Deuxième approche de la conjecture Conjecture forte
5.3 Une analyse d’épistémologie contemporaine sur la conjec- ture d’Erdös-Straus
5.3.2 Sur la démarche de recherche de Mizony
Dans un premier paragraphe, nous exposons le point de vue de Mizony sur le processus de découverte ou d’invention mathématique, notamment sur le rôle de l’intuition et de l’es- thétique ainsi que celui joué par la communauté mathématique. Dans un second paragraphe, nous présentons l’heuristique de la découverte d’un résultat majeur dans sa recherche sur la conjecture d’Erdös-Straus.
a. Sur le processus de découverte
Mizony partage la description de Poincaré et Hadamard sur la découverte mathématique, processus en quatre étapes. Il nous a fait part de trois moments forts d’illumination qu’il a
vécus en tant que mathématicien. Nous relatons ici celui relatif à la recherche de la conjecture d’Erdös-Straus.
Le 13 août 2009, chez mon frère, vers 6 heures du matin, j’avais ouvert une session de calcul formel avec un logiciel ; mais au lieu de faire de nouveaux tests, j’ai écrit des choses sur ma feuille de brouillon : 3 ou 4 formules ; d’un seul coup j’en entoure une et instantanément je me suis dit c’est ça le bon résultat. Ce résultat est devenu beau une heure après quand, après des essais infructueux de preuve, je me suis aperçu que cette formule était une identité ; puis grâce à sa fertilité car ayant écrit et vérifié immédiatement après, sa généralisation pour les fractions nh, elle est devenue « belle ». Une joie intense m’envahit. (Mizony, communications personnelles, 23 juillet 2012)
Pour lui, l’illumination se caractérise par l’intuition fertile d’un nouveau résultat. Nous retrou- vons les caractères de soudaineté et de certitude de l’illumination décrits par de nombreux mathématiciens (cf. partie 5.1). Mizony souligne également l’importance de la quatrième phase de travail, celle de vérification, finition et continuation qui lui a permis de généraliser sa première identité. Dans le cadre d’une autre recherche, il précise que cette phase de travail, après l’illumination, a duré cinq à six ans « pour arriver à une exploitation et une rédaction synthétique de ses conséquences [de l’illumination] » (Mizony, communications personnelles, 23 juillet 2012). Concernant la phase de travail préparatoire, Mizony nous précise que l’iden- tité provient d’un travail énorme et que « c’est sorti parce que j’ai fait, je suis resté cinq mois dessus avec des tas d’algorithmes » (communications personnelles, 21 septembre 2009). Dans un article (Mizony, 2010), il précise la nature de ce travail :
Il est clair que cette identité n’est pas tombée du ciel, mais est le fruit d’une grande quantité d’algorithmes mis en œuvre ayant deux buts :
1. être efficace : passer de 100 décompositions à la seconde à 20 000 n’est pas anodin.
2. être le plus proche possible d’une preuve avec papier et crayon, l’idée sous- jacente à ces algorithmes et formules ayant été d’éviter le plus possible le recours à la fonction partie entière.
Cependant, il ajoute qu’il lui est difficile « de préciser le long cheminement suivi et de dire pourquoi il [je] l’a écrite ce 13 août 2009, et généralisée [...] ». A noter que Mizony exprime également la notion de plaisir, très présente chez les nombreux mathématiciens interviewés par Nimier (1989) lors de la découverte. Dans une note réflexive sur l’expérimental en mathé- matique (communication personnelle, janvier 2011), il mentionne également une différence entre le plaisir que procure la découverte et l’exigence de chercher une preuve :
En recherche, dès que j’ai trouvé un truc dont je suis sûr intuitivement que c’est bon, ça ne me fait pas plaisir de chercher une preuve ; je le fais par obligation, par exigence éthique. (Le plaisir de la « découverte » l’emporte sur la satisfaction d’avoir prouvé). (Communication personnelle, janvier 2011)
Il exprime cette idée dans la conclusion d’un article en expliquant qu’« à l’instar des Ba- byloniens, il a plus été intéressé par la construction d’algorithmes mathématiques que par l’élaboration de preuves » (Mizony, 2010). Ainsi, pour lui, la conjecture d’Erdös-Straus est
« algorithmiquement vraie ».
Si Mizony est en accord avec Poincaré et Hadamard sur les quatre étapes du processus de découverte mathématique, il ne partage pas leur point de vue sur le caractère décisionnel de l’esthétique dans le choix du problème ni sur son rôle dans la phase menant à l’illumination.
En effet, pour lui, le résultat devient beau par « l’intérêt et les conséquences limpides qu’il
engendre ». Ainsi la beauté est « le fruit » et non le moteur des phases du travail inconscient que sont l’incubation et l’illumination. Elle ne devient moteur que dans le travail conscient ultérieur, « en premier lieu, en confortant le résultat trouvé par intuition » (communications personnelles, 23 juillet 2012). Concernant le choix du sujet, il explique, rétrospectivement que
Ce qui a été un guide fort et inconscient est le désir de maîtriser des calculs horribles à faire et finalement le désir de simplifier et améliorer les domaines où ces calculs sont horribles. La beauté repose alors sur la satisfaction d’avoir mis au point des trucs qui économisent des temps de calculs et par là, permettent une meilleure compréhension d’un domaine. (Communications personnelles, 23 juillet 2012)
Concernant le rapport aux œuvres existantes, Mizony rejoint les chercheurs qui préfèrent chercher par eux-mêmes et étudier les travaux antérieurs par la suite. Il a ainsi cherché la conjecture d’Erdös-Straus sans prendre connaissance de la littérature existante sur le sujet :
[...] même connaissant la littérature, je n’ai pas regardé les résultats. Je voulais m’approprier ce problème à ma manière. [...] c’est-à-dire, euh, rester libre pour faire les connections que je voulais et que je sentirais. (Communications person- nelles, 21 septembre 2009)
Il ne voulait pas que son travail d’appréhension du problème soit influencé par les résultats existants. Il n’a commencé à examiner la littérature en détail qu’une fois l’identité (4.26) établie pour la forme forte de la conjecture (cf. p. 92). Sa lecture des travaux antérieurs a été facilitée par sa connaissance riche du problème. Dans une communication personnelle du 8 mars 2012, il nous écrit :
Je suis persuadé que si je n’avais pas exploré seul pendant longtemps cette conjec- ture, je n’aurai jamais pu prendre du recul vis-à-vis de la littérature.
Il ajoute d’ailleurs qu’il avait déjà procédé de cette manière lors d’une autre recherche. Cher- cher le problème lui-même sans prendre connaissance en détail de la littérature existante lui a donc permis de prendre du recul face à ces différents travaux. Il précise ainsi qu’en ne la lisant pas, il a perdu du temps à redécouvrir des théorèmes, comme le théorème de Yamamoto. Mais en même temps se pose la question suivante : « aurais-je compris toute la pertinence ce de théorème avant d’avoir écrit m=xyz etd =xy2 [relatif à son identité] ? » (communications personnelles, 23 juillet 2012). Une dernière conséquence de cette manière de chercher est le fait qu’il a acquis une vision large et multiple de la conjecture. Il a ainsi pu répondre positivement à Gueye lorsqu’il lui a présenté un lien potentiel entre la conjecture et les triplets pythagoriciens.
A l’instar de Thurston, Mizony mentionne l’importance de la communauté mathéma- tique dans le processus de découverte en mathématiques et particulièrement dans la phase d’incubation :
Sans dialogue et écoute de collègues à qui je posais des questions ou à qui je racontais « mes salades », je suis certain que certaines idées n’auraient pas pu jaillir. (Communications personnelles, 23 juillet 2012)
Il explique comment se conduit le travail entre pairs chez les chercheurs et plus précisément, l’échange d’informations :
Alors nous, ce qui arrive très souvent, c’est que, on dit à un collègue, euh, voilà, je me pose cette question, est ce qu’on n’aurait pas quelque chose qui pourrait, je ne sais pas, qui pourrait ressembler à tel résultat ? Le collègue répond, en général,
[...] ou il dit oh ben non, mais tiens, tu pourrais t’adresser à un tel, lui il doit savoir. [...] Hein, alors très fréquemment, un, deux, trois jours après il revient en disant, écoute il m’est venu une idée, t’as mal formulé ton problème, et si tu le formulais comme ça ? [...] Et là c’est génial parce que en fait, j’exprimais une intuition et le fait d’en avoir parlé aux collègues, le collègue a saisi l’intuition à sa manière et il l’a transformée en un énoncé plus correct. Donc à l’un l’intuition, à l’autre un travail d’énonciation correct, voilà. Et ça, ça arrive très souvent en recherche. (Communications personnelles, 21 septembre 2009)
Sa collaboration avec Gueye illustre très bien ces propos :
Dans le travail avec I. Gueye, il a eu cette bonne intuition d’introduire les triplets, moi je n’ai fait qu’un travail de mise en œuvre et de justification de son intuition.
(Communications personnelles, 23 juillet 2012)
Mizony a ainsi interagi ou collaboré avec de nombreux collègues, mathématiciens, informa- ticiens, didacticiens, enseignants, amateurs et autres mécaniciens, astronomes, physiciens et astrophysiciens.
b. Sur l’heuristique de la découverte
Nous présentons la démarche de recherche de Mizony sur la conjecture d’Erdös-Straus, en la scindant en trois parties : la première est relative à l’élaboration de l’identité20 (4.26), la seconde à la construction d’un programme résolvant l’équation pourn <1017 et la troisième vise à acquérir d’autres points de vue sur la conjecture. Soulignons que ces trois parties ne sont pas indépendantes ni chronologiquement successives. Au contraire, elles ont été effectuées simultanément et en interactions. C’est en s’appuyant sur des algorithmes de construction de solutions et une recherche de preuve papier-crayon que Mizony a trouvé l’identité (4.26), résultat phare de sa recherche. En retour, cette identité lui a permis d’améliorer ses algo- rithmes, de mieux comprendre le problème et de le voir ensuite sous des angles différents.
Dans ce paragraphe, nous présentons en détail la première partie de la démarche de Mizony, celle qui l’a conduit à écrire l’identité (4.26). La construction du programme vérifiant l’exis- tence de solutions à l’équation d’Erdös-Straus pour n <1017 et les autres points de vue sont décrits dans le chapitre 4 (partie 4.3.2 paragraphes c., d., e.).
Rappelons que Mizony a pris connaissance de l’existence de la conjecture d’Erdös-Straus lors d’un séminaire où nous présentions notre travail. Nous avions exposé une partie des ré- sultats mathématiques existants et en particulier le résultat modulo 840 (Résultat 1)21. Le premier élément qui guide la recherche de Mizony est de chercher à se passer du modulo 840
« car ce n’était pas naturel » (communication personnelle du 21 septembre 2009). Il commence sa recherche en réduisant la recherche du problème à l’étude des nombres premiers : « com- ment trouver une décomposition générique pour tout nombre premier ? » (Mizony dans Aldon et al., 2010). Mizony étudie ensuite la résolution de l’équation en cherchant une méthode de construction de décomposition : prendre 1x la plus grande fraction égyptienne inférieure à n4 puis pour 1y, prendre la plus grande fraction égyptienne inférieure à n4 − 1x et enfin voir sous quelles conditions 4n − 1x − 1y est une fraction égyptienne pour déterminer 1z. Avec cet algo- rithme de type « glouton »22, il montre que si nest différent de 1 et 17 modulo 24, l’équation
20. L’identité (4.26) est la suivante : n4 =mn1 +mn+d4m−1 +(mn+d)mn(4m−1)d .
21. Résultat 1 : L’équation (4.1) a des solutions polynomiales en n pour tout n non congru à 1,112,132,172,192,232modulo 840.
22. Un algorithme glouton est un algorithme basé sur le principe de faire des choix d’optimisation locale pour trouver un optimum global. (Modeste, 2012, p. 246)
a des solutions. Ensuite, il entreprend de regarder un autre problème : décomposer 4n en somme de deux fractions égyptiennes. L’étude de ce problème va lui permettre de « saisir la profondeur des difficultés pour prouver la conjecture d’Erdös-Straus et des concepts mis en œuvre, en particulier celui de nombre pythagoricien » (Mizony, communication personnelle avril 2009). Il montre alors que seules les fractions 4n, avec n nombre premier qui n’est pas pythagoricien23(c’est-à-dire de la forme 4m−1,mentier naturel), admettent une décompo- sition en somme de deux fractions égyptiennes. La recherche du problème auxiliaire se base sur la construction d’algorithmes décomposant n4 en somme de deux fractions égyptiennes quand une solution existe. A la suite de ce résultat, il fait deux remarques importantes :
– Le ppcm de 6 (tout nombre premier >3 est égal à ±1 modulo 6) et de 4 (les nombres pythagoriciens ou non sont égaux à±1 modulo 4) est 12, nombre qui revient de manière importante dans ce problème.
– Il est à noter que, contrairement à la méthode standard qui cherche x le plus petit possible, l’utilisation des non pythagoriciens permet de chercher un x multiple den(le plus petit possible) d’oùyest « petit ». De plus cette méthode a l’avantage de moins utiliser la partie entière d’un nombre, ce qui rend plus efficace les procédures mises en œuvre. (Mizony, communication personnelle, avril 2009).
La résolution de ce problème met en évidence le rôle des nombres premiers non pythagori- ciens ainsi que certaines propriétés des nombres premiers modulo 12. A noter que ce résultat entraîne que l’équation d’Erdös-Straus a des solutions pour les nombres premiers non pytha- goriciens de la forme 4m−1. La suite de l’étude de la conjecture d’Erdös-Straus va alors s’appuyer sur la méthode utilisée pour décomposer 4n en somme de deux fractions égyp- tiennes. Dans un premier temps, il trouve une solution polynomiale pour n≡17modulo 24 :
4
n = n+11 3
+n1 + n(n+1)1 3
. Reste donc à étudier la conjecture pour les nombres n≡1 modulo 24, comme le montre l’algorithme suivant :
> Erdos3:=proc(n) local x,y,z;
if not(n mod 24 in {1,17}) then x:=trunc(n/4)+1;y:=trunc((1/(4/n-1/x)))+1;
z:=1/(4/n-1/x-1/y); return([4/n=[1/x,1/y,1/z]]) fi:
#c’est la solution standard avec x minimum possible E(n/4)+1.
#il reste les nombres congrus a 1 et 17 à étudier
#pour 17 on utilise le fait que n modulo 3 = 2 (le polynôme ci-dessus) : if n mod 24 =17 then return([4/n=[3/(n+1),1/n,3/n/(n+1)],17]) fi:
return([n,‘modulo 24=‘,1]):
end:
Il vérifie cet algorithme pour les nombres impairs inférieurs à 31 puis il s’intéresse uniquement aux nombres premiers congrus à 1 modulo 24 et inférieurs à 841. Dans cet algorithme de type glouton, il modifie x = E(n4) + 1 et y =E(41
n−1x) + 1 en introduisant les paramètres a et b, ce qui donne x = E(n4) + a et y = E(41
n−1x) +b. Il fait alors varier a et b pour trouver des décompositions de n4 en somme de trois fractions égyptiennes pour certaines valeurs de n congrues à 1 modulo 24. En étudiant ces différentes décompositions, il détermine des régularités, puis une caractérisation dea(Ces différentes étapes sont explicitées en détail dans
23. Les nombres premiers pythagoriciens sont de la forme4m+ 1,mentier naturel. Fermat a établi qu’un nombre premier est somme de deux carrés si et seulement si il est de cette forme. Les nombres premiers non pythagoriciens sont de la forme 4m−1,mentier naturel.
la partie suivante 5.3.3). Cette étude lui a ainsi permis de déterminer des décompositions pour certains nombres premiers congrus à 1 modulo 24.
L’idée d’introduire les paramètres a etb et de les faire varier provient du travail effectué sur la décomposition en deux fractions égyptiennes. Comme dans ce problème, il met en évidence le rôle des nombres premiers de la forme 4m −1 et en particulier, le fait que x peut s’écrire comme multiple de n lorsque n est de cette forme. Un second élément va alors guider la poursuite de ses recherches : se passer totalement de la partie entière pour rester uniquement en arithmétique et améliorer ainsi l’efficacité des algorithmes.
Le résultat principal de cette contribution est effectivement de donner une (des) méthode(s) algorithmique(s) qui reste(nt) dans le cadre de la théorie des nombres (donc qui se passe de la fonction analytique « partie entière ») et, de fait, qui améliore considérablement les résultats partiels trouvés à ce jour. (Mizony, com- munication personnelle, septembre 2009)
Pour cela, il commence par réduire ses recherches aux nombres premiers modulo 12. Les nombres premiers de la forme 4m−1 étant congrus à 7 et 11 modulo 12, il ne reste donc que les nombres congrus à 1 et 5 pour lesquels l’équation n’a pas de solutions. Les nombres congrus à 5 modulo 12 sont congrus à 2 modulo 3 donc il existe des décompositions. Par exemple, x=n, y = n+13 etz =ny. Pour les nombres congrus à 1 modulo 12, il construit un ensemble T(m) qui permet de construire des décompositions. Soit n = (4m−1)k+b oùm est un entier positif et ble reste de la division euclidienne de n par4m−1. On posex=mn, y=E(4mx−1) + 1 = mk+ 1 +E(4mmb−1)etz = (4m−1)(1+E(nymmb
4m−1)−mb).T(m)est alors l’ensemble des b tel que z soit un polynôme en k à coefficients entiers positifs. On peut alors construire les ensemble T(m) pour m < m0.
Exemple :T(6) avecm0 = 300est l’ensemble{7,10,11,15,19,20,21,22}. Pourn≡1[12] etb dans T(m) alors x=mn, y=E(4mx−1) + 1 et z = (4 1
n−x1−1y) est solution. Les décompositions de 4
n pourn ≡1[12]etb dansT(6) (pour m0 = 300) sont alors les suivantes (présentées sous la forme n4 = [x1,1y,1z],[m, b]) :
4
23k = [ 1
138k, 1
6k+ 1, 1
6k(6k+ 1)],[6,0]
4
23k+ 7 = [ 1
6(23k+ 7), 1
2(3k+ 1), 1
3(23k+ 7)(3k+ 1)],[6,7]
4
23k+ 10 = [ 1
6(23k+ 10), 1
3(2k+ 1), 1
2(23k+ 10)(2k+ 1)],[6,10]
4
23k+ 11 = [ 1
6(23k+ 11), 1
3(2k+ 1), 1
6(23k+ 11)(2k+ 1)],[6,11]
4
23k+ 15 = [ 1
6(23k+ 15), 1
2(3k+ 2), 1
6(23k+ 15)(3k+ 2)],[6,15]
4
23k+ 19 = [ 1
6(23k+ 19), 1
6k+ 5, 1
6(23k+ 19)(6k+ 5)],[6,19]
4
23k+ 20 = [ 1
6(23k+ 20), 1
6(k+ 1), 1
2(23k+ 20)(k+ 1)],[6,20]
4
23k+ 21 = [ 1
6(23k+ 21), 1
6(k+ 1), 1
3(23k+ 21)(k+ 1)],[6,21]
4
23k+ 22 = [ 1
6(23k+ 22), 1
6(k+ 1), 1
6(23k+ 22)(k+ 1)],[6,22]
A noter que cette méthode fait encore intervenir une partie entière (dans l’expression de y).
Cependant l’étude des différentes décompositions fait apparaître qu’avec cette méthode, z est toujours un multiple de n (comme x). En étudiant cette propriété pour chaque b et en observant les valeurs de x et plus particulièrement le coefficient devant k, il remarque qu’il contient des diviseurs de m et/ou de 4m−1.
Exemple : pourn ≡1[12] etb∈T(6), le coefficient devant k dans x est6×23 = 138. Or la factorisation de 138 est 2×3×23.
Après quelques tests, il remarque qu’il peut passer de T(m) à l’ensemble des diviseurs de m2. Ce passage est établi grâce à la proposition suivante : Soit n ≡ b[4m−1] alors il existed diviseur dem2 défini parbd≡3m−1[4m−1]. Cette idée est à l’origine de l’écriture de l’identité (4.26) qui synthétise tous ses résultats et surtout, qui ne fait intervenir aucune partie entière :
L’identité finale a émergé petit à petit (en particulier dans le passage des « bons » restes b den modulo 4m−1 a de « bons » diviseurs d dem2, ce qui m’a permis de me débarrasser de la fonction partie entière, but qui focalisait mon attention).
(Mizony, communication personnelle, 18 février 2010)
L’intérêt de cette identité est double : d’une part la construction d’un programme de vé- rification de l’existence de solutions pour n < 1017 grâce à la production de progressions arithmétiques à partir de cette identité et d’autre part, la reformulation de la conjecture en une conjecture d’existence (cf. conjecture 2, chapitre 4, partie 4.3.2 p. 93). Il a ensuite généralisé cette identité à toute fraction ab.