UFBA - Departamento de Matem´atica Prova 3 - MATA02: C´alculo A
Professor: Henrique Barbosa da Costa Nome:
Matr´ıcula
Data: 19/06/2019
Quest˜ao Nota Valor
1 1,5
2 2,5
3 3,0
4 2,0
5 2,0
Total 11,0
. . . .
• Respostas sem justificativasn˜ao ser˜ao consideradas. Leia atentamente todas as quest˜oes antes de come¸car a prova.
Boa prova!
Quest˜ao 1 Calcule a derivada da fun¸c˜aoF(x) = Z x2
3x
cos(t2+t+ 1)dt, x∈R. Quest˜ao 2 Mostre que para todoa >0, vale a express˜ao:
Z dx
a2+x2 = 1
aarctgx a
+C.
Quest˜ao 3 Calcule as integrais:
(a) Z 1
0
x2exdx. (b)
Z
sen(3x) cos(5x)dx. (c)
Z 1 x2 −1dx.
Quest˜ao 4 Sejam a > 0 um n´umero real e f e g: [−a, a]→R fun¸c˜oes cont´ınuas. Se f ´e uma fun¸c˜ao par e g ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar mostre que:
(a) Z a
−a
f(x)dx= 2 Z a
0
f(x)dx; (b)
Z a
−a
g(x)dx= 0.
Quest˜ao 5 Um fio delgado estendido entre dois pontos de mesma altura, sofrendo apenas a¸c˜ao da gravidade, assume a forma de uma curva conhecida como caten´aria. Ao introduzir um sistema de coordenadas e calcular o sistema de for¸cas, obtemos que a fun¸c˜ao que d´a a altura do fio y=y(x) deve satisfazer a equa¸c˜ao diferencial:
y00(x) = 1 a
q
1 + (y0(x))2. Mostre que a fun¸c˜aoy(x) = cosh(x/a) descreve a caten´aria.
