Execução do Problema 2

O aluno-professor Hiroshi iniciou a aula fazendo uma breve apresentação pessoal, expondo para os alunos-graduandos seu nome, formação e relatando que era aluno do programa de mestrado Educimat, da mesma forma que a aluna-professora Sakura. Ademais, relatou sobre fatos que o motivaram a cursar a disciplina de Tópicos Especiais em Educação Matemática: Resolução de Problemas, além dos motivos que o incentivaram a escolher o problema que seria intento da aula. A aula de Hiroshi ocorreu em sequência à aula da aluna-professora Sakura e, portanto, os alunos-graduandos já apresentavam-se em duplas. Logo, a organização em duplas, que foi planejada, estava em concordância com o executado por Hiroshi.

Um fato que teve relevância foi que Hiroshi, ao iniciar sua apresentação e justificativa da escolha do problema que seria apresentado, incluiu os alunos-graduandos e convidou-os para ajudá-lo a resolver o problema 2. Esse convite mostrou ser relevante, pois os alunos-graduandos, mostraram-se envolvidos em todo o decorrer da aula. Esse aspecto da aula, foi destacado no registro escrito dos alunos-professores que atuaram como observadores da aula de Hiroshi. Além disso, no prelúdio de leitura do enunciado verbal do problema, Hiroshi perguntou se havia algum aluno-graduando que se chamava Camila ou Thiago, nomes que foram utilizados na reescrita do problema, com a intenção de construir um ambiente em que os alunos-graduandos se sentissem confiantes para expor seus pensamentos, dúvidas e estratégias. Ele perguntou o nome de cada um dos alunos-graduandos, demonstrando uma preocupação em tentar comunicar-se de maneira que soubesse o nome de cada um, procurando conhecê-los e valorizar suas produções (C19).

Em seguida, Hiroshi questionou os alunos-graduandos se eles haviam ido ao shopping recentemente e perguntou: Quando vocês vão ao shopping, vocês sobem pela escada normal ou pela escada rolante? (JUNHO/ 2016). Esse questionamento, apesar de não constar explicitamente no planejamento escrito, demonstrou cumprir com o desejo de aproximar os alunos-graduandos da situação-problema. Entendemos, ter havido esforço pela familiaridade dos alunos-graduandos com o contexto do problema 2 (C11).

Após obter as respostas dos alunos-graduandos, ele exibiu o enunciado reescrito do problema, por meio de um aparelho DataShow. Apesar disso, a primeira leitura do enunciado foi realizada

por ele que, em seguida, entregou para cada aluno-graduando uma folha que continha a imagem de uma escada rolante. Compreendemos, que ao realizar a primeira leitura do enunciado, Hiroshi perdeu a oportunidade de elevar o aluno-graduando à condição de ativo perante o problema (C19). Ao lê-lo antes dos alunos-graduandos, o professor impôs sua entonação e, consequentemente, sua interpretação para a turma.

O aluno-professor comunicou que ele apresentou dificuldade em compreender o problema e solicitou que um aluno-graduando, fizesse, novamente, a leitura do problema 2. A seguir, ele questionou os alunos-graduandos se [...] existe, é ... quais são as minhas variáveis desse problema? Existe alguma variável importante para eu resolver esse problema? Vocês já viram alguma coisa desse tipo? (JUNHO, 2016). Apesar de utilizar questionamentos para conduzir a aula (C14), Hiroshi cometeu um equívoco ao utilizar a palavra “variável”, sendo que ele gostaria que os alunos-graduandos respondessem quais eram os “dados” significantes do problema (C23). Ressaltamos que, em matemática, a palavra “variável” é utilizada para representar valores possíveis, dentro de um conjunto numérico.

O aluno-professor Hiroshi comunicou que solicitaria que alguns alunos-graduandos fossem à lousa para auxiliá-lo na construção de uma estratégia para solucionar o problema 2, mas que, primeiramente, deixaria que eles pensassem um pouco sobre o enunciado do problema, para que pudessem compreendê-lo. Enquanto isso, Hiroshi preocupou-se em acompanhar os alunos- graduandos durante a leitura e discussão entre eles, como mostra a Figura 24.

Figura 24 - Aluno-professor Hiroshi acompanhando os alunos-graduandos durante a leitura do problema 2

Fonte: Acervo dos autores

Nesse momento, a aluna-graduanda G2 apresentou uma dúvida que não foi prevista no

importa? (JUNHO, 2016). Esse questionamento não previsto, comprova que apesar de se programarem para as dúvidas que poderiam emanar da interpretação do problema, é difícil abarcar todas elas, pois aulas de Resolução de Problemas possui o caráter de imprevisibilidade. Assim, o aluno-professor não forneceu a resposta diretamente para G2, ele apresentou um

questionamento, que a fez pensar, sobre as quantidades de degraus que são andadas por Camila e Thiago.

Aluna-graduanda G2: -Eles chegaram juntos, ou pouco importa?

Hiroshi: - Camila “tava” mais rápida ou mais devagar [...] ela anda mais degraus ou menos degraus que Thiago?

Aluna-graduanda G2: - Ela deu menos passos, mas daí [...] ela pode subir e parar e [...] deixar a escada ir! Ou não, ela tipo ...

(JUNHO, 2016) Com relação a esse diálogo, Hiroshi não apresentou uma explicação direta para a dúvida da aluna-graduanda, eles discorreram sobre questões pertinentes do enunciado, tais como: que Camila e Thiago saíram juntos, Camila andava dois degraus por vez, Thiago andava um degraus por vez e sobre a quantidade de degraus andados e a quantidade de passos dados. A própria aluna-graduanda concluiu que o fato de eles chegarem ou não juntos no topo da escada, não influenciaria na resolução da questão, pois não havia menção sobre a chegada deles ao topo. Mas que, provavelmente, se considerassem que o movimento de Camila e Thiago fosse constante, então Camila chegaria primeiro ao topo.

Os alunos-graduandos apresentaram-se muito interessados e envolvidos ao longo do estabelecimento das estratégias. O aluno-professor os questionou quanto à clareza da expressão “degraus visíveis”, seguindo o planejamento (C12, C13 e C14). Os alunos-graduandos demonstram, em suas respostas, que haviam compreendido a expressão e explicam que em uma escada rolante, alguns degraus se “escondem” por baixo da escada.

Em seguida, a fim de incentivar os alunos-graduandos a continuarem as tentativas de solucionar o problema 2, Hiroshi questionou-os se Existe algum outro dado, pessoal, a se considerar que não seja numérico? (JUNHO, 2016). As respostas demonstram que eles haviam destacado alguns dados que não eram numéricos para a solução do problema, como por exemplo, que a

escada está subindo e Camila e Thiago também estão, pois eles poderiam subir enquanto a escada estivesse descendo.

Em sua maioria, os questionamentos feitos por Hiroshi estavam em sintonia com o planejamento e não eram amplos (C14). Eles auxiliavam os alunos-graduandos, tanto a compreenderem o enunciado verbal do problema, quanto no estabelecimento das estratégias de solução (C15). Hiroshi realizou um questionamento, quando os alunos-graduandos demoravam em estabelecer estratégias de solução, sobre [...]uma escada rolante subindo, como são gerados os degraus? (JUNHO, 2016). Os alunos explicaram, utilizando gestos, como era o movimento da escada rolante. Contudo, a aluna-graduanda G2, realizou o seguinte comentário que não foi aproveitado

por Hiroshi e que poderia ter sido utilizado para construir algumas estratégias de resolução do problema (C24).

Ela fica rodando!Ah, então vai ser o dobro! [...] se você pensar no número de degraus que uma escada tem [...] visível e não visível, o número de visíveis é o dobro do total![...] Tipo, a gente pode pegar ela e abrir assim [fazendo um gesto como se tivesse planificando a escada rolante]. Podemos pegar um negócio inteiro e depois pegar a metade! (JUNHO, 2016)

O aluno-professor estabeleceu um ambiente em que os alunos-graduandos apresentaram-se confortáveis em expor suas opiniões e estratégias. Esse aspecto da aula fica claro quando Hiroshi disse que algumas duplas utilizaram esquemas e desenhos para iniciarem uma representação do problema e, os alunos-graduandos apresentaram, com confiança, suas produções ao aluno- professor.

Em seguida, Hiroshi solicitou que algum aluno-graduando fosse à lousa (Figura 25)para ajudá-lo a construir um desenho para auxiliar na resolução do problema 2, demonstrando uma valorização da produção intelectual dos alunos-graduandos para a construção conjunta da resolução do problema (C19).

Figura 25 - Aluna-graduanda na lousa auxiliando a construção de um desenho/esquema para o problema 2

Fonte: Acervo dos autores

O esquema realizado pela aluna-graduanda G7 foi utilizado por Hiroshi para discutir e registrar

as produções e contribuições que os alunos-graduandos forneciam (C26, C27 e C28).

Hiroshi prosseguiu realizando questionamentos tais como: Como são gerados os degraus, numa escada rolante subindo, isso altera, isso contribui para resolver esse problema? Quando Thiago e Camila sobem, gera mais degraus para Thiago, gera mais degraus para Camila ou gera igual?(JUNHO, 2016). Novamente, esses questionamentos, apesar de não previstos no planejamento escrito, auxiliaram os alunos-graduandos na compreensão do problema e no estabelecimento de estratégias (C14 e C15), o que se apresenta de acordo com Wrobel et al. (2015), Souza e Guimarães e Pólya (2006).

Em sequência, Hiroshi sugeriu aos alunos-graduandos que pensassem nos movimentos da Camila e do Thiago como se visualizassem em fotos. Os alunos-professores que observavam as aulas ressaltaram a importância dessa ação de Hiroshi, pois estimulou a participação dos alunos- graduandos. Nesse momento, a aluna-graduanda G1 expressou que havia pensado em uma forma

de igualar alguma expressão do Thiago com a de Camila, pois a escada que eles estavam andando era a mesma. Essa ideia foi a primeira indicação de estratégia de solução que Hiroshi aproveitou dos alunos-graduandos, sugerindo que existia uma equação matemática que traduzia o movimento de Thiago e Camila em relação a mesma escada (C19).

Porém, a aluna-graduanda G7 expressou que não necessitou de uma equação para resolver o

problema. Ela explicou que [...] se cada um que ele sobe, surge um, se quando ele chega lá em cima, conta 21,então pra trás ficou mais 2. Aí vai ser 42!(JUNHO, 2016).

Apesar da resposta final estar numericamente correta, a estratégia (Figura 26) adotada pela aluna-graduanda apresenta inconsistência lógica, pois ela só estaria correta se a velocidade de cada passo dado por Camila e Thiago fosse a mesma velocidade em que os degraus surgissem na escada. Esse fato não foi observado por Hiroshi (C24) e a estratégia foi considerada como matematicamente correta, entretanto, a aluna-graduanda G6 ressaltou essa observação e, que

outras estratégias deveriam ser estabelecidas.

Figura 26 - Estratégia adotada pela aluna-graduanda G7

Fonte: Acervo dos autores

As alunas-graduandas G2 e G7, que haviam adotado a mesma, concluíram que o número total de

degraus da escada seria a quantidade total de degraus andados mais a quantidade de passos dados por Camila ou Thiago.

O aluno-professor Hiroshi prosseguiu, questionando os alunos-graduandos se eles haviam estabelecido um consenso com relação à estratégia de resolução para o problema. Ou seja, se alguém havia solucionado de outra maneira o problema 2.

A aluna-graduanda G6, expôs que não supôs que [...] cada passo que ele dá, a escada sobe um.

Eu fiz tipo assim, [pausa] a Camila subiu 21, [pausa] Camila não, o Thiago! Ele subiu 21, ele tem mais x degraus que a escada subiu! No mesmo tempo que a Camila demora para chegar lá em cima (JUNHO, 2016).

Essa estratégia fez com que Hiroshi a convidasse a compartilhar suas ideias na lousa que, por sinal, era uma das estratégias que constava no planejamento. Essa ação aponta que Hiroshi

verificou as diferentes resoluções efetuadas pelos alunos-graduandos, e mais, valorizou a participação de todos na construção da solução do problema, por meio do compartilhamento de suas produções (C26, C27 e C28), que é fortemente indicado por autores japoneses estudiosos do Lesson Study.

A aluna-graduanda G6 retomou a explicação da sua solução (Figura 27) na lousa e discorreu

sobre ela.

Figura 27 - Solução registrada pela aluna-graduanda G6 na lousa

Fonte: Acervos dos autores

Segundo a aluna-graduanda

Thiago [...] enquanto ele subiu os 21, [...] enquanto ele subiu isso aqui, a escada subiu x que é igual ao total de degraus. E a Camila, enquanto ela subiu 28, aí eu considerei que ela andou a metade do tempo do Thiago. Pois se ela demorou a metade do tempo do Thiago, então a escada subiu metade dos degraus que ela tinha subido com o Thiago [...] que a velocidade da escada é constante! Aí isso aqui também é o total de degraus! [...] Eu não sei se está certo não, mas [...] Aí eu igualei os dois [...] aí deu x igual a 7, não [...] é 14! Então o total é 21 mais 14, que é igual a 35! (JUNHO, 2016).

Todavia, a estratégia da aluna-graduanda apresentou falhas. Hiroshi não forneceu uma justificativa matematicamente válida para o equívoco de G6 (C24). O erro apresentado por ela

está no fato de que considerou que Thiago e Camila andaram a mesma quantidade de degraus, para que houvesse uma igualdade entre as expressões 21+x e 28+x/2, o que não podemos garantir, uma vez que tem que ser considerada a velocidade que a escada “anda sozinha”.

O aluno-professor questionou a aluna-graduanda [...] se é o dobro, isso aqui não diferencia um do outro não? (JUNHO, 2016). Entendemos que foi uma tentativa de explicar o porquê aquela

resolução não estava correta, contudo, Hiroshi poderia ter reforçado a explicação para os demais alunos-graduandos, pois não estava claro para todos a falha na estratégia. Isso se confirma, quando uma aluna-professora que atuava como observadora, relatou na seção de discussão/reflexão, que ocorreu após a execução da aula pelo aluno-professor, que ela não viu erro na resolução da aluna-graduanda G6 e que essa resolução deveria ter sido discutida entre

Hiroshi e os alunos-graduandos. Isso nos mostra a importância do Conteúdo Especializado do Professor, inserido no que é necessário ao docente para o ato de ensinar. Relembramos que a tarefa do professor inclui agir de maneira rápida na identificação, compreensão, correção e utilização do erro cometido pelo estudante no processo de aprendizagem. Esse elemento, também se faz presente como um dos sete aspectos que emergem do desenvolvimento profissional de Ponte (2014).

Apesar desse fato, Hiroshi incentivou e valorizou a tentativa da aluna-graduanda G6 (C26, C27 e

C28), dizendo para ela que estava no raciocínio [está em um bom caminho]! (JUNHO, 2016), o que é altamente recomendado por diversos autores tais como Pólya (2006), Fernandez e Yoshida (2004) e Isoda e Olfos (2009).

Em decorrência da apresentação da estratégia de G6 e diante de nenhuma dupla ter expressado

outras estratégias, Hiroshi questionou aos alunos se eles o ajudariam a tirar fotos (JUNHO, 2016) de cada momento da situação do problema 2, referindo-se a ação de tirar fotos para construir um desenho que representasse cada um dos três movimentos: o da Camila, o do Thiago e o da escada sozinha. Nesse sentido, entendemos que houve uma preocupação com a utilização de múltiplas estratégias matemáticas na condução da resolução do problema (C18).

Ele solicitou que o aluno-graduando G5 o ajudasse nesse momento, para que ele fosse

Figura 28 - Construção da estratégia de solução para o problema 2

Fonte: Acervo dos autores

Essa ação de Hiroshi estava em sintonia com o planejamento e demonstrou uma preocupação em que os alunos-graduandos participassem ativamente da construção das estratégias de solução do problema 2 (C26, C27 e C28). Essa característica esteve fortemente presente em toda a aula do aluno-professor. Essa preocupação com relação à participação dos alunos-graduandos durante todas as etapas da resolução do problema, foi um dos elementos destacados, pelos alunos- professores como contribuições das ações colaborativas e reflexivas.

Essa construção conjunta foi mediada, a todo momento, por questionamentos, que mostraram-se eficientes, apesar de não estarem registrados no planejamento escrito. Entretanto, em um determinado momento da construção do esquema, Hiroshi utilizou o termo “proporção” para referir-se a um segmento do desenho que representasse a quantidade de degraus que surgiram na escada, cometendo um equívoco entre os termos (C24), o que poderia ter causado má compreensão sobre a estratégia em construção.

No decorrer da construção da resolução, Hiroshi identificou que o aluno-graduando G5, que o

estava auxiliando na lousa, não havia compreendido completamente o raciocínio envolto na estratégia. Contudo, nenhuma ação foi praticada por Hiroshi para que o aluno-graduando compreendesse o que estava sendo discutido (C24). Ponte (2014) assegura que no processo de desenvolvimento profissional, deve-se ter o foco na aprendizagem do aluno. Sendo assim, entendemos que essa falha , destoa do defendido pelo autor. Esse acontecimento foi fortemente discutido pelos alunos-professores, posteriormente, o que contribuiu para a formação de todos. Hiroshi questionou os alunos-graduandos se era possível traduzir o esquema das fotos em algo algébrico, para que pudessem resolver o problema 2 e forneceu a eles um tempo para que cada

dupla pudesse estabelecer alguma relação matemática entre os esquemas que estavam apresentados na lousa. Ao observar que a maioria das duplas já havia demonstrado sucesso na resolução, Hiroshi solicitou que eles compartilhassem suas respostas (C28), porém não houve o registro da equação e da sua resolução na lousa, o que poderia ter sido realizado, pois, ainda assim, algum aluno-graduando poderia não ter compreendido a estratégia de resolução. Ademais, essa ideia possuía forte correlação com a resolução apresentada pela aluna-graduanda G6 e que

possuía falhas, porém Hirsohi não aproveitou o momento para estabelecer essa relação e corrigir o erro cometido por ela. Outrossim, Hiroshi não solicitou ou conduziu uma revisão do problema com o objetivo de obter soluções mais eficientes, nem a verificação de incorreções (C25).

Em síntese os alunos-professores destacaram que após as ações colaborativas e reflexivas a aula foi melhor conduzida quando se realizavam questionamentos não amplos, tais como utilizados por Hiroshi, que não estavam presentes em sua aula planejada individualmente. Além desse fato, outra contribuição destacada por eles, foi com relação à utilização de esquemas e desenhos que auxiliaram na compreensão e no raciocínio dos alunos-graduandos. Foi consenso entre todos, que apesar das falhas apresentadas, pelo planejamento, reveladas na execução da aula, o processo colaborativo e reflexivo propiciou o planejamento de ações que valorizassem a participação, envolvimento e discussão matemática das resoluções dos alunos-graduandos.