Compreensão de conceitos matemáticos avançados — A Matemática no início

Como trabalho que aborda a aprendizagem do Cálculo também encontrámos o trabalho de António Domingos (2003). Com o objetivo geral de caraterizar a compreensão dos conceitos de sucessão, de função e de cálculo diferencial, com os objetivos específicos de integrar o contributo de várias teorias sobre a construção dos conceitos matemáticos, caraterizar a complexidade dos conceitos imagem que os alunos têm dos conceitos matemáticos ensinados e caraterizar desempenhos escolares típicos de alguns alunos, o autor realizou um estudo com alunos do 1.º ano de licenciaturas

24 _{• imagens mentais restritas de funções, • a notação de Leibniz - uma "ficção útil" ou um significado}

genuíno, • dificuldades em traduzir problemas do mundo real em formulação de cálculo, • dificuldades em selecionar e usar representações apropriadas, • manipulação algébrica — ou falta dela, • dificuldades em absorver novas ideias complexas num tempo limitado, • dificuldades em lidar com quantificadores em definições multiplamente quantificadas, • consequente preferência do aluno por métodos procedimentais, em vez de compreensão concetual.

25 _{• conciliar o antigo e o novo reconstruindo uma nova estrutura de conhecimento coerente,}

• manter os elementos conflitantes em compartimentos separados e nunca permitir que eles sejam trazidos simultaneamente para a mente consciente.

em Ensino das Ciências, Engenharia Electrotécnica e Matemática. Os conceitos considerados são os da disciplina de Análise Matemática I.

Com uma metodologia qualitativa e apoiando-se em trabalhos de Dubinsky, Sfard, Tall e Vinner, respetivamente, na teoria APOS, na teoria da Reificação, nas ideias do pensamento matemático avançado, o autor caraterizou níveis de conceitos imagem que possuem propriedades próprias — localidade, hierarquia, estabilidade e oscilação — que se distinguem entre conceitos imagem incipientes, instrumentais e relacionais, com os primeiros mais ligados à Matemática Elementar, enquanto que os últimos estão mais ligados à Matemática Avançada. Caraterizou também os desempenhos escolares de três dos 15 alunos inicialmente considerados no estudo que revelaram sucesso escolar, apesar de apresentarem conceitos imagem bastante diversificados, nomeadamente um apresentando uma compreensão relacional dos conceitos — manifestando-se capaz de os aplicar em diversas situações —, o segundo apresentou uma compreensão instrumental dos conceitos — apresentando um desempenho satisfatório, contudo operacional —, e o último manifestou-se paradoxal, uma vez que mesmo aparesentando uma compreensão incipiente da maioria dos conceitos, apresentou bom desempenho escolar.

Contributo integrado de várias teorias sobre a construção de conceitos matemáticos Domingos (2003) conclui que a combinação dos pontos fortes de várias teorias — teoria da Reificação, teoria APOS, assim como a conceção proceptual — proporcionou uma ferramenta poderosa no sentido de melhor caraterizar os níveis de conceito imagem propostos, proporcionando uma linguagem própria, bem como permitindo acompanhar o seu desenvolvimento de estudo dos conceitos matemáticos desde os mais elementares aos mais avançados.

Da teoria da Reificação (Sfard, 1991) obtém-se uma explicação completa sobre como se pode conceber objetos matemáticos passando por uma concepção operacional e chegando a uma estrutural. Este caminho é feito passando pelas fases de interiorização, condensação e reificação, o que torna os objetos cada vez mais compactos até o ponto de se tornarem novos objetos matemáticos. Por sua vez, Tall (2002) admite que a formação de novos conceitos ocorre numa sequência que inicia na realização de procedimentos, evolui passando por processos e, por último, chega a proceitos. À medida que a evolução acontece, o domínio do conceito é cada vez mais sofisticado, resultando finalmente na capacidade de pensar simbolicamente sobre o mesmo. Dubinsky (1991) apresenta um modelo que se assemelha aos dois anteriores. Para ele o domínio do conceito tem quatro níveis de estrutura mental: ação, processo, objeto e esquema. A passagem por cada um desses níveis envolve mecanismos mentais: Interiorização, capsulamento, coordenação, reversão. Deste modo Domingos (2003, p. 345) conclui:

Embora as várias teorias apresentem percursos semelhantes para explicar a construção dos conceitos matemáticos, parece ser importante coordenar os vários contributos dados por cada uma delas em separado. Assim, partindo do princípio que a teoria da reificação

explica a evolução dos conceitos, partindo dos objectos mais elementares para os mais complexos, a visão proceptual destes objectos vem-nos ajudar a compreender como o conhecimento matemático pode ser compactado e representado por meio de símbolos, tornando-se assim mais fácil de manejar e a teoria APOS fornece-nos mecanismos que nos permitem avaliar a compreensão dos alunos de determinados objectos matemáticos, nomeadamente, no balanço entre o capsular e descapsular desses objectos. É assim importante ter em conta estas características das várias teorias com o objectivo de estabelecer os níveis de conceito imagem que melhor traduzam a compreensão dos vários conceitos matemáticos estudados.

Domingos (2003) acrescenta que o seu estudo é um valor acrescentado à teoria já desenvolvida sobre as noções de conceito definição e conceito imagem. Faz uma contextualização de como tais conceitos eram considerados por Vinner e por Tall. O primeiro considerava-os como sendo duas células distintas na mente do indivíduo. O segundo admitiu que ambos conceitos faziam parte da mesma estrutura cognitiva, estrutura dominada pelo conceito imagem, mas tendo tanto o conceito imagem como o conceito definição como partes integrantes. Embora, a categorização de Tall tenha sido bastante utilizada em diversos trabalhos de investigação e considerada bastante útil, Domingos (2003) aponta nela limitações particularmente na forma como explica os processos que estão associados à construção de conceitos e afirma:

A categorização dos conceitos imagem que proponho neste trabalho representa um avanço para a teoria, permitindo que seja possível “medir” a complexidade destes conceitos imagem. É, assim, possível estabelecer uma hierarquia que vai dos conceitos imagem incipientes até aos conceitos imagem relacionais e ao mesmo tempo avaliar o seu grau de complexidade com base nos diferentes domínios identificados que são característicos de cada uma destas categorias. (Domingos, 2003, p. 345)

Caraterísticas dos conceitos imagem

A partir dos dados estudados, Domingos (2003) pôde agrupar os níveis de conceito imagem que podem (co)existir na mente do aluno em três meta-categorias: conceito imagem incipiente, instrumental e relacional. Considera-se conceito imagem incipiente aquele que está mais próximo à Matemática Elementar, considera-se conceito imagem relacional aquele próximo à Matemática Avançada e considera-se conceito imagem instrumental o que se encontra a nível intermédio, na zona de transição entre os dois anteriores. Para chegar à categoriazação acima, o autor teve em conta diferentes domínios utilizados nas teorias cognitivas consideradas no estudo: objetos, processos, tradução entre representações, principais propriedades e pensamento proceptual.

2.7.3 Habilidades fundamentais de raciocínio que promovem coerência na