Processos de ensino e de aprendizagem na sala de aula

A unidade curricular sobre a qual incidiu o estudo é denominada Matemática I, é lecionada com uma carga horária de seis tempos semanais, em dois tipos de aula teórico-prática e prática. Os seis tempos são distribuídos em três períodos de tempos duplos. Na altura em que se recolheu os dados das aulas, os períodos de dois tempos estavam em três dias da semana, segundas, quartas e sextas- feiras, a partir do primeiro, terceiro e primeiro tempos, respetivamente.

A unidade curricular é lecionada ao longo do primeiro semestre do primeiro ano, durante 15 semanas. Ora, 15 semanas e seis tempos semanais perfazem um total de 90 tempos semestrais. Cada tempo tem a duração de 45 minutos, o que perfaz um total de 67 horas e 30 minutos de aula. No curso de Contabilidade e Gestão, os alunos têm uma carga horária de seis tempos por dia durante os cinco dias úteis da semana, de segunda a sexta-feira, perfazendo assim 30 tempos semanais e 450 tempos semestrais. Os 90 tempos semestrais de Matemática I representam 20% da carga horária total do primeiro semestre.

O programa de Matemática I (CAPÍTULO 1Anexo I) comporta cinco unidades, nomeadamente (1) Sucessões, (2) Limite de uma Função Real de Variável Real, (3) Funções Contínuas e Descontínuas em ℝ, (4) Derivadas e (5) Primitivas. As aulas, tanto de um tipo como do outro, são lecionadas por uma única professora. Esta unidade curricular tem como objeto de estudo funções reais de variável real de uma só variável. Devido a limitações de tempo e por não ser um curso de especialização em Matemática, a unidade curricular não é lecionada com a mesma profundidade que se leciona Análise Matemática I nos cursos superiores de Matemática ou de Ensino da Matemática. A lecionação de Matemática I contém caraterísticas tanto daquilo que Tall (1992) descreve como Cálculo Informal como daquilo que descreve como Análise Formal, predominando caraterísticas do Cálculo Informal. Matemática I é precedência de Matemática II, onde o objeto de estudo também são funções reais de variável real, mas com a diferença de serem funções de duas ou mais variáveis.

As aulas teórico-práticas eram caraterizadas por uma predominância da exposição da professora. Ao longo delas a professora apresentava o objetivo da aula, os conceitos a serem estudados, a relevância dos mesmos e abordava-os com competência. Os alunos eram permanentemente envolvidos nas abordagens da professora com convites frequentes para darem o seu contributo nos conceitos construídos, nas definições apresentadas, nos exemplos apresentados, bem como nos exercícios normalmente apresentados e resolvidos na parte final da aula. As fases didáticas eram normalmente respeitadas e a transição entre elas feita de maneira suave. As aulas práticas eram caraterizadas por uma maior participação dos alunos com a professora mais a exercer

o papel de reguladora das atividades na sala de aula do que propriamente de uma protagonista da atividade.

No contexto em que o estudo foi desenvolvido é usual considerar-se as seguintes fases didáticas: (1) asseguramento do nível de partida; (2) motivação; (3) orientação até o objetivo; (4) desenvolvimento; (5) consolidação. A professora desenvolvia todas as fases. Na primeira, revia os conhecimentos prévios necessários para a lecionação de novos conteúdos, procurava pôr todos os alunos ao mesmo nível, incidindo as suas explicações sobre o que eles não dominavam, bem como sobre a correção de tarefas. Na segunda fase, procurava despertar nos alunos interesse pelos conteúdos que a seguir lecionaria, falava-lhes sobre a sua importância na Matemática, no seu curso e noutras áreas em que poderia ser aplicado. Na terceira fase, a professora procurava apresentar os objetivos geral e específicos da aula, explicava aos alunos como os alcançariam e o que precisavam para os alcançar, delimitava o campo e o tempo de ação, enfim, situava os alunos. Na quarta fase, expunha os novos conceitos, procurando ligá-los aos conhecimentos prévios, exemplificava, esclarecia dúvidas, estimulava os alunos a desconstruir conceitos errados, a reconstruir conceitos de maneira correta e construir novos conceitos. Na quinta fase, verificava até que ponto os alunos tinham assimilado o que era lecionado. Submetia-os à resolução de exercícios apresentados sob diversas formas e com distintos graus de dificuldade. É uma fase que normalmente terminava deixando exercícios, os restantes ou novos, como tarefa. É uma fase em que a professora estimulava tanto o trabalho individual como o coletivo. Pelo trabalho individual os alunos tinham a oportunidade de fazer um autoexame, identificar suas debilidades e superá-las. Tinham a oportunidade de consolidar tudo quanto tinham aprendido ao longo da aula. Pelo trabalho coletivo os alunos tinham a oportunidade de encarar os conceitos sob pontos de vista alheios aos seus, sob os pontos de vista dos seus colegas, tinham a oportunidade de trocar experiências e, assim, expandir e consolidar o seu entendimento.

A exposição dos conteúdos pela professora assentava em quatro perspetivas: (1) apresentação algébrica; (2) apresentação gráfica dos conceitos; (3) apresentação numérica; (4) descrição verbal ou escrita de conceitos e de procedimentos. A perspetiva algébrica era a predominante, seguida pela gráfica e pelas outras duas. A professora projetava os conteúdos das aulas numa tela, utilizando um vídeo projetor. Algumas vezes, quando fosse necessário, completava os conteúdos projetados fazendo ditados. Quanto aos exemplos e aos exercícios, a professora projetava os enunciados na tela e fazia as suas resoluções no quadro. Os alunos transcreviam os apontamentos projetados na tela e os exemplos e os exercícios resolvidos no quadro para os seus cadernos.

Quanto ao ambiente físico da sala de aula em que foi lecionada a unidade curricular, importa referir que as carteiras dos alunos estavam dispostas em filas individuais, que a secretária da professora estava defronte às carteiras dos alunos, entre estes e o quadro, ligeiramente afastada para o lado direito da professora. A sala era devidamente iluminada e arejada.

No que toca às relações interpessoais e intrapessoais, o ambiente, nos momentos de exposição da professora, era sereno e de grande reflexão. Pela linguagem gestual — alguns olhares para o alto, olhares distantes, manifestações serenas de satisfação (“ahn!…”, “OK!”, “Estou a ver…”, “então… é

por isso!”, entre outras), etc. — parecia que alguns alunos estavam a buscar em si ligações com os conteúdos apresentados pela professora. À medida que a professora expunha, alguns alunos aparentavam viver momentos de inquietação interior, pareciam tentar exteriorizar alguma ideia, reforçar, diminuir ou acrescentar alguma coisa ao discurso da professora. Com alguma frequência as procuras e as inquietações pareciam ser bem-sucedidas, pois eram seguidas de momentos de aparente alívio. Por outro lado, também pela linguagem gestual — espanto serenamente manifestado, constante perda e procura do fio condutor à compreensão, olhares manifestando estranheza, esgares, etc. —, parecia que alguns alunos estavam a ser confrontados com um choque térmico, momentos em que, por mais esforços que fizessem, pouco ou nada tinha ligação com o que já traziam na sua estrutura mental, embora devesse ter. Reconhecer que fazer parte daquela turma implicava encontrar ligações entre as suas estruturas mentais e os novos conteúdos e não conseguir estabelecê- las provocava nalguns deles alguma frustração, sentimento manifestado por suaves suspiros, quase imperceptíveis, manifestado ainda por desvios da atividade principal que era a de participação na aula. Por outro lado, ainda, havia os alunos indiferentes, pouco expressivos dos seus sentimentos, de uma linguagem gestual, digamos assim, pobre, de difícil leitura. Alunos que pareciam ter simplesmente depositado o seu corpo na sala de aula para cumprir formalismos.

Ainda sobre as relações interpessoais e intrapessoais, havia também os momentos de maior interação, eram os de apresentação de exemplos, bem como os de resolução de exercícios. Momentos em que os indiferentes eram puxados pelos mais participativos e os que pouco ou nada pareciam entender eram aclarados pelos mais esclarecidos. Eram momentos de barulhos localizados e bastante profícuos, não generalizados, provocados pelas trocas de impressões entre os vizinhos de carteira. Eram momentos de nivelamento dos conteúdos captados, nivelamento dos conhecimentos construídos, eram momentos de ajustes e de reajustes, eram momentos de reagrupamento para partir para os desafios seguintes.

As aulas práticas eram marcadas por um ambiente de muito maior interação. Começavam geralmente com a resolução dos exercícios e problemas da aula anterior, apresentação de novos exercícios e problemas, tempo de reflexão e resolução independente dos alunos, tempo de resolução em comum moderado pela professora e indicação de novos exercícios e problemas para resolução independente em casa.

A professora promovia e garantia um ambiente de relações interpessoais de amizade e de respeito, o que facilitava em grande medida a participação dos alunos. Pode-se dizer que, dentro dos devidos limites, os alunos estavam à vontade. A professora promovia e garantia um ambiente de relação intrapessoal reflexiva e introspetiva, o que favorecia a ocorrência de mecanismos mentais, dando lugar às consequentes alterações das estruturas mentais dos alunos.

Do ponto de vista da estruturação da aula, a promoção e a garantia de condições adequadas de aprendizagem pela professora consistia na passagem pelas seguintes fases didáticas: asseguramento do nível de partida, motivação, orientação até o objetivo, desenvolvimento e consolidação.

Tabela 12: Descrição das 12 (24 tempos) aulas de Matemática I observadas (sombreadas na tabela) no curso de Contabilidade e Gestão

Temp Conteúdo (aula) Desenvolvimento

1

Noções topológicas em ℝ

Vizinhança, interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto. Conjuntos abertos e conjuntos fechados. Conjuntos limitados.

2

3

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas 4

5

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas 6

7

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas 8

9

Sucessões de números reais Definição de uma sucessão. Limite de uma sucessão. Critérios de convergência.

10 11

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas 12

13

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 14

15

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas 16

17

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 18

19 _{Generalidades sobre funções} reais de variável real

Definição. Tipos de função. Representação de funções. Resolução de exercícios.

20

21 Aula prática Resolução de exercícios e de problemas 22 Aula prática Resolução de exercícios e de problemas 23

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas 24

25

Limites Limites fundamentais. Tipos de indeterminações. 26

27

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas 28

29

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas 30

31

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas 32

34 35

Continuidade de funções Continuidade de funções. Tipos de descontinuidade. Resolução de exercícios e de problemas.

36 37

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas 38

39

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 40

41

Derivada de uma função

Derivada por definição. Interpretação geométrica. Interpretação económica. Interpretação física. Reta tangente. Resolução de exercícios.

42 43

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 44

45

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 46

47

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 48

49

Derivada de uma função Derivação por tabela. Regras e fórmulas de derivação. 50

51

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 52

53

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 54

55

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 56

57

Derivada de uma função Regra da cadeia. Derivadas de ordem superior. 58

59

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 60

61

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 62

63

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 64

65

Derivada de uma função Derivada de função implícita. Derivada de função paramétrica.

66 67

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 68

69

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 70

71

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 72

73

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 74

75

Estudo de uma função Domínio. Imagem. Paridade. Extremos. Concavidade e convexidade. Pontos de inflexão.

76 77

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 78

79

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 80

81

Aula prática Resolução de exercícios e de problemas. 82

No que diz respeito a meios de ensino, os alunos utilizavam cadernos, esferográficas, lápis, meios geométricos (réguas, esquadros, transferidores e compassos), utilizavam máquinas de calcular científicas, não utilizavam recursos tecnológicos mais avançados como os softwares Derive, Maple, Mathematica, Texas Instruments, entre outros. A professora utilizava quadro, marcadores, videoprojetor e os seus apontamentos.

Utilizando critérios de Bada (2015, pp. 68, 69) como referência, consideramos a sala de aula como construtivista. A Tabela 13 associa critérios de Bada a justificações da sala de aula investigada.

Tabela 13: Sala de aula construtivista

Sala de aula construtivista Constatações na sala de aula O curriculum enfatiza grandes conceitos,

começando com o todo e expandindo para incluir as partes

Ao longo das aulas a professora apresentava o objetivo da aula, os conceitos a serem estudados

e a sua relevância A pesquisa das questões e interesses dos

alunos é valorizada

Os pontos de vista dos alunos sobre os conceitos eram explorados pela professora

Os materiais incluem fontes primárias e materiais manipulativos

A professora recomendava aos alunos a consulta de livros de Análise Matemática e Matemática Aplicada à Economia na biblioteca da instituição A aprendizagem é interativa, construída sobre

aquilo que o aluno já conhece

Contribuição dos alunos nos conceitos construídos, nas definições, nos exemplos e nos

exercícios apresentados. Os professores mantêm um diálogo com os

alunos, ajudando-os a construir o seu próprio conhecimento

Os alunos eram permanentemente envolvidos nas abordagens da professora com convites

frequentes O papel dos professores é interativo, assente

A avaliação inclui os trabalhos do aluno, observação e os seus pontos de vista, assim

como testes. O processo é tão importante quanto o produto

Contribuição dos alunos nos critérios de avaliação, bem como na delimitação dos

conteúdos a avaliar O conhecimento é visto como dinâmico, em

constante mutação com as nossas experiências

A professora valorizava a perspetiva económica de conceitos não se limitando à perspetiva

matemática

Os alunos trabalham primeiramente em grupos

Em aulas práticas (e nas partes práticas das aulas teórico-práticas) os alunos tinham a oportunidade de interagir em grupos formados

segundo as suas preferências

É importante referir que a escala de avaliação do aproveitamento dos alunos é de 0 a 20 e à mesma corresponde uma escala qualitativa: mau (de 0 a 4), medíocre (de 5 a 9), suficiente (de 10 a 13), bom (de 14 a 16), muito bom (17 e 18) e excelente (19 e 20).

No documento Aprendizagem do Cálculo para economistas (páginas 99-105)