linhas de corrente v z         2008.1 Demonstre que u e y x cos

 _{+ x y é harmônica. Então encontre seu conjugado} harmônico v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z = x + iy.

2008.1 Determine a região do plano W na qual a região limitada por x =1, y =1 e x + y =1 é

levada pela transformação w = z2.

2008.1 Calcule a integral



  i dz x y 2 0 2 ) ( : a) Ao longo do eixo x = 0 e da reta y = 1;

b) Ao longo do eixo y = 0 e da reta x = 2. (veja figura)

2008.1 Calcule



C   zt dz z z z e ) 2 2 ( 2 2 , se t > 0 e C é o círculo . 2 1  z

2008.1 Uma elipse C tem a equação z(t) = a cos(wt) + i b sen(wt), onde a, b e w são

constantes, a > b, e t é o tempo. Suponha que z é o vetor posição da partícula movendo-se sobre a curva C. Determine a velocidade e a aceleração da partícula para qualquer tempo.

Determine



Cz bi

dz

2 .

2008.1 Seja w = f(z) = 2z + 1. Encontre os valores de w correspondentes aos pontos x2 + y2 = 1 e esboce os gráficos dos valores correspondentes nos planos w e z.

2008.1 Demonstre que

2 2

ln x y

u  

é harmônica. Então encontre seu conjugado harmônico v e forme uma função analítica f = u + iv em termos de z.

Obs. . tan , 1 2 2 C aeC cons tes a arctg a a d



           . 2008.1 a) Calcule



C  z dz z e 3 2 ) 1 ( , onde C é o círculo z 3. b) Calcule



 C iz dz e z 2) (

ao longo da parábola C definida por 2 2

 x y 

de (0, 0) a ( , 1).

2008.1 Seja C o triângulo de vértices 0, 2 e 2i, orientado no sentido positivo. Determine:

a)



   C dz i z z 2 2 ) 1 ( 1 b)



   C dz i z z 2 2 ) 5 2 ( 1

2008.1 Determine o domínio de convergência da série



z i



n n n  



2 1 4 . 2008.1 Desenvolva ( 1)( 3) 1 ) (    z z z f

em série de Laurent válida para

a) z 3 b) 1 z 3.

de Laurent em torno do ponto z = 1, dizendo o tipo de singularidade.





3 2 1 ) (   z e z f z 2008.1 a) Calcule



C   zt dz z z z e ) 2 2 ( 2 2 , se t > 0 e C é o círculo z  1 4.

b) Mostre que a inversa de Laplace da função transformada F s s

s s

( ) ,

 

1 2 0 é

f t( )cos( )t . Sabendo que

f t

i F s e ds

st C

( ) 1  ( )

2



_{, onde C é um contorno fechado}

adequadamente escolhido que envolve os pólos de F(s).

2008.1

2008.1 Se w = f(z) é analítica numa região R, prove que

. ) ( ' ) , ( ) , ( 2 z f y v x v y u x u y x v u             Seja w f z( ) 3e3iz(1i) 

, calcule o jacobiano da transformação. Geometricamente o que isso significa?

2008.1 a) Mostre que . 4 , , sen , 4 2 2 2 2 do a bec reais b ac b ac c bx ax dx     



    b) Mostre que 5 2 cos 2 3 2 0      



d

2008.1 Seja o potencial complexo devido a uma fonte em

z = - a e um poço em z = a de iguais comprimentos k.

          a z a z k z) ln ( .

b) Determine a velocidade do fluido em qualquer ponto.

2008.1 Determine o domínio de convergência da série



z i



n n   ₄2 1 _.

2008.1 Calcule as séries de Laurent em torno das singularidades das seguintes funções. Em

cada caso verifique qual a singularidade.

a) f z e z z ( ) ( )   3 2 1 ₁₎ b) f z z sen z ( )(  )        2 1 1 2008.1 Desenvolva f z z z ( )  

2 _{em uma série de Laurent válida para:}

a) z  2 b) z 2

2008.1 Determine o domínio de convergência da série



z i



n n n  



2 1 4 . 2008.1 Desenvolva ( 1)( 3) 1 ) (    z z z f

em série de Laurent válida para

a) z 3 b) 1 z 3.

2008.1 Encontre a série de Maclaurin da função ez e desenvolva a seguinte função em série de Laurent em torno do ponto z = 1, dizendo o tipo de singularidade.





3 2 1 ) (   z e z f z

2008.1 Mostre que a inversa de Laplace da função transformada F s s

s s

( ) ,

 

1 2 0 é

f t( )cos( )t . Sabendo que

f t

i F s e ds

st C

( ) 1  ( )

2



_{, onde C é um contorno fechado}

2008.1 Calcule 1 2i 2 2 sen z z z dz C ( ) (  )  , onde C é o círculo 2 3  z .

2008.1 Mostre que a inversa de Laplace da função transformada F s s ( )   1 1 2 _é

f t( )sen t( )_{. Sabendo que}



 C st ds e s F i t f ( ) 2 1 ) ( 

, onde C é um contorno fechado adequadamente escolhido que envolve os pólos de F(s).

2008.2 Mostre que: a) , 1. 1 2 cos 1 2 2 2 0    



a a a d     b) 2 2 1 4   



   x dx .

2008.2 Uma região é limitada por dois condutores cilíndricos concêntricos e infinitos, de

raios r e r1 2 (r1 r2), carregados a potenciais 1 e2_{, respectivamente. Sabendo que:}

( )z i



 Alnz B e 1  Alnr1  B e 2  Alnr2  B _e







 grad   r   . a) Determine o potencial .

b) Determine as linhas equipotenciais.

c) O vetor campo elétrico em qualquer ponto da região.

2008.2: Seja R uma região retangular no plano z limitada por x = 0, y = 0, x = 2 e y = 1. 2008.2 Determine a região R’ do plano w, na qual R é transformada por meio da

transformação_w 3_e3_z. i  

2008.2 Determine o jacobiano e interprete o resultado

Fórmulas: . ) ( ' ) , ( ) , ( 2 z f y x v u   

iz dz d i z z z z           2 sin 2 cos 1 1









m m m z z _dz f z z z d m a lim ( )( ) ! 1 1 0 1 1 1 0        2008.2

2008.2 Determine o domínio de convergência da série



z i



n n n  



2 1 3 . 2008.2 Desenvolva ) 2 }( 1 ( 1 ) ( z z z f  

 em série de Laurent válida para a)

2

1 z  b) z 2

2008.2 Encontre a série de Maclaurin da função ez e desenvolva a seguinte função em série de Laurent em torno do ponto z = i, dizendo o tipo de singularidade.





f z e z i iz ( )   3 . 2008.2

a) Mostre que a inversa de Laplace da função transformada F s s s ( )    3 2 4 2 é f t( )3cos( )2t sin( )2t . Sabendo que f t

i F s e ds st C ( ) 1

_

( )

2 , onde C é um contorno fechado

adequadamente escolhido que envolve os pólos de F(s).

b) Mostre que a inversa de Laplace da função transformada F s

s s

( ) ,

 

1

1 2 0 é

f t( )sen t( ). Sabendo que f t

i F s e ds st C ( ) 1

_

( )

2 , onde C é um contorno fechado

adequadamente escolhido que envolve os pólos de F(s).

Fórmulas:

 

, 1. 1 1 1 0    



z z zn n . 1 , 1 1 0   



z z zn f z f n z n n ( ) ( ) ! 

_

0 0 lim n n n n n u u L u converge absolutamente u diverge o teste falha              





1 1 1 1

2008.2 Mostre que: a) , 1. 1 2 cos 1 2 2 2 0    



a a a d     b) 2 2 1 4   



   x dx .

2008.2 Uma região é limitada por dois condutores cilíndricos concêntricos e infinitos, de

raios r e r1 2 (r1 r2), carregados a potenciais 1 e2_{, respectivamente. Sabendo que:}

( )z i



 Alnz B e ₁  Alnr₁  B e ₂  Alnr₂  B _e







 grad   r   . a) Determine o potencial .

b) Determine as linhas equipotenciais.

c) O vetor campo elétrico em qualquer ponto da região.

2008.2 Seja R uma região retangular no plano z limitada por x = 0, y = 0, x = 2 e y = 1. 2008.2 Determine a região R’ do plano w, na qual R é transformada por meio da

transformação_w 3_e3_z. i  

2008.22008.2 Determine o jacobiano e interprete o resultado

Fórmulas: . ) ( ' ) , ( ) , ( 2 z f y x v u    iz dz d i z z z z           2 sin 2 cos 1 1









m m m z z _dz f z z z d m a lim ( )( ) ! 1 1 0 1 1 1 0    _   