3 APORTE TEÓRICO E REVISÃO DE LITERATURA
3.1 APORTE TEÓRICO
3.1.4 Recursividade
3.1.4.1 Ideias e noções sobre o assunto
O sexto princípio – o do dispositivo tático – consiste em desenvolver a produção de conflitos, incertezas e confrontos que propiciem a construção de conhecimentos para se contrapor às verdades impostas pela produção de conhecimentos que minimizam, ocultam ou mascaram os problemas típicos das questões socioambientais existentes.
O sétimo princípio – o da liberdade enquanto fim – como expressão genuína da criatividade e de espontaneidade dos indivíduos no processo de aprendizagem dos conhecimentos tem grande relevância em uma PEI (CHAVES, 2005, p. 127-130).
A elaboração de uma PEI envolve algumas etapas, como a identificação do problema e definição de estratégias de intervenção, no entanto há um propósito comum a todas elas. Sobre isso, Chaves (2004, p. 182) explica que:
Em todas as etapas da PEI, o estímulo, a excitação para o aluno, reside em confrontar verdades e valores estratificados que são insuficientes para prosseguir nesta dinâmica.
Para cada certeza estratificada, cabe ao professor gerar uma incerteza, uma dúvida. A partir da incerteza instaurada ou do “erro” cometido, estimula-se o aluno a novas descobertas que possam produzir novas verdades e valores (destaque do autor).
Diante do exposto, percebemos um paradoxo interessante sobre a ideia do erro: na matemática tradicional, utilitarista e racional, o erro está vinculado ao resultado, enquanto que, para Chaves (2004), no que diz respeito às PEI, um “erro” pode vir a se constituir como um ponto de partida, em um processo de estranhamento, que pode levar a um descentramento, com vistas à produção de novos significados; isto é, é o ponto de partida para um processo comunicativo que propicia a investigação, a colaboração e a dialogicidade. No desenvolvimento de uma PEI o processo é a prioridade, pois nele o aluno produz conhecimento, participa, tem vontade de aprender, intervir e mudar sua realidade (CHAVES, 2004).
Como já mencionamos no “Problema da pesquisa” (tópico 2.2), entendemos recursividade como estratégia(s) ou técnica(s) em que se recorre a um ou mais termos da sequência para determinar os demais. Chegamos a esse entendimento a partir de ideias relacionadas à recursividade. Tais ideias – sequências, sequências recursivas, regra, termo geral, generalização etc. – serão discutidas a seguir.
Em nossas leituras, observamos que há uma frequente relação entre os termos recursividade e sequência. Isso acontece porque a representação na forma de sequência é adequada e amplamente usada nas propostas de ensino que envolvem a recursividade (LINS; GIMÉNEZ, 1997). Lima et al. (2004), uma coleção de livros voltada para o professor de matemática, explica que:
Muitas sequências são definidas recursivamente (isto é, por recorrência), ou seja, por intermédio de uma regra que permite calcular qualquer temo em função do(s) antecessor(es) imediato(s) (LIMA et al., p. 65).
Tomemos como exemplo a sequência: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ⋯ ). Relacionando os termos consecutivos 𝑎1 e 𝑎2 por meio de uma soma, obtemos 𝑎3. Usando esse mesmo procedimento, é possível obter os demais termos (𝑎2+ 𝑎3 = 𝑎4, 𝑎3+ 𝑎4 = 𝑎5 etc.). Logo, temos uma regra (𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛+1+ 𝑎𝑛) e estamos diante de uma sequência definida recursivamente.
Na sequência supracitada, conhecida como sequência de Fibonacci, para definir a regra (ou relação de recorrência ou de equação de recorrência) foi necessário: (i) tomar três termos consecutivos (1,1 e 2, por exemplo); (ii) agrupar parte dos termos (1 e 2); (iii) operar com esse grupo (somar 1 e 2) e comparar o resultado da operação com o último termo consecutivo (3);
(iv) tomar outros três termos consecutivos (𝑎𝑛, 𝑎𝑛+1 e 𝑎𝑛+2); (v) agrupar parte dos termos (𝑎𝑛 e 𝑎𝑛+1); (vi) operar com esse grupo (somar 𝑥𝑛 e 𝑥𝑛+1) e comparar o resultado da operação com o último termo consecutivo (𝑎𝑛+ 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+2). Assim, é possível observar que diferentes processos cognitivos são demandados: percepção, abstração, indução, inferência, generalização etc. Esses processos, segundo nosso referencial teórico, são essenciais ao ensino da aritmética, álgebra e geometria.
O texto Lima et al. (2004) explica que, além da regra, para que a sequência “[...] fique perfeitamente determinada é necessário também o conhecimento do(s) primeiro(s) termo(s)”
(LIMA et al., p. 65). Por exemplo, a equação de recorrência 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+ 2 se relaciona à sequência dos números ímpares positivos e a sequência dos pares positivos de razão dois. A
sequência dos números ímpares positivos é definida por 𝑎𝑛+1= 𝑎𝑛+ 2, desde que 𝑎1 = 1, 𝑛 ≥ 1 e 𝑛 ∈ ℕ, enquanto a sequência dos pares positivos de razão dois é definida por 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+ 2, desde que 𝑎1 = 2 e 𝑛 ∈ ℕ.
Além da descrição a partir da regra que permite calcular qualquer termo em função do(s) antecessor(es) imediato(s), a sequência recursiva pode ser descrita a partir de um modelo matemático que possibilita determinar os seus termos de acordo com a posição que ocupam.
Essa última forma de descrição corresponde ao que os livros didáticos chamam de termo geral.
Por exemplo, a Sequência de Fibonacci pode ser descrita a partir do termo geral 𝑎𝑛 = 1
√5∙ (1+√5
2 )
𝑛+1
− 1
√5(1−√5
2 )
𝑛+1
, desde que 𝑛 ≥ 1 e 𝑛 ∈ ℤ (LIMA et al., 2004).
Ao examinamos as coleções de livros didáticos: “Buriti mais matemática” (TOLEDO et al., 2017a, 2017b, 2017c, 2017d, 2017e) (cf. Figura 11), “A conquista da matemática” (JÚNIOR;
CASTRUCCI, 2018a, 2018b, 2018c, 2018d) (cf. Figura 12) e “Contato matemática” (SOUZA;
GARCIA, 2016a, 2016b, 2016c) (cf. Figura 13) – as três coleções são utilizadas em sistemas públicos de ensino e disponibilizadas pelo Programa Nacional do Livro e do Material Didático (PNLD) – observamos que a descrição das sequências recursivas muda ao longo da Educação Básica.
No Ensino Fundamental I, as sequências são descritas a partir da regra utilizando uma linguagem não algébrica, por exemplo, a sequência começa com dez e cada termo subsequente é o anterior diminuído de dois. Entre o sexto ano e o sétimo ano do Ensino Fundamental II, com a introdução da linguagem algébrica, as sequências passam a ser descritas a partir da regra utilizando linguagem algébrica, por exemplo, 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1− 2 e 𝑎1 = 10 para 𝑛 > 1. Do sétimo ano em diante, prioriza-se a descrição por meio do termo geral, por exemplo, 𝑎𝑛 = 12 − 2 ∙ 𝑛 para 𝑛 > 0.
Geralmente, em situações de ensino envolvendo sequências numéricas, é usual que os alunos busquem o que é comum ao conjunto dos termos, com objetivo de produzir algum significado em relação aos termos desconhecidos. Essa prática caracteriza o processo de generalização que está relacionado a situações de ensino em que os alunos falam a respeito do que é comum a um conjunto de casos particulares, característica do método matemático indutivo. A generalização
requer mais do que o simples cálculo, requer um raciocínio chamado pelo texto de alto nível, que não é imediatista, envolve o estabelecimento de relações e processos não-algoritmos (LINS;
GIMÉNEZ, 1997).
No contexto da generalização, da busca por aquilo “que é comum”, há de se observar a lógica das operações e, consequentemente, as maneiras de operar a partir de ações e operações propostas. Segundo Lins e Giménez (1997) a lógica das operações diz respeito a “[...] um conjunto de estipulações, dentro de um núcleo, que se referem diretamente ao que pode ser feito com os objetos que estamos constituindo pela produção de significados” (LINS; GIMÉNEZ, 1997, p. 145). Por exemplo, na Sequência de Fibonacci a maneira de operar consiste em somar dois termos consecutivos de forma que e se obtenha o próximo termo, enquanto a lógica das operações reside no fato de cada termo ser obtido a partir de outros dois antecedentes.
Júnior e Castrucci (2018b), ao tratar do termo geral, apresenta a seguinte imagem (Figura 1):
Figura 1 – Definição do termo geral para a sequência (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...)
Fonte: Júnior e Castrucci (2018b, p. 133).
Selecionamos o esquema supracitado para exemplificar nosso entendimento acerca da recursividade.
Na coluna “Lei de formação” da Figura 1, os termos da sequência são reescritos a partir da seguinte maneira de operar: 𝑇6 = 16 ∙ 2, 𝑇5 = 8 ∙ 2, 𝑇4 = 4 ∙ 2, 𝑇3 = 2 ∙ 2 e 𝑇2 = 1 ∙ 2. Em seguida, são reescritos novamente a partir de termos anteriores – 𝑇6 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2, 𝑇5 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2, 𝑇4 = 2 ∙ 2 ∙ 2 – e são evidenciados por um esquema gráfico de seta. Por fim, o texto afirma: “Podemos perceber que cada termo pode ser escrito como uma potência de base 2, sendo: 𝑇1 = 21−1 = 20, 𝑇2 = 22−1 = 21, 𝑇3 = 23−1 = 22, 𝑇4 = 24−1 = 23, 𝑇5 = 25−1 = 24
[⋯ ] Logo, o termo geral é dado por: 𝑻𝒏 = 𝟐𝒏−𝟏 em que n é um número natural não nulo”
(JUNIOR; CASTRUCCI, 2018b, p. 133, destaque do autor).
Na Figura 1, com intuito de definir o termo geral da sequência, foram utilizadas estratégias ou técnicas de recursividade como: (i) reescrever o termo a partir da forma de operar; (ii) relacionar o termo aos termos anteriores; (iii) empregar um esquema gráfico para associar os termos.
Agora, tomemos como a sequência (3, 6, 12, 24, 48, ⋯ ), os demais termos, representados pelas reticências (⋯), podem ser obtidos a partir a partir da equação de recorrência 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛∙ 2, desde que 𝑎1 = 3, 𝑛 ≥ 1 e 𝑛 ∈ ℕ, ou a partir do termo geral utilizando a recursividade, proposta que apresentaremos a seguir, que não é para você – professor ou futuro professor de matemática que conhece potenciação –, é para você aos doze anos de idade, cursando o sétimo ano do Ensino Fundamental.
Utilizando a forma de operar “multiplicar o termo por dois de forma que se obtenha o seu sucessor”, podemos reescrever os termos em função do anterior. Dessa forma, obtemos:
𝑎1
𝑎2 = 𝑎1∙ 2
𝑎3 = 𝑎2∙ 2
𝑎4 = 𝑎3∙ 2
𝑎5 = 𝑎4∙ 2
O termo pode ser reescrito a partir de outro termo antecedente, diferente do antecessor imediato.
𝑎1
𝑎2 = 𝑎1∙2
𝑎3 = 𝑎2∙2 = 𝑎1∙2∙2 ∴ 𝑎3 = 𝑎1∙ 22
𝑎4 = 𝑎3∙2 =𝑎2∙2∙2 ∴ 𝑎4 = 𝑎2∙ 22
𝑎5 = 𝑎4∙2 =𝑎3∙2∙ 2 ∴ 𝑎5 = 𝑎3∙ 22
Logo, temos que:
𝑎1
𝑎2 = 𝑎1∙ 2
𝑎3 = 𝑎1∙ 22
𝑎4 = 𝑎2∙ 22
𝑎5 = 𝑎3∙ 22
Relacionando os termos 𝑎4 e 𝑎2 e os termos 𝑎5 e 𝑎3 obtemos:
𝑎1 → 𝑎1
𝑎2= 𝑎1∙ 2 → 𝑎2 = 𝑎1 ∙ 2
𝑎3 = 𝑎1∙ 22 → 𝑎3 = 𝑎1 ∙ 22
𝑎4 = 𝑎2∙ 22 = 𝑎1∙ 2 ∙ 22 ∴ 𝑎4 = 𝑎1 ∙ 23
𝑎5 = 𝑎3∙ 22 = 𝑎1∙ 22∙ 22 ∴ 𝑎5 = 𝑎1 ∙ 24
⋮
𝑎𝑛 = 𝑎1∙ 2𝑛−1 → 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙
Para definir o termo geral – o que possibilita determinar os demais termos da sequência –, foram adotadas algumas estratégias baseadas na relação entre os termos conhecidos da sequência, tais como: definir o que pode ser feito com um termo para determinar o seguinte;
reescrever o termo a partir do seu antecessor; reescrever o termo a partir de um termo antecedente diferente do antecessor imediato; e atribuir cores aos termos.
No contexto da educação, por vezes, a recursividade é “limitada” a como se deve operar com um termo para obter o seu sucessor, relaciona-se ao que livros didáticos chamam de “lei de formação” ou regularidade ou padrão. Com o exemplo supracitado, nossa intenção é mostrar que as estratégias de recursividade podem ser “exploradas” nos processos de generalização e de determinação do termo geral.
Ao apresentarmos considerações a respeito de recursividade e sequências, encontramos uma convergência com a ideia apresentada em Lins e Giménez (1997) de atividade algébrica, que consiste “[...] no processo de produção de significado para a álgebra [...]” (LINS; GIMÉNEZ,
1997, p.137), sendo essa “[...] um conjunto de afirmações para as quais é possível produzir significado em termos de números e operações aritméticas, possivelmente envolvendo igualdade ou desigualdade” (LINS; GIMÉNEZ, 1997, p. 137). A obra também destaca que a
“[...] atividade algébrica deve fazer parte do processo de organização de uma atividade (talvez matemática, talvez não)” (LINS; GIMÉNEZ, 1997, p. 157).
Ampliamos o nosso referencial teórico com Iezzi e Hazzan (1977), livro de matemática destinado ao estudante do Ensino Médio. O texto explica que “[...] interessam à matemática as sequências em que os termos se sucedem obedecendo a certa regra [...]” (IEZZI; HAZZAN, 1977, p. 9) e que a regra, ou relação entre os termos, pode ser obtida de três maneiras: (i) por fórmula de recorrência; (ii) pela expressão de cada termo em função de sua posição; (iii) por propriedade dos termos. Embora o assunto abordado pelo texto seja sequências, pensamos que ele possibilita tratar também o tema recursividade. Nesse sentido, vamos analisar essas três maneiras de se obter sequências matemáticas – (i), (ii) e (iii) – e investigar como esses processos e a recursividade se relacionam.
A respeito da regra ou determinação da relação entre os termos por fórmula de recorrência – item (i) supracitado – o texto em questão afirma, “[...] são dadas duas regras: uma para identificar o primeiro termo (𝑎1) e outra para calcular cada termo (𝑎𝑛) a partir do seu antecedente (𝑎𝑛 −1)” (IEZZI; HAZZAN, 1977, p. 9). A tal respeito, essa obra apresenta os seguintes exemplos:
1°) Escrever a sequência finita f cujos termos obedecem a seguinte fórmula de recorrência: 𝑎1 =2 e 𝑎𝑛= 𝑎𝑛−1+3, ∀ 𝑛 ∈ {2,3,4,5,6}.
𝑛 =2 ⇒ 𝑎2= 𝑎1+3=2+3=5 𝑛 =3 ⇒ 𝑎3= 𝑎2+3=5+3=8 𝑛 =4 ⇒ 𝑎4= 𝑎3+3=8+3=11 𝑛 =5 ⇒ 𝑎5= 𝑎4+3=11+3=14 𝑛 =6 ⇒ 𝑎6= 𝑎5+3=14+3=17
então 𝑓 = (5,8,11,14,17) [...] (IEZZI; HAZZAN, 1977, p. 10).
No exemplo supracitado – Escrever a sequência finita f cujos termos obedecem a seguinte fórmula de recorrência: 𝑎1 = 2 e 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1+3, ∀ 𝑛 ∈ {2,3,4,5,6} – é possível efetuar a seguinte leitura, considerando algumas ideias centrais do MCS: (i) o núcleo é a sequência constituída a partir dessa lei de formação (𝑎𝑛−1+3, sendo 𝑎1 =2); (ii) os objetos são um termo e seu anterior; (iii) a lógica das operações, que corresponde ao que pode ser feito com os objetos, consiste em adicionar mais três ao termo anterior de forma que se obtenha um termo. Nesse
sentido, ao produzir significado para a lógicas das operações, estabelecendo estratégias que relacionam os termos consecutivos da sequência, estamos aplicando a recursividade.
Iezzi e Hazzan (1977), acerca da regra ou determinação da relação entre os termos pela expressão de cada termo em função de sua posição – item (ii) supracitado – exemplifica:
É dada uma fórmula que expressa 𝑎𝑛 em função de n.
Exemplos:
1) Escrever a sequência finita f cujos termos obedecem à lei 𝑎𝑛=2𝑛, n ∈ {1,2,3,4}.
Temos: 𝑎1 =21=2, 𝑎2=22=4, 𝑎3=23=8 e 𝑎4 =24=16 então 𝑓 = (2,4,8,16) [...] (IEZZI; HAZZAN, 1977, p. 10).
Analisando a citação supracitada, é possível notar que a equação do termo geral para a sequência finita “f ” não estabelece relação entre os termos consecutivos da sequência – um termo da sequência (𝑎𝑛) não é determinado a partir do anterior (𝑎𝑛 − 1) –, mas sim entre o respectivo termo e sua ordem, o n-ésimo termo é uma potência de dois, na qual o expoente é a ordem:
𝑎1 = 2 = 21, 𝑎2 = 4 = 22, 𝑎3 = 8 = 23 e 𝑎4 = 16 = 24.
Nesse último caso especificamente, para produzirmos significado ao termo encontrado na sequência, é necessário trazermos uma outra relação: a de ordem. Se no primeiro caso a lógica das operações está em acrescentar 3 unidades aos termos antecedentes, aqui, a lógica das operações está em relacionar cada termo com a sua ordem a partir da ideia de que: 𝑎𝑛 = 2𝑛. No exemplo supracitado (IEZZI; HAZZAN, 1977, p. 10), se olharmos para apenas os dois primeiros termos (2 e 4), a forma de operar pode estar em multiplicar o termo antecedente por 2 (4 = 2 × 2) ou adicionar 2 ao antecedente (4 = 2 + 2). Porém, se também olharmos para o segundo e terceiro termos (4 e 8), observaremos que a forma de operar é multiplicar o termo antecedente por 2 (8 = 4 × 2), pois a forma de operar adicionar 2 ao antecedente (8 ≠ 4 + 2) não produz significados legítimos. Comparando a (i) forma de operar que relaciona o termo à sua ordem e (ii)a forma de operar multiplicando o termo antecedente por 2, (cf. Tabela 1) temos que:
Tabela 1 – Comparação entre as formas de operar
Ordem (i) Relacionar cada termo com a sua ordem (ii) Adicionar 2 ao termo antecedente
𝑛 = 1 𝑎1 = 21 = 2 𝑎1 = 2
𝑛 = 2 𝑎2 = 22 = 4 𝑎2 = 𝑎1 × 2 = 2 × 2 = 22= 4 𝑛 = 3 𝑎3 = 23 = 8 𝑎3 = 𝑎2 × 2 = 22 × 2 = 23 = 8 𝑛 = 4 𝑎4 = 24 = 16 𝑎4 = 𝑎3 × 2 = 23 × 2 = 24 = 16
⋯ ⋯ ⋯
𝑛 = 𝑛 𝑎𝑛 = 2𝑛 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1× 2 = 2𝑛
Fonte: Desenvolvida pelos autores (2021).
Notamos que é possível determinar o termo geral de uma sequência, cuja lógica das operações está em relacionar o termo à sua ordem, de outra forma: a partir de uma lógica das operações que relaciona o termo e seu anterior, como no item (i) supracitado – por fórmula de recorrência.
Na imagem a seguir (Figura 2), a terceira coluna – “ TOTAL 𝑓4(𝑛)” – corresponde aos termos da sequência dos números figurados quadrados, discorreremos acerca dela mais adiante.
Figura 2 – Sequência dos números figurados quadrados
Fonte: Dutra (2020, p. 98).
Relacionando os números destacados na segunda coluna e a ordem, podemos inferir que a forma de operar para “Quantidade de tampinhas por gnômon” – coluna 2 – é duas vezes a ordem do termo menos uma unidade [2 ∙ 𝑛 − 1]. Na coluna 2, é possível observar que a quantidade de gnômon é representada por números de cores diferentes que se repetem de um nível para o seguinte formando uma progressão aritmética de ordem 2, cuja soma dos termos pode ser obtida utilizando a Soma Gaussiana ou a equação da soma dos termos de uma progressão:
[ 𝑆𝑛 = (𝑎1+𝑎𝑛)∙𝑛
2 ]. Logo, podemos inferir que lógica das operações para quantidade total é somar os termos de uma Progressão Aritmética (PA). Dessa forma, no nível 𝑛 temos que
𝑓4(𝑛) =[1+(2∙𝑛−1)]∙𝑛 2 =2∙𝑛2
2 = 𝑛2.
Comparando os dados da coluna 1 e coluna 3 notamos que a quantidade total pode ser obtida ao elevar a ordem ao quadrado. Assim no nível 𝑛 temos que 𝑓4(𝑛) = 𝑛2.
Por fim, Iezzi e Hazzan (1977), quanto à regra ou determinação da relação entre os termos por propriedade dos termos – item (iii) supracitado –, exemplifica que:
É dada uma propriedade que os termos da sequência devem apresentar.
Exemplos:
[...]
2) Escrever os cinco primeiros termos iniciais da sequência infinita 𝑔 formada pelos números primos positivos colocados em ordem crescente. Temos 𝑔 = {2,3,5,7,11, . . . }. [...] (IEZZI; HAZZAN, p. 11).
Analisando o exemplo supracitado, notamos que a lógica das operações está em escrever os cinco primeiros números naturais (inteiros positivos) que sejam primos, nesse caso, não há uma relação algébrica ou aritmética entre os termos da sequência de forma que a partir do termo anterior determinemos o sucessor, portanto, trata-se de uma sequência não recursiva.
Em “A conquista da matemática – Volume 7”, Júnior e Castrucci (2018b), livro destinado ao sétimo ano do Ensino Fundamental, o seguinte texto é apresentado:
[..] Observe essas sequências:
I) 3; 0,5; -1; 4
II) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...
III) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
[...] (JÚNIOR; CASTRUCCI, 2018b, p. 132).
Posteriormente, o texto em voga explica que sequências como II e III são chamadas de sequências recursivas, enquanto sequências como I são chamadas de sequências não recursivas.
Júnior e Castrucci (2018b) observa que “Uma sequência é recursiva quando cada termo depende do termo anterior ou de termos anteriores (conhecido o termo inicial)” (JÚNIOR;
CASTRUCCI, 2018b, p. 132). Como podemos notar, há convergência entre o texto em questão, Lima et al. (2004) e Iezzi e Hazzan (1977) no que diz respeito à recursividade estar vinculada à relação entre os termos consecutivos da sequência.
Ao comparar os textos Iezzi e Hazzan (1977) e Júnior e Castrucci (2018b), notamos que as sequências definidas por fórmula de recorrência se relacionam às sequências do tipo III, e que as sequências definidas pela expressão de cada termo em função de sua posição se relacionam às sequências do tipo II.
Algumas sequências tratadas no Ensino Médio, como a PA e a Progressão Geométrica (PG), configuram-se como oportunidades para tratar o tema recursividade. De acordo com Iezzi e Hazzan (1977), uma PA é dada pela seguinte fórmula de recorrência: 𝑎1 = 𝑎, 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛 − 1+ 𝑟,
∀ 𝑛 ∈ 𝑁 e 𝑛 ≥ 2, onde 𝑎 e 𝑟 são números reais dados, “[...] uma PA é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior como uma constante 𝑟 dada” (IEZZI;
HAZZAN, 1977, p. 12), e uma PG é dada pela seguinte fórmula de recorrência: 𝑎1 = 𝑎, 𝑎𝑛 = 𝑎 𝑛 − 1⋅ 𝑞, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁 e 𝑛 ≥ 2, onde 𝑎 e 𝑞 (não nulo) são números reais dados, “[...] uma PG é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior por uma constante 𝑞 dada” (Ibid, p. 25).
Lima et al. (2004) afirma que “[...] uma das importantes aplicações de progressões geométricas é a Matemática Financeira” (IEZZI; HAZZAN, 1977, p. 44). O texto em questão apresenta o seguinte teorema sobre juros compostos: “No regime de juros compostos de taxa 𝑖, um principal 𝐶0 transforma-se, depois de 𝑛 períodos de tempo, em um montante 𝐶𝑛 = 𝐶0⋅ (1+ 𝑖)𝑛” (IEZZI;
HAZZAN, 1977, p. 45). Em nosso produto educacional: Uma proposta para o desenvolvimento de cursos ou práticas a respeito do tema recursividade matemática no âmbito da formação de professores, apresentamos – no tópico 7.2 – uma prática educativa cuja proposta é o desenvolvimento de um modelo para determinação do montante utilizando técnicas de recursividade.
Outra possibilidade de tratar a recursividade na Educação Básica é em conjunto com a Análise Combinatória. Lima et al. (2004) defende essa abordagem da seguinte forma:
Problema das permutações simples
De quantos modos podemos ordenar em fila 𝑛 objetos distintos?
A escolha do objeto que ocupará o primeiro lugar pode ser feita de n modos; a escolha do objeto que ocupará o segundo lugar pode ser feita de (𝑛 − 1) modos; a escolha do objeto que ocupará o terceiro lugar pode ser feita de (𝑛 − 2) modos, etc...; a escolha do objeto que ocupará o último lugar pode ser feita de 1 modo. A resposta é 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1) ⋅ (𝑛 − 2) ⋅. . .⋅ 1 = 𝑛 !.
[...]
Portanto, o número de permutações simples de n objetos distintos, ou seja, o número de ordens em que podemos colocar 𝑛 objetos distintos é 𝑃𝑛= 𝑛 !. (LIMA et al., p. 94, ipsis litteris, destaques dos autores).
A relação entre os assuntos permutação e recursividade pode ser assim explicada, como sendo o número de objetos disponível para ser alocado em uma dada posição na fila depende das posições anteriores – cada posição ocupada implica em menos objetos disponíveis para as posições posteriores. Nesse sentido, recorre-se aos termos dados da sequência para determinar os demais.
O termo recursividade não se limita à matemática e às pesquisas em Educação Matemática, ele também é usado na ciência da computação. O texto Costa (2011), artigo publicado na revista
“História da ciência e do ensino: construindo interfaces”, explica que na programação de computadores a recursividade consiste em:
[...] uma técnica de programação de computadores na qual uma rotina (entenda-se um programa, ou parte dele) ao ser executada, chama novamente ela mesma, não necessariamente apenas uma vez; esta segunda chamada, também chamará uma terceira chamada que chamará a quarta, e assim por diante (COSTA, 2011, p. 2).
Quando um procedimento é executado e durante a atividade de processamento do computador esse mesmo procedimento é encontrado de novo, diz-se que tal procedimento é recursivo; isto é, segundo Costa (2011, p. 2), “[...] recursão é o ato de um procedimento chamar a si mesmo”.
Um exemplo que ilustra a recursividade no contexto da programação é o seguinte: “2 espelhos colocados um na frente do outro: as infinitas imagens refletidas mostram essa mesma ideia: a repetição sucessiva de um processo que se refere a si mesmo” (COSTA, 2011, p. 2).