Confrontation à la contingence
2.3 Le milieu
just as one could use a map to suggest the directions that they should prescribe.
(Weber & Alcock, 2004, p. 232)8
Barrier ajoute que l’approche sémantique est également riche pour les processus de validation de type décision (c’est-à-dire se convaincre de la vérité d’un énoncé) :
Les preuves mathématiques ne sont qu’exceptionnellement suffisamment détaillées pour qu’il soit possible de les contrôler en ignorant leur contenu sémantique. Ce type de contrôle construit sur la seule syntaxe n’est pas la méthode la plus sou- vent employée par les mathématiciens professionnels. Par exemple Weber (2008) montre que les mathématiciens utilisent souvent des arguments informels ou construits sur l’instanciation d’un objet, ou de quelques objets pour contrôler les preuves et même pour les valider. (Barrier, 2009, p. 25)
Dans sa thèse, l’auteur a mis en évidence l’apport de la sémantique pour la didactique, notam- ment en termes d’enrichissement du milieu des élèves. Dans notre recherche, nous analysons en particulier les difficultés éprouvées par les élèves et les étudiants lors de l’utilisation d’un outil algébrique pour traiter des questions de théorie des nombres : les limites des méthodes algébriques dans le travail de formulation de conjecture, l’importance de l’articulation des procédures syntaxiques et sémantiques dans la construction de preuve et l’importance du retour à la nature des nombres en jeu dans le contrôle et la vérification des résultats (cf.
chapitre 9 de notre thèse et (M.-L. Gardes, 2012)).
2.3.1 Milieu antagoniste de type expérimental
Salin (2002) donne trois caractéristiques d’un milieu antagoniste que Dias (2008) déve- loppe pour définir un milieu antagoniste de type expérimental.
Un milieu porteur de déséquilibres dans les rétroactions qu’il fournit à l’activité de l’élève. C’est en présentant des obstacles dans la situation que l’on provoquera l’adaptation de l’élève et par là-même, la construction et/ou l’appropriation de connaissances. Pour cela, il faut que l’élève puisse engager les connaissances dont il dispose pour tenter de contrôler le milieu. Ensuite il doit être en mesure d’en recevoir les rétroactions lui indiquant que ces moyens de contrôle sont encore insuffisants et que la résolution du problème ne sera pas immédiate. Durand-Guerrier précise ainsi que le milieu doit comporter « des objets suffisam- ment familiers pour le sujet pour que celui-ci puisse s’engager dans l’action, en dégager des conjectures et les questionner. Il est nécessaire que ce milieu favorise la mobilisation d’outils (par exemple : élaboration de conjectures ou de règles, élaboration d’objets nouveaux, chan- gement de cadre, mise en relation de propriétés, etc. ) permettant de mettre en œuvre un traitement mathématique général dont les résultats pourront être confrontés aux résultats des actions sur les objets. » (Durand-Guerrier, 2010, p. 1)
Un milieu qui développe l’autonomie de l’élèvegrâce à la mise en œuvre de situa- tions fortement adidactiques. Ce milieu adidactique doit permettre « le fonctionnement de la connaissance comme production libre de l’élève » (Brousseau, 1998, p. 302). Ce dernier doit donc accepter de se sentir responsable de son apprentissage, ce qui nécessite un contrat didactique spécifique. L’enseignant doit favoriser la dévolution de la résolution du problème aux élèves puis contrôler les réponses du milieu. Il doit s’interdire de toute validation ou rejet prématurés d’hypothèses formulées par les élèves et issues de leur travail. Il doit aussi enrichir le milieu pour permettre aux élèves d’interagir en fonction de leurs niveaux de connaissances sans recours à son intervention.
Un milieu qui favorise l’accès à des savoirs mathématiques. Pour cela Durand- Guerrier indique que « ce milieu doit être nourri par la connaissance a priori, pour le profes- seur, de l’épistémologie et de l’histoire des savoirs en jeu dans la situation » (Durand-Guerrier, 2010, p. 1). Dias précise que ce travail relève de la constitution du modèle théorique épis- témologique9 (Bloch, 2002) « qui s’appuie sur la recherche d’une relation consistante entre un savoir mathématique et un jeu de situations qui le fasse fonctionner comme une connais- sance afin d’en permettre une institutionnalisation » (Dias, 2008, p. 55). Ce milieu doit alors comporter des éléments qui permettront à l’enseignant d’identifier des savoirs maîtrisés par les élèves à l’issue des phases de résolution de problèmes, d’anticiper et mettre en œuvre une phase d’institutionnalisation pour expliciter l’apprentissage des élèves. Cette institutionnali- sation se réalise en appui sur la phase de validation.
Pour notre recherche, nous retenons ces trois critères (antagonisme des rétroactions, di- mension adidactique de la situation, accès à des savoirs mathématique) pour construire un milieu de type expérimental favorisant les aspects dialectiques de l’activité de recherche ma- thématique.
9. Nous détaillons les modèles de milieux de Bloch en paragraphe 2.3.2, qui suit.
2.3.2 Les différents modèles de milieux selon Bloch
Notre méthodologie générale de la recherche, présentée au chapitre 1, s’articule autour de l’interaction de trois pôles : didactique, épistémologique et mathématique. Le cadre d’analyse des modèles de milieu proposé par Bloch (2002) permet de modéliser et d’expliciter notre démarche générale de la recherche, notamment grâce aux articulations entre les élaborations théoriques et la construction de protocoles expérimentaux qui se réalisent dans une confron- tation à la contingence. Ainsi nous l’utiliserons pour fonder l’architecture des parties II et III de la thèse puisqu’il en guidera le déroulement en chapitre, pour construire l’expérimentation de type laboratoire ainsi que pour l’analyse des données provenant de notre expérimentation.
Nous présentons ici brièvement les différents modèles de milieu proposés par Bloch (2002) : modèle de milieu épistémologique, modèle de milieu expérimental a priori et confrontation à la contingence. Nous donnerons également les adaptations que nous avons faites pour uti- liser ce cadre d’analyse pour nos recherches. En effet, Bloch a défini ce modèle en référence aux situations fondamentales de la Théorie des Situations Didactiques alors que nous l’utili- sons pour construire et analyser des situations didactiques dans le cadre de la résolution de problèmes de recherche.
Modèle de milieu théorique épistémologique. Selon Bloch, le premier modèle de milieu fait référence à la constitution d’une situation fondamentale dans la théorie des situa- tions didactiques (Brousseau, 1998). Il a ainsi pour but de permettre l’analyse du savoir et de chercher à construire des situations fondamentales.
Dans un milieu théorique épistémologique relatif à un savoir donné, doit prendre place tout ce qui concerne le savoir mathématique, mais aussi les variables rela- tives à ce qu’il est possible de faire faire à un acteur qui aurait le projet de jouer (au sens de la théorie des situations) avec ce savoir, dans une situation qui lui lais- serait une certaine liberté d’action contre un milieu fournissant des rétroactions (milieu antagoniste). (Bloch, 2002, p. 127)
La construction d’un milieu théorique épistémologique contient donc trois dimensions : une dimension mathématique et épistémologique (analyse du savoir mathématique visé), une di- mension cognitive (prise en compte des connaissances de l’actant) et une dimension didactique (« enseignabilité » de la situation dans un contexte donné).
Notre recherche ne portant pas sur les situations fondamentales au sens de la Théorie des Situations, nous avons adapté ce cadre d’analyse à des situations de résolution de problèmes de recherche. Le but de telles situations est de faire travailler aux élèves l’aspect dialectique de l’activité mathématique. Le but du modèle de milieu théorique devient d’une part d’ana- lyser épistémologiquement cet aspect dialectique et d’autre part de construire des situations de résolution de problèmes de recherche permettant de travailler cette dialectique. Ainsi ce milieu va contenir deux dimensions : la première est épistémologique et mathématique, elle étudie mathématiquement le problème de recherche choisi et épistémologiquement l’activité de recherche de mathématiciens (objets de la partie II de notre thèse) ; la seconde est didac- tique et envisage d’implémenter une activité de résolution de problèmes de recherche dans un contexte scolaire. Pour élaborer ce milieu théorique, nous avons :
– conduit une analyse mathématique du problème de recherche choisi ;
– mené une analyse de la genèse historique du problème, étudié et articulé les résultats anciens et contemporains ;
– mis en évidence les savoirs mathématiques notionnels, les savoirs mathématiques heu- ristiques, les savoirs mathématiques culturels en jeu dans la résolution du problème ;
– conduit une analyse d’épistémologie historique et contemporaine sur l’activité mathé- matique des chercheurs ;
– élaboré une situation confrontant le problème de recherche, l’élève et un milieu anta- goniste ;
– analysé la pertinence de la situation envisagée par rapport à l’étude des processus de recherche des élèves, par rapport aux connaissances (mathématiques, heuristiques, culturelles) antérieures requises ;
– analysé la consistance de la situation, notamment par rapport aux savoirs mathéma- tiques en jeu (notionnels, heuristiques, culturels).
Modèle de milieu expérimental a priori. Ce second modèle de milieu développé par Bloch prend en charge l’organisation effective de l’enseignement d’une situation parmi les scénarios envisagés. Il s’agit de définir des réalisations possibles de l’enseignement afin de pouvoir tester ou falsifier des hypothèses relatives au milieu théorique épistémologique. Cela se réalisera dans une confrontation à la contingence, dernier modèle du cadre d’analyse de Bloch. C’est à cet aspect que l’adjectif « expérimental » renvoie. La terminologiea priori fait référence à sa fonction d’analyse a priori de situation à visée didactique. Bloch définit deux directions pour l’élaboration du milieu expérimental a priori : la première est l’implantation effective de l’enseignement d’une situation parmi les scénarios envisagés et la seconde étudie l’adéquation de l’expérimentation à la situation prévue par le modèle théorique. Dans notre recherche, nous avons utilisé ce modèle pour :
– construire une situation didactique autour du problème choisi ;
– anticiper et prévoir les comportements des élèves dans la situation et notamment l’évo- lution du milieu ;
– préparer le recueil des observables ;
– analyser les connaissances mises en jeu dans la situation, le rôle des élèves et des encadrants ;
– construire une grille d’analyse, liste de références mathématiques, épistémologiques et didactiques susceptibles de permettre l’analyse de l’activité de recherche mathématique des élèves.
Ces différents éléments sont étudiés dans les chapitres 6 et 7 de notre thèse.
Confrontation à la contingence. La dernière étape du cadre d’analyse des modèles de milieu de Bloch est la confrontation à la contingence. Cette phase a deux fonctions princi- pales : la première consiste en un test des prédictions conduites dans le modèle expérimental a priori et la seconde est un dispositif de régulation/modification du modèle théorique. Les objectifs sont les suivants :
– décrire la situation jouée expérimentalement ;
– interpréter le modèle expérimental a priori par rapport à l’expérimentation ; – déterminer les variables qui ont été productrices des effets observés ;
– discuter le rapport entre le modèle épistémologique et mathématique et la contingence ; – reprendre la discussion de la consistance théorique.
Dans notre thèse, nous mettrons à l’épreuve de la contingence la situation didactique élaborée autour de la conjecture d’Erdös-Straus dans des conditions particulières de laboratoire (cf.
chapitre 8). Ce contexte permettra d’analyser finement les travaux de recherches des élèves sur la conjecture d’une part et d’interpréter le modèle expérimental a priori d’autre part (cf. chapitre 9). De plus, cela permettra d’approfondir et d’enrichir nos phases de conception théorique (chapitre 10).