Confrontation à la contingence
4.2.2 Résultats algorithmiques
a. Méthode de Oblàth et Rosati
Oblàth (1950) démontre que l’équation d’Erdös-Straus a des solutions pour tout n ≤ 106129. Pour cela, il commence par réduire le problème aux nombres premiers. Ensuite, il donne des solutions polynomiales pour certaines progressions arithmétiques : n ≡ 0[2], n ≡ 0[4], n≡2[4], n ≡3[4], n≡5[8], n ≡0[3], n≡17[24]. Grâce au théorème des restes chinois, il ne reste que les classes égales à 1 modulo 24 à étudier. Pour cela, il se place dans Z/120Z. Il détermine alors d’autres solutions polynomiales en posantx= [n4]+1+koùk≥0. En faisant varier k, il élimine plusieurs classes et il ne reste que n ≡1[120] etn ≡49[120]. En utilisant la même méthode, il détermine qu’il ne reste que 6 classes modulo 840 puis 42 classes modulo 9240. Pour les nombres premiers restants (appartenant aux classes restantes), il énonce trois théorèmes afin d’éliminer quelques nombres supplémentaires (par exemple, l’équation a des solutions si le nombre n+ 1a au moins un diviseur premier de la formep= 4a+ 3). Il ne reste alors que 6 nombres premiers (2521, 29401, 40009, 51361, 66529, 67369) qui posent problème.
Pour ceux-là il énonce un dernier théorème qui permet de tous les décomposer mais avec de nombreux calculs.
Rosati (1954) reprend les travaux de Oblàth et énonce deux conditions nécessaires et suffisantes pour l’existence de solutions à l’équation d’Erdös-Straus qui généralisent les théo- rèmes de Oblàth. Pour106129≤n≤141649, il détermine des solutions en utilisant la même méthode que Oblàth, méthode d’élimination de classes de congruences. Il étudie ainsi, grâce aux conditions nécessaires et suffisantes, les classes modulo 19, 23, 31, 39, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 87, 119. Tous les nombres premiers entre 106129 et 141649 sont ainsi solutions de l’équation d’Erdös-Straus.
b. Méthode de Yamamoto
Yamamoto (1965) démontre que l’équation d’Erdös-Straus a des solutions pour pour n ≤107. A priori c’est la première vérification effectuée à l’aide d’un ordinateur. Il explique sa procédure :
1. Il restreint l’étude aux nombres congrus aux 6 classes restantes modulo 840.
2. Il ôte les carrés parfaits.
3. Il élimine d’autres progressions arithmétiques (modulo 11, 13, 19, 23 ou 47).
4. Il utilise une procédure qu’il nomme « loi de type complémentaire ».
5. Il utilise une procédure qu’il nomme « loi de type réciprocité ».
Le programme tourne pendant 122 minutes et rejette seulement deux nombres premiers : 1095481 et 7502881. Le premier est traité grâce à la « loi de type réciprocité » et le second grâce à la « loi de type complémentaire ».
c. Méthode de Swett
Sur sa page Internet(Swett, 1999), Allan Swett explique comment il a vérifié l’existence de solutions à l’équation d’Erdös-Straus pour n < 1014. Il précise que le résultat est connu et publié pour n <108 et que cette page et ses liens démontrent les progrès effectués depuis.
Nous allons retracer les résultats qui justifient son algorithme en langage C++.
Définition 4. Pour n > 0, on définit S(n) l’ensemble des entiers A ∈ {0,1,2, ...,4n−2} tels que : AW +X ≡0[4n−1] pour des diviseurs entiers positifs X, W de n.
Définition 5. E(n) est l’ensemble des entiers positifs congrus modulo 4n−1 à un élément de S(n).
Exemple : S(9) est l’ensemble des entiers A ∈ {0,1,2, ...,34} tels que : AW +X ≡ 0[35]
pour des diviseurs entiers positifsX, W de 9. Les diviseurs entiers positifs de 9 sont 1, 3 et 9.
Les couples (X, W) sont donc les suivants : (1,1), (1,3), (1,9), (3,1), (3,3), (3,9), (9,1), (9,3), (9,9). Ainsi A appartient àS(9) si et seulement si l’une des congruences suivantes est vraie : A+ 1 ≡0[35], A+ 3 ≡0[35], A+ 9≡0[35],3A+ 1 ≡0[35], 3A+ 3≡0[35], 3A+ 9 ≡0[35], 9A+ 1 ≡0[35],9A+ 3 ≡0[35],9A+ 9 ≡0[35]. D’oùS(9) ={23,26,31,32,34}.
E(9) est l’ensemble des entiers positifs congrus, modulo 35, à un élément de S(9). L’entiera appartient àE(9)si et seulement si l’une des congruences suivantes est vraie :a≡23[35], a≡ 26[35], a≡31[35], a≡32[35], a≡34[35].
Lemme 3. S’il existe k et n ∈ N∗ tels que k ∈E(n) alors l’équation 4k = 1x + 1y + 1z admet des solutions.
Ce lemme découle d’un théorème plus général :
Théorème de Swett. Soit K un entier naturel non nul et A un entier appartenant àE(P) avec P = 4K −1. Soient W et X des diviseurs positifs de K tels que W A+X ≡0[P]. On a alors :
4
(P x+A) = 1
F1(x)+ 1
F2(x) + 1 F3(x) où les polynômes Fi, i= 1,2,3, sont à coefficients entiers.
De plus, si A est strictement positif, alors il existe f1, f2, f3 trois polynômes de Z[X] dont les coefficients dominants sont strictement positifs tels que (P x+A)4 = f 1
1(x) + f 1
2(x) + f 1
3(x) et f1(0), f2(0), f3(0) sont des entiers naturels non nuls.
Démonstration. Supposons, sans perte de généralité8, que pgcd(W, X) = 1. Comme X et W sont des diviseurs de K et qu’ils sont premiers entre eux, il existe un entier naturel D tel que DW X = K. Par hypothèse W A +X ≡ 0[P] donc il existe un entier relatif R tel que W A+X =RP. On peut remarquer que W, X et P étant strictement positifs, si A est strictement positif, alors R l’est aussi.
Posons F1(x) = K(P x+A), F2(x) = DX(W x+R)et F3(x) =DW(P x+A)(W x+R). On
8. Sinon, on remplaceW parW/Get X parX/GoùGest le PGCD deX etW. En effet, les entiersW et X divisentK doncW/Get X/GdivisentK. De plus, on sait queG(WGA+XG)≡0[P]. OrGdiviseX et W qui divisentK. DoncGdiviseK. CommeP= 4K−1,pgcd(P, G) = 1. D’où WGA+XG ≡0[P].
a alors :
1
F2(x) + 1
F3(x) = 1
DX(W x+R) + 1
DW(P x+A)(W x+R)
= W(P x+A) +X DXW(P x+A)(W x+R)
= W P x+W A+X K(P x+A)(W x+R)
= W P x+P R K(P x+A)(W x+R)
= P(W x+R) K(P x+A)(W x+R)
= P
K(P x+A)
= 4K −1 (P x+A)K
= 4
P x+A − 1 F1(x).
D’où 4
P x+A = 1
F1(x) + 1
F2(x)+ 1 F3(x).
De plus, siAest strictement positif, alorsRest strictement positif donc il existef1, f2, f3trois polynômes deZ[X]dont les coefficients dominants sont strictement positifs tels que (P x+A)4 =
1
f1(x)+ f21(x) +f31(x). De plus, f1(0) =KA >0, f2(0) =DXR > 0, f3(0) =DW AR > 0et 4
A = 1
KA + 1
DXR + 1
DW AR.
Ce théorème montre que, pour tout A > 0, si A ∈ S(K) (i.e AW + X ≡ 0[P] où P = 4K−1) alors P x+A ∈ E(K) (car P x+A ≡ A[P]) et 4/(P x+A) se décompose en somme de trois fractions unitaires. Avec k=P x+A, on obtient le lemme 3.
Lemme 4. Soit k ∈N∗ et m <4000.Si pgcd(k, m)6= 1 alors l’équation a des solutions pour 4/k.
Pour Swett, les trois résultats (Théorème de Swett, Lemme 4 et Résultat 1) fonctionnent comme des filtres. Il ajoute la propriété 1 (voir p. 75) qui permet d’ôter les carrés parfaits.
Les nombres qui passent à travers le filtre sont donc des cas à examiner de plus près. Or le programme montre qu’il ne reste que 7132 cas sur 1014 pour lesquels l’équation d’Erdös- Straus n’a pas de solutions. Parmi ces exceptions, qui sont de la forme1,112,132,172,192,232 modulo 840, il ne va conserver que ceux qui sont premiers (d’après la propriété 1). Cela réduit le nombre de cas à 3209, pour lesquels il utilise un algorithme « glouton » :
1. Il cherche la plus grande fraction unitaire inférieure à 4n. Il détermine ainsi la valeur de x. (à savoir x=⌈n4⌉+ 1).
2. Il effectue alors n4 − 1x. Il est ainsi ramené à décomposer une fraction ab en somme de deux fractions unitaires.
Pour cela, il utilise le lemme suivant :
Lemme 5. Soientn, d∈N∗ tels que pgcd(n, d) = 1. Alors nd est une somme de deux fractions unitaires si et seulement si il existe a et b entiers naturels non nuls, diviseurs de d tels que a+b soit divisible par n.
Démonstration. S’il existe deux entiers naturels non nuls a et b diviseurs de d tels que a+b soit divisible par n alors il existe k, l, m des entiers non nuls tels que d = ka, d = lb et a+b =mn. On a alors
n
d = a+b md =
d k +dl
md = dl+dk
klmd = l+k klm = 1
km+ 1 lm.
Réciproquement, posons z =pgcd(x, y). Il existe alors deux entiers naturels non nuls a et b tels que x=za ety =zb avec pgcd(a, b) = 1.
n d = 1
x +1
y ⇔ n
d = x+y xy
⇔ nxy =d(x+y)
⇔ nzazb=d(zb+za)
⇔ nzab=d(a+b).
Comme a divise db et comme pgcd(a, b) = 1, on a a divise d. De même b divise d. Il existe alors un entier non nul e tel que d=abe.
nzab =d(a+b) ⇔ nzab=abe(b+a)
⇔ nz=e(b+a).
Comme e divise d et pgcd(n, d) = 1, pgcd(e, n) = 1, or n divise e(b+a), donc d’après le théorème de Gauss, l’entier n divisea+b.
En appliquant ce programme aux cas restants, il résout l’équation pourn <1014.