Abordagem nos documentos oficiais de ensino

1989). Cantor produziu conhecimentos revolucionários e foi perseguido por outros matemáticos e instituições sociais, “[...] Acessos de depressão às vezes o levaram a duvidar de sua própria obra [...] A tragédia de sua vida pessoal é mitigada pelo hino de elogios de um dos maiores matemáticos do século XX, David Hilbert [...]” (BOYER, 1974, p. 417). A respeito da trajetória de Cantor, Chaves (2004, p. 31) afirma que:

Cantor, cujos trabalhos levaram à construção da teoria dos números transfinitos, teve seu grande talento reconhecido pelos estudos matemáticos antes mesmo dos 15 anos de idade. Na época em que lançou sua teoria, foi duramente criticado e faleceu em uma clínica de loucos.

O matemático em questão elaborou o conjunto de Cantor, embasamento teórico à Geometria Fractal (GF). Sobre o trabalho de Cantor, Chaves (2000, p. 15) afirma:

Seu trabalho estabeleceu um novo campo da Matemática que serviu de base ao desenvolvimento de vários ramos da Matemática, inclusive a recente Geometria dos Fractais (1974), descoberta/construída por Benoit B. Mandelbrot e que vem sendo utilizada [...].

Tal geometria nos possibilita estudar a álgebra como proposto por Lins e Giménez (1997), associada à aritmética e à geometria, e colocar em ação a recursividade.

No início do século XX, os matemáticos Waclaw Sierpinski (1882-1969) e Niels von Koch (1870-1924) estudaram e descreveram algumas estruturas geométricas não-euclidianas que, na segunda metade do século XX, são identificadas e classificadas pelo matemático Benoit B.

Mandelbrot (1924-2010) como fractais. Mandelbrot propôs as definições para a GF que são atualmente aceitas (BARBOSA; 2002 apud SCANDIAN; 2016).

3.1.4.3.1 Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN)

Os PCN foram elaborados para nortear os currículos e seus conteúdos mínimos que constituem a formação básica comum, instituída pela Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei Federal n. 9.394), aprovada em 20 de dezembro de 1996 (BRASIL, 1996). Tendo em vista a integração curricular, os PCN “[...] apontam o que e como se pode trabalhar, desde as séries iniciais, para que se alcancem os objetivos pretendidos” (BRASIL, 1997a, p. 41). Os objetivos pretendidos correspondem aos objetivos educacionais que “[...] se definem em termos de capacidades de ordem cognitiva, física, afetiva, de relação interpessoal e inserção social, ética e estética, tendo em vista uma formação ampla” (BRASIL, 1997a, p. 47).

Os PCN definem objetivos educacionais para o Ensino Fundamental e para as áreas de ensino definidas (Língua Portuguesa, Matemática, Ciências Naturais, História, Geografia, Arte, Educação Física e Língua Estrangeira), de acordo com o ciclo de ensino, quatro ao todo: 1º Ciclo (1ª e 2ª série), 2º Ciclo (3ª e 4ª série), 3º Ciclo (5ª e 6ª série) e 4º Ciclo (7ª e 8ª série) (BRASIL, 1997a).

Os conteúdos mínimos, selecionados para o Ensino Fundamental, são detalhados por área de ensino conforme o ciclo, e apresentados em quatro blocos de conteúdos: Números e operações, Espaço e forma, Grandezas e medidas, e Tratamento da informação. Sobre os blocos de conteúdos e/ou organizações temáticas o documento afirma “[...] são agrupamentos que representam recortes internos à área e visam explicitar objetos de estudo essenciais à aprendizagem” (BRASIL, 1997b, p. 53).

No 1º Ciclo o assunto recursividade se vincula ao bloco de conteúdos Números e Sistema de Numeração Decimal, e é apresentado no seguinte conteúdo conceitual e procedimental:

“Identificação de regularidades na série numérica para nomear, ler e escrever números menos frequentes” (BRASIL, 1997b, p. 50). No 2º Ciclo, o assunto recursividade não é mencionado no documento.

Como observado no item 2.4.1.1 deste trabalho, a partir de nossas leituras com vista ao desenvolvimento desta pesquisa, notamos que há uma frequente relação entre os termos recursividade e sequência, e que essa relação é estabelecida porque a representação na forma

de sequência é adequada e amplamente usada nas propostas de ensino que envolvem a recursividade. Nos documentos oficiais de ensino essa relação também ocorre.

Para o 3º e 4º ciclos, Brasil (1998) propõe situações de aprendizagem que vão na direção proposta em Chaves (2004; 2005) e em Lins e Giménez (1997). Sobre as situações de aprendizagem mencionadas,

[...] precisam estar centradas na construção de significados, na elaboração de estratégias e na resolução de problemas, em que o aluno desenvolve processos importantes como intuição, analogia, indução e dedução, e não atividades voltadas para a memorização, desprovidas de compreensão ou de um trabalho que privilegie uma formalização precoce dos conceitos (BRASIL, 1998, p. 63).

No 3º Ciclo, o assunto recursividade é relacionado às sequências numéricas, que são vinculadas ao bloco de conteúdos Números e Operações e apresentadas no seguinte Conteúdo conceitual e procedimental: “Utilização de representações algébricas para expressar generalizações sobre propriedades das operações aritméticas e regularidades observadas em algumas sequências numéricas” (BRASIL, 1998, p. 72). Observamos que nesta etapa de ensino a recursividade é associada aos processos de percepção, abstração, indução, inferência e de generalização. No 4º Ciclo, o assunto recursividade não é abordado no documento.

Os PCN também definem os objetivos educacionais do Ensino Médio e das áreas de ensino, que são três: (i) Linguagens, Códigos e suas Tecnologias; (ii) Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias; (iii) Ciências Humanas e suas Tecnologias. Os conteúdos curriculares, “[...]

tendo em vista as competências e habilidades que se pretende desenvolver no Ensino Médio”

(BRASIL, 2000a, p. 16), são selecionados a partir dos princípios gerais – aprender a conhecer, aprender a fazer, aprender a viver e aprender a ser – apontados pela United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization (Unesco). Diferentemente do Ensino Fundamental, os conteúdos curriculares disciplinares são apresentados de forma “uniforme”, sem divisão por ciclo ou série, e não são organizados tematicamente (BRASIL, 2000b).

Os PCN organizam o ensino da matemática no Ensino Médio de forma que seja possibilitado ao aluno desenvolver capacidades tais como fazer inferências e tomar decisões. Brasil (2000b) explica que nesta etapa de ensino é importante que o aluno “[...] perceba que as definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos [...]” (BRASIL, 2000b, p. 40-41), e que aprender Matemática no Ensino Médio envolve atividades com objetivo de “[...] elaborar conjecturas, de estimular a busca de

regularidades, a generalização de padrões, a capacidade de argumentação [...]” (BRASIL, 2000b, p. 41).

No Ensino Médio, algumas das possibilidades de se tratar a recursividade é em conjunto com os assuntos: progressões, “[...] em especial progressões aritméticas e progressões geométricas [...]” (BRASIL, 2000b, p. 43), e análise combinatória, como proposto em Lima et al. (2004).

3.1.4.3.2 Base Nacional Comum Curricular (BNCC)

A BNCC é um documento educacional que define um conjunto de aprendizagens essenciais a serem desenvolvidas pelos estudantes ao longo da Educação Básica. Assim como os PCN, a BNCC foi elaborada para nortear os currículos e seus conteúdos mínimos, de forma a assegurar formação básica. Para se referir às finalidades da Educação, a BNCC define competências gerais para a educação, que são determinadas de acordo com as etapas de ensino, como podemos observar em:

[...] a BNCC está estruturada de modo a explicitar as competências que devem ser desenvolvidas ao longo de toda a Educação Básica e em cada etapa da escolaridade, como expressão dos direitos de aprendizagem e desenvolvimento de todos os estudantes (BRASIL, 2017, p. 23).

De acordo com a BNCC, o enfoque no desenvolvimento de competências está em “[...] oferecer referências para o fortalecimento de ações que assegurem as aprendizagens essenciais definidas na BNCC” (BRASIL, 2017, p. 13).

De acordo com o texto em questão, o entendimento para competência é: “[...] a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho” (BRASIL, 2017, p. 8).

Na Educação Infantil, a BNCC chama as finalidades da educação de Direitos e objetivos de aprendizagem, que são definidos segundo a faixa etária da criança.

No Ensino Fundamental, o documento em questão chama as finalidades da educação de Competências, que são definidas por área de ensino e por componente curricular (disciplina).

Em nível disciplinar as competências são especificadas por Unidades temáticas, Objetos de conhecimento e Habilidades. O Quadro 2, apresentado a seguir, ilustra esse esquema.

Quadro 2 – Matemática: 2° ANO UNIDADES

TEMÁTICAS

OBJETOS DE

CONHECIMENTO HABILIDADES

Números [...] [...]

Álgebra

Construção de sequências repetitivas e de sequências recursivas

(EF02MA09) Construir sequências de números naturais em ordem crescente ou decrescente a partir de um número qualquer, utilizando uma regularidade estabelecida.

Identificação de regularidade de sequências e determinação de elementos ausentes na sequência

(EF02MA10) Descrever um padrão (ou regularidade) de sequências repetitivas e de sequências recursivas, por meio de palavras, símbolos ou desenhos.

(EF02MA11) Descrever os elementos ausentes em sequências repetitivas e em sequências recursivas de números naturais, objetos ou figuras.

Geometria [...] [...]

Fonte: Desenvolvido pelos autores (2021).

No Ensino Médio, o documento em questão chama as finalidades da educação de Competências, que são definidas por área de ensino e especificadas por Habilidades. Por exemplo, a “COMPETÊNCIA ESPECÍFICA 1” (BRASIL, 2017, p. 532), corresponde a:

Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações em diversos contextos, sejam atividades cotidianas, sejam fatos das Ciências da Natureza e Humanas, das questões socioeconômicas ou tecnológicas, divulgados por diferentes meios, de modo a contribuir para uma formação geral (BRASIL, 2017, p.

532).

Para a Competência Específica 1 o texto especifica que sejam desenvolvidas pelos alunos as Habilidades apresentadas no Quadro 3, a seguir.

Quadro 3 – Habilidades relacionadas à Competência Específica 1 da Área de matemática e suas tecnologias Habilidades

(EM13MAT101) Interpretar criticamente situações econômicas, sociais e fatos relativos às Ciências da Natureza que envolvam a variação de grandezas, pela análise dos gráficos das funções representadas e das taxas de variação, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

(EM13MAT106) Identificar situações da vida cotidiana nas quais seja necessário fazer escolhas levando-se em conta os riscos probabilísticos (usar este ou aquele método contraceptivo, optar por um tratamento médico em detrimento de outro etc.).

Fonte: Desenvolvido pelos autores (2021).

Ainda na educação infantil, a recursividade pode ser tratada no objetivo de aprendizagem

“(EI03ET07) Relacionar números às suas respectivas quantidades e identificar o antes, o depois e o entre em uma sequência.” (BRASIL, 2017, p. 52), tratado no grupo de faixa etária: Crianças pequenas (4 anos a 5 anos e 11 meses). Associada aos processos de percepção e inferência, a recursividade é aplicada no universo do conjunto dos números naturais, ao se estabelecer relações como: entre um termo e seu anterior, ou entre um termo e seu sucessor.

O assunto recursividade, com frequência, relaciona-se a sequências numéricas e é descrito por habilidades vinculadas à unidade temática Álgebra. Apresentamos a seguir como esse assunto é abordado pela BNCC de acordo com os anos do Ensino Fundamental. De antemão, observamos que ele não é tratado no 5º, 6º e 9º ano. No 1º ano é descrito nas habilidades a seguir: “(ii) (EF01MA10) Descrever, após o reconhecimento e a explicitação de um padrão (ou regularidade), os elementos ausentes em sequências recursivas de números naturais, objetos ou figuras” (BRASIL, 2017, p. 279).

No parágrafo supracitado, notamos que o texto em questão específica que os elementos ausentes pertencem a sequências recursivas. Acreditamos que esse é um momento do processo de ensino da matemática adequado para o professor variar o padrão de regularidade. Nessa etapa de ensino os alunos vivenciam situações de ensino em que o padrão de regularidade geralmente é o um, pois estão produzindo significados e conhecimento para o universo dos números naturais.

A habilidade “(EF01MA01) Utilizar números naturais como indicador de quantidade ou de ordem em diferentes situações cotidianas e reconhecer situações em que os números não indicam contagem nem ordem, mas sim código de identificação” (BRASIL, 2017, p. 279), vinculada a unidade temática Números, nos chama a atenção, pois oportuniza o ensino e aprendizagem de que as sequências podem ser construídas a partir de ideias diversas, inclusive sem envolver uma relação “fixa” entre os termos.

No 2º ano é descrito nas seguintes habilidades:

(i) (EF02MA09) Construir sequências de números naturais em ordem crescente ou decrescente a partir de um número qualquer, utilizando uma regularidade estabelecida;

(ii) (EF02MA10) Descrever um padrão (ou regularidade) de sequências repetitivas e de sequências recursivas, por meio de palavras, símbolos ou desenhos;

(iii) (EF02MA11) Descrever os elementos ausentes em sequências repetitivas e em sequências recursivas de números naturais, objetos ou figuras (BRASIL, 2017, p.

283).

Entendemos que o texto em questão, ao sugerir que sejam incluídas sequências recursivas envolvendo palavras, símbolos e desenhos, propõe que o processo de relacionar os termos de uma sequência seja ainda mais desafiador, pois isso requer do aluno o desenvolvimento de capacidades cognitivas como a percepção, a abstração e a inferência. Pensamos que esse seja um momento oportuno para que o professor inclua no processo de ensino atividades que possibilitem aos alunos produzir significados Aritméticos e Geométricos um mesmo objeto matemático.

No 3º ano é descrito na seguinte habilidade:

(EF03MA10) Identificar regularidades em sequências ordenadas de números naturais, resultantes da realização de adições ou subtrações sucessivas, por um mesmo número, descrever uma regra de formação da sequência e determinar elementos faltantes ou seguintes (BRASIL, 2017, p. 287).

Aqui a proposta é que a relação entre os termos das sequências seja definida. O texto em questão observa que as regularidades devem ser “resultantes da realização de adições ou subtrações sucessivas”. Isso nos remete a sequências “simples”, como a dos números pares e a dos números ímpares.

No 4º ano é descrito nas habilidades:

(i) (EF04MA11) Identificar regularidades em sequências numéricas compostas por múltiplos de um número natural;

(ii) (EF04MA12) Reconhecer, por meio de investigações, que há grupos de números naturais para os quais as divisões por um determinado número resultam em restos iguais, identificando regularidades (BRASIL, 2017, p. 291).

Observamos que o texto em questão novamente define a relação entre os termos ao sugerir o tipo de sequência a ser tratada no 4º ano. Entendemos que ele o faz porque nos anos seguintes do Ensino Fundamental – 5º e 6º – são propostas habilidades relacionadas à produção de conhecimentos sobre múltiplos e divisores.

No 7º ano, o assunto é retomado e descrito nas habilidades:

(i) (EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura;

(ii) (EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas;

(iii) (EF07MA16) Reconhecer as duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes (BRASIL, 2017, p. 307).

O assunto recursividade parece “retornar” às habilidades propostas pelos BNCC. Notamos que os “primeiros passos” em direção ao trânsito aritmético e algébrico são formalizados quando o texto propõe “Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas”

(BRASIL, 2017, p. 307).

No 8º ano é descrito nas habilidades:

(i) (EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes;

(ii) (EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes (BRASIL, 2017, p. 313).

No que se refere à primeira habilidade mencionada na citação antecedente, não conseguimos produzir significado para a ideia de “não recursiva”, pois não entendemos se tal qualidade se refere somente à “figural” ou também à “sequência numérica”. Isso porque conseguimos vislumbrar a construção de um algoritmo por meio de um fluxograma que viabiliza a identificação dos números, se há uma padronização ou regularidade em relação à sequência;

todavia, se a sequência não é recursiva, não vislumbramos como construir um algoritmo para a identificação desses números.

No que diz respeito à segunda habilidade – (ii) (EF08MA11) – entendemos que ela possibilita o relacionamento entre os termos da sequência (aplicação da recursividade), e que um de seus objetivos é generalizar os termos da sequência utilizando uma que não seja algébrica.

No Ensino Médio, diferentemente do Ensino Fundamental, as habilidades não são especificadas pela BNCC de acordo com ano ou série, isso é feito pelos sistemas de ensino. Entendemos que a recursividade pode ser tratada na Competência Específica 5. As habilidades relacionadas ao assunto são:

(i) (EM13MAT507) Identificar e associar progressões aritméticas (PA) a funções afins de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas;

(ii) (EM13MAT508) Identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas (BRASIL, 2017, p. 544).

Com podemos observar, o tratamento recursivo passa por uma abordagem prioritariamente associada às progressões e funções. Pensamos que a recursividade também pode ser tratada na Competência Específica 3. As habilidades relacionadas ao assunto recursividade são:

(i) (EM13MAT310) Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.

(ii) (EM13MAT311) Identificar e descrever o espaço amostral de eventos aleatórios, realizando contagem das possibilidades, para resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo da probabilidade (BRASIL, 2017, p. 537).

Como Lima et al. (2004) explica, outra possibilidade de tratar a recursividade na Educação Básica é em conjunto com a Análise Combinatória.