INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
MESTRADO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
FERNANDA SANTOLIN MARQUES
RECURSIVIDADE EM PRÁTICAS EDUCATIVAS INVESTIGATIVAS:
SIGNIFICADOS PRODUZIDOS POR PARTICIPANTES DE UM PROCESSO DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Vila Velha 2022
FERNANDA SANTOLIN MARQUES
RECURSIVIDADE EM PRÁTICAS EDUCATIVAS INVESTIGATIVAS:
SIGNIFICADOS PRODUZIDOS POR PARTICIPANTES DE UM PROCESSO DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Centro de Referência em Formação e em Educação do Instituto Federal do Espírito Santo como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Educação em Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Rodolfo Chaves
Vila Velha 2022
(Biblioteca do Campus Vila Velha)
Bibliotecário/a: Camila Rodrigues Quaresma Martins CRB6-ES nº 963 M357r Marques, Fernanda Santolin.
Recursividade em práticas educativas investigativas: significados
produzidos por participantes de um processo de formação de professores de matemática. / Fernanda Santolin Marques. - 2022.
215 f. : il. ; 28 cm.
Orientador: Rodolfo Chaves
Dissertação (Mestrado) Instituto Federal do Espírito Santo, Campus Vila Velha, Mestrado Profissional em Educação em Ciências e Matemática, 2022.
1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Formação docente. 3. Prática educativa. I. Chaves, Rodolfo. II.Título III. Instituto Federal do Espírito Santo.
CDD: 510.7
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO Centro de Referência em Formação e em Educação a Distância Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática MESTRADO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
FERNANDA SANTOLIN MARQUES
RECURSIVIDADE EM PRÁTICAS EDUCATIVAS INVESTIGATIVAS:
SIGNIFICADOS PRODUZIDOS POR PARTICIPANTES DE UM PROCESSO DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Centro de Referência em Formação e em Educação do Instituto Federal do Espírito Santo como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Educação em Ciências e Matemática.
Aprovado em 31 de outubro de 2022.
COMISSÃOEXAMINADORA
Prof. Dr. Rodolfo Chaves, Dr. Edu.
Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes (Presidente da Banca Examinadora)
Profª Drª Ligia Arantes Sad, Drª Edu.
Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes
Prof. Dr. Ricardo Fajardo, Dr. Sc Universidade Federal de Santa Maria – UFSM
Prof. Dr. Alexandre Krüger Zocolotti, Dr. Edu.
Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
SISTEMA INTEGRADO DE PATRIMÔNIO, ADMINISTRAÇÃO E CONTRATOS
FOLHA DE ASSINATURAS
Emitido em 31/10/2022
FOLHA DE APROVAÇÃO-TCC Nº MECM_FOLHA DE APROVAÇÃO_DISSERTAÇÃO DE MESTRADO /2022 - VVL-EDUCIMAT (11.02.34.01.07.08)
(Nº do Documento: 55)
(Nº do Protocolo: NÃO PROTOCOLADO)
(Assinado digitalmente em 11/12/2022 18:21 ) ALEXANDRE KRUGER ZOCOLOTTI
PROFESSOR DO ENSINO BASICO TECNICO E TECNOLOGICO VVL-CCQI (11.02.34.01.08.02.04)
Matrícula: 1675050
(Assinado digitalmente em 13/12/2022 14:01 ) LIGIA ARANTES SAD
PROFESSOR DO ENSINO BASICO TECNICO E TECNOLOGICO VIT-CM (11.02.35.01.09.02.03)
Matrícula: 294791
(Assinado digitalmente em 10/12/2022 09:20 ) RODOLFO CHAVES
PROFESSOR DO ENSINO BASICO TECNICO E TECNOLOGICO VIT-CM (11.02.35.01.09.02.03)
Matrícula: 86221
(Assinado digitalmente em 10/12/2022 15:21 ) RICARDO FAJARDO
ASSINANTE EXTERNO CPF: ***.425.100-**
Para verificar a autenticidade deste documento entre em https://sipac.ifes.edu.br/documentos/ informando seu número: 55, ano: 2022, tipo: FOLHA DE APROVAÇÃO-TCC, data de emissão: 09/12/2022 e o código de
verificação: f53b99dc44
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INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO Centro de Referência em Formação e em Educação a Distância Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática MESTRADO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
FERNANDA SANTOLIN MARQUES PRODUTO EDUCACIONAL
UMA PROPOSTA PARA O DESENVOLVIMENTO DE CURSOS OU PRÁTICAS A RESPEITO DO TEMA RECURSIVIDADE MATEMÁTICA NO ÂMBITO DA
FORMAÇÃO DE PROFESSORES
Produto Educacional apresentado ao Programa de Pós- Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Centro de Referência em Formação e em Educação do Instituto Federal do Espírito Santo como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Educação em Ciências e Matemática.
Aprovado em 31 de outubro de 2022.
COMISSÃOEXAMINADORA
Prof. Dr. Rodolfo Chaves, Dr. Edu.
Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes (Presidente da Banca Examinadora)
Profª Drª Ligia Arantes Sad, Drª Edu.
Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes
Prof. Dr. Ricardo Fajardo, Dr. Sc Universidade Federal de Santa Maria – UFSM Prof. Dr. Alexandre Krüger Zocolotti, Dr. Edu.
Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
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SISTEMA INTEGRADO DE PATRIMÔNIO, ADMINISTRAÇÃO E CONTRATOS
FOLHA DE ASSINATURAS
Emitido em 31/10/2022
FOLHA DE APROVAÇÃO-TCC Nº MECM_FOLHA DE APROVAÇÃO PRODUTO EDUCACIONAL_MESTRA/2022 - VVL-EDUCIMAT (11.02.34.01.07.08)
(Nº do Documento: 56)
(Nº do Protocolo: NÃO PROTOCOLADO)
(Assinado digitalmente em 11/12/2022 18:21 ) ALEXANDRE KRUGER ZOCOLOTTI
PROFESSOR DO ENSINO BASICO TECNICO E TECNOLOGICO VVL-CCQI (11.02.34.01.08.02.04)
Matrícula: 1675050
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AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, sobretudo.
Agradeço ao programa Educimat, por me oportunizar ser orientada pelo Prof. Dr. Rodolfo Chaves, meu pai acadêmico, meu mestre (como sempre o chamo), pessoa que estimo.
Agradeço ao Prof. Dr. Rodolfo Chaves por acreditar em mim, por acreditar na nossa parceria, por dedicar seu valioso tempo a este trabalho e por todos os ensinamentos que me proporcionou através da sua vida.
Agradeço a todos os atores dessa pesquisa.
Agradeço aos meus colegas e amigos do Gepemem, em especial ao Filyppe Neves de Andrade.
Agradeço aos meus professores do Educimat, em especial às professoras doutoras Lígia Arantes Sad e Maria Auxiliadora Vilela Paiva.
Agradeço ao meu primo, Marcelo de Souza Marques, que me incentivou a ingressar na área da educação e no curso de mestrado.
Agradeço à minha família.
Dedico esta dissertação a todos que contribuíram de alguma forma, direta ou indiretamente, com o nosso trabalho de pesquisa.
A educação não transforma o mundo. Educação muda pessoas. Pessoas transformam o mundo.
Paulo Freire
RESUMO
Este trabalho se fundamenta nas ideias do Modelo dos Campos Semânticos (MCS), da Teoria da Atividade e da Prática Educativa Investigativa (PEI). Trata-se de uma pesquisa qualitativa, que utiliza como estratégia o estudo de caso e que parte de inquietações vivenciadas pela pesquisadora em sala de aula, como o desinteresse dos alunos pela disciplina de matemática e a demanda dos discentes por métodos de memorização de fórmulas. Tais inquietações levaram ao questionamento: que significados a respeito da recursividade em práticas educativas investigativas são produzidos por participantes de um processo de formação de professores de matemática? Para responder tal pergunta, constituiu-se o cenário de pesquisa, um curso de extensão a respeito do tema recursividade no âmbito de formação de professores de matemática, e se definiu o objetivo: analisar significados a respeito da recursividade em práticas educativas investigativas produzidos por participantes de um processo de formação de professores de matemática. A fim de alcançar o objetivo geral, estabeleceu-se as ações de pesquisa. A partir do curso de extensão – ministrado na modalidade híbrida para docentes da Educação Básica e alunos de Licenciatura em Matemática, dentre eles cinco professores de matemática efetivos da rede estadual de ensino do Espírito Santo e também outros professores de matemática que lecionam temporariamente na rede de ensino em questão – desenvolveu-se o produto educacional: Uma proposta para o desenvolvimento de cursos ou práticas a respeito do tema recursividade matemática no âmbito da formação de professores. A produção de dados se deu a partir de falas, imagens e textos dos atores ao se manifestarem durante os encontros virtuais e realizarem as tarefas assíncronas do curso. Para análise dos dados, adotou-se o método da leitura plausível, tal como proposto pelo MCS. Ao longo do processo formativo, os atores produziram significados e conhecimentos para recursividade matemática. Além disso, elaborou-se um produto educacional com intuito de subsidiar possíveis cursos envolvendo o tema recursividade e incentivar professores e futuros a tratar esse tema em suas aulas.
Palavras-chave: Recursividade. Práticas Educativas Investigativas. Modelo dos Campos Semânticos. Produção de significados. Formação de professores.
ABSTRACT
This work is based on the ideas of the Semantic Fields Model (SCM), Activity Theory and Investigative Educational Practice (PEI). This is a qualitative research, which uses the case study as a strategy and is based on concerns experienced by the researcher in the classroom, such as students' lack of interest in mathematics and the students' demand for methods of memorizing formulas. Such concerns led to the question: what meanings regarding recursion in investigative educational practices are produced by participants in a process of training mathematics teachers? To answer this question, the research scenario was constituted, an extension course on the subject of recursion in the context of training mathematics teachers, and the objective was defined: to analyze meanings about recursion in investigative educational practices produced by participants of a process of training mathematics teachers. In order to achieve the general objective, research actions were established. From the extension course – taught in the hybrid modality for teachers of Basic Education and Mathematics Licentiate students, among them five effective mathematics teachers from the state education network of Espírito Santo and also other mathematics teachers who teach temporarily in the network of teaching in question – the educational product was developed: a proposal for the development of courses or practices on the topic of mathematical recursion in the context of teacher training.
The production of data was based on speeches, images and texts of the actors when they manifested themselves during the virtual meetings and performed the asynchronous tasks of the course. For data analysis, the plausible reading method was adopted, as proposed by the MCS.
Throughout the training process, the actors produced meanings and knowledge for mathematical recursion. In addition, an educational product was developed with the aim of subsidizing possible courses involving the recursion theme and encouraging teachers and future teachers to address this theme in their classes.
Keywords: Recursion. Investigatives Educational Practices. Semantic Fields Model.
Production of meanings. Teacher training.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Definição do termo geral para a sequência (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...)... 45
Figura 2 – Sequência dos números figurados quadrados ... 50
Figura 3 – Problemas dos ladrilhos pretos e brancos ... 55
Figura 4 – Sequência de números triangulares ... 60
Figura 5 – Sequência de números quadrados ... 61
Figura 6 – Sequência de números pentagonais ... 61
Figura 7 – Hipóteses do problema de Fibonacci ... 64
Figura 8 – Solução do problema de Fibonacci ... 64
Figura 9 – Definição da estratégia de pesquisa ... 87
Figura 10 – Coleção “Buriti mais matemática” ... 93
Figura 11 – Coleção “A conquista da matemática” ... 93
Figura 12 – Coleção “Contato matemática” ... 94
Figura 13 – Documentos oficiais de ensino ... 94
Figura 14 – Projeto “Pitágoras: em (e além do) teorema” ... 94
Figura 15 15 – MDP produzido para o curso de extensão... 94
Figura 16 – Proposta do curso ... 96
Figura 17 – Tarefa dos palitinhos ... 97
Figura 18 – PCN e recursividade ... 97
Figura 19 – BNCC e recursividade ... 98
Figura 20 – Problema a respeito de juros apresentado em tábula mesopotâmica ... 99
Figura 21 – Juros e recursividade ... 100
Figura 22 – Padrão figural ... 101
Figura 23 – Padrão geométrico ... 101
Figura 24 – Descrição da sequência (1, 6, 11, 16, 21, ...)... 102
Figura 25 – Descrição algébrica de sequência numéricas ... 102
Figura 26 – Definição do termo geral para a sequência (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...) ... 102
Figura 27 – Progressão aritmética ... 103
Figura 28 – Progressão geométrica ... 103
Figura 29 – Análise combinatória ... 104
Figura 30 – Questão dos quadradinhos brasileiros ... 105
Figura 31 – Paleolítico ... 105
Figura 32 – Neolítico ... 106
Figura 33 – Egito Antigo ... 106
Figura 34 – O número 5 ... 107
Figura 35 – Sequência dos números triangulares ... 107
Figura 36 – Distribuição gnomônica ... 107
Figura 37 – Representação sugerida para os números figurados espaciais ... 108
Figura 38 – Número figurado piramidal triangular de quarta ordem 𝑆33(4) ... 109
Figura 39 – Seções transversais (gnômons) do número tetraédrico ... 110
Figura 40 – Triângulo de Pascal ... 110
Figura 41 – Representação binomial da ordem, da seção transversal (gnômon) e do total .... 111
Figura 42 – Modelo matemático para 𝑆33(𝑛) ... 111
Figura 43 – Afinal, o que é fractal?! ... 112
Figura 44 – Contextualização histórica acerca dos fractais ... 112
Figura 45 – PEI a respeito da construção do Conjunto de Cantor ... 113
Figura 46 – Solução apresentada por participante do curso de extensão ... 114
Figura 47 – Autossimilaridade ... 115
Figura 48 – Dimensão fractal ... 115
Figura 49 – Procedimentos relacionados à construção da Árvore pitagórica isósceles retangular ... 116
Figura 50 – Construções relativas à PEI a respeito da Árvore pitagórica isósceles retangular ... 116
Figura 51 – Obras arquitetônicas do Egito Antigo ... 117
Figura 52 – Estilo românico ... 118
Figura 53 – Estilo gótico ... 118
Figura 54 – Vitrais da Catedral Saint-Denis na França ... 119
Figura 55 – Princípios de perspectiva cônica ... 120
Figura 56– Produções de Dürer ... 120
Figura 57 – Gravura Melancolia (1514) ... 121
Figura 58 – Princípios de perspectiva cônica ... 121
Figura 59 – O grito (1893) de Edward Munch ... 122
Figura 60 – Amarelo-vermelho-azul (1925) de Wassily Kandinsky ... 123
Figura 61 – O viaduto de estaque (1908) de George Braque ... 123
Figura 62 – Tarefa baseada na obra cubista Veleiros (1927) de Paul Klee ... 124
Figura 63 – Tarefa baseada na obra cubista Small town among the rocks (1927) de Paul Klee
... 124
Figura 64 – Gravura Metamorfose II (1939-1940) de Escher ... 124
Figura 65 – Questão acerca da obra Pássaros/Peixes (1941) disponível em Júnior e Castrucci (2018c) ... 125
Figura 66 – Questão acerca da obra Limite circular III (1959) disponível em Júnior e Castrucci (2018b) ... 125
Figura 67 – Gravura Cada vez menor (1956) de Escher ... 126
Figura 68 – Construção do número tetraédrico de ordem 4 ... 134
Figura 69 – Materiais usados para confecção de números tetraédricos ... 134
Figura 70 – Passos preliminares para confecção de números tetraédricos ... 135
Figura 71 – Construção de números tetraédricos com massinha de modelar ... 135
Figura 72 – Hastes e esferas imantadas na construção de números tetraédricos ... 136
Figura 73 – Uso do GeoGebra 3D na construção de números tetraédricos ... 136
Figura 74 – Capa do produto educacional ... 164
Figura 75 – Sumário do produto educacional ... 166
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Correspondência entre 3,787037 anos e 3; 47, 13, 20 anos ... 58
Quadro 2 – Matemática: 2° ANO ... 71
Quadro 3 – Habilidades relacionadas à Competência Específica 1 da Área de matemática e suas tecnologias ... 71
Quadro 4 – Tema e data dos encontros ... 92
Quadro 5 – Material didático-pedagógico por encontro ... 95
Quadro 6 – Tarefas assíncronas relativas a cada encontro ... 95
Quadro 7 – Organização curricular sugerida ... 166
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Comparação entre as formas de operar ... 50 Tabela 2 – Resolução do problema dos 7 gatos ... 56 Tabela 3 – Resolução do problema dos juros ... 59
LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS
BNCC – Base Nacional Comum Curricular
Capes – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Cefetes – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo cf. – Conforme
CEP – Comitê de Ética em Pesquisa
CNPq – Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico CS – Campo Semântico
Educimat – Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Ifes ETM – Ensino Tradicional de Matemática
GF – Geometria Fractal
Gepemem – Grupo de Estudos e Pesquisas em Modelo dos Campos Semânticos e Educação Matemática
GPA – Grupo de Pesquisa-ação em Educação Matemática da Unesp/Rio Claro
GPAEM – Grupo de Pesquisa-Ação em Educação Matemática da Universidade Federal de Viçosa
Grupem – Grupo de Pesquisa em Prática Pedagógica em Matemática Ifes – Instituto Federal do Espírito Santo
Limat – Licenciatura em Matemática do Ifes campus Vitória
LPEI – Laboratório de Práticas de Ensino Integradas do Ifes campus Vitória MCS – Modelo dos Campos Semânticos
MDP – Material didático-pedagógico MPS – Modos de produção de significado PA – Progressão Aritmética
PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais PEI – Práticas Educativas Investigativas PG – Progressão Geométrica
Semat – Semana da Matemática do Ifes campus Vitória
Sigma-T – Rede de Pesquisa e Desenvolvimento em Educação Matemática Sigpesq – Sistema Integrado de Gerenciamento da Pesquisa do Ifes
TA – Teoria da Atividade
Unesp – Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”
Unesco – United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ... 19
2 PANORAMA DA PESQUISA ... 21
2.1 TRAJETÓRIAPESSOAL... 21
2.2 OGEPEMEM ... 21
2.3 PROBLEMADAPESQUISA ... 24
2.4 PERGUNTA-DIRETRIZ ... 28
2.5 OBJETIVOGERAL ... 28
2.6 AÇÕESDEPESQUISA ... 28
2.7 JUSTIFICATIVA ... 29
3 APORTE TEÓRICO E REVISÃO DE LITERATURA ... 31
3.1 APORTETEÓRICO ... 31
3.1.1 Modelo dos campos semânticos (MCS) ... 31
3.1.2 Teoria da atividade (TA) ... 36
3.1.3 Práticas educativas investigativas (PEI) ... 38
3.1.4 Recursividade ... 42
3.1.4.1 Ideias e noções sobre o assunto ... 42
3.1.4.2 Abordagem histórica ... 54
3.1.4.3 Abordagem nos documentos oficiais de ensino ... 67
3.1.4.3.1 Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) ... 68
3.1.4.3.2 Base Nacional Comum Curricular (BNCC) ... 70
3.1.5 Formação de professores na perspectiva do MCS ... 75
3.2 REVISÃODELITERATURA ... 77
4 METODOLOGIA ... 86
4.1 ESTUDODECASO... 86
4.2 ATORESECENÁRIODAPESQUISA ... 90
4.2.1 Encontro 1 ... 96
4.2.2 Encontro 2 ... 97
4.2.3 Encontro 3 ... 100
4.2.4 Encontro 4 ... 105
4.2.5 Encontro 5 ... 108
4.2.6 Encontro 6 ... 111
4.2.7 Encontro 7 ... 114
4.2.8 Encontro 8 ... 117
4.2.9 Encontro 9 ... 122
4.2.10 Encontro 10 ... 126
4.3 PROCEDIMENTOSEINSTRUMENTOSDEPRODUÇÃODEDADOS ... 127
4.4 PRODUÇÃOEANÁLISEDOSDADOS ... 128
4.4.1 Leitura global dos significados produzidos por Agnes ... 129
4.4.2 Leituras globais e locais dos significados produzidos pelos atores da pesquisa .... 133
4.4.2.1 Encontro 5 ... 133
4.4.2.2 Encontro 7 ... 143
4.4.2.3 Encontro 9 ... 156
5 PRODUTO EDUCACIONAL ... 164
6 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES ... 167
REFERÊNCIAS ... 169
APÊNDICES ... 175
ANEXOS ... 207
1 INTRODUÇÃO
Esta pesquisa parte de inquietações vivenciadas pela pesquisadora em sala de aula, como o desinteresse dos alunos pela disciplina de matemática e a demanda dos discentes por métodos de memorização de fórmulas. Ao descrevê-la utilizamos a primeira pessoa do plural porque sua elaboração envolve mais de um autor.
Para elaborar este trabalho nos fundamentamos nas ideias do Modelo dos Campos Semânticos (MCS), da Teoria da Atividade (TA) e da Prática Educativa Investigativa (PEI). Trata-se de uma pesquisa qualitativa, que utiliza como estratégia o estudo de caso e que tem como cenário um curso de extensão ministrado para docentes que atuam na Educação Básica e alunos do curso de Licenciatura em Matemática (Limat) do Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes) campus Vitória.
O curso em questão foi ministrado de forma híbrida (remota e presencial), por meio de práticas educativas, em especial, as PEI. Algumas dessas práticas trataram de sequências conhecidas historicamente e de sequências que possibilitam o trânsito entre os modos de produção de significados geométrico, aritmético e algébrico. A partir desse curso, elaboramos o nosso produto educacional: Uma proposta para o desenvolvimento de cursos ou práticas a respeito do tema recursividade matemática no âmbito da formação de professores.
Como método de análise adotamos a leitura plausível, proposta pelo MCS, com objetivo de analisar significados produzidos pelos atores da pesquisa, participantes do curso de extensão.
Usamos as expressões “atores da pesquisa”, ou simplesmente “atores”, para nos referirmos aos indivíduos participantes da pesquisa.
Esta pesquisa desenvolve-se a partir: (i) da nossa participação no Grupo de Estudos e Pesquisas em Modelo dos Campos Semânticos (Gepemem); (ii) de ações diferenciais desenvolvidas pelo grupo no projeto intitulado “Pitágoras: em (e além do) Teorema”; (iii) da nossa participação no curso de extensão “Algumas sequências numéricas com representações geométricas na Aritmética pitagórica: números figurados bidimensionais e tetraédricos – Edital 007/2020- Direx” ofertado pelo Ifes campus Vitória na modalidade remota; (iv) da colaboração do grupo
de pesquisa nas discussões relativas ao planejamento e elaboração das práticas educativas do nosso curso.
Esta pesquisa é organizada em seis capítulos. No capítulo 2, apresentamos o panorama da pesquisa, que trata da trajetória pessoal da pesquisadora, das questões que motivaram este trabalho, da pergunta-diretriz, do objetivo da pesquisa, das ações de pesquisa, da justificativa e da apresentação do Gepemem.
No capítulo 3, trazemos o aporte teórico e a revisão de literatura, apresentamos textos que constituem o referencial teórico e trabalhos acadêmicos relacionados ao tema de pesquisa.
Discutimos a respeito das noções e relações definidas pelo MCS, dos pressupostos teóricos da TA, dos princípios e características da PEI, do assunto recursividade e da formação de professores na perspectiva do MCS.
No capítulo 4, tratamos da metodologia. Nele apresentamos: a natureza, a estratégia e os procedimentos adotados na pesquisa, os atores e o cenário da pesquisa, os procedimentos e instrumentos de produção de dados e a produção e análise dos dados.
No capítulo 5, explanamos acerca do produto educacional: Uma proposta para o desenvolvimento de cursos ou práticas a respeito do tema recursividade matemática no âmbito da formação de professores.
No capítulo 6, apresentamos algumas de nossas considerações a respeito da realização da pesquisa.
2 PANORAMA DA PESQUISA
Neste tópico, abordamos a trajetória pessoal da pesquisadora, as questões que motivaram este trabalho, a pergunta-diretriz, o objetivo geral, as ações de pesquisa e a justificativa para a realização da mesma.
2.1 TRAJETÓRIA PESSOAL
Graduei-me1 em Engenharia Civil em 2015. Minha primeira experiência profissional na área da Educação foi em 2017, como professora de disciplinas técnicas da Educação Profissionalizante, da rede estadual de ensino do Espírito Santo. Entusiasmada com a docência e atraída por ela, ainda em 2017 iniciei os cursos de Complementação Pedagógica no ensino de Matemática e de Pós-graduação Lato Sensu em Ensino Interdisciplinar em Saúde e Meio Ambiente na Educação Básica, pelo Ifes.
Em setembro de 2018 comecei a atuar como professora de matemática, profissão que exerço atualmente na rede estadual de ensino. No ano de 2020 ingressei no curso de mestrado no Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Ifes e no grupo de estudos Gepemem, sobre o qual falaremos a seguir.
2.2 O GEPEMEM
Aqui, apresentamos nossa investigação sobre as origens do Grupo de Estudos e Pesquisas em Modelo dos Campos Semânticos e Educação Matemática (Gepemem), pois ela nos ajudou a
1 Excepcionalmente, neste tópico (2), usaremos a primeira pessoa do singular, pois tratamos de experiências pessoais da pesquisadora.
compreender a organização, as dinâmicas, as ações e as bases sócio-históricas, epistemológicas e ideológicas do grupo de estudos.
As raízes do Gepemem tiveram início com a participação de seus atuais líderes, o Prof. Dr.
Rodolfo Chaves e a Prof.ª Dr.ª Ligia Arantes Sad, no Grupo de Pesquisa-Ação em Educação Matemática (GPA) na Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (Unesp) de Rio Claro.
De acordo com Baldino e Carrera de Souza (1995), o GPA foi registrado pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) sob o número “8.Unesp.026”, e iniciou suas pesquisas em setembro de 1993. O grupo foi coordenado por vários anos pelos pesquisadores Antonio Carlos Carrera de Souza e Roberto Ribeiro Baldino.
O GPA pesquisava sobre o fracasso do ensino de matemática e as rotinas que o sustentam, buscando respostas às seguintes questões: (i) como reduzir o quadro geral de fracasso? (ii) qual é o papel das rotinas de sala de aula na permanência do fracasso? O grupo utilizava como metodologia a Pesquisa-Ação e gerenciava intervenções de ensino em diferentes graus de ensino por meio da ação dos próprios professores, em especial, na sala de aula. Com base na ação-reflexão-ação, o GPA estudou questões epistemológicas, psicossociais e políticas emergentes de situações concretas da sala de aula (BALDINO; CARRERA DE SOUZA, 1995).
Quanto à fundamentação teórica e dinâmica do GPA entendemos que: (i) o professor exerce, simultaneamente, as atividades de docência e de pesquisa, sem prejuízo ao rigor e cientificidade da pesquisa desenvolvida por ele; (ii) o professor-pesquisador produz modificações em sua sala de aula à medida que discute com os demais professores-pesquisadores o que ocorre nesse espaço; (iii) a discussão professores-pesquisadores pode esgotar-se no relato de experiência individual ou gerar perguntas relacionadas à problemáticas didáticas específicas; (iv) para responder as perguntas as quais há interesse convergente do grupo, são propostos projetos de pesquisa; (v) formam-se subgrupos com objetivo de desenvolverem os projetos de pesquisa do GPA; (vi) cada subgrupo propõe e constrói um Material Didático-Pedagógico (MDP) destinado ao projeto específico; (vii) em reuniões periódicas (seminários), os subgrupos relatam e discutem suas atividades; (viii) nos seminários também são planejadas, decididas e avaliadas as intervenções e distribuídas as tarefas de apoio (BALDINO; CARRERA DE SOUZA, 1995)..
O MDP supracitado é descrito em Chaves (2000, p. 46) e corresponde a
[...] todo material produzido com o propósito de atender às expectativas básicas de cada subgrupo. De técnicas de utilização de lousa e giz à utilização de softwares educativos; da produção de textos científicos à produção de cartilhas e catálogos de prática pedagógicas; da confecção de apostilas a livros; do desenvolvimento de dinâmicas, métodos, materiais concretos e manipulativos, e à técnicas de avaliação.
Todo material produzido pelo professor, com o propósito de modificar e melhorar sua prática docente.
Sobre o uso do MDP, Chaves (2000, p. 46), esclarece que é:
[...] bem mais importante do que utilizar um material didático-pedagógico pronto e acabado é, justamente, participar do momento de construção conjunta, participativa, socializadora e cooperativa entre professores, planejando, criando, discutindo, adaptando e reformulando de acordo com as necessidades e peculiaridades do seu cotidiano escolar.
Embora o GPA esteja inativo junto ao CNPq, alguns egressos do GPA deram continuidade às suas ideias, como previsto em Baldino e Carrera de Souza (1995, p. 379): “Ao descrever como se organiza e o que o GPA tem realizado, esperamos estar fornecendo subsídios para a implantação de outros Grupos de Pesquisa-Ação em outras instituições”. Um exemplo foi a criação de outros grupos e redes, como o Grupo de Pesquisa-Ação em Educação Matemática da Universidade Federal de Viçosa (GPAEM) (1999-2008), o Gepemem (a partir de 2008) e a Rede de Pesquisa e Desenvolvimento em Educação Matemática (Sigma-t) (a partir de 2002), que agregaram alguns dos ex-participantes do GPA (como, por exemplo, João Carlos Gilli Martins e Rodolfo Chaves), quando da sua diáspora.
Observamos a influência do GPA nas dinâmicas e ações desenvolvidas pelo Gepemem, tais como: (i) a formação de subgrupos de pesquisa – atualmente, há quatro subgrupos, “Aritmética Pitagórica”, “Demonstrações históricas do Teorema de Pitágoras”, “História e Filosofia” e
“Matemática e música”; (ii) os projetos de pesquisas – hoje, o grupo desenvolve o projeto de pesquisa “Pitagorismo: bases históricas, filosóficas, epistemológicas e práticas” (PJ00006481), cadastrado junto ao Sistema Integrado de Gerenciamento da Pesquisa do Ifes (Sigpesq)2campus Vitória; (iii) a organização do grupo – no momento presente, o Gepemem se reúne semanalmente, de forma híbrida, para estudar os assuntos de interesse do grupo e discutir as ações realizadas pelos subgrupos de pesquisa; (iv) a produção de MDP – recentemente, para o desenvolvimento do projeto de pesquisa “Pitágoras: em (e além do) teorema”, materiais recicláveis e reaproveitáveis foram utilizados na produção de MDP para trabalhar números figurados e demonstrações do teorema, como tampinhas de garrafas PET e lonas de banners.
2 https://sigpesq.ifes.edu.br/
Foi também na Unesp de Rio Claro que os atuais líderes do Gepemem conheceram o MCS e seu elaborador, o Prof. Dr. Romulo Campos Lins. Discorreremos sobre o modelo mais adiante (no capítulo 3). Desde então, os Professores Doutores Rodolfo Chaves e Ligia Arantes Sad têm dividido suas práticas com o MCS e difundido as ideias do modelo. Pensamos que, assim como a participação no GPA, as experiências dos atuais líderes com o MCS influenciaram a constituição do Gepemem. Uma evidência disso encontra-se na descrição do grupo, apresentada no endereço eletrônico do CNPq3, que afirma o seguinte:
Integram o Grupo de Estudos e Pesquisas em Modelo dos Campos Semânticos e Educação Matemática (Gepemem) alunos da Licenciatura em Matemática e do Mestrado Profissional em Educação em Ciências e Matemática (Educimat), do Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes) – campus Vitória e professores das redes públicas. Nossos encontros são semanais, reunindo alunos e pesquisadores para compartilharem experiências em temas relacionados à Educação Matemática.
Trabalhamos com duas linhas de pesquisa: i) História da Matemática e Educação Matemática; ii) Processos de Ensino e Aprendizagem em Educação Matemática.
Desenvolvemos pesquisas abordando variados temas, como: Educação Financeira Escolar; Teorema de Pitágoras; Números Figurados; Frações etc. O grupo integra a Rede de Pesquisa e Desenvolvimento em Educação Matemática (Sigma-t), que conta com diversos pesquisadores do Modelo dos Campos Semânticos (MCS), desenvolvido pelo Prof. Dr. Romulo Campos Lins.
O Gepemem foi criado por volta de 2008, ano em que teve início a Limat no Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo (Cefetes), hoje Ifes campus Vitória. Em 2010, o grupo foi registrado junto ao CNPq e identificado como “Grupo de Estudos e Pesquisas em Matemática Pura, Matemática Aplicada e Educação Matemática”. Atualmente, sua identificação no sítio eletrônico do CNPq é “Grupo de Estudos e Pesquisas em Modelo dos Campos Semânticos e Educação Matemática”. O Gepemem é composto por 14 (quatorze) pesquisadores, 21 (vinte e um) estudantes e 23 (vinte e três) egressos, que esporadicamente retornam ao grupo para o desenvolvimento de algumas pesquisas ou trabalhos de extensão.
2.3 PROBLEMA DA PESQUISA
3 http://dgp.cnpq.br/dgp/espelhogrupo/3997687047031532
Ainda durante as experiências de estágio, relativas ao curso de Complementação Pedagógica, percebi que havia desinteresse, por parte dos alunos, no que se refere à disciplina de matemática, bem como a dificuldade no que se refere à produção de conhecimento desses alunos.
Ao trabalhar progressões e juro composto no Ensino Médio, notei que os alunos apresentavam dificuldades para compreender a ideia de recursividade. Essa constatação me deixou inquieta, pois, de acordo com a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), o tema recursividade – entendido por nós como estratégia(s) ou técnica(s) em que se recorre a um ou mais termos da sequência para determinar os demais – deveria ser tratado desde as séries iniciais do Ensino Fundamental.
No ano de 2020, recordo-me de mencionar em uma turma da segunda série do Ensino Médio que estudaríamos juro composto. Nessa ocasião, uma aluna me perguntou se iríamos usar algum método para memorizar a fórmula de juro composto. A estudante me explicou que na série anterior o professor havia usado um método mnemônico que a permitiu decorar com sucesso a fórmula de juro simples. Nesse contexto, é possível que a aluna (e sua turma) não tenha compreendido as ideias e os processos matemáticos envolvidos na construção da fórmula de juro simples.
Tais inquietações me levaram ao seguinte questionamento: como professores de Matemática podem contribuir para que os alunos se interessem pela disciplina de matemática e produzam significados para a construção de modelos e fórmulas matemáticas utilizando a recursividade?
Ao ingressar no mestrado, tive a oportunidade de escutar as experiências de trabalho dos meus colegas de turma, de professores e de ex-alunos do curso. Refletindo a respeito dessas narrativas, pude notar que uma parte significativa delas, especificamente das exitosas, incluía práticas de ensino que não são comuns às rotinas escolares usuais. Essa observação me levou a considerar que as práticas docentes, que fogem àquelas que seguem a rotineira pedagogia diretiva – na qual o professor fala, propõe tarefas e supostamente ensina, enquanto o aluno escuta, executa e supostamente aprende –, contribuem para despertar o interesse dos alunos e interferem nos processos de aprendizagem.
Uma possível explicação para tal consideração encontra-se na TA (LEONTIEV, 1978; 1984), elaborada por Alexis Nikolaevich Leontiev (1903-1979). Em suas obras, o autor destaca que,
para a realização de uma atividade, há motivos apenas compreendidos e motivos que agem realmente. Sobre esse assunto, Leontiev questiona:
A arte da educação não reside em combinar da melhor maneira os <<motivos compreendidos>> e os motivos <<que agem realmente>>, sabendo dar quando é preciso a prioridade ao resultado da actividade e ao sucesso, a fim de assegurar a passagem a um tipo superior de motivos reais que dirigem a vida da personalidade?
(LEONTIEV, 1978, p. 300, destaques do autor).
O autor esclarece que “Os motivos <<apenas compreendidos>> transformam-se, em determinadas condições, em motivos eficientes. É assim que nascem novos motivos e, por consequência, novos tipos de atividade” (LEONTIEV, 1978, p. 299, destaques do autor).
Um significado que produzimos para tal resíduo de enunciação é de que as atividades diferenciadas4 promovem mudanças de motivos. Um aluno que, inicialmente, tem como motivo compreendido “tirar uma boa nota para ser aprovado”, quando diante de uma tarefa ou prática educativa que considere o seu interesse, encontra um novo motivo, como, por exemplo, divertir- se. Nesse sentido, acreditamos que as PEI, nos moldes apresentados em Chaves (2005, 2004), possam contribuir para transformar motivos apenas compreendidos em motivos eficientes, tal como posto por Leontiev (1978).
Outra possível explicação para as inquietações supracitadas se encontra na forma como a escola tem conduzido os processos de ensino e de aprendizagem da aritmética e da álgebra. Lins e Giménez (1997) explica5 que o ensino da aritmética enfatiza demasiadamente os aspectos formais e manipulativos, e que o ensino da álgebra se resume à resolução de equações.
Pensamos que, se os alunos têm dificuldades para usar a recursividade em sequências numérica e preferem decorar uma fórmula a compreender a construção da mesma, é porque o ensino da aritmética e da álgebra continua não contribuindo – ou contribuindo pouco – com uma Educação Matemática escolar que fomente a investigação, a busca por propriedades e relações e os processos de indução e de generalização, que, à luz do MCS, entendemos como procurar identificar, analisar e refletir sobre a lógica das operações.
4 Por exemplo, aquelas pautadas na dialogicidade, na criticidade, na investigação, em princípios colaborativos, que privilegiam a autonomia do aluno, tal como no uso da Resolução de Problemas, da Modelagem Matemática, da Etnomatemática enquanto procedimentos de ensino e de aprendizagem.
5 Embora a obra envolva mais de um autor, no MCS o que se leva em consideração é o texto produzido. Em casos como esse, concordamos o verbo com a obra textual, portanto, usamos a terceira pessoa do singular.
No que diz respeito à forma como a escola tem desenvolvido a Educação Aritmética e a Educação Algébrica, Lins e Giménez (1997)6 explica que a primeira deve oportunizar aos alunos “[...] desenvolverem a capacidade de refletir sobre o que há de genérico sobre as situações envolvidas, refletir sobre a lógica das operações [...]” (LINS; GIMÉNEZ, 1997, p.
160), e que a segunda (algébrica) deve “[...] criar situações nas quais os alunos podem tomar como legítimo um certo modo de produzir significado, de pensar” (LINS; GIMÉNEZ, 1997, p.
157). Embora com propósitos diferentes, o texto em questão esclarece que a Educação Aritmética e a Educação Algébrica coexistem e implicam no desenvolvimento uma da outra.
Para além da coexistência, Lins e Giménez (1997) propõe uma relação harmoniosa para as duas, e nos inspira a produzir práticas que promovam o desenvolvimento conjunto das duas.
Os resultados de Dutra (2020) e Andrade (2021) mostram que “caminhar” nessa direção – de integração entre a aritmética e álgebra – é possível, e que a partir da matemática pitagórica é possível relacionar aritmética, álgebra e geometria. Motivados por Lins e Giménez (1997), Dutra (2020) e Andrade (2021) desenvolveram um conjunto de práticas educativas que reputam possibilitar a inter-relação entre aritmética, álgebra e geometria.
Lins e Giménez (1997) aponta que há uma desconexão entre a Educação Matemática Escolar e a realidade. Essa desconexão pode ser vista na Educação Aritmética que,
[...] Com frequência, tem-se ignorado que os algoritmos de adição de frações foram vinculados a divisão de heranças, que o desenvolvimento dos sistemas métricos e das primeiras ideias sobre proporções surge da harmonia musical e arquitetônica e que as representações de quantidades grandes aparecem junto com a melhoria dos cálculos de fenômenos naturais: astronomia, agricultura etc. [...] (LINS; GIMÉNEZ, 1997, p.
35).
Essa desconexão também pode ser observada na atividade algébrica, que nem sempre envolveu
“calcular com letras”, como podemos perceber no texto a seguir.
[...] comecemos com os babilônios e os egípcios (cerca de 1700 a. C.), que desenvolveram regras eficientes para cálculos vários e para a resolução de problemas, embora não tenham desenvolvido notação alguma para representar essas regras de forma geral [...] (LINS; GIMÉNEZ, 1997, p. 91).
[...] No caso da álgebra islâmica, porque todo tipo de abreviação era estritamente proibido, dado o papel sagrado das palavras [...] (LINS; GIMÉNEZ, 1997, p. 96).
6 Evidenciamos que, ao citarmos obras com mais de um autor, tal como em Lins e Giménez (1997), tratamos como no singular, por nos referirmos à obra e não aos autores. Analisamos o que está escrito (um texto) e não quem escreve (uns autores), pois produzimos significado à fala (ao texto) e não aos autores (sujeitos da enunciação).
A partir de nossas leituras, estudos e do texto em voga, entendemos que a apresentação e discussão da construção histórico-cultural dos problemas e dos conhecimentos matemáticos produzidos pode ser abordada pela Educação Matemática Escolar, de forma que os alunos possam produzir significados nas seguintes direções: (i) a matemática desenvolve-se a partir das necessidades humanas; (ii) como essas necessidades são distintas, resultam em conhecimentos diversos. Nesse sentido, nós recorremos à história da matemática para desenvolver práticas educativas que abordam ideias matemáticas engendradas por diferentes grupos humanos ou por uma mesma civilização em tempos distintos.
2.4 PERGUNTA-DIRETRIZ
Diante das inquietações apresentadas e dos problemas que se relacionam a elas, suscitamos a seguinte pergunta: que significados a respeito da recursividade em práticas educativas investigativas são produzidos por participantes de um processo de formação de professores de matemática?
2.5 OBJETIVO GERAL
Tendo em vista a constituição de um cenário de pesquisa e a elaboração do produto educacional, a partir de um curso de formação de professores de matemática, objetivamos analisar significados a respeito da recursividade em práticas educativas investigativas produzidos por participantes de um processo de formação de professores de matemática.
2.6 AÇÕES DE PESQUISA
Para alcançarmos o objetivo geral, estabelecemos as seguintes ações de pesquisa:
1. Analisar e apresentar os elementos centrais, as noções-categorias e os métodos de leituras pertinentes ao MCS, referencial teórico e metodológico desta pesquisa.
2. Discorrer sobre a TA.
3. Investigar e mostrar a fundamentação teórica das PEI.
4. Analisar e apresentar abordagens a respeito da recursividade: (i) na literatura matemática; (ii) na história da matemática; (iii) e nos documentos oficiais de ensino;
(iv) em livros didáticos.
5. Discorrer acerca do processo de formação de professores na perspectiva do MCS.
6. Elaborar práticas educativas dirigidas ao curso de formação de professores de matemática.
7. Desenvolver o curso de formação com os atores da pesquisa e o produto educacional.
8. Realizar a leitura local e global dos significados produzidos pelos atores da pesquisa.
9. Analisar a dinâmica da produção de significados.
10. Apresentar o produto educacional elaborado ao longo da pesquisa.
2.7 JUSTIFICATIVA
Como Viola dos Santos e Lins (2016a) explica, um dos aspectos referentes à formação sólida do professor de matemática é o repertório, que se relaciona ao “domínio” dos conteúdos matemáticos. Entendemos que o curso de formação, nosso cenário de pesquisa, contribuiu para que os participantes do curso produzissem conhecimentos matemáticos e pedagógicos, favorecendo a prática profissional e a aprendizagem dos alunos.
O texto supracitado explica que o professor de matemática pode desenvolver uma formação sólida de formas diferentes. Pensamos que, ao desenvolver o curso de extensão voltado para professores e futuros professores de matemática e elaborar o produto educacional, “Uma proposta para o desenvolvimento de cursos ou práticas a respeito do tema recursividade matemática no âmbito da formação de professores”, oportunizamos e fomentamos uma variedade de experiências formativas, portanto, contribuímos com uma possível formação sólida do professor de matemática, tal como proposta em Viola dos Santos e Lins (2016a).
Os documentos oficiais de ensino orientam que o assunto recursividade seja tratado desde a primeira série do Ensino Fundamental I “(EF01MA10) Descrever, após o reconhecimento e a explicitação de um padrão [ou regularidade], os elementos ausentes em sequências recursivas de números naturais, objetos ou figuras” (BRASIL, 2017, p. 279). Contudo, nossa revisão de literatura nos mostrou que o assunto recursividade é pouco enfatizado na Educação Básica.
Frequentemente, a recursividade é tratada como “plano de fundo” do assunto sequências numéricas. Duarte (2018, p. 19), em sua dissertação de mestrado, observa que:
[...] pouco ou quase nada é falado a respeito das relações de recorrência e equações de recorrência e até mesmo essas progressões muitas vezes são tidas como conteúdos decorativos e cujos problemas relacionados se resolvem pela aplicação de meras fórmulas matemáticas.
Como podemos observar, tal percepção, de que o assunto recursividade é pouco enfatizado na Educação Básica, não é exclusivamente nossa. Nessa perspectiva, pensamos ser pertinente pesquisarmos acerca do tema e apresentarmos possíveis propostas para o desenvolvimento de cursos a respeito do tema no âmbito da formação de professores que possam fomentar a sua discussão no contexto da Educação Básica.
3 APORTE TEÓRICO E REVISÃO DE LITERATURA
Neste tópico dissertamos a respeito do embasamento teórico da pesquisa e os textos que constituem a revisão de literatura.
3.1 APORTE TEÓRICO
Com o propósito de estabelecermos um espaço comunicativo com os leitores, apresentamos neste capítulo o aporte teórico de nossa pesquisa, que é organizado em cinco tópicos: Modelo dos Campos Semânticos (MCS), Teoria da Atividade (TA), Práticas Educativas Investigativas (PEI), Recursividade e Formação de professores na perspectiva do MCS.
3.1.1 Modelo dos campos semânticos (MCS)
As primeiras ideias do MCS foram elaboradas pelo Prof. Dr. Romulo Campos Lins ao buscar compreender o que os alunos pensavam quando “erravam” (LINS, 2012). Lins (1999) observa que “[...] Os elementos principais do modelo estão postos: significado, conhecimento, interlocutores, núcleos/estipulações locais, objetos. E também outras noções essenciais:
atividade, espaço comunicativo, texto, legitimidade” (LINS, 2012, p. 88). Com objetivo de apresentar o MCS ao leitor, trazemos algumas noções e relações a respeito do modelo.
No MCS, significado é aquilo que se diz a respeito de algo. Entende-se algo como o objeto para o qual se produz significado. Sobre significado, objeto e produção de significado, Lins (1999, p. 86) afirma:
[...] os objetos são constituídos enquanto tal precisamente pela produção de significados para eles. Não se trata de ali estão os objetos e aqui estou eu, para a partir daí eu descobrir seus significados; ao contrário, eu me constituo enquanto ser
cognitivo através da produção de significados que realizo, ao mesmo tempo em que constituo objetos através destas enunciações (destaques do autor).
Lins (2012) traz uma ressignificação a respeito do entendimento do que vem a ser conhecimento para o MCS. O autor afirma que “[...] nenhum conhecimento vem ao mundo ingenuamente”
(LINS, 2012, p. 13). No modelo, o conhecimento corresponde a algo anunciado pelo sujeito, com base no que ele acredita sobre o que o diz, junto com uma explanação sobre aquilo que o autoriza a dizer o que diz; resumindo, “[...] conhecimento é uma crença-afirmação junto com uma justificação para que eu possa produzir esta enunciação” (LINS, 1999, p. 84).
Lins (1999, p. 88) explica que “[...] o papel da justificação é produzir legitimidade para minha enunciação”. Nesse sentido, a justificação não é uma justificativa ou uma explicação para o que é dito, tampouco o estabelecimento de conexões lógicas.
A respeito da comunicação, o autor explica que o processo comunicativo não se baseia na transmissão da mensagem, mas sim nas noções reconstruídas de autor, leitor e texto. A comunicação se inicia quando o autor dirige uma enunciação a um interlocutor (ser cognitivo, que aceitaria a justificação dada). A ação que envolve a comunicação da enunciação é denominada texto. Lins (2012) explica que o leitor produz significado para o texto ou para o resíduo de enunciação “[...] algo com que me deparo e que acredito ter sido dito por alguém”
(LINS, 2012, p. 27), além disso, observa que “[..] Em geral não vale a pena distinguir ‘texto’ e
‘resíduo de enunciação’” (LINS, 2012, p. 27, destaques do autor).
Quando o leitor produz significado para o texto dirigindo sua enunciação ao mesmo interlocutor que o autor, há o estabelecimento de um espaço comunicativo. Para além do aspecto biológico, Lins (1999) observa que a capacidade de compartilhar um espaço comunicativo é uma das formas de dizer que dois seres cognitivos são semelhantes.
A comunicação acontece enquanto autor e leitor sancionam o que cada um diz, ou seja, quando há legitimidade. Sobre esse assunto, Lins (2012, p. 16) explica que
[...] “eu” falo na direção de um interlocutor que é uma direção na qual, acredito, o que estou dizendo poderia ser dito com a mesma justificação que tenho para dizer; em outra passagem (de outra natureza) o que eu disse pode ser desautorizado ou sancionado. Nas duas passagens trata-se da questão da legitimidade (destaques do autor).
O processo comunicativo depende do que o texto descreve na segunda passagem, embora todo conhecimento produzido seja legítimo, independente do “aceite” da enunciação (LINS, 2012).
Em um processo comunicativo há “[...] repertórios segundo os quais nos preparamos para tentar antecipar de que é que os outros estão falando ou se o que dizem é legítimo ou não” (LINS, 2012, p. 29), trata-se dos Modos de Produção de Significado (MPS). Quando autor e leitor utilizam o mesmo “repertório” há uma convergência comunicativa, que se estabelece “[...] a partir dos modos de produção de significados que o autor ou o leitor internalizaram como sendo legítimos” (LINS, 1999, p. 82). Nesse sentido, a comunicação efetiva depende da legitimação dos MPS internalizados pelo autor ou leitor. À medida em que há legitimidade, autor e leitor alternam de posição e o processo comunicativo se desenvolve (LINS, 1999).
É no processo de produção de significados que se constituem Campos Semânticos (CS), que têm “caráter mutável”, como explica Lins (2012, p. 17):
Um campo semântico, de modo geral, é como se fosse um jogo no qual as regras (se existem) podem mudar o tempo todo e mesmo serem diferentes para os vários jogadores dentro de limites; que limites são estes, só sabemos a posteriori: enquanto interação continua, tudo indica que as pessoas estão operando em um mesmo campo semântico (destaques nosso).
Um CS está relacionado a um núcleo, e a compreensão do que é núcleo e de como ele se constitui depende do entendimento do que são estipulações locais (LINS, 2012). Se durante a realização da atividade, em um processo de produção de significado, há afirmações que dispensam justificativa, estamos diante de estipulações locais, que indicam a formação de núcleo.
Lins (1999) afirma que “[...] a um conjunto de estipulações locais que, num dado momento e dentro de uma atividade, estão em jogo, chamo de núcleo” (LINS, 1999, p. 87). Um núcleo
“[...] é constituído por estipulações locais, que são, localmente, verdades absolutas, que não requerem, localmente, justificação” (LINS, 2012, p. 26). O núcleo não é “fixo”, isto é, durante o processo de produção de significado e de conhecimento, outras estipulações locais podem surgir e vir a se tornarem parte do núcleo (LINS, 2012).
É no interior de um CS, em um processo de produção de significado em relação a um núcleo, que são constituídos os objetos e se produz conhecimento. Vale ressaltar que no MCS a ideia de conhecimento está vinculada à enunciação e não ao enunciado, diferente das teorias
“clássicas” sobre conhecimento que associam o conhecimento ao teor do que é dito. Lins (1999) explica que “Tendo isto [conhecimento é uma crença-afirmação junto com uma justificação]
em mente, toda produção de significado implica produção de conhecimento” (LINS, 2012, p.
87, destaque nosso).
Outra noção importante do MCS é a leitura plausível, processo em que se busca produzir significado para o que o outro diz considerando aspectos que possam dar sentido a seu texto (LINS, 2012). Ao realizar a leitura plausível nos deparamos com: o dado, a justificação e o novo. O primeiro corresponde à justificação, o segundo tem a ver com o vínculo entre crenças- afirmações e o terceiro diz respeito à crença-afirmação (LINS; GIMÉNEZ, 1997).
Além dos principais elementos do MCS – apontados em Lins (1999) e mencionados no primeiro parágrafo dessa seção – e da leitura plausível, apresentamos alguns processos que podem ocorrer durante a produção de significados.
Quando um primeiro autor diz algo e um segundo autor produz o seguinte significado para aquilo que foi dito pelo primeiro (algo): “isso não poderia ser dito”, estamos diante do processo de estranhamento. O texto Julio e Oliveira (2018) exemplifica o estranhamento da seguinte forma:
Pensemos em um aluno do 7º ano do Ensino Fundamental que, desde o início do trabalho do professor de Matemática com o conjunto dos números inteiros, produziu significados para esses números como saldos positivos (inteiros positivos) e como dívidas (inteiros negativos). Enquanto seu professor tratou da introdução do conjunto e das operações de adição e subtração entre números inteiros, não havia problema algum pensar em saldos e dívidas. Mas quando teve início a apresentação da operação de multiplicação entre números inteiros, começaram as dificuldades desse suposto aluno. Após o professor afirmar que o produto entre dois inteiros negativos resulta em um inteiro positivo, o significado produzido pelo aluno para essa afirmação do professor é que aquilo não pode ser dito. Como se pode multiplicar uma dívida por outra dívida e se obter um saldo positivo? Para aquele professor, dizer que o produto entre dois inteiros negativos resulta em um inteiro positivo foi algo natural; para aquele aluno, isso não poderia ser dito (JULIO; OLIVEIRA, 2018, p. 144).
Lins (2004) afirma sobre o processo de estranhamento: “[...] de um lado aquele para quem uma coisa é natural – ainda que estranha – e de outro aquele para quem aquilo não pode ser dito.
Esta é a característica fundamental deste processo de estranhamento [...]” (JULIO; OLIVEIRA, 2018, p. 26).
No que se refere às interações na sala de aula, Lins (2008) explica que elas levam ao compartilhamento de algo, “[...] seja o de uma diferença (e aí decidimos o que fazer a esse respeito) ou o compartilhamento de modos de produção de significados, de objetos e de significados (bem mais reconfortante para todos)” (LINS, 2008, p. 542-543, destaques do autor). Em um contexto de compartilhamento, aluno e professor caminham na seguinte direção:
“[...] ‘eu acho que entendo como você está pensando’ que se torna legítimo e simétrico dizer, à
continuação, ‘pois eu estou pensando diferente, e gostaria que você tentasse entender como eu estou pensando’ [...]” (LINS, 2008, p. 543, destaques do autor).
As interações em sala de aula podem levar ao compartilhamento de modos de produção de significados e ao compartilhamento de diferenças. Lins (2008) observa que no compartilhamento da diferença há uma intensa oportunidade de aprendizagem; professor e aluno podem dizer “[...] “eu acho que entendo como você está pensando” [....] “pois eu estou pensando diferente, e gostaria que você tentasse entender como eu estou pensando” (LINS, 2008, p. 543, destaques do autor). É no compartilhamento da diferença que se aprende a legitimar determinados MPS (LINS, 2008).
Por vezes, o processo de produção de significado em sala de aula pode tomar outros “rumos”, como se “deparar” com limites epistemológicos, entendidos como a impossibilidade de produzir significado para o que é dito pelo outro. Sobre o limite epistemológico, Julio e Oliveira (2018) explica:
Instaura-se, assim, naquele aluno, um tipo de paralisação [limite epistemológico], uma imobilidade diante daquele resíduo de enunciação [o que é dito pelo outro]. É nesse momento que entra em cena a importância, a potência do descentramento no quadro do MCS. Pelo movimento de descentramento, pela tentativa de o professor se colocar no lugar daquele aluno [...] (JULIO; OLIVEIRA, p. 115, destaque nosso). Sendo assim, para evitar que um estranhamento se torne um limite epistemológico, é necessário realizar o descentramento, que requer fazer a leitura do outro. O professor que pratica o descentramento, isto é, que identifica os estranhamentos por meio da leitura dos alunos, torna- se mais sensível ao que acontece em sala de aula (OLIVEIRA, 2011). Viola dos Santos e Lins (2016a), a respeito do processo de descentramento, afirma: “O cara [o professor] tenta se colocar como um outro [o aluno] que escreveu aquilo achando que aquilo poderia ser dito.
Então o descentramento é mudar o centro, é você sair de você como centro e tentar ir para o lugar onde o outro está como centro” (OLIVEIRA, 2011, p. 337, destaque nosso).
Outro possível rumo para um processo de produção de significado refere-se ao processo de impermeabilização, no qual Silva e Lins (2013) destaca: “Com o termo impermeabilização queremos designar a postura do sujeito de não compartilhar novos interlocutores, diferentes daqueles para o qual ele estava voltado; de não se propor a produzir significados numa outra direção” (SILVA; LINS, 2013, p. 27).
Diferentemente do estranhamento, em que o significado produzido pelo sujeito é da ordem da negação – “isso não poderia ser dito” –, no processo de impermeabilização o sujeito produz significado em uma direção não estando “disposto” a produzir em outra. Silva e Lins (2013) explica que há diversas possibilidades que levam à impermeabilização, algumas delas são:
acreditar na legitimidade do que diz, de tal forma que é desnecessário dizê-lo de outra forma;
não poder produzir significados em outras direções por estar diante de um limite epistemológico; ou entender “ilegítimo” falar em determinada direção.
Trouxemos essas ideias principais relativas ao MCS com o propósito de situar o leitor – para que o mesmo saiba de onde falamos – no que se refere à produção de significados em relação às nossas análises.
3.1.2 Teoria da atividade (TA)
Alexei Nikolaevich Leontiev (1904–1979), criador da TA, foi um dos colaboradores do trabalho de Lev SemyonovichVygotsky (1913–1917) na elaboração do que fora denominado de a “nova psicologia”. De acordo com Oliveira (1997), essa nova abordagem psicológica expressa os pensamentos de Vygotsky e envolve três ideias centrais:
• as funções psicológicas têm um suporte biológico pois são produtos da atividade cerebral;
• o fundamento psicológico fundamenta-se nas relações sociais entre o indivíduo e o mundo exterior, as quais desenvolvem-se em um processo histórico;
• a relação homem/mundo é uma relação mediada por sistemas simbólicos.
Para Vygotsky, tendo em vista seus pensamentos e postulados, o conhecimento é produzido socialmente, logo, resulta das interações humanas e, portanto, o conhecimento é produto social.
Tal entendimento converge com o entendimento proposto no MCS visto que pressupostos de Vygotsky são adotados na elaboração do MCS, segundo seu elaborador, o educador matemático Romulo Campos Lins (1955-2017).
Leontiev, ao desenvolver a TA, pautou-se nessas ideias centrais, e também no postulado de que o homem, enquanto ser social, se desenvolve através das relações materiais com o meio. Para ele, a relação homem/mundo é construída historicamente e mediada por instrumentos (OLIVEIRA, 1997).
Ainda, segundo Oliveira (1997), Leontiev considera as atividades humanas como “[...] formas de relação do homem com o mundo, dirigidas por motivos, por fins a serem alcançados [...]”
(OLIVEIRA, 1997, p. 96). Diferente dos outros animais, que também interagem com o mundo,
“[...] o homem orienta-se por objetivos, agindo de forma intencional, por meio de ações planejadas” (OLIVEIRA, 1997, p. 96).
A atividade (em um de seus níveis) é realizada individualmente e “[...] ocorre num sistema de relações sociais e de vida social, onde o trabalho ocupa lugar central [...]” (OLIVEIRA, 1997, p. 97). Leontiev estrutura a atividade humana em três níveis diferentes de funcionamento: a atividade propriamente dita; as ações; e as operações. A atividade propriamente dita tem caráter coletivo e cooperativo, além disso, envolve um grupo e seu objetivo, enquanto a ação acontece no âmbito individual, cada membro do grupo tem uma meta – na qual comparamos, por exemplo, os objetivos específicos de uma pesquisa.
Sistematicamente, atividade e ação fazem parte de um mesmo processo e estão “intimamente”
relacionadas, de forma que “O resultado da atividade como um todo, que satisfaz à necessidade do grupo, também leva à satisfação das necessidades de cada indivíduo, mesmo que cada um tenha se dedicado apenas a uma parte específica da tarefa em questão” (OLIVEIRA, 1997, p.
98).
Para Leontiev, de acordo com Oliveira (1997), a atividade humana é desempenhada por um conjunto de ações, que podem ser realizadas de formas variadas, conforme as condições ambientais. Trata-se do aspecto prático da realização das ações, que corresponde ao nível das operações: “A ação individual em si é insuficiente como unidade de análise: sem inclusão num sistema coletivo de atividade, a ação fica destituída de significado” (OLIVEIRA, 1997, p. 98).
Nesse sentido, em nossa pesquisa, que se desenvolverá em um ambiente coletivo, tomamos como unidade de análise a atividade humana entendida como:
[...] resultado do desenvolvimento sócio-histórico, é internalizada pelo indivíduo e vai constituir sua consciência, seus modos de agir e sua forma de perceber o mundo real, a compreensão do contexto cultural na qual ela ocorre é essencial para a compreensão dos processos psicológicos (OLIVEIRA, 1997, p. 98).
