Execução do Problema 3

A aula da aluna-professora Akemi iniciou da mesma maneira que os demais alunos-professores. Ela realizou um relato sobre sua formação, atuação e discorreu sobre a futura carreira profissional dos alunos-graduandos, como professores de Matemática, destacando que o papel deles seria o de “provocar”. De acordo com a aluna-professora [...] se você não provoca, [pausa] se você já traz tudo pronto [pausa], não tem graça! Os nossos alunos precisam de professores que são [pausa] provocadores! Mas é provocar, nunca pra humilhar [pausa] é provocar para

conseguir conhecimento! E é isso que nós vamos fazer [pausa] que nós vamos fazer nessa aula! (JUNHO, 2016)

Ao iniciar sua aula com essa reflexão, Akemi incentivou os alunos-graduandos a compreenderem sua participação ativa em sala de aula e os provocou, no sentido de convidar a construírem coletivamente as soluções para o problema 3. Em conjunto a essa reflexão, a aluna-professora relatou que necessitou buscar auxílio de outras pessoas para solucionar o problema, deixando-os confortáveis em tentar, errar e buscar novas alternativas para solucioná-lo, motivo esse que os alunos-graduandos apresentavam-se sentados em duplas. Segundo Akemi, a configuração dos alunos-graduandos em duplas, tinha o intuito de que eles poderiam se ajudar, ou seja, que a construção de soluções para o problema pudesse ser coletiva.

Ela recorreu ao uso de slides utilizando um computador e um aparelho DataShow, contudo essas ações não estavam previstas no planejamento escrito, da mesma forma que não constava a descrição de que haveria uma explicação do que era um problema de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s), além de não ser produto colaborativo do grupo, conforme orientação de dois dos sete aspectos ditados por Ponte (2014).

Logo em seguida, Akemi exibiu o problema 3 e solicitou que algum aluno lêsse em voz alta o enunciado verbal, valorizando a participação dos alunos-graduandos na compreensão do problema (C19). Após a leitura, a aluna-professora questionou aos alunos-graduandos Quais são os dados que eu tenho e quais os que eu quero saber? (JUNHO, 2016). Apesar de não serem amplos, esse questionamento engloba duas perguntas distintas (C14). Entendemos que, apesar de as respostas dos alunos-graduandos indicarem que não houve prejuízo na compreensão do enunciado, seria mais apropriado que os dois questionamentos estivessem separados. Para mais, as respostas dadas pelos alunos-graduandos, poderiam ter sido anotadas na lousa, para reforçar a participação e dar destaque para os dados contidos no enunciado do problema.

Destacamos que os questionamentos utilizados, por Akemi estavam em sintonia com o planejamento escrito e estavam em consonância com recomendações de Pólya (2006), Souza e Guimarães (2015) e Wrobel et al. (2016).

Em posterior ação à resposta dos alunos-graduandos sobre o quê necessitavam descobrir, a aluna-professora pegou 8 (oito) canetas, todas iguais, para representar as 8 (oito) pilhas do problema 3.

Apesar de válida (C18) e de se encontrar de acordo com o planejamento, compreendemos que a condução da utilização do material poderia ter sido realizada após a realização de questionamentos. Akemi, em posse das oito pilhas (Figura 31) explicou que

[...] tenho oito pilhas [mostra as oito canetas na mão] [pausa] nós não sabemos qual [pausa] que é a boa, qual que é a ruim. Mas eu sei que nesse grupo de oito, [pausa para separar as oito pilhas em dois grupos iguais] quatro são boas, quatro são ruins! [pausa] O rádio só funciona com duas pilhas boas. [pausa] Meu desafio é descobrir [pausa] quantos testes, no mínimo, eu tenho que fazer pra poder afirmar que duas pilhas sejam boas. Alguma dúvida? Claro isso? (JUNHO, 2016)

Figura 31 - Ação de Akemi ao utilizar canetas iguais para representar as pilhas do problema 3

Fonte: Acervo dos autores

Diante dessa fala, observamos que ela explicou todo o enunciado e revelou nuances importantes para a solução, sem verificar se havia palavras, expressões e trechos passíveis de bloqueio no fluxo da compreensão dos alunos-graduandos antes de sua explicação (C12), entendemos que essa falha destoou do defendido por Ponte (2014), Souza e Guimarães (2015) e Wrobel et al. (2016).

Ela interrompeu o prosseguimento da compreensão do problema e destacou uma palavra do enunciado, que segundo ela [...] causa muito impacto no meio ambiente! (JUNHO, 2016). Ela referiu-se aos impactos ambientais causados pelo descarte inadequado das pilhas no meio ambiente. Essa ação estava prevista no planejamento. Entretanto, consideramos que a discussão sobre esse assunto, foi inserida em um momento inapropriado. Akemi poderia ter se valido dessa discussão, em momento anterior à compreensão do enunciado. Inseri-la quando os alunos- graduandos já haviam iniciado a tentativa de compreender o enunciado, poderia causar confusões

e distrações que, talvez, não surgiriam caso houvesse sido realizada em um momento anterior. Apesar disso, compreendemos que a discussão é válida e que, de certa forma, contribuiu para que Akemi verificasse a familiaridade dos alunos-graduandos ao contexto do problema (C11). Ressaltamos que é necessário cuidado para que ações dessa natureza não demandem tempo demasiado que poderia ser destinado à matemática em si (C21).

Ao prosseguir a aula, ela concedeu tempo para que os alunos-graduandos pudessem estabelecer estratégias para solucionar o problema e sempre observava as produções das duplas, verificando as diferentes estratégias efetuadas pelos alunos (C27). Akemi constantemente se deslocava em sala de aula e fornecia incentivo aos alunos-graduandos destacando que [...] vocês podem fazer um cálculo, um desenho, uma fórmula, o que vocês quiserem utilizar! (JUNHO, 2016). Da mesma maneira, Akemi verificou se as duplas haviam compreendido as expressões “Se não puder contar com a sorte” e “quantidade mínima de testes” além da palavra “garantem” do enunciado do problema. Todavia, ela realizou poucos questionamentos e em algumas ocasiões proferiu frases na expectativa de que os alunos-graduandos completassem. Quando não obtinha a reação esperada, ela mesma respondia.

Isso se confirma, na situação em que, ao observar que uma das duplas demontrava dificuldades na compreensão dos trechos acima citados, a aluna-professora questionou-os (C14 e C15) Se eu não puder contar com a sorte? Então você está trabalhando [faz uma pausa esperando que a dupla completasse o raciocínio dela] com a pior das hipóteses![ela mesmo completa seu raciocínio] (JUNHO, 2016).

Em outra ocasião, uma das duplas realizava as combinações entre as pilhas em uma folha de papel. Ao observar que havia um equívoco na resolução, Akemi expressou que Mas aí ele [rádio] já funcionou, [pausa] lembra que tem alí ó [pausa] na quarta linha [pausa] se eu não puder contar com a sorte! Então isso [aponta para o testa feito pela dupla] não aconteceu! (JUNHO, 2016). Isto é, ela explicou o porquê a estratégia adotada não estava correta, fornecendo uma explicação direta para o erro. Apesar de obter sucesso no esclarecimento acerca dos trechos do enunciado (C13), ela poderia ter utilizado questionamentos tais como “O que significa o trecho do enunciado: se eu não puder contar com a sorte?” ou “Nos testes que vocês realizaram, essa é a melhor ou a pior possibilidade?”. Entendemos que, nesse caso, por meio dos questionamentos, os próprios alunos-graduandos poderiam identificar o erro e Akemi forneceria momentos para que eles pudessem refletir sobre as estratégias escolhidas até então.

Em contrapartida, em determinados episódios, quando os alunos-graduandos demonstravam dúvidas relacionadas à compreensão do enunciado verbal do problema 3, Akemi incentivava-os a lerem novamente para que pudessem relembrar qual informação que buscavam encontrar. Isso demonstra que as ações executadas para a etapa da compreensão do problema não foram totalmente eficientes. Que o fato de Akemi ter explicado o problema para os alunos-graduandos pode ter ocasionado esses momentos de confusões e dúvidas.

Algumas duplas demonstraram utilizar combinações entre as pilhas obtendo a resposta do total de 28 combinações possíveis, o que era esperado por Akemi e os demais participantes do planejamento conjunto. Akemi observou as diferentes estratégias e ao receber a resposta de uma das duplas, ela expôs para os demais alunos-graduandos e perguntou se mais alguma dupla havia chegado à alguma conclusão. Para mais, uma segunda dupla de alunos-graduandos sugeriu utilizar a Fórmula de Combinação para solucionar o problema 3 e Akemi esclareceu que apesar da fórmula fornecer o total de testes, ou seja, de combinações entre 2 (duas) pilhas tomadas entre as 8 (oito), não era possível solucionar o problema pois eles buscavam encontrar a quantidade mínima de testes que garantissem que o rádio funcionaria. Esse relato destaca que a aluna- professora interpretou e valorizou a produção intelectual dos alunos-graduandos para a construção conjunta da resolução do problema e utilizou, em alguns episódios, o erro dos alunos- graduandos como elemento para a construção do raciocínio e de estratégias (C19, C20, C26), configurando-se como outra contribuição das ações colaborativas e reflexivas.

Ao observar que os alunos-graduandos não progrediam na resolução do problema, a aluna- professora questionou-os se acreditavam que para resolver o problema seria necessário realizar algum cálculo matemático. Um dos alunos-graduandos destacou que poderiam utilizar a Fórmula de Combinação Simples. Contudo, os alunos-graduandos não recordaram a fórmula, o que demonstra que ela não era bem compreendida, pelos alunos-graduandos. Akemi exibiu-a na lousa e realizou uma breve discussão sobre os conceitos de Combinação e Arranjo, destacando suas diferenças. Essa ação estava prevista no planejamento, caso algum aluno-graduando destacasse esse conteúdo matemático. Dessa maneira, Akemi verificou se os alunos associavam algum conteúdo matemático ao problema 3 (C17). Apesar de se configurar como um elemento positivo do planejamento, o problema não envolvia o conceito de Combinação, mas sim método de contagem.

Embora os alunos-graduandos não recordassem a fórmula de Combinação, eles desenvolveram diferentes estratégias e esquemas para solucionar o problema 3, conforme pode ser visto na Figura 32.

Figura 32 - Diferentes estratégias utilizadas pelos alunos-graduandos

Fonte: Acervo dos autores

Os alunos-graduandos demonstraram certa dificuldade em solucionar o problema. Apesar de apresentarem raciocínios e estratégias corretas, nenhuma dupla conseguiu obter a resposta esperada de 7 testes23. Sendo assim, Akemi poderia ter utilizado problemas similiares para construir o raciocínio dos alunos-graduandos (C16) e valorizar as estratégias que utilizam o raciocínio e métedo de contagem, em detrimento da busca por uma fórmula.

Mediante o término da aula, Akemi necessitou resolver o problema na lousa. Ela poderia ter registrado as produções dos alunos-graduandos, por mais que estivessem incompletas, para que o raciocínio envolto no problema fosse construído em conjunto. Apesar de compartilhar oralmente as produções dos alunos-graduandos, não houve preocupação em registrar as diferentes resoluções efetuadas por eles na lousa (C28). Essa ausência diverge de um dos sete aspectos que

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Em momento posterior à Pesquisa, o grupo de professores-pesquisadores utilizaram o problema 3 em Lesson

Studies diferentes. Nessa nova experiência, foram estabelecidas novas estratégias e concluímos que a melhor

emergem do desenvolvimento profissional, defendido por Ponte (2014) e de elementos defendidos por autores japoneses que apoiam o Lesson Study.

Ao iniciar a explicação, Akemi justifica que no problema, a pior das hipóteses não seria testar duas pilhas ruins, pois como se tem 4 (quatro) pilhas ruins, então haveriam 2 testes a serem realizados e o próximo teste já seria entre duas pilhas boas, que faria o rádio funcionar. Portanto, a pior hipótese seria testar uma pilha boa com uma ruim. Dessa forma, Akemi seguiu explicando a estratégia que utilizava as combinações entre as pilhas, considerando o fato de que não se pode contar com a sorte (Figura 33).

Figura 33 - Esquema realizado por Akemi para explicar a solução do problema 3

Fonte: Acervo dos autores

Para explicarmos a estratégia adotada por Akemi, faremos algumas alterações nas notações utilizadas por ela. Manteremos a identificação R quando nos referirmos às pilhas ruins e B para as pilhas boas. Entretanto indexaremos as letras R e B para diferenciar as pilhas e facilitar no momento da contagem dos testes. Sendo assim, no problema 3, temos 8 (oito) pilhas, sendo 4 (quatro) boas (B1; B2; B3 e B4) e 4 (quatro) ruins (R1; R2; R3 e R4).

Conforme já explicado, a pior das hipóteses seria realizar um teste entre uma pilha boa e uma ruim, que contabilizam 4 testes ao todo (Figura 34).

Figura 34 - Primeira parte da solução de Akemi para o problema 3

Após os quatro testes, as pilhas podem ser divididas em dois grupos com 4 (quatro) pilhas cada, sendo 2 (duas) boas e 2 (duas) ruins. A escolha pelos índices não afeta a quantidade de testes, pois ao final, os testes serão os mesmos a diferir da ordem em que foram feitos. Ao escolher um dos dois grupos e sem contar com a sorte, os primeiros testes a serem realizados são, novamente, entre pilhas boa e ruim e pilhas ruim e ruim, acrescentando-se mais 3 testes, o que totalizam 7 testes (Figura 35). Na figura abaixo, diferenciamos as “ligações” para separar os testes já realizados (identificados pela linha contínua) e os testes a serem feitos (identificados pela linha pontilhada).

Figura 35 - Segunda parte da solução de Akemi para o problema 3

Fonte: Acervo dos autores.

Essa resolução estava prevista no planejamento, apesar de não constar no registro escrito. Akemi propôs aos alunos-graduandos que resolvessem o mesmo problema, porém com a quantidade total de 6 (seis) pilhas, sendo 3 (três) boas e 3 (três) ruins. Sugeriu, ainda, construir uma tabela que relacionasse a quantidade total de pilhas e o número mínimo de testes que garantia o funcionamento do rádio.

Ao propor a construção da tabela, a aluna-professora, valeu-se de problemas similares para construir o raciocínio dos alunos-graduandos (C16), além de ter como objetivo encontrar um modelo matemático que fornecesse a quantidade mínima de testes, em função do total de pilhas que se têm. Acreditamos que essa proposta foi realizada tardiamente. Akemi poderia ter proposto problemas similares antes de ter solucionado o problema em questão, talvez assim, os alunos- graduandos conseguiriam solucionar e generalizar o problema 3, por eles próprios.

Akemi utilizou o mesmo raciocínio inicial para realizar os testes para os casos com 4, 6 e 10 pilhas e construiu a seguinte tabela (Figura 36).

Figura 36 - Tabela construída por Akemi para generalizar o problema 3

Fonte: Acervo dos autores.

Diante de alguns questionamentos feitos por Akemi, os alunos-graduandos concluíram que era possível generalizar o problema 3, com as informações contidas na tabela. Segundo eles, a

função que melhor descrevia essa situação era

pois, todos os casos são com quantidades pares de pilhas. Entretanto, um dos alunos-graduandos questionou E se fosse um número ímpar? (JUNHO, 2016). Akemi questionou-os se Esse modelo é aplicado para o número de pilhas [pausa] ímpar? (JUNHO, 2016).

A aluna-graduanda G2 expressou que, no caso de quantidades ímpares de pilhas, não daria para

seguir o mesmo raciocínio inicial, pois

[...]depende porque, no problema [pausa] você deu que metade é boa, metade é ruim. E se for ímpar [pausa] vai variar se for [pausa] se tiver mais ímpar do que par [pausa] quer dizer, mais boa do que ruim, mais ruim do que boa! (JUNHO, 2016)

Sendo assim, Akemi utilizou o raciocínio da aluna-graduanda para realizar mais alguns experimentos. Ela iniciou o caso em que se tem um total de 3 (três) pilhas, sendo que para o rádio funcionar, deve-se ter 2 (duas) pilhas boas e 1 (uma) ruim. Dessa maneira, sem contar com a sorte, seriam realizados 2 (dois) testes no mínimo (R1 com B1 e R1 com B2).

Ao resolver o problema para o caso de haver 5 (cinco) pilhas no total, Akemi considerou que entre as 5 (cinco) haveria 3(três) pilhas ruins e 2 (duas) pilhas boas. Houve indícios que ela considerou a pior das possibilidades na escolha do total de pilhas boas e ruins, contudo, o trecho “se eu não puder contar com a sorte” não se refere ao total de pilhas boas e ruins, mas sim aos testes a serem realizados. Sendo assim, consideramos que Akemi cometeu uma omissão

significativa no que concerne à estrutura do problema (C24), que pode influenciar no modelo que ela obteve para o caso da quantidade total de pilhas ser ímpar.

Verificamos, também, incoerência no raciocínio estabelecido por Akemi (C24), pois, inicialmente, ela afirmou que entre as 5 (cinco) pilhas, 3 (três) eram pilhas ruins e 2 (duas) eram boas. Porém, ao continuar a explicação do caso, a aluna-professora utilizou a ideia de separar uma pilha para se realizarem os testes com o número máximo de pilhas ruins. Como deve-se considerar a pior das hipóteses, a pilha separada deveria ser uma pilha boa. Sendo assim, inicialmente seriam realizados 2 testes (Figura 37).

Figura 37 - Primeira parte da solução do problema 3 para o caso do total de 5 pilhas

Fonte: Acervo dos autores.

Como não se pode contar com a sorte de testar duas boas ou duas ruins, pois no primeiro caso o rádio já funcionaria e no segundo garantiria que as outras duas pilhas são boas, ao continuar as combinações, necessitaríamos de apenas mais 1 (um) teste para garantir que o rádio funcionasse (Figura 38), totalizando o mínimo de 3 (três) testes.

Figura 38 - Segunda parte da solução do problema 3 para o caso do total de 5 pilhas

Fonte: Acervo dos autores

Essa solução não nos parece correta, pois não foi considerado o teste feito entre a pilha B2 com a

R1 que, também, se caracteriza como um teste ruim. Outro equívoco foi de ter, inicialmente,

afirmado que haveria 3 (três) pilhas ruins e 2 (duas) pilhas boas, ela apresentou uma estratégia em que se tem, 2 (duas) pilhas ruins e 3 (três) pilhas boas. Akemi utilizou esse resultado para construir uma tabela, assim como nos casos onde o total de pilhas é um número par. Contudo,

esses equívocos, nos indicam que o modelo , encontrado por ela, não está correto (C24).

Apesar de intensa participação dos alunos-graduandos, não identificamos um momento da aula destinado ao compartilhamento das estratégias utilizadas pelos alunos-graduandos (C28), nem para uma discussão sobre as estratégias adotadas por Akemi, destoando, novamente, de ações que são defendidas por autores japoneses que apoiam o Lesson Study.

Além disso, verificamos que não houve uma revisão do problema tendo em vista a busca por soluções mais eficientes e por procedimentos que poderiam estar incorretos (C25). Essa ausência pode estar relacionada ao fato de Akemi não ter gerenciado, da melhor maneira, o tempo de sua aula (C21).

Assim como os demais alunos-professores que lecionaram as aulas, Akemi destacou, em seção de reflexão, a segurança promovida pelas ações colaborativas e reflexivas do planejamento. A aluna-professora enfatizou que ao executar ações em aula e construir uma solução para o problema que passou pela avaliação de um grupo de professores, proporciona uma autoconfiança maior, o que não aconteceu quando do planejamento individual. Ainda complementou que essa experiência colaborativa deve ser ampliada, sendo implementada em ambientes da educação.