VANESSA RIBEIRO GAIGHER
FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA EM AULAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS A PARTIR DE AÇÕES COLABORATIVAS E REFLEXIVAS
Vitória 2017
FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA EM AULAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS A PARTIR DE AÇÕES COLABORATIVAS E REFLEXIVAS
Vitória 2017
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Educação em Ciências e Matemática.
Orientador: Profa. Dra. Maria Alice Veiga Ferreira de Souza
(Biblioteca Nilo Peçanha do Instituto Federal do Espírito Santo) G137f Gaigher, Vanessa Ribeiro.
Formação do professor de matemática em aulas de resolução de problemas a partir de ações colaborativas e reflexivas / Vanessa Ribeiro Gaigher. – 2017. 157 f. : il. ; 30 cm
Orientadora: Maria Alice Veiga Ferreira de Souza. Coorientador: Luciano Lessa Lorenzoni.
Dissertação (mestrado) – Instituto Federal do Espírito Santo, Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática, Vitória, 2017. 1. Professores – Formação. 2. Professores de matemática. 3. Matemática - Estudo e ensino. 4. Matemática - Problemas, questões, exercícios. 5. Didática. I. Souza, Maria Alice Veiga de. II. Lorenzoni, Luciano Lessa. III. Instituto Federal do Espírito Santo. IV. Título.
Aos meus pais, Neuza e Alaelson (in memorian) que me incentivaram na busca pelo conhecimento e abdicaram muitos de seus desejos para me proporcionar condições de estudo!
A Deus, pela força e conforto para não me deixar desistir ao longo desse caminho.
Aos meus pais Alaelson e Neuza, por toda a força, incentivo, apoio, amor, dedicação, compreensão em todos os momentos da minha vida. Em especial ao meu pai, que nos deixou ao longo dessa caminhada, mas que estaria radiante de felicidade por minha vitória.
Aos amigos, familiares e ao meu noivo que vibraram com minha aprovação no processo seletivo do EDUCIMAT e que compreenderam minhas ausências nos eventos da família! Em especial ao meu primo, Diego, que sempre se mostrou disposto a revisar as normas da ABNT e a minha prima Lidiane por escutar minhas lamúrias em finais de semestres! Muito obrigada!
A minha orientadora, Maria Alice, pelo incentivo e por todas as horas dedicadas na construção e desenvolvimento da Pesquisa. Não ganhei apenas uma orientadora, ganhei uma amiga!
A minha professora de graduação, amiga e participante da Pesquisa, Julia Wrobel, que me incentivou e motivou a iniciar o mestrado e concluí-lo!
Ao Grupo de Estudo e Pesquisa em Modelagem Matemática e Educação Estatística (GEPEME), em especial ao meu coorientador Luciano, e ao Professor Oscar que contribuíram para aprofundar meus estudos.
Aos meus amigos de turma, vocês foram muito importantes nessa caminhada. Todas as piadas, risadas, reclamações e estudos contribuíram para esse avanço acadêmico.
Aos integrantes da banca por todas sugestões e críticas construtivas que impulsionaram a realização deste trabalho.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTOPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
RESUMO
Uma gama de orientações na área da Educação Matemática sugere o uso da Resolução de Problemas para melhorar a qualidade do ensino da matemática, porém, sua utilização pelos profissionais docentes é ainda escassa pelo próprio caráter de imprevisibilidade e insegurança presentes nesse tipo de tarefa. Esta pesquisa investigou quais contribuições emergem de ações colaborativas e reflexivas na formação de professores de matemática em aulas de resolução de problemas. O aporte teórico e metodológico contou com as contribuições de Ponte, Perrenoud, para apoiarem a formaçãoprática reflexiva e colaborativa dos professores de Matemática; Pólya para a Resolução de Problemas e; Fernandez &Yoshida e Isoda & Olfos para o Lesson Study como método que sustentou a condução das aulas. A coleta de dados se deu com a participação de nove alunos-professores de Matemática, apesar de apenas quatro terem ministrado aulas de problemas mal estruturados construídas a partir do método do Lesson Study. Além desses sujeitos, a investigação contou com a participação da autora dessa investigação, além de quatro professores-pesquisadores deste método. Trata-se de uma pesquisa qualitativa, cujos dados foram coletados por meio dos planejamentos de aula escritos, gravações em vídeo, registros escritos dos alunos-professores e alunos-graduandos e um instrumento elaborado a partir do referencial teórico eleito. Como produto científico-educacional foi elaborado um guia-didático com objetivo de reunir instruções, potencialidades, bem como aspectos que demandem certos cuidados ao se utilizar aulas de Resolução de Problemas. Os resultados apontaram certos ajustes no modo de condução desse tipo de aula, por parte dos alunos-professores e que pareceram resultar em êxitos na resolução dos problemas, pelos protocolos dos alunos-graduandos e pelas resoluções escritas.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTOPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
ABSTRACT
A range of guidelines in the field of Mathematics Education recommend the use of Problem Solving to improve the quality of teaching mathematics; however, its experiences with teaching professionals is limited because of its unpredictability and insecurity. This research investigated on contributions emerges from collaborative and reflexive actions in mathematics teachers’ training in problem solving classes. The theoretical and methodological contribution of the research was supported by Ponte and Perrenoud, for a reflexive and collaborative practice of teachers of Mathematics; Pólya for a Problem and Solving and; Fernandez & Yoshida and Isoda & Olfos for the Lesson Study as a method that sustained a conduction of classes. Data collection was performed with a participate of nine mathematics student-teachers, among these, only four student-teachers taught classes with ill structured problems built using Lesson Study methods. In addition to these subjects, the research had the participation of the author of this research, besides four professors-researchers of this method.Therefore, it is a qualitative research, whose data were collected through written lesson plans, audio and video recordings, written records of studens-teachers and undergraduate- students and an instrument based on the theoretical framework addressed here. The scientific-educational product was prepared as a didactic guide with the purpose of gathering instructions, the potentialities, as well as what health care issues require for Problem Solving. The results pointed to certain adjustments in the way students-teachers conduct this type of class, which seemed to result in successes in Problem Solving, undergraduate-students protocols and written resolutions.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Domínios do Conhecimento Matemático para o Ensino ... 26
Figura 2 - Cálculo da subtração ... 27
Figura 3 - Problema Verbal de Matemática ... 32
Figura 4 - Representação do Lesson Study conforme o entendimento dessa pesquisa ... 41
Figura 5 - Quantitativo de participantes envolvidos na pesquisa ... 49
Figura 6 - Representação da tríade/ambiente da pesquisa ... 50
Figura 7 - Disposição dos participantes da disciplina na aula 1 ... 53
Figura 8 - Disposição dos participantes da disciplina no primeiro momento das aulas 2 e 3 ... 54
Figura 9 - Disposição dos participantes da disciplina no segundo momento das aulas 2 e 3, respectivamente ... 54
Figura 10 - Disposição dos participantes da disciplina/pesquisa nas aulas 5 e 8 ... 56
Figura 11 - Disposição dos participantes da disciplina/pesquisa no primeiro momento das aulas 6 e 7 ... 57
Figura 12 - Quatro problemas ministrados pelos quatro alunos-professores ... 68
Figura 13 - Planejamento apresentado pela aluna-professora Sakura ... 70
Figura 14 - Obra de arte Waterfall de Cornelis Escher ... 72
Figura 15 - Problema 1 ... 73
Figura 16 - Aluna-professora Sakura auxiliando uma das duplas em sala de aula ... 74
Figura 17 - Soluções dos alunos-graduando para o problema 1, sendo (a) solução de G1 e G2 e (b) de G5 e G6 ... 76
Figura 18 - Tentativa de solução da aluna-graduanda G7 ... 77
Figura 19 - Primeira solução apresentada pela aluna-professora Sakura ... 78
Figura 20 - Segunda solução apresentada pela aluna-professora Sakura ... 79
Figura 21 - Planejamento para o problema 2 ... 81
Figura 22 - Problema 2 ... 83
Figura 23 - Problema 2 reescrito ... 83
Figura 24 - Aluno-professor Hiroshi acompanhando os alunos-graduandos durante a leitura do problema 2. ... 86
Figura 25 - Aluna-graduanda na lousa auxiliando a construção de um desenho/esquema para o problema 2.. ... 89
Figura 26 - Estratégia adotada pela aluna-graduanda G7 ... 90
Figura 27 - Solução registrada pela aluna-graduanda G6 na lousa ... 91
Figura 28 - Construção da estratégia de solução para o problema 2 ... 93
Figura 29 - Planejamento da aluna-professora Akemi para o problema 3 ... 95
Figura 30 - Problema 3 ... 95
Figura 31 - Ação de Akemi ao utilizar canetas iguais para representar as pilhas do problema 3...101
Figura 32 - Diferentes estratégias utilizadas pelos alunos-graduandos ... 104
Figura 33 - Esquema realizado por Akemi para explicar a solução do problema 3 ... 105
Figura 34 - Primeira parte da solução de Akemi para o problema 3 ... 105
Figura 35 - Segunda parte da solução de Akemi para o problema 3 ... 106
Figura 36 - Tabela construída por Akemi para generalizar o problema 3 ... 107
Figura 37 - Primeira parte da solução do problema 3 para o caso do total de 5 pilhas ... 108
Figura 38 - Segunda parte da solução do problema 3 para o caso do total de 5 pilhas ... 108
Figura 39 - Segundo planejamento do aluno-professor Akira ... 110
Figura 40 - Problema 4 reescrito ... 113
Figura 41 - Interação entre Akira e os alunos-graduandos ... 117
Figura 42 - Primeira estratégia pensada pelos alunos-graduandos ... 119
Figura 43 - Segunda estratégia pensada pela aluna-graduanda G2 ... 120
Figura 44 - Estratégia de planificar o cubo ... 120
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Planejamento da disciplina de Tópicos Especiais em Educação Matemática:
Resolução de Problemas e do ambiente de pesquisa inserido nela... ... 51
Quadro 2 - Legenda sobre o apoio teórico e literário para os itens do Instrumento 3 ... 59
Quadro 3 - Questionário ... 60
Quadro 4 - Distribuição dos instrumentos, sujeitos e procedimentos da pesquisa ... 65
SUMÁRIO
1 DA PESQUISA ... 14
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICO-METODOLÓGICA ... 18
2.1 FORMAÇÃO DE PROFESSORES ... 18
2.1.1 Colaboração, Ensino e outros aspectos relacionados ... 18
2.1.2 Teoria do Conteúdo para ensinar Matemática ... 23
2.2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS SEGUNDO GEORGE PÓLYA ... 29
2.3 LESSON STUDY ... 35
3 REVISÃO DE LITERATURA ... 42
4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ... 49
4.1 DO AMBIENTE DA PESQUISA E DOS PARTICIPANTES ... 49
4.2 DO PLANEJAMENTO DA DISCIPLINA E DA PESQUISA CONTIDA NELA... 51
4.2.1 Aula 1 ... 52
4.2.2 Aulas 2 e 3 ... 53
4.2.3 Aula 4 ... 55
4.2.4 Aula 5 - início da coleta de dados ... 55
4.2.5 Aulas 6 e 7 ... 56
4.2.6 Aula 8 ... 57
4.3 OS INSTRUMENTOS ... 57
4.3.1 Instrumento 1- Planos de aulas escritos ... 58
4.3.2 Instrumento 2 - Questionário avaliativo ... 58
4.3.3 Instrumento 3 - Gravações em áudio e vídeo ... 62
4.3.4 Instrumento 4 - Anotações dos alunos-professores ... 63
4.3.5 Instrumento 5 - Resolução escrita dos alunos-graduandos ... 63
4.4 VARIÁVEIS E QUESTÕES ÉTICAS ... 64
5 ANÁLISES E DISCUSSÕES ... 68
5.1 SOBRE A AULA DA ALUNA-PROFESSORA SAKURA ... 69
5.1.1 Planejamento do Problema 1 ... 69
5.1.2 Execução do Problema 1 ... 72
5.2 SOBRE A AULA DO ALUNO-PROFESSOR HIROSHI ... 80
5.2.2 Execução do Problema 2 ... 85
5.3 SOBRE A AULA DA ALUNA-PROFESSORA AKEMI ... 94
5.3.1 Planejamento do Problema 3 ... 94
5.3.2 Execução do Problema 3 ... 99
5.4 SOBRE A AULA DO ALUNO-PROFESSOR AKIRA ... 109
5.4.1 Planejamento do problema 4 ... 109
5.4.2 Execução do problema 4 ... 115
6 PRODUTO EDUCACIONAL ... 124
7 LIMITAÇÕES DA PESQUISA ... 126
8 CONCLUSÕES ... 128
9 PARA ALÉM DAS CONCLUSÕES DA PESQUISA ... 131
REFERÊNCIAS ... 132
APÊNDICE A - Folha de rosto para pesquisa envolvendo seres humanos... 136
APÊNDICE B - Autorização para desenvolvimento da pesquisa ... 137
APÊNDICE C - Termo de consentimento livre e esclarecido – aluno-professor ... 138
APÊNDICE D - Termo de consentimento livre e esclarecido – aluno-graduando ... 139
APÊNDICE E - Termo de consentimento livre e esclarecido – professor-pesquisador . 140 APÊNDICE F - Termo de autorização ... 141
APÊNDICE G - Lista de problemas utilizados na disciplina de Tópicos Especiais em Educação Matemática: Resolução de Problemas... ... 142
APÊNDICE H - Intrumento 2- qualidade do ensino das aulas dos alunos-professores .. 146
APÊNDICE I - Planejamento para o problema 1 ... 149
APÊNDICE J - Planejamento para o problema 2 ... 150
APÊNDICE K - Planejamento para o problema 3 ... 151
APÊNDICE L - Planejamento para o problema 4... 152
1 DA PESQUISA
Quais contribuições emergem de ações colaborativas e reflexivas na formação de professores de matemática em aulas de resolução de problemas? Essa pergunta será respondida com base em pesquisa realizada no Programa de Mestrado Profissional em Ciências e Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo (IFES), com especial ênfase na tríade Formação de Professores de Matemática, Resolução de Problemas e características do método de investigação e, por que não dizer, ambiente de ensino japonês Lesson Study.
O interesse pela investigação acerca dessa tríade se justifica, sobretudo, pelos seguintes fatores: 1 - resultados negativos em Matemática apresentados por alunos brasileiros em avaliações de larga escala; 2 - resultados positivos em Matemática apresentados por países asiáticos, especialmente japoneses; 3 – particularidades1 do método denominadoLesson Study como via alternativa para a colaboração e reflexão de professores acerca da resolução de problemas como via de ensino de objetos matemáticos2. 4 - a relação entre a qualidade da aprendizagem de Matemática e a formação dos professores e 5 - indicação de uso da resolução de problemas em aulas de Matemática.
Por esse ângulo, no que concerne ao primeiro fator destacado anteriormente, algumas pesquisas apontam que o Brasil vem ocupando os últimos lugares em avaliações de larga escala. Em 2012 ocupou 58º lugar no ranking em conhecimento de matemática no PISA3 (OCDE, 2012). Em 2015 esse rendimento foi ainda pior, ocupando 66º colocação em 72 nações avaliadas (OCDE, 2015). O resultado dessa pesquisa, desenvolvida e divulgada pela Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE), destaca que o Brasil está ainda muito distante do patamar desejado pela sociedade. Ao contrário, países como o Japão ocupam os primeiros lugares nesse mesmo teste. Este fato justificou o interesse pela investigação e pelo uso do método japonês.
Vale destacar que outros fatores motivadores dessa tríade da pesquisa, derivam da procura por método aplicado na educação japonesa que pudesse auxiliar na prática pedagógica dos
1
Neste trabalho, tomar-se-á do Lesson Study apenas o ciclo do método e, sobretudo, direcionamentos ao trabalho colaborativo e reflexivo com os professores.
2 O termo “objetos matemáticos”, neste trabalho será entendido de modo amplo, envolvendo conteúdos matemáticos
escolares, bem como vias de trabalhá-los e apreendê-los em ambientes educacionais, tais como resolução de problemas, modelagem matemática etc.
3 O PISA é uma prova de larga escala desenvolvida pela OCDE de três em três anos e que avalia o que estudantes de
profissionais da educação brasileira, e em função de diferenças culturais, econômicas e sociais, foram tomadas apenas características do método japonês, denominado Lesson Study.
Segundo Baldin (2009), o método Lesson Study seria a pesquisa de uma aula, ou uma sequência de aulas, por professores e pessoas interessadas nos progressos metodológicos de aulas de matemática. O método é estruturado em quatro etapas ciclicamente: planejamento da aula, execução da aula, análise da aula e a reaplicação dessa aula analisada, com especial foco na aprendizagem dos alunos dos conteúdos que são objetivo da aula. Baldin (2009) assegura que as aulas produzidas e revisadas pelo ciclo do Lesson Study consistem em um resultado de pesquisa da prática docente, com foco na avaliação da aprendizagem efetiva e participativa dos alunos. Sendo assim, o Lesson Study, é um método que torna o professor um pesquisador de sua própria prática com foco na aprendizagem efetiva dos alunos, além de possuir cunho colaborativo ao poder contar com diferentes perspectivas daqueles que participam da elaboração, execução e avaliação das aulas.
Para tal, é necessária uma nova postura do professor frente a sua prática docente. Uma conduta que valorize a ação dos alunos em detrimento da passividade. Essa ruptura de postura é um desafio ao docente, para que o mesmo saia do plano principal do processo de ensino, e dê lugar para que o aluno atue como protagonista da construção do seu conhecimento.
Com respeito ao quinto e último fator, tem-se uma gama de orientações e documentos que norteiam a educação brasileira que sugerem a utilização da Resolução de Problemas (RP) como uma prática inerente à disciplina de Matemática para desenvolver no aluno um olhar crítico e autônomo, características atitudinais, além de potencializar o raciocínio matemático, característica epistemológica, e portanto, possibilitando, em seu conjunto, uma mudança no quadro atual da educação em Matemática.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais apontam que os estudantes devem desenvolver suas capacidades e habilidades de resolver, explorar e generalizar problemas matemáticos e pensar matematicamente (BRASIL, 2006). A resolução de problemas requer o cumprimento de etapas para a sua solução. Sistematizadas por Pólya (2006), ao longo de muito tempo, mantiveram-se como forte referência como apoio para resolvedores de problemas de matemática. As etapas orientam o professor a levar o aluno a pensar sobre o problema, a compreendê-lo (Quais são os dados? Qual a condicionante?), a estabelecer estratégias de resolução (Você conhece algum
problema similar?) e analisar a solução encontrada, além de requerer dele meios mais eficientes ao já elaborado (Há um modo mais fácil de resolvê-lo?). O professor conduz o aluno à investigação por meio de indagações pertinentes que o façam planejar e executar ações que o levem à resolução do problema, promovendo, assim, uma aprendizagem estimuladora do raciocínio específico.
Além da promoção e formação da autonomia e criticidade dos alunos, a Resolução de Problemas é uma aliada ao trabalho do docente que busca a formação de indivíduos que atuem de forma ativa na sociedade. Os PCN’s ainda defendem que é inegável que
[...] a resolução de problemas é uma importante estratégia de ensino. Os alunos, confrontados com situações-problema, [...] aprendem a desenvolver estratégia de enfrentamento, planejando etapas, estabelecendo relações, verificando regularidades, fazendo uso dos próprios erros cometidos para buscar novas alternativas; adquirem espírito de pesquisa, aprendendo a consultar, a experimentar, a organizar dados, a sistematizar resultados, a validar soluções; desenvolvem sua capacidade de raciocínio, adquirem auto-confiança e sentido de responsabilidade; e, finalmente, ampliam sua autonomia e capacidade de comunicação e de argumentação. (BRASIL, 1998, p.52). Mesmo diante dessas potencialidades emergentes do trabalho com a Resolução de Problemas, atualmente, no Brasil e no mundo, parece ainda ser tímida sua utilização nas aulas de matemática (nos Estados Unidos: Schoenfeld (2016); em Portugal: Abrantes (1989); no Brasil: Onuchic (2013) e Oliveira e Passos (2013)). Pesquisas realizadas nessa área incentivam e apontam as potencialidades dessa via no processo de ensino e aprendizagem de matemática. Schoenfeld (2016) destaca o valor da Resolução de Problemas no despertar - no ambiente escolar - de uma cultura matemática, desenvolvendo no aluno a habilidade de expandir os limites do seu pensar matematicamente, além de ressaltar a importância dessa via para a comunicação pela linguagem matemática.
Nessa perspectiva, o nosso objetivo central visa estudar a prática de ensino de professores de Matemática em aulas de Resolução de Problemas apoiada em ações colaborativas e reflexivas do ciclo do Lesson Study.
O1: Elaborar um planejamento de uma aula de Resolução de Problemas a partir de ações
colaborativas e reflexivas em conjunto com os professores (alunos-professores4);
O2: Descrever os pontos que se mostraram benéficos (ou não) demonstrados pelos
alunos-graduandos5, a partir da prática dos alunos-professores, que por sua vez estão apoiados nas ações colaborativas e reflexivas;
O3: Comparar a sintonia entre o que foi planejado e o que foi executado nas aulas
ministradas pelos alunos-professores;
Essa investigação se justifica pela quase ausência dessa prática nas salas de aula brasileiras, denunciadas por Onuchic (2013) e Oliveira e Passos (2013), por exemplo, e corroboradas pelos resultados negativos em avaliações anteriormente citadas.
Em síntese, desde já esclarecemos que tomamos do Lesson Study o processo cíclico de construção de aulas em Resolução de Problemas para o desenvolvimento da prática do profissional docente de Matemática associada às teorias de formação que passaremos a apresentar e as ações colaborativas e reflexivas empregadas no ciclo planejamento/execução/reflexão.
Explicitamos, também, que a autora dessa dissertação atuou como investigadora e colaboradora do planejamento dos alunos-professores. Durante a execução das aulas, a atuação passou a ser como investigadora das ações planejadas e executadas pelos alunos-professores. O terceiro objetivo específico foi avaliado pelos protocolos orais dos alunos-graduandos e posteriormente por suas produções escritas durante a execução das aulas. Apesar do foco do estudo estar na aprendizagem do aluno-professor é inevitável e importante a observação sobre a repercussão das ações nos alunos-graduandos.
4 O termo professor (es) será doravante substituído por alunos-professores visando informar ao leitor que, apesar de
os sujeitos de pesquisa serem diplomados, se encontram, nesta Pesquisa, em desenvolvimento profissional e, portanto, na condição de alunos-professores.
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2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICO-METODOLÓGICA
Esse tópico se presta a apresentação e discussão de aspectos teóricos e metodológicos que apoiaram a investigação. Tomamos a opção de unir essas duas vertentes em um lugar comum pelo fato de que muito do que está sendo dito para a fundamentação teórica, também sustentou a condução metodológica. Em outras palavras, há forte associação entre aspectos teóricos e metodológicos discutidos pelos autores aqui eleitos. Por exemplo, o Lesson Study possui forte viés metodológico nesta pesquisa, mas, para além dessa estratégia, há aspectos que excedem esse expediente, tal como, a discussão sobre o caráter colaborativo e reflexivo sobre a prática docente que ele faz emergir e aspectos investigativos da aula que se aperfeiçoam em um movimento contínuo.
Sendo assim, esta investigação fundamentou-se em três principais autores/teorias: 1) em Ponte (2014), Perrenoud (2002) e Ball, Thames e Phelps (2008) para apoio à formação em ensino de Matemática e a prática do aluno-professor; 2) na Resolução de Problemas, segundo Pólya (2006) e; 3) em características do método/ambiente de ensino japonês Lesson Study, segundo Fernandez e Yoshida (2004), Isoda e Olfos (2009) e em outros pesquisadores e autores nessas três vertentes.
2.1 FORMAÇÃO DE PROFESSORES
2.1.1 Colaboração, Ensino e outros aspectos relacionados
Ao falar sobre a formação continuada do professor, neste caso, de matemática, concepções de diversos autores sobre esse processo de formação são despertadas. Ponte (2014) destaca o percurso de implementação e reflexão de cursos de formação continuada em Portugal. Nesse processo, os cursos oferecidos aos professores não passavam de “cursos de reciclagem” profissional e pouco contribuíam para o desenvolvimento do professor participante.
Em consonância, Perrenoud (2002) relata que, por muito tempo, a formação contínua dos professores, preocupava-se em transmitir novos conhecimentos e “atenuar a defasagem entre o que os professores aprenderam durante sua formação inicial e o que foi acrescentado a isso a partir da evolução dos saberes acadêmicos, [...] de forma mais ampla, das ciências da educação.” (PERRENOUD, 2002, p. 21).
Assim sendo, de acordo com Fiorentini e Nacarato (2005), não faz sentido discutirmos uma formação continuada desconexa da prática docente real, que esteja afastada da realidade do profissional presente nesse processo de (re)formação. Nesse sentido, concordamos que é
[...] fundamental tomar como ponto de partida e de chegada da educação continuada a prática docente cotidiana dos professores, convertendo-a em problema e objeto principal de estudo e reflexão e buscando, colaborativamente, as soluções possíveis e necessárias. (FIORENTINI; NACARATO, 2005, p.8-9).
Nesse aspecto, Fiorentini e Nacarato (2005) destacam o professor como um ser reflexivo, cujo objeto de estudo é sua própria prática pedagógica. Ao vivenciar um processo de educação contínua, o professor poderá associar a teoria à sua prática6 por meio da reflexão sobre a ação educativa. Sendo assim, estamos a falar em desenvolvimento profissional, e não apenas em formação continuada, pois segundo Ponte (2014), o desenvolvimento profissional ressalta o professor em todas as suas esferas cognitivas, afetivas e relacionais, contribuindo para a afirmação de sua identidade profissional, enquanto a formação continuada atenta-se apenas à teoria, e muitas vezes, retém-se a ela.
Ainda com respeito à reflexão no âmbito da formação do profissional, Perrenoud (2002) afirma que existe uma diferença entre a reflexão sobre a ação e a reflexão para a ação. O autor discorre que no primeiro, partimos da ideia de que o objeto de reflexão é a nossa própria ação. Seguindo essa lógica, o professor ao refletir sobre sua ação, busca entendê-la, confrontá-la segundo alguma referência. Procura, ainda, levantar hipóteses sobre o que poderia ou não ter sido realizado. Para ele, a reflexão
[...] não se limita a uma evocação, mas passa por uma crítica, por uma análise, por uma relação com regras, teorias ou outras ações, imaginadas ou realizadas em uma situação análoga. (PERRENOUD, 2002, p.31).
Particularmente, em nossa investigação, o professor será levado a refletir acerca “[...] da situação, dos objetivos, dos meios, do lugar, das operações envolvidas, dos resultados provisórios, da evolução previsível do sistema de ação.” (PERRENOUD, 2002, p. 31), que envolvem tanto a reflexão sobre ação, quanto a reflexão para a ação.
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Esses autores não especificam a quais teorias eles estão se referindo, por exemplo, se às teorias educacionais de ensino e aprendizagem ou teorias matemáticas necessárias para a prática na sala de aula. Acreditamos que sejam as primeiras por estarem em um contexto de estudo sobre a prática pedagógica.
É válido destacar, portanto, a importância de aliar os processos de desenvolvimento profissional e formação continuada. A prática sem a reflexão e o aporte teórico necessário, é vazia de sentido. É primordial nesse aspecto
[...] saber como combinar ambos os processos. Reconhece-se que o desenvolvimento profissional pode envolver uma combinação de processos formais e informais e, por isso, a formação pode ser encarada de modo a favorecer este desenvolvimento, sem se subordinar a uma lógica de transmissão de conhecimento. Resta saber de que modos e em que condições isso pode ser concretizado. (PONTE, 2014, p. 346).
Esse é um grande desafio para os formadores de professores - aliar processos formativos, proporcionar oportunidades para a reflexão que favoreçam o envolvimento coletivo, mas que abarque, também, as carências e necessidades profissionais de cada envolvido, seja qual for o conteúdo matemático a ser trabalhado.
Nessa perspectiva, Ponte (2014) ressalta sete aspectos que emergem do âmbito do desenvolvimento profissional, a saber
[...] colaboração; prática como ponto de partida da formação; foco na aprendizagem do aluno; integração entre conteúdo e pedagogia; investigação profissional; mudança nos contextos profissionais; e tecnologias e uso de recursos. (PONTE, 2014, p. 347). Destacamos do autor, a colaboração, a prática como ponto de partida da formação, o foco na aprendizagem do aluno, a integração entre conteúdo e pedagogia e a investigação profissional, pelas interseções que estes possuem com a nossa pesquisa, que inclui características de um Lesson Study.
A colaboração assume uma perspectiva em que há uma adesão voluntária dos participantes que se propõem em assumir objetivos comuns, em que todos estão realmente envolvidos e o trabalho assume um caráter coletivo, no sentido de que todos têm algo a aprender e a ensinar. Segundo Ponte (2014), as aprendizagens profissionais são constituídas por meio da troca de saberes, e o trabalho colaborativo é um meio ao qual o grupo encontra para solucionar os problemas comuns. O segundo aspecto discutido pelo autor é o papel da prática como ponto de partida para a formação. Esse elemento tem uma real importância nos processos formativos, pois por meio dessa perspectiva, é possível levar o processo de formação para um contexto real, aliando a vivência da realidade, enquanto profissional, com o curso ao qual o docente está inserido. Conforme já discutido acima, não se trata de supervalorizar a prática e desconectá-la de teorias sobre a formação de professores de matemática, como as de Ball, Thames e Phelps (2008).
Ambas devem ser trabalhadas em conjunto, para enriquecer o pleno exercício do profissional docente. Dessa maneira, a
[...] ênfase na prática não significa de modo algum uma desvalorização da teoria. Significa, isso sim, que teoria e prática devem surgir fortemente interligadas – a teoria só ganha todo o seu sentido quando é interpretada e aplicada a situações de prática e esta só se compreende verdadeiramente à luz da teoria. (PONTE, 2014, p. 349).
Outro aspecto importante no sentido do desenvolvimento profissional é a atenção à aprendizagem do aluno. É papel do professor conhecer e trabalhar a partir das dificuldades/facilidades dos alunos ao se deparar com conceitos, representações e procedimentos matemáticos.
[...] os professores têm a responsabilidade de trabalhar no quadro de um programa de Matemática e de respeitar a integridade da Matemática como campo científico de conhecimento, trabalhando de forma adequada os conceitos matemáticos, procedimentos e representações, e fornecendo uma perspectiva abrangente da Matemática e do seu papel na sociedade moderna. (PONTE, 2014, p. 349).
Portanto, é crucial que o professor tenha atenção e cuidado sobre tudo o que propõe em sala de aula. Seu planejamento deve ser centrado na aprendizagem do aluno, por ser ele responsável por selecionar, cuidadosamente, as atividades, por investigar o conhecimento prévio dos alunos, bem como tentar prever as dificuldades e obstáculos epistemológicos que poderão ser encontrados pelos seus estudantes.
Assim, é papel do profissional docente articular seus saberes matemáticos com os saberes dos alunos. Essa articulação entre os diferentes conhecimentos é definida, por sinal, por Ball e Bass (2000) por meio da metáfora de “desempacotar” conhecimento. Para eles, é primordial que o professor “desempacote” seu próprio conhecimento formal para compreender o conhecimento do aluno, da mesma forma que cabe a ele o ato de “desempacotar” o conhecimento produzido pelo aluno para compreender a fundo as construções elaboradas por eles. Essa articulação promove uma prática que considera como ponto de partida os conhecimentos informais dos seus alunos, promovendo uma integração do que o aluno já sabe, com o que é esperado que ele aprenda. Para tanto Ponte (2014) relata que
Esta capacidade de integrar o conhecimento da Matemática com o conhecimento dos alunos, tendo em conta uma perspectiva geral sobre os processos de aprendizagem, e o conhecimento específico sobre a cultura e as preferências dos alunos não se aprende de um dia para o outro, requerendo uma atenção especial, tanto na formação contínua como na formação inicial de professores de Matemática. (PONTE, 2014, p. 350).
Aliar o conteúdo matemático e o pedagógico é o quarto aspecto trabalhado por Ponte (2014). O autor, destaca que o saber matemático profundo é necessário para o trabalho docente de qualidade, mas apenas isso não é suficiente. O professor deve integrar o seu conhecimento específico do campo da Matemática, com o conhecimento pedagógico, que auxilia em relação às necessidades que decorrem das dificuldades presentes na profissão docente. O conhecimento pedagógico “ajuda a compreender o aluno, os seus processos de aprendizagem e os contextos que os favorecem”. (PONTE, 2014, p.350-351).
Mas estabelecer essa conexão entre conteúdo específico da Matemática e a Pedagogia não é imediata. Ponte (2014) ressalta a importância de um cuidado ao determinar essa ligação, pois
O professor e o futuro professor compreendem melhor um conceito ou representação matemática, olhando para o seu papel nos programas de diversos níveis de ensino, pensando nas tarefas que podem usar para o ensinar, analisando resoluções diferentes dos alunos e observando as suas dificuldades em compreender esse conceito, do que aprendendo esse conceito de forma totalmente abstrata, tal como ele surge num livro de Matemática. Aprendem melhor tanto a Matemática como as problemáticas da Educação se estas estiverem interligadas, orientando a realização de situações de prática profissional e proporcionando momentos de reflexão em que se aprofundam os conceitos matemáticos envolvidos e os processos de aprendizagem, à luz do trabalho realizado pelo próprio professor. (PONTE, 2014, p. 351).
Nesse sentido, é válido que o sujeito que forma o profissional docente, atente-se também para elaboração e planejamento do processo de desenvolvimento profissional, para que este promova uma real aprendizagem dos docentes e que contribua para a real necessidade vivenciada pelo grupo.
Esses aspectos, requerem um forte trabalho investigativo sobre a problemática do trabalho docente. Ele é o fio condutor que entrelaça todos os aspectos discutidos acima. Por meio da investigação, é possível identificar os problemas da prática profissional e formas de solucioná-los, promovendo também, um processo formativo, em que os professores terão oportunidade de problematizar e intervir significativamente sobre a própria prática, acarretando uma aprendizagem marcante para os professores e contribuindo para a própria identidade profissional dos alunos-professores.
2.1.2 Teoria do Conteúdo para ensinar Matemática
Ao pensar em um processo de formação pautada no professor como agente ativo no seu desenvolvimento profissional, encontramos em Ball, Thames e Phelps (2008), integrantes do grupo Hill et al. (2011), uma teoria que nos oferece um suporte para discutir questões pertinentes à prática dos participantes dessa pesquisa, ao ensinar qualquer conteúdo matemático. Em seus estudos, Ball, Thames e Phelps (2008) relatam sobre os esforços para desenvolver uma teoria do conhecimento para ensinar Matemática, apoiada nas teorias já desenvolvidas por Shulman (1986). Segundo os autores, o crescente interesse na teoria do Conhecimento Pedagógico do Conteúdo é que este estabelece uma espécie de ponte entre o Conhecimento do Conteúdo do problema e a prática docente. Porém, todo o potencial envolto no termo Conhecimento Pedagógico do Conteúdo é pouco, ou, até mesmo, erroneamente explorado.
Apesar do termo Conhecimento Pedagógico do Conteúdo ser amplamente utilizado, o seu potencial tem sido pouco desenvolvido. Muitos parecem supor que a sua natureza e o conteúdo são óbvios. Ainda o que é idealizado por conhecimento pedagógico do conteúdo é sub-especificado. O termo carece de definição e fundamentação empírica, limitando sua utilidade. (BALL; THAMES; PHELPS, 2008, p.389, tradução nossa.). Outro ponto destacado por Ball, Thames e Phelps (2008) é no que diz respeito ao uso do termo Conhecimento Pedagógico de Conteúdo, sem os devidos testes empíricos. Segundo eles, sem estes testes, a teoria está fadada ao plano das ideias e seu papel de contribuir significativamente para o ensino e a aprendizagem dos alunos, será limitado.
Com intuito de refinar a teoria elaborada por Shulman (1986), Ball, Thames e Phelps (2008) iniciaram dois projetos sobre o ensino da matemática e a matemática necessária para ensinar. Os autores buscaram entender qual a natureza do conhecimento matemático necessário para exercer a profissão docente. Dessa maneira, eles consideraram
[...] o conhecimento que o ensino implica, nós começamos por investigar o que o ensino em si requer. Em vez de justificar a partir do currículo escolar uma lista de tópicos que os professores devem saber, nós desenvolvemos uma abordagem empírica para compreender o conhecimento do conteúdo necessário para o ensino. (BALL; THAMES; PHELPS, 2008, p.390, tradução nossa.).
Nesse sentido, Ball e seus colaboradores, buscaram na prática dos professores investigar quais saberes eram necessários para dominar o ato de ensinar, para, após retornar à própria prática, analisar e avaliar o que foi identificado.
Por meio desses dois projetos, Ball, Thames e Phelps (2008) propuseram alguns refinamentos para os conceitos do Conhecimento Pedagógico de Conteúdo e o Conhecimento do Conteúdo para o Ensino, propostos por Shulman (1986).
Shulman (1986) relata que para um ensino de qualidade é necessário um profundo conhecimento profissional. Dessa forma, categorizou o Conhecimento Profissional para o Ensino em: Conhecimento Pedagógico Geral; Conhecimento dos Alunos e suas Características; Conhecimento dos Contextos Educacionais; Conhecimento dos fins Educacionais; Conhecimento do Conteúdo; Conhecimento sobre o Currículo e Conhecimento Pedagógico do Conteúdo.
É possível que em meio ao planejamento, à execução e à reflexão das aulas, os alunos-professores apresentem questões ligadas às categorias estabelecidas por Shulman (1986) e refinadas por Ball, Thames e Phelps (2008). Especificamente em relação ao Conhecimento do Conteúdo de Matemática, por serem aulas de resolução de problemas mal estruturados7 não houve, de nossa parte, preocupação na escolha de problemas que envolvessem conteúdos determinados, uma vez que problemas desse tipo, podem ser solucionados com objetos matemáticos diferentes. Inclinamo-nos na busca por problemas com essa especificidade, por compreendermos que abarcam situações em que fosse possível identificar e analisar as possíveis abordagens, exemplos e estratégias utilizadas pelos alunos-professores para “Conhecimento do Conteúdo Especializado” e “Conhecimento Comum do Conteúdo”, categorias que serão explicadas mais adiante. Nossa única preocupação foi de que os problemas fossem mal estruturados e que estivessem em sintonia com o nível de conhecimento dos alunos-graduandos8. Ademais, outras categorias podem se fazer presentes nesta pesquisa, tais como “Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes” e “Conhecimento do Conteúdo e do Ensino”. Adiante, abordaremos especificamente sobre essas categorias que poderão emergir das ações dos alunos-professores.
7 Entendemos por problemas do tipo mal-estruturado, aqueles que não apresentam um caminho claro para sua
solução. As técnicas e normas para se chegar à solução são menos definidas. Estamos assim em consonância com Pozo (1998).
8
A sintonia a que nos referimos foi diagnosticada por uma das professoras, integrante do grupo de professores-pesquisadores deste trabalho, por serem seus alunos, naquele, e em períodos anteriores da graduação em Matemática.
Para Shulman (1986) a divisão em tipologia, como antes mencionamos, fornecia uma visão ampla da importância do Conhecimento do Conteúdo em meio ao Conhecimento Profissional para o Ensino. As três últimas categorias são chamadas por ele de “paradigma perdido” em pesquisas sobre ensino, pois não analisavam, especificamente, o conteúdo ao qual ensinava-se e qual papel desempenhava no processo de ensino e aprendizagem.
[...] um ponto cego a respeito do conteúdo, que caracteriza a maior parte das pesquisas sobre o ensino e, como consequência, a maior parte dos nossos programas de governo de avaliação de professores e certificação de professores. (SHULMAN, 1986, p.7-8, tradução nossa).
Com foco nessas categorias, Shulman (1986) define o “Conhecimento do Conteúdo”, como os contingentes dos saberes acerca do conteúdo e as estruturas organizacionais. Para ele, saber ensinar sobre um assunto, era mais do que saber seus conceitos, regras e procedimentos. É necessário, situar esse conteúdo historicamente, saber o porquê e para quê ensinar determinado tema, é compreender profundamente sobre ele.
O “Conhecimento sobre o currículo” é definido como o conhecimento acerca da gama de orientações curriculares para a disciplina lecionada, bem como, materiais didáticos e conjunto de características relacionadas à disciplina. Shulman (1986) dividiu essa categoria em duas dimensões importantes para o ensino, a saber: “Conhecimento horizontal” e “Conhecimento vertical” do currículo. O primeiro se refere ao conhecimento sobre a relação entre o currículo a ser ensinado, em uma determinada disciplina, com os currículos das demais disciplinas do estudante. Já o segundo, trata do conhecimento acerca dos conteúdos, tópicos e questões que já foram, ou que serão ensinados na mesma disciplina no decorrer dos anos escolares.
Por último, o “Conhecimento Pedagógico do Conteúdo” seria, portanto, maneiras pelas quais um conteúdo é representado, as analogias, os exemplos, as explicações e demonstrações utilizadas no ato de ensinar, bem como o entendimento do grau de dificuldade, e as experiências que os alunos trazem consigo.
Conhecimento Pedagógico do Conteúdo também inclui uma compreensão do que torna o aprendizado de tópicos específicos, fácil ou difícil: os conceitos e preconceitos que os estudantes de diferentes idades e experiências trazem consigo para o aprendizado daqueles mais frequentes tópicos e lições ensinados. (SHULMAN, 1986, p.9, tradução nossa).
Dessa maneira, Ball, Thames e Phelps (2008), a partir das ideias de Shulman (1986), identificaram e definiram duas subcategorias do Conhecimento Pedagógico do Conteúdo, que
foram verificadas empiricamente. Essas categorias foram denominadas 1-Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes (KCS)9 e 2- Conhecimento do Conteúdo e do Ensino (KCT). Os autores definiram, também, duas subcategorias de Conhecimento do Conteúdo para o Ensino: 2.1- Conhecimento Comum do Conteúdo (CCK) e o 2.2-Conhecimento do Conteúdo Especializado (SCK). A correspondência entre as categorias de Shulman (1986) e as de Ball, Thames e Phelps (2008) seguem conforme a Figura 1.
Figura 1 - Domínios do Conhecimento Matemático para o Ensino
Fonte: Ball, Thames e Phelps (2008, p. 403, tradução nossa)
Para tanto, Ball, Thames e Phelps (2008) em conjunto com Hill et al. (2011), analisaram de maneira qualitativa a prática do ensino e elaboraram instrumentos que quantificassem o conhecimento matemático para o ensino, com base nas análises estabelecidas a partir da prática. Assim, os autores optaram por uma abordagem que observasse inicialmente a prática dos professores para, portanto, obterem dados que respondessem à pergunta: “O que professores precisam saber e serem capazes de fazer de modo a ensinar efetivamente?” (BALL; THAMES; PHELPS, 2008, p. 394). A questão central é o professor discernir quais conhecimentos matemáticos são necessários para realizar a tarefa profissional de ensinar e isso poderá emergir quando o aluno-professor refletir sobre as possibilidades de soluções que os alunos-graduandos poderão vir a utilizar.
Nesse sentido, os autores decidiram focar seus estudos no ato de ensinar e o definem como
9 Para conforto do leitor, traduzimos para o português os nomes das categorias de Ball, Thames e Phelps (2008),
porém optamos por manter as siglas dos termos em Inglês, a saber: Common Content Knowledge (CCK),
Specialized Content Knowledge (SCK), Knowledge of Content and Students (KCS), Knowledge of Content and Teaching (KCT).
[...] tudo que professores devem fazer para apoiar a aprendizagem de seus estudantes. Claramente nos referimos ao trabalho interativo de ensinar lições em sala de aula e todas as tarefas que aparecem no decurso desse trabalho. Mas também significa o planejamento para aquelas lições, avaliando o trabalho dos estudantes, escrevendo e graduando provas e exercícios, explicando o trabalho de sala de aula aos pais, fazendo e gerenciando lição de casa, atendendo a preocupações por igualdade e lidar com o diretor que tem opiniões fortes sobre o currículo de matemática. (BALL; THAMES; PHELPS, 2008, p. 395, tradução nossa).
Ao olhar para a prática dos professores, Ball, Thames e Phelps (2008) verificaram que as demandas matemáticas do ensino eram substanciais. O conhecimento matemático que um professor dessa área necessita saber, é diferente do conhecimento matemático de outros profissionais. Ou seja, o professor de matemática precisa conhecer os conceitos matemáticos que leciona, para além de seus usos.
Para exemplificar, Ball, Thames e Phelps (2008) oferecem um cálculo de subtração simples: 307 – 168. Os autores discorrem que a maioria das pessoas, saberia facilmente, um algoritmo para resolver esse tipo de exercício. Para professores, essa também seria uma tarefa simples. Contudo, os autores relatam que ser capaz de resolver esse problema não é suficiente para ensiná-lo. Ao supor que um aluno resolva essa subtração, conforme a Figura 2, os autores enfatizam que o professor deve ser capaz de identificar que a resposta dada - no caso 261 - está incorreta e que essa identificação não requer um conhecimento muito profundo.
Figura 2 - Cálculo da subtração
Fonte: Ball, Thames e Phelps (2008, p. 396)
Nesse sentido, Ball, Thames e Phelps (2008) relatam que essa habilidade refere-se à categoria do Conhecimento Comum do Conteúdo, e o definem como “o conhecimento e habilidade matemática usado em situações outras que não o ensino” (BALL; THAMES; PHELPS, 2008, p.399, tradução nossa). Para eles, os professores precisam dominar o conteúdo que lecionam, devem ser capazes de identificar respostas erradas, ou até mesmo, identificar alguma definição imprecisa nos livros didáticos. Entretanto, essa não é uma tarefa que requeira conhecimentos e habilidades que outros também tenham.
Em vista disso, para o ato de ensinar, é necessário que o professor vá além de apenas identificar o erro do seu aluno. É útil que ele compreenda a fonte do erro matemático. Além disso,
[...] este é um trabalho que professores devem fazer rapidamente, muitas vezes durante o decorrer da aula, pois os estudantes não podem esperar, em uma sala de aula, enquanto o professor quebre a cabeça sobre a matemática ele mesmo. (BALL; THAMES; PHELPS, 2008, p. 397, tradução nossa).
Identificar, compreender, ajudar e corrigir o erro do aluno é uma tarefa da rotina do professor - HILL et al. (2011) - e esse deve ser capaz de exercer esse tipo de análise de forma eficiente e precisa. Apenas identificar esse erro, não o capacita para um tratamento eficiente e habilidoso dos problemas enfrentados pelos seus alunos. Os autores ainda relatam que a análise do erro é uma tarefa comum entre matemáticos ao analisarem seu próprio trabalho, embora o olhar para o ato de ensinar, direcione essa análise para o erro produzido pelos estudantes.
Outro ponto a ser destacado, é com relação às diversas abordagens alternativas dos alunos diante de um exercício proposto. É comum um aluno propor uma solução diferente da esperada pelo professor, não sendo familiar para ele. Nesse caso Ball, Thames e Phelps (2008, p.397, tradução nossa) salientam que “eles [professores] têm que descobrir o que os estudantes fizeram, se o pensamento é matematicamente correto para o problema, e se a abordagem funcionaria em geral.” Se envolver nesse tipo de questão e fornecer respostas matematicamente corretas é um fator fundamental da profissão docente.
Além de identificar e analisar os erros cometidos pelos estudantes e analisar e inferir sobre abordagens alternativas propostas por eles, o professor também deve ser capaz de explicar sobre os procedimentos. É necessário saber justificar aquele procedimento adotado, quais são as formas mais eficientes para representar aquilo que se está ensinando, quais os melhores exemplos a serem escolhidos para determinado conteúdo.
Questões como estas [...] requerem raciocínio matemático e intuição, crucial ao ensino, mas ainda estranho à maioria dos adultos bem instruídos. Isso é o que queremos dizer por exigências matemáticas especiais de ensinar matemática (BALL;THAMES; PHELPS, 2008, p. 398, tradução nossa).
Reunindo os pontos citados acima, Ball, Thames e Phelps (2008, p.400, tradução nossa) caracterizam e definem o domínio do Conhecimento Especializado do Conteúdo como “o conhecimento e a habilidade matemática exclusivos ao ensino”. Esse domínio compreende todos os requisitos necessários ao ensino e que difere dos conhecimentos indispensáveis em outros cenários.
Para tanto, é crucial que haja uma ponte entre o conhecimento do mundo acadêmico com o mundo da prática escolar, pois para desempenhar sua profissão docente com maestria, o professor precisa de algo além do conhecimento matemático ensinado na sua graduação. É imprescindível que o professor possa “desempacotar” seu conhecimento matemático para compreender o conhecimento do aluno. Ball, Thames e Phelps (2008) destacam que a noção do Conhecimento Pedagógico do Conteúdo desempenha esse papel.
É importante destacar, que eles identificaram um subdomínio do Conhecimento Pedagógico do Conteúdo, que combina o conhecimento sobre os estudantes e sobre a matemática. Esse subdomínio foi intitulado de Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes. O professor deve ser capaz de prever os possíveis pensamentos, raciocínios, dúvidas, facilidades e equívocos dos alunos. Essa habilidade está em consonância ao proposto em Hill et al. (2011) e no Lesson Study, pois na etapa do planejamento colaborativo são levantadas todas as questões, no intuito de antecipar situações que podem ocorrer.
Um segundo subdomínio, Conhecimento do Conteúdo e do Ensino (KCT), refere-se à combinação entre o conhecimento sobre o ensino e sobre a matemática.
Muitas das tarefas matemáticas de ensinar requerem um conhecimento matemático da elaboração da instrução. Os professores organizam um conteúdo específico, eles escolhem com qual exemplo iniciar e quais utilizar com intuito de levar os estudantes mais a fundo no conteúdo. [...] cada uma dessas tarefas requer a interação entre o conhecimento matemático específico e o conhecimento de questões pedagógicas que influenciam na aprendizagem do aluno (BALL; THAMES; PHELPS, 2008, p. 401, tradução nossa).
Ressaltamos, novamente, que de todas as categorias mencionadas neste subcapítulo, priorizamos o Conhecimento Especializado do Conteúdo, Conhecimento do Conteúdo Comum e Conhecimento do Conteúdo e do Ensino por serem categorias que apresentam interfaces com os propósitos desta pesquisa.
2.2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS SEGUNDO GEORGE PÓLYA
George Pólya, matemático húngaro, contribuiu fortemente para o campo da heurística de problemas matemáticos ao divulgar suas ideias no livro How to solve it traduzido para o português como “A arte de resolver problemas”.
Em sua obra, Pólya (2006) menciona quatro etapas fundamentais para se resolver um problema, a saber 1 - a compreensão do problema, 2 - elaboração de um plano, 3 - execução de um plano e, por fim, 4 - retrospecto e análise da solução encontrada.
De início, Pólya (2006) esclarece que não é possível responder a algo proposto se o problema não for compreendido corretamente. Para isso, faz-se necessário que a questão esteja bem escrita, planejada e que o nível de dificuldade esteja adaptado ao nível de conhecimento da turma. O problema não deve estar nem fácil demais, nem difícil demais, pois ambos os casos podem desestimular os alunos. Problemas muito fáceis, não desafiam nem instigam sua curiosidade, e os muitos difíceis, se tornam tão complexos que desestimulam a participação do indivíduo. Além disso,
O aluno deve também estar em condições de identificar as partes principais do problema, a incógnita, os dados, a condicionante. Daí porque, raramente, pode o professor dispensar as indagações: Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? (PÓLYA, 2006, p.5).
Pólya (2006) destaca que o aluno deve analisar atentamente o enunciado verbal do problema e esquematizar seu raciocínio por meio de figuras e esquemas que elucidem sua compreensão, atribuindo notações adequadas.
O autor traz, em sua obra, um exemplo para ilustrar esse primeiro estágio da resolução de problemas: Calcular a diagonal um paralelepípedo retângulo sendo conhecidos os valores de seu comprimento, largura e altura. Esse é um problema de Geometria Espacial que não faria sentido propor para indivíduos que não conhecem o Teorema de Pitágoras, por isso a importância de se escolher uma situação-problema adequada para o grupo de alunos que se está a trabalhar.
Ele ressalta que para resolver esse problema, não é fundamental que os alunos tenham um conhecimento muito aprofundado sobre Geometria Espacial, é imprescindível que os mesmos tenham familiaridade com o tema, e o professor poderá contribuir ao relacionar a forma geométrica espacial com formas conhecidas no cotidiano do aluno. Ao concretizar o problema, o professor pode tornar o desafio motivador.
A partir da compreensão de todo o problema, o aluno poderá ser capaz de estabelecer um plano de execução, os caminhos a serem percorridos até que se chegue à solução. Nessa busca pela estratégia, o professor deve estimular seus alunos indagando-os, por exemplo, se “conhecem um problema correlato?” Se sim, “é possível utilizá-lo?” etc (PÓLYA, 2006, p.7).
Nesse sentido, Pólya (1981) utiliza no seu livro Mathematical Discovery: On understanding, learning, and teaching problem solving, exemplos que ilustram a utilização de problemas correlatos para solucionar certos requisitos que poderiam ser mais complexos de serem resolvidos, caso o aluno não conheça algum problema que o possa auxiliar. Entre eles, Pólya (1981) relembra a célebre história sobre um menino chamado Gauss que frustrou as expectativas de seu professor, ao resolver rapidamente a soma dos vinte primeiros números naturais. O autor, absorvendo a ideia do ‘pequeno Gauss’, generaliza e demonstra como obter uma fórmula para a soma dos n primeiros números naturais. Após explicar esse resultado, ele amplia a ideia inicial, traçando paralelos com as ideias e desdobramentos gerados pelo problema de Gauss, como, por exemplo, a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais.
As indagações propostas por Pólya (2006), quando bem conduzidas, podem levar os alunos a buscar em sua experiência, problemas que já foram resolvidos e que podem contribuir para estabelecer um plano apropriado para a resolução do mesmo. A propósito dos questionamentos sugeridos por Pólya para a condução do raciocínio dos alunos, vale ressaltar a importância dos questionamentos para o estímulo do fluxo de raciocínio do aluno, em meio à resolução. Por exemplo, Morais (2016) sugere algumas perguntas acerca de uma experiência na Resolução de Problemas com alunos de Ensino Fundamental. A autora sugere questionamentos do tipo “Você entendeu a estrutura do problema? Você entendeu bem o problema?” (MORAIS, 2016, p.39). Na primeira pergunta, o uso da palavra “estrutura” pode ser complexa para um aluno de Ensino Fundamental, já o segundo questionamento, é amplo e não contribui para o estímulo ao raciocínio do aluno. Pelo contrário, indagações desse tipo bloqueiam o pensamento, por não saberem exatamente o que o professor esperaria como resposta, tal como, relatado por Wrobel et al. (2016).
Caso as indagações não funcionem, é útil examinar vários aspectos do problema proposto, a fim de reformulá-lo, tal como sugerem Souza e Guimarães (2015) a partir de estudos baseados na escrita de problemas e apoiados no método de Pólya. Os autores analisam diversos textos de problemas verbais10 de matemática, entre eles encontra-se o problema ilustrado na Figura 3.
10
Conforme Souza e Guimarães (2015) os problemas verbais são vistos como problemas que recorrem principalmente à linguagem natural associada à linguagem matemática para transmitir um contingente de informações que deverão ser selecionadas e compreendidas pelo indivíduo que objetiva solucionar o problema.
Figura 3 - Problema Verbal de Matemática
Fonte: Souza e Guimarães, 2015, p.15
Souza e Guimarães (2015) relataram de outros estudosque a palavra “total” dificultou o fluxo de leitura dos alunos, e que isso pode ter influenciado no resultado obtido por eles. Provavelmente pelo aluno não ter associado a palavra total ao seu significado em Matemática (resultado da operação matemática), mas sim à sua significação na língua materna (completo, inteiro).
Uma alternativa para tornar esse texto do problema mais adequado e de melhor compreensão, seria: “Num cinema há 12 fileiras com 16 poltronas e 15 fileiras com 18 poltronas em cada fileira. Quantas poltronas há nesse cinema?” (SOUZA; GUIMARÃES, 2015, p.15). Ademais é indicado que o professor promova uma discussão que esclareça o significado da palavra total no contexto matemático.
Pólya defende a ideia que nem sempre é fácil estabelecer esse plano. O caminho de transição entre a compreensão do problema e a definição de um plano de ação pode ser longo e trabalhoso. Para ele, o estabelecimento de um plano é o ponto chave da resolução de problemas.
[...] o principal feito na resolução de problemas é a concepção da ideia de um plano. Esta ideia pode surgir gradualmente ou, então, após tentativas infrutíferas e um período de hesitação, aparecer repentinamente, num lampejo, como uma “ideia brilhante” (PÓLYA, 2006, p.7).
Dessa forma, o professor pode contribuir com certas indagações e modos de agir que tendem a provocar o que o autor denomina como “ideia brilhante”. Aos alunos, muitas vezes, falta experiência em resolver problemas, e essa carência pode comprometer a elaboração do plano de resolução proposto por Pólya. Para ele, as boas ideias surgem da experiência e conhecimentos que o aluno carrega consigo e que foram previamente obtidos. As boas ideias surgem de problemas similares que já foram solucionados e de teoremas que já foram demonstrados ao longo de seu percurso escolar. Por isso, ele sugere que essa etapa seinicie com o questionamento se o aluno conhece algum problema similar.
Problema 5: Num cinema há 12 fileiras com 16 poltronas e 15 fileiras com 18 poltronas. O número total de poltronas é
(A) 192 (B) 270 (C) 462 (D) 480
Pólya (1981) faz uma analogia dessa situação como se estivéssemos em um quarto escuro, tarde da noite, e não soubéssemos onde se encontra o interruptor para acender a lâmpada. Inicialmente, ficaríamos perdidos e consequentemente, esbarraríamos em vários obstáculos, deixando-nos confusos sobre a configuração e disposição dos pertences do quarto. Porém, após encontrar o interruptor, tudo que parecia ser confuso, passa a se tornar mais familiar. Assim
Essa pode ser a experiência de resolver um problema; um esclarecimento repentino que traz luz, ordem, conexão, e propósito para detalhes que antes pareciam obscuros, confusos, espalhados, e evasivos (PÓLYA, 1981, p.54, v.2. tradução nossa).
Ainda assim, alguns obstáculos podem surgir nesse estágio. Para um mesmo tema, pode haver vários problemas similares vivenciados pelos alunos, e entre essas opções, deve escolher a correta. Essa escolha nem sempre é fácil, e dessa forma, é essencial retomar a algumas indagações feitas na etapa da compreensão do problema para filtrar quais opções dos problemas similares realmente contribuem com o estabelecimento do planejamento correto.
Observa-se, dessa maneira, que essas etapas de resolução não são isoladas e nem lineares, mas, constantemente, elas podem entrelaçar-se. É possível constatar na concepção de um plano que o problema não foi realmente ou integralmente compreendido. É preciso que o caminho a ser seguido na resolução da questão esteja claro na mente dos alunos.
Com o plano já estabelecido, sua execução se torna mais fácil. Pólya (2006, p.10) assegura que “[...] executar o plano é muito mais fácil; paciência é o de que mais se precisa.” Dessa forma, o plano fornece apenas um roteiro do que deverá ser executado, isso não significa que detalhes, que anteriormente não haviam sido percebidos, não podem ser incluídos ao plano original durante o processo de execução. O autor atenta que se o plano for esquecido pelo aluno, é bem provável que o mesmo sofreu influências de meios externos, seja do professor, ou de outros alunos. Quando o plano é elaborado pelo próprio aluno, este tenha compreendido a ideia final, então dificilmente se esquecerá das etapas as quais deve percorrer para solucionar o problema. Por fim, a quarta etapa é o retrospecto. Muitos alunos, e até mesmo muitos professores, ignoram ou valorizam pouco essa etapa e que, de fato, é valiosíssima. Ao fazer a análise de sua resposta final, verificando cada passo, cada demonstração e o caminho que o levou até tal solução, o conhecimento poderá ser consolidado. Ou ainda, meios mais fáceis de solucioná-lo podem ser elaborados.
A construção do conhecimento sempre é passível de erros. É possível perceber na verificação (looking back) que um erro foi cometido. Se assim for, ao identificar a origem do erro, a resposta real poderá ser encontrada.
Outros fatores podem surgir nessa etapa. Pontos particulares que foram tomados como verdades para a execução do plano podem ser demonstrados. Por conseguinte, o percurso e discussões sobre os problemas se tornam profundamente ricos.
Nesta etapa, Pólya (2006) ressalta que todo bom professor precisa compreender que nenhum problema fica completamente esgotado. Nas palavras de Pólya:
Um bom professor deve compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum fica completamente esgotado. Resta sempre alguma coisa a fazer. Com estudo e aprofundamento, podemos melhorar qualquer resolução e, seja como for, é sempre possível aperfeiçoar a nossa compreensão da resolução (PÓLYA, 2006, p.12). Assim, vale ressaltar que nessa fase da resolução de um problema é possível encontrar novos caminhos para alcançar o objetivo final do problema proposto. Nessa busca, novos conceitos são construídos, novas ideias surgem e poderão ser demonstradas ou refutadas, ou até mesmo, a partir da análise do processo de resolução o aluno vivencia a oportunidade de refletir sobre os caminhos e métodos escolhidos por ele para solucionar o problema, que, por sua vez, o levam à descoberta da essência do mesmo, conduzindo-o ao processo de generalização do problema dado, ou então, ao uso deste em problemas com características semelhantes, conforme defende Pólya (2006).
Um dos primeiros deveres do professor é não dar aos seus alunos a impressão de que os problemas matemáticos têm pouca relação uns com os outros, de que nenhuma relação tem com qualquer outra coisa. Surge uma oportunidade natural de investigar as relações de um problema quando fazemos o retrospecto de sua resolução (PÓLYA, 2006, p.13). Outro fator importante de salientar, é que nessa etapa é viável analisar a natureza do erro cometido pelo estudante. É possível que o professor analise esse processo e identifique o tipo de erro cometido para que, assim, possa (re)pensar a sua prática para inferir de maneira mais eficaz na aprendizagem dos alunos.
