Os números irracionais são inseridos nos livros didáticos de matemática destinados a alunos de 7º e 8ª série, geralmente com uma abordagem superficial, conclusão essa pensada a partir de pesquisa bibliográfica que realizamos como trabalho final da Especialização em Matemática/UFRN (SILVA, 2000).
Partindo dessa análise bibliográfica percebemos a necessidade de fazer uma intervenção metodológica sobre o ensino dos números irracionais junto a alunos da 8ª série do Ensino Fundamental, que pudesse tornar o trabalho sobre esses números mais significativo.
Apesar dos alunos que estão cursando ou que já cursaram a 8ª série, terem estudado o conjunto dos números irracionais, eles não vêem a utilização destes em situações práticas. Essa deficiência de aprendizagem fica confirmada pelas pesquisas realizadas no Rio Grande do Norte e comentadas neste trabalho.
Diante do exposto, percebemos a necessidade de se rever o modo como esse conteúdo é desenvolvido em sala de aula em conseqüência do nível de entendimento demonstrado pelos alunos, o que foi concretizado através de um Mestrado em Educação, (SILVA, 2002).
Apresentaremos a seguir um resumo da pesquisa de Mestrado, apontando as principais conclusões.
Realizamos a intervenção metodológica na sala de aula de uma turma de 8ª série, composta por 31 alunos, dos quais, 20 do sexo masculino e 11 do sexo feminino, de uma escola da rede pública municipal de ensino da cidade do Natal, localizada na Zona Norte, no segundo semestre de 2000.
O referido estudo teve quatro fases intercaladas entre si: i) Avaliação Diagnóstica; ii) Intervenção em Sala de Aula; iii) Pós-teste; iv) Análise dos dados.
Sintetizamos as conclusões desse estudo considerando a metodologia geral da pesquisa que compreendeu uma coleta de dados, com fases de avaliação e aplicação de módulo de ensino, caracterizada nos seguintes pontos:
i) A Avaliação Diagnóstica mostrou que, de modo geral, a maioria dos alunos não tinha conhecimento dos conceitos matemáticos explorados que permitisse responder as questões de forma satisfatória. No geral, percebemos que o nível de compreensão relacional demonstrado pelos participantes está muito baixo, esperava-se que alunos da série em questão apresentassem mais habilidades sobre os conteúdos explorados. Os resultados das respostas das questões avaliadas no estudo reforçam as pesquisas que apontam deficiência no ensino-aprendizagem de matemática.
ii) A aplicação das atividades do módulo de ensino foi bem recebida pelos alunos, cujo interesse em realizá-la foi percebido desde o início, tendo o grupo demonstrado uma afetividade positiva em relação à intervenção como um todo, o que contribuiu para o desenvolvimento do trabalho. As condições gerais de estudo favoreceram a aplicação desse instrumento da pesquisa. Verificamos também que a intervenção com o módulo de ensino foi positiva do ponto de vista da aprendizagem, em virtude da superação das dificuldades apontadas na avaliação diagnóstica. As atividades sobre números irracionais foram desenvolvidas de maneira satisfatória, atendendo aos objetivos propostos.
iii) Analisando o resultado do pós-teste, podemos afirmar que, a aplicação do módulo de ensino promoveu um avanço no nível de aprendizagem dos indivíduos envolvidos, notadamente sobre o conceito de área de retângulo, o desenvolvimento dos procedimentos para o cálculo de raiz quadrada por aproximação e o teorema de Pitágoras. Sobre números irracionais, objeto da pesquisa, o entendimento dos alunos também foi favorecido.
Diante dos resultados apresentados pelos alunos da 8ª série pesquisada retornamos aos seguintes questionamentos: i) Será que ao oportunizarmos aos alunos da 1ª série do Ensino Médio um trabalho com os números irracionais por meio de atividades de ensino haverá uma aprendizagem mais significativa deste conteúdo? ii) É realmente necessário estudar os números irracionais no Ensino Médio? Na tentativa de respondermos a esses questionamentos nos propomos a realizar uma pesquisa junto a alunos do ensino médio da rede pública de ensino. 2.2 O Estudo sobre a Aprendizagem de Números Irracionais no Ensino Médio
Diante dos resultados apontados na pesquisa de mestrando, relatados neste trabalho, e a necessidade de continuarmos os estudos sobre números irracionais, propomos este trabalho para dar continuidade à pesquisa (SILVA, 2002), considerando o conhecimento dos alunos da primeira série do Ensino Médio, tendo como objeto de estudo os números irracionais. Sendo assim, é nossa finalidade elaborar, aplicar e avaliar uma proposta metodológica sobre este conteúdo matemático que priorize a construção dos conceitos pelos alunos.
Dentre os campos que compõem a matemática elementar — tradicionalmente visto como Aritmética, Álgebra e Geometria — isolamos os Números Irracionais como sendo o assunto de nosso interesse para um estudo do ponto de vista do ensino.
Segundo Níven (1984), a História dos Números Irracionais remonta há cerca de 2500 anos, quando matemáticos gregos constataram a incomensurabilidade entre o lado e a diagonal do quadrado unitário. Em outras palavras, isso significa que 2não pode ser escrito na forma de um número racional, (isto é,
b a
com a e b inteiros). Uma discussão sobre números irracionais geralmente contém a prova clássica da irracionalidade de 2 , por um argumento lógico chamado “redução ao absurdo”. Num estudo mais aprofundado sobre números reais, estes são classificados não apenas como racionais e irracionais, mas também em duas outras categorias — que não são estudadas no nível do presente trabalho. Uma categoria compreende os que são chamados de “números algébricos”, ou seja, os números que são soluções de equações algébricas com coeficientes inteiros (por exemplo:
2é solução de x2 – 2 = 0) e uma outra contém todos os demais números, sendo estes chamados de números transcendentes, como o número irracional S (PI).
O estudo dos Números Reais faz parte do currículo oficial de Matemática para o Ensino Fundamental e consta nos livros-texto de Matemática para as 7ª e 8ª séries. Constatamos as dificuldades que os alunos de 8ª série apresentam no entendimento dos números irracionais, principalmente nos conteúdos que consideramos pré-requisitos para a aprendizagem do tema em foco, como: operações com raiz quadrada exata e não-exata, dízimas periódicas, cálculo de área do retângulo e teorema de Pitágoras. No estudo realizamos uma intervenção metodológica com base nesses conteúdos e percebemos ser possível, a partir dos resultados alcançados, haver um melhor entendimento do assunto por parte dos alunos, em razão da maneira como são trabalhados.
Consideramos os conceitos avaliados de fundamental importância para a aprendizagem e uso da matemática nas três séries do Ensino Médio, A nossa proposta de aprofundar o estudo sobre o conteúdo Números Irracionais em duas turmas de 1ª série do Ensino Médio, enquadra-se no currículo atual, tanto na proposta de conteúdos sugerida nos PCNEM, quanto à abordada nos livros didáticos. Segundo os PCNEM “[...] A Matemática no Ensino Médio não possui apenas o caráter formativo ou instrumental, mas deve ser vista como ciência, com suas características estruturais específicas” (BRASIL, 1999, p. 252).
Os Números Irracionais como comentamos neste trabalho são explorados como forma de subconjunto dos Números Reais nas últimas séries do Ensino Fundamental, mas também são utilizados dentro dos vários conteúdos Matemáticos do Ensino Médio. Perpassando por intervalos, geometria e na trigonometria como seno, cosseno, tangente, [...], exemplo: seno de 45º que é igual a
2 2
; no cálculo de determinante, aplica-se junto ao conjunto dos números imaginários, também é explorado em geometria plana e geometria analítica.
Mas é de fundamental importância ressaltar que os Números Irracionais têm aplicação prática no nosso cotidiano e que muitas vezes passa despercebida essa aplicação por trabalharmos com aproximações (limites). Como exemplo comum que acontece nas cidades, podemos citar que: Um motorista ao perceber que um pedestre displicente estava atravessando uma avenida, pisou fundo no freio
cantando os pneus no asfalto para não provocar um acidente, parando próximo ao assustado pedestre. Um guarda próximo ao local quis logo multar o motorista por excesso de velocidade, mas o motorista disse que estava dirigindo a menos de 80 quilômetros por hora, velocidade máxima permitida naquela avenida. Como o guarda poderia saber a velocidade com que vinha o carro?
Em uma freada brusca os pneus deixam uma marca no asfalto, medindo o comprimento dessa marca é possível saber, aproximadamente a velocidade com que vinha o carro. A fórmula, obtida através da física é a seguinte: V =14,6 c , onde V representa a velocidade do carro em quilômetro por hora e c é o comprimento da marca deixada pelos pneus em metros — No caso citado, se os pneus do carro deixassem gravadas no asfalto uma marca de 43 metros. Aplicando a fórmula V =14,6 c , teríamos a utilização de um número irracional e ficaria V 14,6u 43 =
78 , 95 56 , 6 6 ,
14 u , ou seja, o carro vinha aproximadamente a 96 km/h e o motorista
deveria ser multado. Nessa situação, qualquer valor que fosse o comprimento da marca dos pneus no asfalto e que a medida não representasse um número quadrado perfeito se estaria usando números irracionais. Os referidos números também são muito utilizados nas engenharias, principalmente na construção civil, tendo assim, grande importância na prática, mesmo sendo utilizado com determinação de limite de casas decimais.
Outro ponto importante e, que chama nossa atenção para a necessidade de se aprofundar a abordagem dos Números Irracionais no Ensino Médio é a crescente procura dos estudantes desse nível de ensino pelos cursos da área tecnológica na Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), nos últimos anos.
Em 2004, das 3.711 vagas ofertadas pela UFRN, cerca de 28,9% foram preenchidas na área tecnológica. Em 2005, de 25.332 inscritos no vestibular, 18,8% optaram pela área tecnológica, incluindo os Centros de Tecnologia e Ciências Exatas e da Terra. Nesse mesmo ano, das 3.741 vagas ofertadas pela UFRN, 28,7% efetuaram matrículas na referida área, dados fornecidos pela Comissão permanente do vestibular (COMPERVE, 2004).