Confrontation à la contingence
4.4 Articulation des différents résultats
Avec la conjecture Gueye et cette remarque, nous pouvons énoncer une nouvelle conjec- ture :
Conjecture 3. Pour tout entier p ≥ 2 il existe une décomposition de 4p en somme de trois fractions unitaires dont le triplet pythagoricien associé est un triplet 1-cousin ou 2-cousin.
Remarque 7. Mizony a également établi un polynôme à trois variables : p= 3 + 8w+ 7t+ 8wt+ 4k+ 8kw+ 8kt+ 8kwt
pour lequel on a une décomposition de 4p en somme de trois fractions unitaires via l’égalité suivante :
4
p = 1
2(1 +w)(1 +k)(3 + 8w+ 7t+ 8wt+ 4k+ 8kw+ 8kt+ 8kwt)+ 1
(1 +k)(1 + 2w+ 2t+ 2wt)
+ 1
2(3 + 8w+ 7t+ 8wt+ 4k+ 8kw+ 8kt+ 8kwt)(1 +w)(1 +k)(1 + 2w+ 2t+ 2wt). Cette décomposition est au sens fort (deux dénominateurs sont multiples dep) et elle est associée à un triplet pythagoricien 1-cousin défini par n=t+w(1 +t).
Cette décomposition est un cas particulier de l’identité forte générale suivante : h
hxyza−hyz2−a = 1
xyz(hxyza−hyz2−a)+ 1
yz(xa−z)+ 1
(hxyza−hyz2−a)xy(xa−z), associée à l’équation diophantienne : p=hxyza−hyz2−a.
Propriété 2. Si n est premier alors le théorème de Mizony 1 est équivalent au théorème de Thépault 2.
Démonstration. Montrons que le théorème de Thépault 2 implique le théorème de Mizony 1.
Supposons donc qu’il existe d,m, deux entiers non nuls tels qued divisem2 et4m−1divise dn+m. Posons d1 =m2/d. Ce nombre est un entier car, par hypothèsed divisem2. De plus, la condition d1 divise m2 est vérifiée. Grâce à la seconde hypothèse, à savoir 4m−1 divise dn+m, l’entier 4m−1 divise m+nmd12. Par suite, il divise md1+nm2. Comme 4m−1 et m sont premiers entre eux, on obtient que 4m−1 divise d1+nm. En outre, en remplaçant d par m2/d1 dans (4.38), on obtient
4 n = 1
mn + (4m−1)
(d1+mn)+ d1(4m−1) (d1+mn)nm. c’est-à-dire l’identité (4.26) de Mizony.
Réciproquement, supposons qu’il existed1 etm, deux entiers non nuls tels que d1 divise m2 et4m−1divisemn+d1. Posonsd=m2/d1. Ce nombre est un entier car, par hypothèse d1 divisem2. De plus, la condition d divise m2 est vérifiée. Grâce à la seconde hypothèse, à savoir 4m−1divisemn+d1, l’entier4m−1divisemn+md2. Par suite, il divise mnd+m2. Comme4m−1etmsont premiers entre eux, on obtient que4m−1divisend+m. En outre, en remplaçant d1 par m2/ddans (4.26), on obtient
4 n = 1
mn + d(4m−1)
(dn+m)m + (4m−1) (dn+m)n. c’est-à-dire l’identité (4.38) de Thépault.
b. Équivalence des théorèmes de Mizony et de Rosati-Yamamoto
Propriété 3. Si n est premier alors le théorème de Mizony 1 est équivalent à la première assertion du théorème de Rosati-Yamamoto.
Démonstration. Pour n = p premier, le théorème de Mizony 1 est équivalent au théorème de Mizony 2. Soit p = 4(ma−d)−a avec d diviseur de m2. Il existe trois entiers non nuls x, y, z tels que m = xyz et d = yz2. En effet, posons z = pgcd(m,d)d et y = pgcd(m,d)d 2. Par définition, z est un entier. Comme d est un diviseur de m2, on a d = pgcd(m2, d). De plus pgcd(m, d)2 = pgcd(m2, d2) donc y = pgcd(mpgcd(m22,d,d)2). Comme pgcd(m2, d) divise pgcd(m2, d2), y est un entier. Définissonsx : commepgcd(m, d)divisem, il existe un entier non nul xtel que m =x×pgcd(m, d) =xyz. On a donc p= 4(ma−d)−a= 4yz(xa−z)−a= 4yzt−a avec t =xa−z, c’est-à-dire a diviset+z. On obtient donc l’équation (4.2).
Réciproquement, sip≡ −s[4ab] alors il existe un entier non nul ytel que p=−s+ 4aby.
Commesdivisea+b, il existe un entier non nulxtel quea+b =xs. D’oùp=−s+4ay(mx−a).
En posant m=xya etd=a2y. On a alors d qui divise m2 etp=−s+ 4(sm−d).
c. Lien entre les théorèmes de Mizony et de Yamamoto-Schinzel
Lemme 9. Pour tout entier non nulm et tout diviseurdde m2 alors−4d n’est pas un résidu quadratique modulo 4m−1.
Démonstration. Soit un entier non nul m et d un diviseur de m2. Comme nous l’avons vu dans la démonstration précédente, il existe trois entiers non nuls x, y, z tels que m=xyz et d=yz2. Or d’après le théorème de Yamamoto (équation (4.8))−4yz2 n’est jamais un résidu quadratique modulo 4xyz−1.
Une conséquence immédiate de ce lemme est le fait que pour tout carrén2 il n’existe pas d’entier m et un diviseur d de m2 tels que[n2, m, d] soit un triplet solution. On retrouve la même conséquence que le théorème de Yamamoto : les carrés ne sont pas décomposés avec l’identité (4.26) du théorème de Mizony 1.
Remarque : Que la conjecture soit vraie ou non, l’identité (4.26) donne naissance à trois formules polynomiales (les formules 1, 2 et 3) pour chaque m et pour chaque d diviseur de m2 tels que [p, m, d] soit solution, autrement dit à une infinité de formules polynomiales différentes d’après le résultat de Yamamoto-Schinzel. Ainsi, sans contredire ce résultat, on peut espérer prouver la conjecture.
4.4.2 Sur la conjecture faible
La propriété ci-dessous montre l’équivalence entre les théorèmes de Mizony-Gardes et de Rosati-Yamamoto.
Propriété 4. Sinest premier alors le théorème de Mizony-Gardes est équivalent à la seconde assertion du théorème de Rosati-Yamamoto.
Démonstration. Démontrons le sens direct. Commecdivise(k+a)2, il existe trois entiers non nuls x, y, z tels quec=yz2 et k+a=xyz. En effet, posons z= pgcd(k+a,c)c ety= pgcd(k+a,c)2
c .
Par définition,z est un entier. Commecest un diviseur de(k+a)2, on ac=pgcd((k+a)2, c).
De plus pgcd(k+a, c)2 =pgcd((k+a)2, c2)donc y = pgcd((k+a)pgcd((k+a)22,c,c)2). Comme pgcd((k+a)2, c) divisepgcd((k+a)2, c2),y est un entier. Définissons x: comme pgcd(k+a, c) divisek+a, il existe un entier non nul x tel que k+a =x×pgcd(k+a, c) = xyz.
Posons t = (x+z(4k + 1))/(4a−1). Pour montrer que t est un entier, exprimons t en fonction cet a :
t = x+z(4k+ 1)
4a−1 = c(4k+ 1) +k+a yz(4a−1) . Comme yz =pgcd(yz2, xyz) =pgcd(k+a, c), on a t= k+a+c(4k+1)
4a−1 . Par hypothèse, pgcd(k+ a)(4a−1)divise c(4k+ 1) +k+a donc test un entier. On a alors (4a−1)t =x+z(4k+ 1) si et seulement si 4xyzt −pt = x+zp. Donc x+p(z +t) = 4xyzt. D’après cette dernière égalité, l’entier xdivisep(z+t). Commepgcd(x, p) = 1, on axdivisez+t. Donc il existe un entier non nul m tel que z+t=mx, ce qui donne x+pmx= 4xyzt et donc 1 +pm= 4yzt.
C’est-à-dire pm≡ −1[4zt]avec m|z+t.
Réciproquement, sips ≡ −1[4bd]avecs|b+d. Il existe deux entiers non nulseetmtels que ps=−1+4bdeetb+d=ms. On a alorsps =−1+4bdesi et seulement sipms=−m+4bdem.
Doncp(b+d)+m = 4bdem. Posonsc=b2eetk+a =bme. On a déjàc|(k+a)2. Il reste à voir que pgcd(k+a, c)(4a−1)divise(4k+ 1)c+k+a. Remarquons d’abord que pgcd(k+a, c) = pgcd(bme, b2e) = be. Puis (4k + 1)c+k +a = (4k + 1)b2e+bme = be((4k + 1)b +m).
Comme m = 4bdem−(4k+ 1)(b+d) = be(4bdem−(4k+ 1)d) = bed(4bem−(4k+ 1)) et 4a−1 = 4bme−(4k+ 1), on obtient (4k + 1)c+k +a = pgcd(k +a, c)d(4a−1). D’où pgcd(k+a, c)(4a−1) divise(4k+ 1)c+k+a.
4.4.3 Sur la programmation
Les différentes méthodes de vérification de l’existence de solutions à l’équation d’Erdös- Straus reposent sur le même schéma : construire des filtres pour restreindre les nombres
pour lesquels il est difficile de trouver une décomposition explicite de 4
n en trois fractions égyptiennes puis traiter ces exceptions au cas par cas. Toutes les recherches sont basées sur cette méthode d’élimination de classes de congruences et partent toutes du résultat modulo 840. Les différences apparaissent dans la construction des filtres suivants qui sont basés sur des théorèmes pour certains cas particuliers (pour Oblàth), sur les conditions nécessaires et suffisantes (pour Rosati et Yamamoto), sur un théorème général (pour Swett) et sur une identité (pour Mizony). De même, le traitement des exceptions n’est pas le même : lois particulières pour Yamamoto, décompostion en deux fractions égyptiennes pour Swett et utilisation de l’identité (4.26) pour Mizony.
Remarque : la vérification par ordinateur de l’existence de solutions à l’équation d’Erdös- Straus suit la loi de Moore qui stipule que la puissance des ordinateurs double tous les 18 mois.
A partir de 107 en 1964 (Yamamoto), on a 1014 en 1999 (Swett) et 1017 en 2010 (Mizony).