Sur l’heuristique de la découverte

Dans ce paragraphe, nous présentons trois ouvrages sur l’heuristique de la découverte mathématique, écrits par deux mathématiciens hongrois célèbres : les livres de Pólya How to solve it (1945) et Mathematics and plausible reasoning (1954) et l’essai de Lakatos Proofs and Refutations (1976). Dans la suite, nous nous référerons aux traductions françaises de ces textes : Comment poser et résoudre un problème (Pólya, 1989), Les mathématiques et le raisonnement plausible (Pólya, 1958) etPreuves et réfutations (Lakatos, 1984).

a. Pólya

L’ouvrage de Pólya (1945),How to solve it, est une référence en matière d’heuristique¹¹sur la résolution de problèmes en mathématiques. L’auteur a écrit ce livre à partir de nombreuses études de méthodes de résolution de problèmes très variés, en appui sur sa propre expérience.

C’est en essayant de comprendre non seulement la solution de tel ou tel problème, mais aussi les raisons et le processus de cette solution, en tentant d’expliquer ces raisons et ce processus, qu’il fut conduit à écrire le présent ouvrage. (Pólya, 1989, p. XIV)

L’auteur met en évidence l’importance de la résolution de problèmes dans l’activité mathé- matique, en particulier parce qu’elle peut faire connaître « le charme de la découverte et en goûter le triomphe » (Pólya, 1989, p. XIII). Or le plaisir des mathématiques entraîne un certain intérêt à faire des mathématiques. Pólya préconise ainsi aux enseignants de « piquer la curiosité » de leurs élèves en proposant des problèmes à résoudre, en rapport avec leurs connaissances. Ce livre vise ainsi à aider les enseignants à développer chez leurs élèves l’ap- titude à résoudre des problèmes mais également, à aider les élèves eux-mêmes à développer leurs propres aptitudes. L’auteur convient également que cet ouvrage peut intéresser toute personne s’intéressant à l’étude des voies et moyens de l’invention et de la découverte.

Dans ce paragraphe, nous présentons dans un premier temps la méthodologie de résolu- tion de problèmes proposée par Pólya comprenant quatre étapes : comprendre le problème, concevoir un plan, mettre le plan à exécution et revenir sur la solution. Dans un second temps, nous mettons en évidence un aspect récurrent dans l’ouvrage : une dialectique entre l’utilisation des connaissances et l’aptitude à résoudre des problèmes. Enfin, nous discuterons de la nature et du rôle du raisonnement plausible dans la résolution de problèmes.

Une méthodologie en quatre étapes

Pólya décrit une méthodologie de résolution de problèmes en quatre étapes : Tout d’abord il faut comprendre le problème, c’est-à-dire voir clairement ce qui est demandé. En second lieu, il faut saisir le lien qui existe entre les divers éléments, voir ce qui unit l’inconnue aux données pour trouver l’idée de la solution, pour dresser un plan. Troisièmement, mettre notre plan à exécution ; enfin, revenir en arrière sur la solution, une fois qu’elle est acquise, la passer au crible et la discuter.

(Pólya, 1989, p. 11)

Comprendre le problème. En premier lieu, il faut comprendre le problème et son énoncé. La plupart du temps, le simple fait de ne pas bien maîtriser la signification d’une partie même infime du problème empêche de poursuivre le raisonnement. Pólya propose certaines questions références ayant pour objet de vérifier que l’on a bien tout compris.

Une première série de questions permet de se demander si la compréhension verbale du problème est acquise : compréhension des différents termes de l’énoncé, de la structure logique donnée(s)/condition(s)/inconnue(s).

Exemples : Quelle est l’inconnue ? Quelles sont les données ? Quelle est la condition ? Est-il possible de satisfaire à la condition ? La condition est-elle suffisante pour déterminer l’inconnue ? Est-elle insuffisante ? Redondante ? Contradictoire ?

11. Pour Pólya (1989, p. 93), l’heuristique s’efforce de comprendre la méthode qui conduit à la solution des problèmes, en particulier les opérations mentales qui s’avèrent typiquement utiles à l’application de cette méthode. Nous ajoutons que l’heuristique se distingue de la méthodologie en ce sens qu’elle est plus une réflexion sur l’activité intellectuelle du chercheur que sur les voies objectives de solution.

Ces premières questions visent ainsi à faire connaissance avec le problème. Pólya donne une seconde série d’items dont l’objectif est de travailler pour mieux comprendre.

Exemples : Dessinez une figure. Introduisez la notation appropriée. Distinguez les diverses parties de la condition. Pouvez-vous les formuler ?

Répondre à ces items permet un premier contact avec les différents objets et concepts mathématiques en jeu dans le problème. Enfin, Pólya précise que comprendre le problème ne suffit pas pour s’engager dans sa résolution, il faut également avoir le désir de le résoudre. Le choix du problème et sa présentation sont alors deux éléments décisifs pour la compréhension et pour l’intérêt, notamment pour les élèves.

Concevoir un plan. Le deuxième principe posé par Pólya est la conception d’un plan pour la résolution du problème. Il s’agit de chercher des idées qui donnent, de manière un peu générale et parfois imprécise, une direction globale, un schéma de raisonnement ou une suite d’étapes (calculs, constructions, vérifications, etc.) qui amènent à la résolution du problème.

Nous avons un plan lorsque nous savons, au moins en gros, quels calculs, quels raisonnements ou constructions il nous faudra effectuer pour trouver l’inconnue.

(Pólya, 1989, p. 13)

Cette étape est primordiale dans le sens où l’essentiel dans la solution d’un problème est de concevoir l’idée d’un plan, mais elle est difficile car elle fait appel à l’intuition et à l’ima- gination. En effet, Pólya explique que cette idée peut provenir progressivement « ou bien, après des essais apparemment infructueux et une période d’hésitation, on peut avoir soudain un éclair, une “idée lumineuse” » (Pólya, 1989, p. 13-14). Il poursuit en précisant que les bonnes idées s’appuient sur l’expérience passée de résolution de problèmes et sur les connais- sances précédemment acquises. Il insiste sur l’importance de celles-ci, des problèmes résolus ou des théorèmes démontrés, qui sont « des matériaux nécessaires à la résolution de pro- blèmes » (Ibid. p. 14). Pólya propose une première série de questions références dont l’objet est précisément de faire naître des idées grâce aux connaissances précédemment acquises.

Exemples :

Avez-vous déjà rencontré ce problème ? Ou bien avez-vous rencontré le même problème sous une forme légèrement différente ?

Connaissez-vous un problème qui s’y rattache ? Connaissez-vous un théorème qui puisse être utile ?

Regardez bien l’inconnue et essayez de penser à un problème qui vous soit familier et qui ait la même inconnue ou une inconnue similaire.

Voici un problème qui se rattache au vôtre et que vous avez déjà résolu. Pourriez- vous vous en servir ? Pourriez-vous vous servir de son résultat ? Pourriez-vous vous servir de sa méthode ? Vous faudrait-il introduire un élément auxiliaire quelconque pour pouvoir vous en servir ?

Si cette première série de questions ne permet pas de faire naître les enchaînements d’idées qui conviennent, Pólya propose une autre méthode : changer de point de vue sur le problème et en explorer les divers aspects : soit en ayant recours à un problème plus simple ou analogue mais en relation avec le problème initial, soit en cherchant à ne résoudre qu’une partie du problème ou encore en modifiant le problème.

Exemples :

Pourriez-vous énoncer le problème différemment ? Pourriez-vous l’énoncer sous une autre forme encore ?

Si vous ne pouvez résoudre le problème qui vous est proposé, essayez de résoudre d’abord un problème qui s’y rattache. Pourriez-vous imaginer un problème qui

s’y rattache et qui soit plus accessible ? Un problème plus général ? Un problème plus particulier ? Un problème analogue ?

Pourriez-vous résoudre une partie du problème ? Ne gardez qu’une partie de la condition, négligez l’autre partie ; dans quelle mesure l’inconnue est-elle alors déterminée, comment peut-elle varier ?

Pourriez-vous changer l’inconnue, ou les données, ou toutes deux s’il est nécessaire, de façon que la nouvelle inconnue et les nouvelles données soient plus rapprochées les unes des autres ? Vous êtes-vous servi de toutes les données ? Vous êtes-vous servi de la condition toute entière ? Avez-vous tenu compte de toutes les notions essentielles que comportait le problème ?

Pour résumer, il faut essayer de faire varier le problème en utilisant divers moyens tels que la généralisation, la particularisation, l’emploi de l’analogie, le fait de négliger une partie de la condition, le recours aux définitions, etc. Nous reviendrons sur ce point central de la résolution de problèmes dans le paragraphe intitulé faire varier le problème.

Mettre le plan à exécution.La conception du plan a fourni une ligne directrice pour un schéma de démonstration. Le troisième principe de Pólya consiste alors à exécuter la stratégie adoptée et en particulier, à en examiner tous les détails. Cette étape est plus facile que les précédentes mais elle demande de savoir faire preuve de patience. Le plan ne doit plus contenir de zones obscures où une erreur pourrait se cacher. L’auteur propose deux manières de s’assurer de l’exactitude d’un détail du raisonnement : soit par « intuition », soit à l’aide d’une « démonstration formelle », et précise que la question essentielle est que l’élève doit être convaincu honnêtement de l’exactitude de chaque détail de sa démonstration. Il propose alors deux questions références : Pouvez-vous voir clairement si ce détail est correct ? Pouvez-vous démontrer qu’il est correct ?

Revenir sur la solution. La dernière étape proposée par Pólya consiste à porter une vue d’ensemble sur le problème en revenant à la solution. L’auteur précise l’importance de cette phase, souvent négligée :

En se reportant à la solution, une fois celle-ci bien acquise, en reconsidérant et réexaminant le résultat et le chemin qui les y a conduits, ils pourraient consolider leurs connaissances et développer leurs aptitudes à la solution des problèmes.

(Pólya, 1989, p. 19)

Un problème n’est jamais terminé, il reste toujours quelque chose à comprendre ou à ap- prendre. Un travail sur la solution permet par exemple de l’améliorer et de mieux la com- prendre. Pólya propose trois types de travaux pour cette étape. Le premier est un travail de vérification du résultat afin de débusquer d’éventuelles erreurs (Pouvez-vous vérifier le résul- tat ? Pouvez-vous vérifier le raisonnement ?). Le second est un travail de démonstration. Afin de mieux comprendre un résultat, il peut être utile de chercher une seconde démonstration ou de simplifier la première démonstration (Pouvez-vous obtenir le résultat différemment ? Pouvez-vous le voir d’un coup d’œil ?). Enfin le troisième travail consiste à prolonger le problème en mettant en évidence les liens avec d’autres problèmes ou en cherchant une ap- plication du problème (Pouvez-vous vous servir du résultat ou de la méthode pour quelque autre problème ?).

Cette méthodologie en quatre étapes proposée par Pólya est à mettre en parallèle avec le processus de découverte ou d’invention mathématique décrit par Poincaré et Hadamard.

En effet le travail préparatoire correspond à l’étape comprendre le problème, l’incubation et l’illumination se passent pendant la conception du plan et les étapes de vérification, finition

et continuation correspondent àla mise à exécution du plan ainsi qu’auretour sur la solution.

C’est en ce sens que Pólya donne une heuristique au processus de découverte mathématique.

Comme le mentionnent ces trois auteurs, une phase centrale du processus de découverte est de choisir les « bonnes idées ». Si Poincaré et Hadamard mentionnent avant tout l’esthé- tique comme moteur, Pólya met l’accent sur une action essentielle : faire varier le problème, en appui sur l’utilisation des connaissances antérieures d’une part et sur le développement d’heuristiques d’autre part. Dans le paragraphe suivant, nous nous intéressons à ce processus dialectique connaissance/heuristique.

Faire varier le problème : un processus dialectique heuristique/connaissance.

Comme nous l’avons mentionné en introduction, Pólya, dans son ouvrage, met en avant l’importance de la résolution de problèmes pour l’apprentissage des mathématiques. Il rap- pelle ainsi que « nos connaissances mathématiques [...] ne se fondent pas sur les seules preuves formelles. S’il en existe de solides, elles reposent largement sur une base expérimentale ren- forcée par tout problème dont le résultat a été soigneusement vérifié » (Pólya, 1989, p. 156).

Ainsi, selon l’auteur, résoudre des problèmes permet d’acquérir des connaissances mathéma- tiques tout en développant les aptitudes à résoudre des problèmes.

Si [...] l’élève parvient à résoudre le problème qui lui est proposé, il développe par là même son aptitude à résoudre des problèmes. (Pólya, 1989, p. 9)

Grâce à de tels conseils [questions posées par le professeur] l’élève découvrira sans doute la façon d’utiliser les questions et les suggestions, et acquerra ainsi des connaissances plus importantes que celles d’un simple fait mathématique. (Pólya, 1989, p. 10)

A travers les différents articles de son petit dictionnaire heuristique, l’auteur montre que la résolution de problèmes se réalise dans un processus dialectique entre utilisation des connais- sances et développement d’heuristiques. Nous allons illustrer cela avec l’étude d’une étape particulière dans la résolution d’un problème : la variation du problème.

A l’instar de nombreux mathématiciens, Pólya met en évidence l’importance de faire des liens pour résoudre un problème en mathématiques. Dans la description de sa méthodologie, on peut en distinguer de plusieurs types. D’une part, des liens internes au problème (entre les données, les conditions et les inconnues : « En somme, résoudre un problème, c’est essen- tiellement trouver le lien entre les données et l’inconnue » (Pólya, 1989, p. 102)) et d’autre part, des liens externes entre le problème et les connaissances en jeu (Connaissez-vous un théorème qui puisse être utile ?), entre le problème et d’autres problèmes (Connaissez-vous un problème qui s’y rattache ? pouvez-vous vous servir du résultat ou de la méthode pour quelque autre problème ?) ou plus généralement entre différents domaines mathématiques.

Faire ces différents liens, pour la personne qui cherche un problème, est primordial car cela permet d’enrichir le problème mais surtout d’enrichir sa conception du problème.

Pour essayer de trouver une solution, il nous faut à différentes reprises modifier notre point de vue, notre façon de considérer le problème ; il nous faut sans cesse changer de position. Notre conception du problème sera probablement incomplète au début de notre travail ; notre optique sera différente lorsque nous aurons un peu avancé et le sera davantage encore lorsque nous serons sur le point de tenir la solution. (Pólya, 1989, p. 11)

Les questions formulées par Pólya dans les différentes étapes de sa méthodologie visent à faciliter ces diverses mises en relation. Les moyens pour y parvenir reposent en particulier sur la variation du problème, étape « essentielle » (Ibid. p. 208) pour résoudre un problème.

Pólya mentionne quatre critères importants pour résoudre un problème :

– La mobilisation de connaissances antérieures telle que des problèmes antérieurs déjà résolus, des théorèmes connus ou des définitions.

– L’organisation de ces connaissances, c’est-à-dire trouver des combinaisons de ces connais- sances tout en les adaptant au problème proposé.

– La variation du problème pour faire évoluer sa conception du problème.

– Un raisonnement heuristique pour prévoir les étapes qui constitueront le raisonnement final.

Il précise que la mobilisation et l’organisation des connaissances sont difficilement séparables :

« la mémoire ne jouera qu’en faveur de faits plus ou moins liés au but poursuivi, et l’on n’aura à lier et à organiser que les matériaux dont on s’est souvenu et que l’on a mobilisés » (Pólya, 1989, p. 182). La variation du problème demande une mobilisation et une organisation des connaissances dans la mesure où elle cherche à faire le lien entre les connaissances précédem- ment acquises et le problème en apportant de nouveaux éléments, en créant de nouveaux contacts, « de nouvelles possibilités de “toucher” des éléments susceptibles de jouer un rôle dans la question qui nous occupe » (Pólya, 1989, p. 209). Pólya décrit plusieurs méthodes pour faire varier le problème : se reporter à la définition, décomposer et recomposer le pro- blème, résoudre un problème auxiliaire, généraliser, particulariser, raisonner par analogie.

Nous les détaillons ci-dessous.

Se reporter à la définition. Pólya décrit un processus type de retour à la définition : On introduit des éléments appropriés dans la conception du problème ; puis sur la base de la définition, on établit des rapports entre les éléments introduits. Si ces rapports expriment complètement la signification du terme, nous avons utilisé la définition du terme technique et l’ayant utilisée, nous avons éliminé ce dernier.

(Pólya, 1989, p. 68)

Cette méthode consiste en une variation du problème dans la mesure où on opère une mo- dification du problème en remplaçant le terme technique par de nouveaux éléments et de nouveaux rapports entre ces éléments. Pólya précise que le mathématicien se reporte aux définitions pour établir les rapports réels, dissimulés par les termes techniques, qui existent entre les objets mathématiques. Cette méthode repose donc sur les objets et les concepts asso- ciés : en appui sur les connaissances, on cherche à introduire et établir de nouveaux rapports entre les objets. Pólya souligne alors l’importance des connaissances acquises antérieurement mais précise que celles-ci ne suffisent pas, il faut savoir les utiliser à bon escient :

Si nous connaissons de nombreux théorèmes applicables à la notion, si nous avons une grande expérience de la façon dont il faut l’employer, il y a des chances pour que nous mettions la main sur un théorème utile qui comporte cette notion.

(Pólya, 1989, p. 69)

Décomposer et recomposer le problème. Cette méthode consiste d’abord à com- prendre le problème comme un tout puis à en déterminer les points de détail qui peuvent se révéler essentiels. Ces éléments sont ensuite examinés finement. En dernier lieu, il faut recomposer le problème en combinant les éléments d’une manière différente pour en faire un nouveau problème (par exemple un problème similaire ou un problème plus simple). Pólya propose trois combinaisons simples pour obtenir un nouveau problème : garder l’inconnue et changer les autres éléments (données et conditions) ; garder les données et changer les autres éléments (inconnue et condition) ; changer à la fois inconnue et données. Il précise cependant que ces combinaisons ne permettent pas de résoudre certains problèmes difficiles qui peuvent se prêter à « des combinaisons exceptionnelles, originales et l’ingéniosité de celui

qui les résout se révèle par l’originalité de ses combinaisons¹² » (Pólya, 1989, p. 57).

Introduire des éléments auxiliaires. Les éléments auxiliaires sont des éléments nou- veaux introduits dans le problème initial pour aider à sa résolution. Il peut s’agir d’objets, d’inconnues ou de théorèmes. On peut les introduire en employant des résultats connus ou en se reportant aux définitions. Cette méthode repose sur les connaissances précédemment acquises et sur des heuristiques. Elle peut conduire à de nouveaux problèmes notamment des problèmes auxiliaires dont l’étude ne se fait pas pour eux-mêmes mais pour aider à la résolution du problème initial.

Généraliser.

La généralisation consiste à passer de l’examen d’un objet à celui d’un groupe d’objets parmi lesquels figure le premier, ou encore de l’examen d’un groupe limité d’objets à celui d’un groupe plus important de ces mêmes objets. (Pólya, 1989, p. 91)

Pólya mentionne deux types de généralisation. Le premier consiste à établir une loi générale à partir d’une observation particulière. Il donne l’exemple suivant :

Si par hasard, nous rencontrons la somme 1 + 8 + 27 + 64 = 100, nous remarquons qu’elle peut s’exprimer sous la forme curieuse 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 10². Il est alors naturel de se poser la question : arrive-t-il souvent qu’une somme de cubes successifs, tels que 1³+ 2³+ 3³+...+n³, soit un carré ? (Pólya, 1989, p. 91)

La généralisation s’est effectuée par le passage de constantes (4 et 10) à des variables (n et un carré). Le second type de généralisation présenté par Pólya est un « plongement » du problème dans un cadre plus général. Il donne un exemple en géométrie où le problème initial est le suivant : « Une droite et un octaèdre régulier sont dans une position relative donnée. Trouver un plan qui passe par la droite et coupe le volume en deux parties égales » (Pólya, 1989, p. 92). Pour résoudre ce problème, il propose de résoudre le problème suivant, plus général : « Une ligne droite et un solide ayant un centre de symétrie sont dans une position relative donnée. Trouver un plan qui passe par la droite et coupe le solide en deux parties égales » (Ibid.). Dans cet exemple, la généralisation s’opère dans une modification des données où on supprime un critère (le solide est un octaèdre). Il précise qu’en inventant le second problème, plus général, il fait « ressortir la propriété essentielle de l’octaèdre par rapport au problème initial, à savoir qu’il a effectivement un centre de symétrie » (Ibid.).

Particulariser. La particularisation est « le fait de passer de la considération d’un en- semble d’objets donné à celle d’un ensemble plus petit — ou même d’un seul objet — contenu dans l’ensemble donné » (Pólya, 1989, p. 137). Plusieurs emplois de la particularisation sont mentionnés par Pólya : la vérification, l’élaboration de preuve ou l’aide à la résolution. La particularisation peut permettre de vérifier en étudiant un ou plusieurs cas particuliers un théorème qui semble insolite mais également la solution d’un théorème. Concernant l’élabo- ration de preuve, elle peut permettre de réfuter une proposition générale sur une certaine catégorie d’objets en trouvant dans cet ensemble un objet ne la vérifiant pas. Il s’agit alors d’un contre-exemple. Enfin elle peut constituer une aide précieuse à la résolution d’un pro- blème en donnant une idée de la direction dans laquelle il faut chercher une preuve. Pólya précise que l’étude de ces extrêmes est particulièrement instructive :

En les examinant de près, nous arriverons peut-être à réfuter l’affirmation gé- nérale, car ces cas extrêmes risquent forts d’être négligés par les inventeurs de

12. Cet extrait est à rapprocher du témoignage de Villani.