Execução do problema 4

A aula do aluno-professor Akira iniciou a partir de uma conversa em que o mesmo questionou aos alunos-graduandos quais seriam os receios que eles apresentavam ao resolver um problema de matemática. Essa conversa estava em sintonia com o planejamento apresentado por Akira e indicou uma preocupação em estabelecer um ambiente em que os alunos-graduandos estivessem confortáveis para expor suas estratégias e contribuições, sem que demonstrassem vergonha caso

expressassem raciocínios que apresentassem alguns equívocos ou erros, pois segundo o aluno- professor Nós não temos que saber resolver todos os problemas! (JUNHO 2016). Essa conversa demonstrou ser válida, pois os alunos-graduandos se mostraram bastante participativos no decorrer de toda a aula, expuseram suas dúvidas, estratégias, opiniões e justificativas sem receio de que houvesse algum erro, indicando-nos ser uma contribuição da ações colaborativas e reflexivas.

Após essa breve conversa, Akira apresentou o problema 4 (quatro) e discorreu que o objetivo não era saber quem conseguiu ou não ter sucesso na resolução do problema, mas que eles conseguissem construir uma solução válida coletivamente.

O aluno-professor utilizou o recurso de DataShow para exibir o enunciado do problema 4 na lousa e, imediatamente, fez a leitura em voz alta para os alunos-graduandos. Entendemos que apesar de válida, a leitura poderia ter sido realizada por um dos alunos-graduandos (C19). Além disso, Akira relatou aos alunos-graduandos que para resolver o problema, eles necessitariam vivenciar três etapas da Resolução de Problemas que foram apresentadas no planejamento escrito. Não se faz necessário que os alunos-graduandos soubessem delas, a menos que, Akira tenha levado em consideração que o público-alvo de sua aula tratava-se de graduandos em Matemática. Entendemos que essa informação poderia ter sido omitida, independentemente de qualquer particularidade do público-alvo.

Ao finalizar a leitura do enunciado em voz alta e depois de explicar cada fase da Resolução de Problemas, Akira solicitou que os alunos-graduandos lessem o problema novamente e que caso houvesse dúvidas quanto às palavras do enunciado, que pudessem fazê-las em voz alta. Após verificar que os alunos-graduandos já haviam concluído a leitura, ele questionou E aí, pessoal? Alguma dúvida? [...] Alguém tem alguma dúvida sobre alguma palavra do enunciado? O que é não-voadora? O que é maciço? (JUNHO, 2016). Compreendemos, que Akira verificou palavras, trechos e expressões que pudessem causar bloqueio no fluxo da compreensão do problema (C12). Essas ações apresentaram sintonia com o planejamento realizado pelo aluno-professor. Um dos alunos-graduandos apresentou dúvidas com relação à palavra “maciço”. Essa dúvida foi prevista no planejamento de Akira, sendo um aspecto benéfico de sua ação. Após a explicação de Akira sobre o significado da palavra dentro do contexto do problema, os alunos-graduandos expressaram que Ah! (sic.) então isso significa que a formiga não pode atravessar o cubo!

(JUNHO, 2016). Essa fala nos forneceu indícios que Akira obteve sucesso no esclarecimento das dúvidas relacionadas às palavras, trechos e expressões que pudessem causar bloqueios no fluxo da compreensão do problema pelos alunos (C13). Esse sucesso no esclarecimento atrelado à previsão dessas dúvidas, contribuíram para a compreensão do enunciado, além da construção do raciocínio do problema. Acreditamos, também, que essa ação, permitiu verificar a familiaridade dos alunos-graduandos com o contexto do problema (C11), estando de acordo com diversos autores que apoiam essa Pesquisa.

Mediante observação de que não havia mais dúvidas com relação ao enunciado do problema 4, Akira solicitou que os alunos-graduandos sentassem em duplas para que pudessem começar a definir algumas estratégias de resolução. Ele estimulou os alunos-graduandos que compartilhassem as dificuldades das duplas para toda a turma, para que pudessem ser discutidas e esclarecidas coletivamente e para além, pediu que evitassem dar respostas diretas para os questionamentos de outros alunos-graduandos para que todos pudessem pensar em possibilidades de estratégias e refletirem sobre as dúvidas.

Figura 41 - Interação entre Akira e os alunos-graduandos

Fonte: Acervo dos autores

Enquanto os alunos-graduandos tentavam resolver o problema, Akira caminhava pela sala de aula (Figura 41), verificando as construções das duplas e se mostrando disponível para o caso em que a dupla necessitasse de seu auxílio.

Apesar de iniciarem a etapa de estabelecimento de estratégias para solucionar o problema 4, alguns alunos-graduandos ainda não haviam compreendido por completo o problema. Esse fato é comprovado, por meio da fala da aluna-graduanda G3, logo que tentou iniciar a solução. Ela

2016). Essa dúvida não foi prevista no planejamento, entretando Akira obteve sucesso ao fornecer explicação para G3 (C13).

É válido destacar que durante toda a aula, os questionamentos feitos pelos alunos-graduandos à Akira, eram debatidos por toda a turma, o que nos indica o empenho, tanto do aluno-professor, quanto dos participantes do planejamento colaborativo de planejarem e executarem ações para envolver, valorizar e interpretar as produções dos alunos-graduandos, independentemente se apresentavam erros (C19 e C26). As dúvidas e descobertas feitas por eles eram discutidas matematicamente por todos e os erros eram utilizados como elemento para a construção do raciocínio de todos (C20). Outro ponto importante de destacar é que Akira não fornecia explicações diretas para as dúvidas dos alunos-graduandos. Por meio das discussões, refletiam sobre as estratégias traçadas e decidiam se elas eram válidas ou não. Essa característica da aula de Akira está de acordo com um dos sete aspectos do desenvolvimento profissional de Ponte (2014) e configurou-se como uma contribuição das ações colaborativas e reflexivas.

Essa discussão mediada por Akira, foi realizada por meio de questionamentos tais como Eu tenho que andar somente pelas arestas? Quais são as formas que eu posso andar? (JUNHO, 2016). Os questionamentos feitos para os alunos-graduandos não se mostraram amplos e contribuíram para a compreensão do problema (C14) e no fluxo de raciocínio (C15) quanto às estratégias matemáticas, conforme recomendado por Pólya (2006), Wrobel et al. (2016) e Souza e Guimarães (2015).

É válido destacar que a estratégia planejada por Akira considerava que o menor caminho a ser percorrido pela formiga, deveria conter o ponto médio de uma das arestas do cubo. Essa estratégia prevista pelo aluno-professor foi observada como procedimento adotado por diversas duplas durante a aula. Entretanto poucos alunos-graduandos ponderaram o por quê a formiga deveria passar pelo ponto médio.

Diante disso, Akira provocou os alunos-graduandos para que tentassem justificar esse fato apresentando argumentos matematicamente válidos. Algumas duplas expuseram suas justificativas para Akira, porém esses alunos-graduandos poderiam ter ido à lousa registrar suas argumentações. Ao contrário disso, Akira apresentou uma explicação para os alunos-graduandos. Durante a explicação da justificativa de que o menor caminho a ser percorrido pela formiga deveria conter o ponto médio da aresta DC, Akira apresentou confusão com os termos

matemáticos “segmento” e “diagonal” (C23). Em sua justificativa, ele denominou de diagonal o que era, na verdade, um segmento de reta com extremidades em pontos que não eram vértices do quadrado da face do cubo. Entretando, ele mesmo observou seu equívoco e o corrigiu assim que foi constatado.

Akira discutiu com os alunos-graduandos quais eram os menores caminhos e realizava diversos testes com diferentes segmentos das faces do cubo para que concluíssem que a formiga deveria passar pelo ponto médio. Apesar disso, poderia ter realizado esses cálculos que comprovassem as conclusões obtidas por meio dos testes, que se pautavam, basicamente, em aspectos visuais. Para além, poderia ter provado algebricamente a hipótese de o caminho conter o ponto médio. Novamente destacamos que toda essa discussão foi mediada por meio de questionamentos não amplos, conforme recomendado por Wrobel et al. (2016).

Ao observar que as duplas já haviam obtido suas respostas e realizado suas soluções, Akira começou a sintetizar as ideias dos alunos-graduandos na lousa. Ele solicitou que algum aluno- graduando iniciasse expondo sua resolução para todos. Essa ação demonstrou preocupação em verificar (C27) e compartilhar (C28) as diferentes resoluções efetuadas pelos alunos. Sendo assim, entendemos que apesar de terem planejado realizar o compartilhamento das soluções, as ações executadas por Akira possuem apenas pretensões para essa prática pois, não foi solicitado que os alunos realizassem o registro das suas soluções na lousa, por exemplo, pois apenas as verbalizaram.

A aluna-graduanda G2 explicou que inicialmente ela havia considerado o caminho passando pela

aresta GC e pela diagonal CA (Figura 42), outros alunos-graduandos expressaram que haviam pensado, inicialmente, na mesma estratégia que G2.

Figura 42 - Primeira estratégia pensada pelos alunos-graduandos

A aluna-graduanda G2 ainda discorreu que após obter a resposta por meio da primeira tentativa,

ela teve curiosidade em testar o que aconteceria caso a formiga não caminhasse pela aresta GC, mas sim por algum segmento da face GHDC. Ela explicou que a primeira ideia foi testar o segmento que possui extremos em G e no ponto médio de DC (Figura 43), pois era mais fácil para efetuar os cálculos, já que ela obteria dois triângulos retângulos, a saber GCM e ADM, em que são conhecidos o valor de seus dois catetos.

Figura 43 - Segunda estratégia pensada pela aluna-graduanda G2

Fonte: Acervo dos autores

Akira prosseguiu perguntando se alguma dupla havia solucionado o problema 4 (quatro) por meio de alguma estratégia diferente. Nesse momento, uma das duplas expressou que não pensou em ponto médio em nenhum momento, pois a ideia obtida era de planificar o cubo e traçar um segmento de G até A, conforme a Figura 44.

Figura 44 - Estratégia de planificar o cubo

A partir da ideia da planificação do cubo, proposta por uma das duplas de alunos-graduandos, Akira utilizou um cubo construído com papel cartão para explicar a planificação para todos os alunos-graduandos e como ela poderia auxiliar na resolução do problema (Figura 45). Essa ação se mostrou benéfica pois Akira utilizou múltiplas estratégias e representações na condução da solução do problema (C18) estando de acordo com o que foi planejado pelo aluno-professor em conjunto com demais participantes da Pesquisa.

Figura 45 - Solução utilizando planificação

Fonte: Acervo dos autores

Ao prosseguir com a explicação, Akira expôs para todos que ao se traçar o segmento de reta GA na planificação, é possível obter um triângulo retângulo em que necessitamos descobrir o valor da hipotenusa, sendo que conhecemos os valores de seus dois catetos, conforme a Figura 45. Apesar de o problema já estar solucionado e de não haver mais dúvidas a serem feitas pelos alunos-graduandos, uma vez que todos já haviam obtido sucesso em seus cálculos, Akira não concluiu sua aula. Ele utilizou a planificação do cubo para questionar os alunos-graduandos se Eu consigo provar que esse segmento [segmento DM] é metade da aresta DC? (JUNHO, 2016). O aluno-professor foi além da solução do problema e provocou os alunos-graduandos a buscarem provar essa afirmação, uma vez que na estratégia anterior, haviam suposto que a formiga deveria passar pelo ponto médio de CD. Essa ação demonstrou preocupação de Akira em conduzir uma revisão do problema tendo em vista verificar incorreções e provar afirmações consideradas com verdadeiras (C25).

Sendo assim, Akira em conjunto com os alunos-graduandos utilizaram outras ferramentas além do Teorema de Pitágoras para solucionar o problema. Eles destacaram que era possível provar a afirmação sobre o ponto médio utilizando semelhança de triângulos.

Para além de justificar afirmações que foram supostamente aceitas como verdadeiras, o aluno- professor questionou aos alunos-graduandos se eles conseguiam propor novos problemas utilizando as mesmas ideias do problema inicial, ou seja, se era possível que eles reformulassem o problema 4 (C16).

Alguns alunos-graduandos relataram que o problema poderia querer que o resolvedor descobrisse qual a maior distância que a formiga poderia percorrer, sem caminhar duas vezes pela mesma aresta. Apesar de ouvir a proposta dos alunos-graduandos, o problema não foi resolvido por todos. Acreditamos que para valorizar ainda mais a contribuição deles, o problema proposto poderia ter sido resolvido para discutirem se ele era um bom problema ou não.

Após ouvir as sugestões do alunos-graduandos, Akira propôs um problema similar ao inicial, porém cujo objetivo era descobrir [...] Qual é o ângulo que a formiga deve iniciar seu trajeto para que ela percorra o menor caminho até o ponto A? (JUNHO, 2016). O aluno-professor forneceu alguns minutos do fim da aula para que os alunos-graduandos realizem tentativas para solucionar o novo problema.

Sem muita demora, os alunos-graduandos concluíram que era possível obter o valor do ângulo utilizando o cálculo de tangente do ângulo em questão. Entretando, para descobri-lo, o cálculo correto é o que utiliza a função trigonométrica inversa à tangente. Esse erro apresentado por um aluno-graduando foi corrigido por Akira que apresentou uma justificativa coerente e matematicamente correta (C23). O aluno-professor ainda ressaltou que era possível utilizar a Lei dos Cossenos para se obter o valor desse ângulo. Os alunos-graduandos demonstraram não recordar qual era a Lei dos Cossenos e Akira apenas comentou como era essa relação matemática entre os lados de um triângulo e o cosseno de um dos ângulos internos, acarretando omissão significativa de conteúdo (C24). Acreditamos que o aluno-professor poderia ter enriquecido ainda mais sua aula, se tivesse resolvido o novo problema por essa estratégia que engloba conteúdos que os alunos-graduandos não se recordavam, potencializando a aprendizagem deles. Akira finalizou a aula propondo um segundo problema similar, que os alunos-graduandos deveriam resolver em casa. Nesse novo problema, a formiga deveria andar em um icosaedro

maciço de madeira. Ressaltamos a importância de se propor problemas similares aos iniciais, mesmo que tenham um nível maior de dificuldade, para que os alunos, nesse caso alunos- graduandos, desenvolvam o pensamento matemático, conforme defendido por Pólya (2006). Na reflexão, os alunos-professores destacaram que uma das contribuições das ações colaborativas e reflexivas foi a preocupação em executar ações, planejadas em conjunto, que estimulassem a participação dos alunos-graduandos e em conhece-los, mesmo que minimamente, por se tratar de ser a primeira vez que se encontravam. Outra contribuição, foi a construção coletiva das soluções pelos alunos-graduandos. Os alunos-professores destacaram que o trabalho colaborativo, promovido pelas duplas, durante as aulas, estimulou o envolvimento dos alunos- graduandos em todas as fases da resolução do problema.