4 METODOLOGIA
4.4 PRODUÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS
4.4.2 Leituras globais e locais dos significados produzidos pelos atores da pesquisa
4.4.2.1 Encontro 5
que o foco é destinado ao dado. Isso porque, silenciar o dado não é algo absoluto ou excludente, mas parcial, pois “[...] ao longo da justificação, a fala vai deixando os traços do que é dado para o sujeito naquele momento. E estes traços são de suma importância para o nosso entendimento da maneira de operar desse sujeito” (SILVA, 2003, p. 57).
Ou seja, esse trânsito entre o dado e o novo, como supracitado, coaduna com a forma de operar de Agnes que estabelece um elo de ligação entre cada um dos modos de produção de significado, isso porque, tais atividades – algébrica e aritmética – na perspectiva davydoviana ocorrem juntas, mas em planos diferentes.
Na sequência, propusemos a PEI a respeito dos Números figurados piramidais triangulares (Figura 38). Inicialmente, pedimos aos participantes que construíssem número piramidal triangular (ou tetraédrico) de ordem 4, utilizando jujubas e palitos de dente (Figura 68). Vale ressaltar que, no encontro anterior, solicitamos que os atores providenciassem esse material para construção do sólido em questão (Figura 69) e que seguissem alguns passos preliminares (Figura 70).
Figura 68 – Construção do número tetraédrico de ordem 4
Fonte: Desenvolvido pela autora (2022).
Figura 69 – Materiais usados para confecção de números tetraédricos
Fonte: Desenvolvido pela autora (2022).
Materiais necessários para o próximo encontro:
500g de jujuba;
Palitos de dentes.
Figura 70 – Passos preliminares para confecção de números tetraédricos
Fonte: Desenvolvido pela autora (2022).
O ator Sofia, por ser diabético, optou por usar massinha de modelar (Figura 71) ao invés de jujuba, pois alegou que ficaria com vontade de consumir as jujubas. Isso aliás foi geral, pois vários atores consumiram o objeto jujuba antes mesmo da prática.
Figura 71 – Construção de números tetraédricos com massinha de modelar
Fonte: Desenvolvido pela autora (2022).
O destaque que demos em itálico para o vocábulo objeto foi para nos referirmos à ideia apresentada no MCS, que considera objeto como “[...] aquilo para que se produz significado [...] é na produção de significados que se constituem objetos [...]” (LINS, 2012, p. 28).
Tutorial
Quarto número figurado piramidal de base triangular regular
Peneirar as jujubas para tirar o excesso de açúcar;
Separar as jujubas por cor;
Fotografar cada pirâmide formada (nível por nível) .
Contudo, alguns atores usaram outros materiais no lugar das jujubas e dos palitos. Tuba, por exemplo, optou por usar hastes e esferas imantadas (Figura 72).
Figura 72 – Hastes e esferas imantadas na construção de números tetraédricos
Fonte: Desenvolvido pela autora (2022).
Já o ator Ole optou por construir no GeoGebra 3D (Figura 73), usando o recurso de rotacionar a imagem.
Figura 73 – Uso do GeoGebra 3D na construção de números tetraédricos
Fonte: Desenvolvido pela autora (2022).
Independentemente do recurso ou material utilizado, pensamos, à luz do MCS, que os atores produziram significado para a confecção do número tetraédrico de ordem 4, que foi constituído como objeto e, assim, podemos afirmar que produziram significados pois, além de confeccionarem os objetos, os mesmos falaram a respeito desses objetos: “Produzir significado
é, então, falar a respeito de um objeto” (LINS; GIMÉNEZ, 1997, p. 146) e “[...] é na produção de significados que se constituem objetos [...]” (LINS, 2012, p. 28).
Entendemos que ao validar o uso de materiais alternativos pelos atores, fomentamos a criatividade e iniciativa própria dos atores, aspectos relevantes da PEI que se relacionam ao princípio da liberdade enquanto fim, “[...] expressão genuína da criatividade e de espontaneidade dos indivíduos no processo de aprendizagem dos conhecimentos tem grande relevância em uma PEI” (CHAVES, 2005, p. 127-130).
Antes de passarmos à apresentação dos resíduos de enunciação vale apresentarmos os atores envolvidos no processo.
Roy, é professor recém-formado pelo Ifes, campus Vitória, desenvolveu seu trabalho de conclusão de curso com atividade algébrica, tendo o MCS como referencial e é membro do Gepemem. Atualmente, leciona em escola pública de educação básica do sul do estado.
Joy, é estudante da Limat do Ifes campus Vitória, aluno do 8º período e membro do Gepemem.
Magnus, é professor, mestre em Educação em Ciências e Matemática pelo Ifes e pesquisador do Gepemem. Atualmente é doutorando pelo Educimat do Ifes e leciona na rede municipal do município de Serra/ES.
Tuba, é professor titular do Ifes campus Vitória, leciona há 41 (quarenta e um) anos, sendo que atuou por 25 (vinte e cinco) anos na Educação Básica; é pós-doutor em Educação Matemática e Ensino de Física pela UFSM, foi orientado pelo Prof. Dr. Romulo Campos Lins, atualmente é pesquisador e líder do Grupo Gepemem.
Ole, é aluno de Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal de Alfenas e tem afinidade com temas relacionados à inclusão social e à estatística aplicada. Sua proximidade com o Gepemem se deve pelo fato de sua orientadora ser membro da Rede Sigma-t, assim como diversos membros do Gepemem. A rede Sigma-t agrega ex-orientandos do Prof. Romulo Campos Lins, elaborador do MCS, bem como orientandos desses ex-orientandos.
Sofia é professora nas séries iniciais do Ensino Fundamental, formada em Pedagogia pela Ufes e egressa da Limat campus Vitória. Atualmente leciona na rede municipal de ensino de Vitória e é membro do Gepemem.
[RE5.54] – Roy: Alguém me dá uma luz, é assim mesmo? Ou tá faltando um aqui?
[RE5.55] – Joy: Eu acho que é. Só falta palitinho aí, eu acho.
[RE5.56] – Roy: Não, eu acho que... Sei lá!
[RE5.57] – Tuba: Coloca de novo Roy na frente [da webcam]
[...]
[RE5.61] – Roy: Vê se é? Calma aí.
[RE5.62] – Tuba: Isso! Agora falta você ligar com os palitos as jujubas dessa base, nesse nível que você está formando. Depois liga as jujubas desse nível com as do nível anterior.
[RE5.63] – Magnus: Para dar mais firmeza, neh?! Na estrutura.
[RE5.64] – Roy: Eu sou um péssimo engenheiro [risos].
[...]
[RE5.101] – Roy: Gente, resolvi mudar minha estratégia porque estava ficando difícil!
[...]
[RE5.103] – Roy: Porque o meu estava caindo.
[...]
[RE5.108] – Roy: [inicia a construção das camadas, agora utilizando a ideia de número triangular plano].
[...]
[RE5.174] – Roy: Gente, confirma para mim: as bases são 3, 6 e 10? [referindo-se aos gnômons que são os números triangulares dos respectivos níveis – seções transversais].
[RE5.175] – Agnes: Isso!
[...]
[RE5.177] – Agnes: É isso mesmo, Roy. Dez, seis, três, um.
[RE5.178] – Magnus: É só seguir a ordem dos números triangulares planos.
[RE5.179] – Roy: ... Eu fiz essa aqui, fiz essa, depois essa aqui que uma jujuba quebrou e vou ter que trocar ...
[mostrando as bases cf. imagem antecedente].
Se observarmos apenas as falas iniciais do ator Roy ([RE5.54], [RE5.55] e [RE5.56]), em um processo de leitura pela falta, podemos inferir que o mesmo constituiu como objeto não um número tetraédrico, mas uma pirâmide, ou seja, ele operava em um campo semântico geométrico, cujo objeto era uma pirâmide de base triangular. Mas a partir do processo interativo e dialógico com Joy ([RE5.55]) e [RE5.177]), Agnes ([RE5.175] e [RE5.177]), Tuba (([RE5.57] e [RE5.62]) e Magnus ([RE5.63] e [RE5.178]), o ator Roy passou a operar em um campo semântico numérico e a produzir significado para números tetraédrico e triangulares ([RE5.174]).
Também em relação aos resíduos de enunciação supracitados, vale destacar que as respectivas imagens (textos imagéticos) que trouxemos, à luz do MCS, constituem-se como resíduos de enunciação, pois resíduo de enunciação é “Algo com que me deparo e que acredito ter sido dito por alguém. Dizemos resíduo, e não detrito. O resíduo é o que resta de um processo. Um resíduo de enunciação não é nem menos, nem mais importante que uma enunciação: ele é de outra ordem.” (LINS, 2012, p. 27, destaques do autor).
Sons, rabiscos de todo tipo, arranjos de coisas, gestos, imagens, construções. Mas também a borra de café ou chá no fundo da xícara, o resultado do lançamento de moedas ou varetas, a disposição dos planetas no céu, o fato de este carro ter a placa de uma cidade da qual nunca ouvi falar, a tempestade que devastou a casa de uma pessoa poucos dias depois de ela ter abandonado a religião que professava, e assim por diante [...] A presença do resíduo de enunciação sinaliza a presença da demanda de produção de significado, e vice-versa. Em geral não vale a pena distinguir “texto”
e “resíduo de enunciação”. Vale, sim, a pena, neste caso em que nos referimos à demanda de produção de significado (LINS, 2012, p. 27, destaques do autor).
Dessa forma, em uma prática remota (transmissão por audiovisual), no desenvolvimento das tarefas propostas, as imagens por vídeo (on-line) também evidenciam um processo de análise de produção de significado, constituindo-se como textos, portanto, como resíduos de enunciação e, a partir da valorização da dialogicidade, é possível identificarmos a forma de operar bem como a lógica das operações desenvolvidas pelos atores, analisando os objetos constituídos, suas legitimidades, os significados e conhecimentos produzidos.
No episódio em questão ([RE5.54] a [RE5.179]), os resíduos de enunciação relativos ao ator Magnus nos chamaram a atenção. Geralmente, esse ator se manifesta pouco nas reuniões do Gepemem e nas atividades de pesquisa e extensão do grupo. No entanto, nesse encontro, houve um envolvimento do ator Magnus com as questões matemáticas suscitadas ao longo da PEI.
Pensamos que a participação do ator no curso contribui com a sua confiança matemática, aspecto da formação sólida em matemática do professor de matemática que é destacado na formação de professores na perspectiva do MCS (VIOLA DOS SANTOS; LINS, 2016a).
Ainda em relação ao 5º encontro, após a obtenção do termo geral [𝑆33(𝑛)] (CHAVES;
ANDRADE; DUTRA, 2021), quando expressávamos um número tetraédrico como soma de gnômons, ou seja, de número triangulares que formam as seções transversais [𝑓3(𝑛) =𝑛∙(𝑛+1)2 ], lançamos o seguinte desafio18: Será que também há um padrão para as arestas (as hastes de palitos ou imantadas)? Se há, que padrão é esse? É possível obtermos um termo geral para a quantidade de arestas (as hastes de palitos ou imantadas)? ([RE5.194]).
Diante de tal questionamento, muita discussão foi gerada e pode ser vista com detalhes em Chaves, Marques e Andrade (2022), porém, destacamos para uma leitura mais refinada os resíduos de enunciação advindos das falas do ator Emília, professora formada pela UFSM e mestre em Educação Matemática pela mesma instituição, leciona na rede estadual de ensino no Rio Grande do Sul e pesquisa sobre a álgebra na formação de professores de matemática.
Além de Emília e Agnes, participou desse episódio o ator Sexto ano, professor recém-formado pelo Ifes campus Vitória, mestrando pelo Educimat do Ifes e membro do Gepemem desde 2017.
Atualmente leciona na rede pública de ensino do município de Cariacica/ES.
[RE5.168] – Agnes: Emília, quantos palitinhos você usou?
[...]
[RE5.170] – Emília: Deixa eu contar! Eu não contei.
[RE5.171] – Agnes: Eu vou contar o um também [...] [inicia a contagem].
[RE5.172] – Emília: O ruim deu ir fazendo tudo meio junto foi que não deu para ver bem as bases e daí não...
[RE5.173] – Agnes: Vamos contar só as em pé, depois a gente conta as deitadinhas [combina com Sexto ano, que está construindo o sólido com ela] [reinicia a contagem].
[RE5.180] – Emília: [segue contando os palitinhos]
[RE5.181] – Agnes: Emília, o meu deu 56, 57, por aí.
[...]
[RE5.184] – Sexto ano: [inicia uma nova contagem de palitos em busca de uma regularidade que explique a quantidade obtida: 56/57 palitinhos].
[...]
[RE5.187] – Emília: Contei de novo, 57. Usei a estratégia para contar: contando os triângulos de cada base e depois eu percebi que da quarta [base] para a terceira [base]... para cada jujuba da terceira sai três palitos.
[...]
[RE5.189] – Agnes: A gente também encontrou 57. Mas a gente... [interrompida]
[...]
18 Tal desafio foi publicado na forma de artigo. Para maiores detalhes, pesquisar Chaves, Marques e Andrade (2022).
[RE5.194] – Tuba: Vocês observaram que dá para brincar de regularidade, recursividade, com os palitos? Não só apenas com as jujubas. Hoje na atividade o nosso foco é a jujuba, mas podemos pensar também em uma padronização em relação ao número de palitos.
[RE5.195] – Sexto ano: Palito é mais difícil [comenta com Agnes].
[...]
[RE5.202] – Agnes: E não usei estratégia nenhuma. Eu contei os palitos horizontais e os que estavam inclinados.
Só isso [risos]
[RE5.203] – Emília: A primeira vez eu também fiz isso, mas como deu número diferente eu usei estratégia.
[...]
[RE5.208] – Tuba: E aí as dificuldades que vocês encontraram fez com que vocês estabelecessem estratégias para contagem, para o processo de contagem.
[...]
[RE5.219] – Sexto ano: Você contou 57? [conversa com Agnes enquanto Tuba fala ao grupo]
[RE5.220] – Agnes: 57.
[...]
[RE5.234] – Sexto ano: Na minha conta deu 60. Porque eu estou contando por cada pirâmide. Eu consigo dessa pirâmide grande formar dez piramidezinhas pequenas de ordem dois. E cada pirâmide de ordem dois tem seis palitinhos.
[...]
Observemos que o ator Emília ao enunciar “O ruim de eu ir fazendo tudo meio junto foi que não deu para ver bem as bases [...]” ([RE5.172]) efetuava a sua contagem aleatoriamente, porém, a intervenção de Agnes ([RE5.173]) caracteriza-se como uma proposta de estabelecer uma forma de operar, cuja lógica está em observar que há faces – que ela denominou de “as em pé” – e seções transversais – que designou por “deitadinhas”. Se bem observarmos, Agnes operava em um campo semântico aritmético ao efetuar a contagem, mas também em um campo semântico geométrico, constituindo os objetos em faces e seções transversais.
Não podemos dizer que Emília ([RE5.172]) não produzira significado geométrico para a construção, até porque a mesma constitui bases como objeto. Qualquer tentativa nesse sentido seria especulativa, uma leitura pela falta, pois no MCS “Significado de um objeto é aquilo que efetivamente se diz a respeito de um objeto, no interior de uma atividade. Objeto é aquilo para que se produz significado” (LINS, 2012, p. 28, destaques do autor). Contudo, entendemos que sua dificuldade inicial na contagem ocorreu por não estabelecer uma estratégia que caracterizaria sua forma de operar e, a partir do momento que estabeleceu tal estratégia, estabelecendo um trânsito entre modos de produção de significado geométrico e aritmético, ela consegue estabelecer um número de hastes, como é possível observarmos em sua fala ([RE5.187]): “[...] Contei de novo, 57. Usei a estratégia para contar: contando os triângulos de
cada base e depois eu percebi que da quarta [base] para a terceira [base]... para cada jujuba da terceira sai três palitos [...]”.
Destacamos a importância de observar a forma de operar dos atores, para procurarmos entender de onde eles falam e porque falam – como é defendido no MCS – a fim de identificarmos não apenas suas justificações, mas também as legitimidades que sustentam suas crenças-afirmações.
Isso é possível observarmos nas falas dos atores Agnes ([RE5.202]), Emília ([RE5.203]) e Tuba ([RE5.208]). O ator Agnes, mesmo afirmando que não estabelecerá uma estratégia, mostra que assim o fez ao enunciar sua forma de operar: “E não usei estratégia nenhuma. Eu contei os palitos horizontais e os que estavam inclinados. Só isso [...]” ([RE5.202]).
Entendemos que nos processos de aprendizagem, mudar a forma de operar, elencando novas estratégias – “E aí as dificuldades que vocês encontraram fez com que vocês estabelecessem estratégias para contagem, para o processo de contagem” (Tuba – [RE5.208]) –, não implica necessariamente em constituir novas legitimidades, mas sim constituir novos objetos que poderão ou não fazer parte daquele núcleo, “[...] constituído por estipulações locais, que são, localmente, verdades absolutas, que não requerem, localmente, justificação” (LINS, 2012, p. 26, destaques do autor), isso porque “Um campo semântico indica um modo legítimo de produção de significado. Legítimo porque está acontecendo” (LINS, 2012, p. 18).
Assim, essa tentativa de mudança ocorre com o propósito de não se fixar em um determinado obstáculo epistemológico – “Alguns autores discutem o processo de aprendizagem em termos de obstáculos epistemológicos, que estão caracterizados pela necessidade de reorganização do conhecimento do sujeito” (LINS, 1993, p. 87, destaques do autor) –; todavia, Lins (1993) evidencia que “Um modelo como é o modelo dos Campos Semânticos torna evidente que além de obstáculos epistemológicos devemos e podemos considerar a questão dos limites epistemológicos” (LINS, 1993, p. 87, destaques do autor), referindo-se à “[...] impossibilidade do sujeito produzir significados para o resíduo de uma enunciação numa certa direção devido à sua maneira de operar” (SILVA, 2012, p. 88).
No episódio que envolve os resíduos de enunciação [RE5.168] a [RE5.234], observamos que o ator Sexto ano propõe uma nova forma de operar, pois enquanto Agnes e Emília analisam separadamente superfícies (faces e seções transversais), Sexto ano passa a operar a partir de um objeto que designou como unidade de medida “piramidezinha”, que é um número tetraédrico de segunda ordem, como podemos observar no canto inferior direito da figura 12 antecedente.
A divergência entre o número de hastes encontrado por Agnes e Emília – 57 (cinquenta e sete) – e o encontrado por Sexto ano – 60 (sessenta) – levou este ator a operar a partir modos de produção de significado envolvendo leitura e confecção de tabelas (modo de produção de significado geométrico), construção de protótipos (modos de produção de significado geométrico), com vistas a chegar em um modelo matemático para descrever o termo geral (modo de produção de significado algébrico) para o número de hastes. Um detalhamento das ações e operações que envolveram essa atividade, encontra-se no produto educacional.
Retomemos a seguinte dinâmica do encontro, quando diante da pergunta “Será que também há um padrão para as arestas (as hastes de palitos ou imantadas)? Se há, que padrão é esse? É possível obtermos um termo geral para a quantidade de arestas (as hastes de palitos ou imantadas)? ([RE5.194]) os atores Agnes, Emília e Sexto ano, a partir da contagem, buscaram produzir significados aritméticos para hastes de palito (ou hastes imantadas), mas a grande quantidade de hastes e disposição das mesmas na construção (cf. Figura 71) dificultou a contagem, que se tornou um problema. Baseados em ideias matemáticas como direções, faces e seções de um poliedro e sólidos geométricos, os atores estabeleceram critérios para procedimento de contagem das hastes.
A dinâmica supracitada, indica que a PEI desenvolvida segue o princípio da ordem natural,
“[...] (primeiro surge o problema e depois o instrumental para enfrentá-lo) – consiste em permitir que o conteúdo surja a partir da necessidade de se obter respostas para a situação que se está investigando” (CHAVES, 2005, p. 127-130, destaque do autor).