Teoria da Dialética-Ferramenta-Objeto de Régine Douady

Esta é uma teoria que surge na sequência da anterior, a teoria da Engenharia Didática. Esta autora concebe a teoria da Dialética-Ferramenta-Objeto como instrumentos para a conceção, realização e análise das engenharias didáticas.

Segundo Maranhão (2010), São sete as fases consideradas por esta teoria: fase do antigo, fase de pesquisas, fase de explicitação, fase do novo implícito, fase de institucionalização do conhecimento, fase de reinvestimento e fase do novo problema.

• Fase do antigo: nesta fase o aluno utiliza os conhecimentos antigos, relacionados com a Matemática, como ferramentas para resolver problemas;

• Fase de pesquisas: diante de dificuldades na resolução de problemas, os alunos são conduzidos a colocar em prática novos conhecimentos que são implícitos;

• Fase de explicitação: aqui os alunos descrevem as dificuldades e os resultados obtidos no seu trabalho. Para tal, é importante que o professor crie um ambiente de abertura para debates sobre os conhecimentos antigos, os novos, assim como os que se vão criando ao longo do trabalho dos alunos;

• Fase do novo implícito: ao longo das resoluções, pela experiência que os alunos vão ganhando, tornam-se capazes de formular objetos de conhecimento matemático como

conceitos, propriedades ou procedimentos. Tais objetos podem ser validados ou refutados, cabe ao professor criar um ambiente que permita aos alunos continuar a criar e a aprimorar os seus mecanismos de validação e refutação, numa só palavra averiguação, dos objetos matemáticos fruto da sua criatividade;

• Fase de institucionalização: para o alcance desta quinta fase é possível que seja necessário fazer-ser mais do que um ciclo das quatro fases anteriores. Nesta fase acontece a institucionalização dos conhecimentos validados em objetos matemáticos, nomeadamente definições, enunciados, conjeturas, teoremas, entre outros;

• Fase de reinvestimento: esta é uma fase de consolidação, o que se faz com resolução de vários exercícios. Aqui não se cria novos conhecimentos, são criadas apenas novas situações com intuito de consolidar os conhecimentos adquiridos de tal forma que, posteriormente, tais conhecimentos sejam tratados como antigos.

• Fase do novo problema: aqui os novos conhecimentos passam a ser reutilizados em tarefas mais complexas, utilizando outros conceitos, propriedades e procedimentos. Isto evidencia o despoletar de um novo ciclo. Assim, os conhecimentos novos tomam a condição de antigos a partir dos quais poder-se-á evoluir para novos conhecimentos.

Em 1986, na sua tese de doutoramento intitulada “Jeux de cadres et dialectique outil-objet dans l’enseignement des mathématiques”10_{, pela primeira, vez Régine Douady apresentou os}

conceitos de “quadro”, “mudança de quadro” e de “jogo de quadros”. A autora considera a mudança de quadro como sendo a mudança de contexto muitas vezes necessária para resolver determinados problemas. Esta mudança pode ajudar a entender melhor determinado procedimento que o professor ou o investigador usa para resolver um problema.

Exemplo:

Considere a função: !(") =*+,_*-.

a) Determine o seu domínio;

b) Determine os seus pontos de descontinuidade, caso existam;

c) Classifique-os, sabendo que as descontinuidades podem ser do primeiro género (se os limites laterais no ponto considerado forem diferentes), do segundo género (se o limite no ponto considerado for infinito) e removível (se o limite for diferente da imagem no ponto considerado).

Fase 1, do antigo: considerando que os alunos sabem fazer a representação analítica do domínio de uma função, estamos diante de conhecimentos antigos que permitiram a resolução parcial

do problema. Para resolução das alíneas b) e c), os alunos precisam de conhecimentos sobre continuidade de funções, o que estamos a considerar que não têm ainda, daí estarmos diante de um problema e não de um simples exercício.

a) !(") =" + 2 " − 1

Sendo uma função racional, o procedimento passa por determinar os números reais que anulam o denominador.

" − 1 ≠ 0

" ≠ 1

∴ 45 = {" ∈ ℝ|" ≠ 1}

Fase 2, de pesquisas: o problema apresentado necessita de um novo objeto para ser resolvido, no caso necessita de conhecimentos sobre continuidade de funções que considerámos não ser ainda do conhecimento dos alunos. A amplicação do quadro analítico e a mudança para o quadro geométrico podem propiciar a ampliação dos conhecimentos antigos dos alunos, dando lugar à produção de novos conhecimentos. Na prática, o professor pode desencadear a referida ampliação de quadro orientando a seguinte atividade:

Represente na notação de intervalos o domínio da função dada.

O domínio 45 = {" ∈ ℝ|" ≠ 1} em notação de intervalos é dado por 45= ]−∞, 1[ ∪ ]1, +∞[.

Com esta amplicação do quadro inicial, fica mais uma vez e mais evidente que na vizinhança do ponto " = 1 em todos os pontos da reta real a função tem imagem, apenas no próprio ponto não está definida a imagem da função.

O professor pode desencadear a mudança de quadro orientando a seguinte atividade:

Figura 1.1 Gráfico da função !(") =*+,_*-.

Nota-se que o gráfico da função sofre uma rutura, geometricamente fica claro que a função não tem imagem no ponto de rutura, no ponto " = 1. Em relação à alínea b), mais facilmente já se pode dizer que no ponto " = 1 a função é descontínua, pois nele o gráfico da função é descontinuado. O novo quadro mais facilmente permite resolver a alínea b) e introduzir o conceito de descontinuidade de uma função num ponto.

Fase 3, de explicitação: nesta fase faz-se institucionalização local, fazendo-se referência a constatações feitas no novo quadro considerado.

Depois de ouvidas e consideradas as dúvidas dos alunos, o professor, dentro do novo quadro, está em condições de explicar a noção de limites laterais, no caso calculados nas vizinhanças à esquerda e à direita do ponto " = 1. Com estes novos conhecimentos, agora sim, o professor pode introduzir o conceito de continuidade de uma função num ponto, dizendo que uma função é contínua no ponto de abscissa " = @ se !(@) = lim

*→E!("), ou seja, se a imagem e o limite no ponto considerado

existirem e forem iguais.

Fase 4, do novo implícito: nesta fase consolida-se o conceito apresentado na fase anterior. Aprofunda-se o diálogo entre o professor e os alunos através da resolução da alínea c) e da apresentação de novos exemplos por aquele e da resolução dos mesmos por todos.

Fase 5, de institucionalização: depois de introduzida e formulada a “nova” propriedade, esta deve ser utilizada como ferramenta na resolução de novos problemas. Para tal, institucionaliza-se e enuncia-se o novo conhecimento.

Definição: !(") é contínua num ponto " = @ do seu domínio quando !(@) = lim

*→E!("). Quando

!(") é contínua em cada ponto do seu domínio, diz-se simplesmente que é contínua.

Classificação das descontinuidades:

• Quando os limites laterais da função no ponto considerado existem, mas são distintos, chama-se descontinuidade do primeiro género;

• Quanto o limite é infinito, chama-se descontinuidade do segundo género;

• Quando o limite existe e é diferente da imagem, chama-se descontinuidade removível ou evitável.

Fase 6, de reinvestimento: institucionalizado que está o novo conhecimento reutiliza-se o mesmo noutros problemas mais complexos.

Fase 7, do novo problema: aqui começa um novo ciclo em que os conhecimentos recém- institucionalizados passam a ser antigos e a servir de base para o surgimento de novos conhecimentos.

No exemplo apresentado acima nota-se a influência da mudança de contexto na aprendizagem do aluno. Importa realçar a mudança da representação analítica para a geométrica da função, o que certamente proporciona ao aluno uma visão diferente, mais abrangente, do assunto abordado.