Conclusion

[k+ (4a−1)(k+a)²t

δd , a, c+ (4a−1)(k+a)ct

δd ]

oùδ=pgcd((4a−1)(k+a)²

c ,(4a−1)(k+a)) etd=pgcd(c, k+a).

(5.5)

où on peut remarquer que δ peut se simplifier par4a−1. Ainsi, grâce aux formules (5.4) et (5.5), nous avons trouvé la « bonne formule » c’est-à-dire celle qui vérifie à la fois les critères théorique et algorithmique :

[k+(4a−1)(k+a)²t

δd , a, c+(4a−1)(k+a)ct

δd ]oùδ=pgcd((k+a)²

c , k+a)etd=pgcd(c, k+a).

Elle est plus performante que la formule (5.5) puisqu’elle est optimale (algorithmiquement), c’est-à-dire que le terme ^{(4a−1)(k+a)}_δd ²est le plus petit possible et elle est vérifiée pour tout entier t.

En résumé, la genèse de la progression arithmétique (5.1) débute avec un premier algo- rithme, très efficace dans la recherche de solutions pour certains nombres exceptions. Pour affirmer qu’un algorithme résout une famille de problèmes, il convient d’en donner une dé- monstration, il s’agit de la correction de l’algorithme (Modeste, Gravier, & Ouvrier-Buffet, 2010). La recherche de la preuve formelle du premier algorithme, c’est-à-dire montrer que pour tout entier naturelt, l’algorithme fournit une décomposition de _4k+1⁴ en somme de trois fractions unitaires, montre que la correction de l’algorithme est fausse : pour certain t, il ne propose pas de solutions. Cette difficulté exhibée par la tentative d’élaboration d’une preuve formelle a entrainé une recherche de nouvelles progressions arithmétiques et a permis d’établir une progression juste théoriquement (pour tout entier naturel t) et efficace algorithmique- ment (algorithme associé rapide et optimal), notamment grâce à l’étude de cas triviaux (pour les nombres composés). Comme le mentionne Modeste et al. (2010), la preuve a joué un rôle fondamental pour la complexité de l’algorithme final, c’est-à-dire pour la recherche d’un algo- rithme optimal de décomposition de _4k+1⁴ en somme de trois fractions unitaires. La genèse de la progression arithmétique (5.1) met ainsi en évidence le processus dialectique entre preuves et algorithmes dans l’élaboration d’un résultat mathématique. Cette dialectique s’est réalisée grâce à la richesse de nos interactions entre une recherche centrée sur la tentative de preuves théoriques et une recherche axée sur la construction d’algorithmes performants. Un de nos échanges avec Mizony, résume bien notre recherche collaborative :

Remplacercparpgcd(c, k+a)au dénominateur de la formule 3 devrait marcher ? Si tu peux vérifier, moi je vais regarder si c’est optimum, mais je ne le pense pas.

(mail de Mizony du 28/09/12)

La progression arithmétique (5.1) résulte véritablement de nos interactions et nous ne sommes plus capables de dire quel est l’apport de l’un ou de l’autre dans l’élaboration de ce résultat.

semblent essentiels à prendre en compte pour créer une situation didactique de recherche de problèmes, proche de celle des chercheurs, dans un contexte scolaire. Le premier aspect est la nature du processus de découverte mathématique : quatre étapes alternant une phase de création et une phase de vérification. Les chercheurs pointent une différence de méthode entre ces deux phases. Ils mettent en avant le rôle de l’intuition et du raisonnement plau- sible dans la phase d’invention et celui de la rigueur et du raisonnement démonstratif dans la phase de rédaction. Le second aspect est le rôle de la communauté mathématique dans le processus de création et en particulier, l’importance des différentes modalités d’échange entre pairs. Le troisième aspect est relatif au mécanisme de la découverte mathématique, où les chercheurs pointent l’importance de faire des liens pour résoudre un problème (liens entre des problèmes et entre des domaines mathématiques, associations d’idées, de notions), l’importance d’articuler les connaissances antérieures avec l’expérience de résolution de pro- blèmes (dialectique connaissances/heuristiques) et les ressorts de la dimension expérimentale pour s’engager et avancer dans l’étude de la résolution du problème. Ces trois aspects nous permettront de déterminer des variables macro-didactiques et didactiques pour construire une situation de recherche de problèmes dans un contexte scolaire (cf. chapitre 6). Grâce à cette étude épistémologique, nous avons également mis en évidence les éléments importants à prendre en compte pour analyser les processus de recherche d’un sujet en situation de résolution de problèmes : l’action du sujet, le rôle de l’intuition dans la phase de création, l’importance de la dialectique entre la mobilisation des connaissances et le développement d’heuristiques et le rôle de la dimension expérimentale. Cela nous a conduite à la seconde partie de notre étude épistémologique : la construction d’une grille d’analyse des processus de recherche mis en œuvre dans une résolution de problème de recherche. Cette grille s’appuie sur deux outils méthodologiques, d’une part une analyse en termes de dimensions organi- satrice et opératoire (outil développé par Battie (2003) et repris dans nos premiers travaux (M.-L. Gardes, 2009, 2010)), et d’autre part une analyse à l’aide de la notion de « geste » de la recherche. Pour développer ce second outil, nous nous sommes appuyée sur une étude de la notion de « geste » en philosophie des mathématiques et en didactique des mathématiques.

Nous rappelons ci-dessous la définition d’un « geste » de la recherche :

Un geste est un acte de mise en relation d’objets mathématiques dans une inten- tionnalité. C’est une opération qui s’accomplit en s’incarnant dans une combinai- son de signes, soumise aux règles d’emploi de ces signes. Il possède un pouvoir de créer dans la possibilité d’ouvrir le champ des possibles dans le travail mathéma- tique, en saisissant l’intuition au moyen d’un geste dans l’expérience.

Nous considérons ainsi le geste comme un élément moteur dans la recherche, particulière- ment pour provoquer des avancées et la production de résultats. En ce qui concerne l’étude de la conjecture d’Erdös-Straus, nous avons identifié sept gestes de la recherche : désigner des objets, réduire le problème aux nombres premiers, introduire un paramètre, construire des exemples et les questionner, effectuer des contrôles locaux, transformer l’équation initiale et implémenter un algorithme. Certains gestes sont porteurs de l’aspect expérimental du pro- blème et favorise la mise en œuvre d’une démarche expérimentale pour étudier le problème (désigner des objets, réduire le problème aux nombres premiers, construire des exemples et les questionner, implémenter un algorithme). La troisième partie de nos investigations épis- témologiques sur l’activité de recherche mathématique des mathématiciens consiste en une analyse des processus de recherche de deux chercheurs engagés dans l’étude de la résolution de la conjecture d’Erdös-Straus. Dans un premier temps, le recueil de leurs points de vue sur l’activité de recherche mathématique et sur l’heuristique qu’ils ont mise en œuvre dans leurs travaux sur la conjecture nous ont permis d’étayer les témoignages étudiés dans la première

partie de l’étude épistémologique. Dans un second temps, nous avons analysé leurs travaux à l’aide de la grille d’analyse construite dans la seconde partie de l’étude épistémologique.

Les résultats montrent que les outils développés sont pertinents et complémentaires pour analyser les processus de recherche effectifs des chercheurs engagés dans l’étude de la conjec- ture d’Erdös-Straus. L’analyse globale, en termes de dimensions organisatrice et opératoire, permet de mettre en évidence la visée générale de la recherche suivie : quête de la vérité de la conjecture ou recherche de décompositions effectives. Les processus de recherche sont alors de nature différente (algébrique et théorique ou arithmétique, algorithmique et expé- rimental) et l’analyse à une échelle plus locale à l’aide de la notion de « geste » permet de les étudier finement. Les gestes mettent en évidence le recours aux connaissances mathéma- tiques disponibles et mobilisables, le rôle des objets mathématiques en jeu, les heuristiques développées, la complexité des raisonnements mis en œuvre et les origines et la nature des avancées de la recherche. La mise à l’épreuve de notre grille d’analyse sur les travaux des chercheurs montre donc son efficacité pour confronter et comparer différentes recherches sur la conjecture d’Erdös-Straus, en pointant les similitudes et les différences des processus de recherche mis en œuvre. Nous utiliserons à nouveau cette grille d’analyse pour étudier les travaux des élèves sur la conjecture et les mettre en perspective avec ceux des chercheurs (cf.

chapitres 7 et 9).