Percurso histórico da Teoria APOS Abstração reflexiva

Intimamente ligado à Teoria APOS está o conceito de abstração reflexiva proveniente das ideias de Piaget. Este considerava como sendo tanto o mecanismo principal para a construção mental no desenvolvimento do pensamento como o mecanismo mental através do qual todas as estruturas lógico-matemáticas são desenvolvidas na mente do indivíduo.

Para Piaget, citado por Arnon et al. (2014), abstração reflexiva é o mecanismo mental através do qual todas as estruturas lógico-matemáticas surgem. Para o autor, a abstração reflexiva, por si só, suporta e anima todo o imenso edifício da construção lógico-matemática.

Apegando-se às ideias de Piaget, em 1982, Dubinsky, que tinha como linha de investigação a Análise Funcional, adotou uma nova linha de investigação que consistia na pesquisa das atividades mentais envolvidas na aprendizagem de matemática por parte dos alunos.

What is reflective abstraction? Piaget’s answer, repeated in many diferent publications, consists of two parts. The first part involves reflection, in the sense of awareness and contemplative thought, about what Piaget called content and operations on that content, and in the sense of reflecting content and operations from a lower cognitive level or stage to a higher one (i.e., from processes to objects). The second part consists of reconstruction and reorganization of the content and operations on this higher stage that results in the operations themselves becoming content to which new operations can be applied.17 _{(Arnon et}

al., 2014, p. 6)

Dubinsky constatou que a segunda parte é muito próxima a ideias matemáticas, o que pode ser visto em dois exemplos: As funções são primeiramente construídas como operações que transformam elementos de um conjunto em elementos de um outro conjunto. Num estádio mais elevado, as funções são consideradas como elementos de um espaço funcional, tornando-se conteúdos sobre os quais novas operações são construídas. Os números inteiros constituem um outro exemplo, numa etapa um inteiro é uma operação ou processo de formar unidades — objetos idênticos entre si — em conjuntos através da contagem e ordenação de objetos. Noutra etapa mais avançada, os inteiros tornam-se objetos sobre os quais novas operações são aplicadas. (Arnon, et al., 2014)

A partir da constatação acima, Dubinsky desenvolveu a Teoria APOS.

Nota-se nas ideias de Piaget o percurso da teoria APOS:

Piaget não acreditava que as ideias mais gerais e abstratas provêm de extrair caraterísticas comuns de vários fenómenos, considerando um

17 _{O que é abstração reflexiva? A resposta de Piaget, repetida em muitas publicações diferentes,}

consiste em duas partes. A primeira parte envolve reflexão, no sentido de consciência e de pensamento contemplativo, sobre aquilo a que Piaget denominou conteúdo e operações sobre o conteúdo, bem como no sentido de refletir conteúdo e operações a partir de um estádio ou nível inferior para um mais alto (i.e., de processos para objeto). A segunda parte consiste na reconstrução e reorganização do conteúdo e operações neste estádio mais alto que resulta nas próprias operações tornando-se conteúdo aos quais novas operações podem ser aplicadas.

exemplo de Matemática avançada, ele escreveu: o conceito ou a propriedade de grupo é obtida, não por este tipo de abstração [extrair caraterísticas comuns], mas através de um modo de pensamento caraterístico da Matemática moderna e da lógica — abstração reflexiva — que não é proveniente de coisas, mas sim das nossas formas de agir sobre as coisas, as operações que realizamos sobre elas. … (Piaget 1968/1970 apud Arnon, 2014, p. 7)

O desenvolvimento do conhecimento sobre um objeto, tanto mental como físico, requer simultaneamente o objeto e o sujeito que age sobre o objeto. Desta maneira, para Piaget, o sujeito — o conhecedor — e o objeto — o conhecido — não podem ser dissociados. Falar de um implica falar do outro. Tais considerações, para o autor, são extensivas a todos os níveis e conteúdos da Matemática, desde o mais elementar ao mais complexo ao nível de descoberta de Matemática nova. A estrutura geral da teoria APOS consiste em sucessivamente operações sobre o conteúdo desembocarem em novo conteúdo, o que permite fazer a distinção entre ações materiais e operações interiorizadas, permitindo a distinção entre estruturas mentais de ação e de processo, a distinção entre interiorização e capsulamento.

. . . it follows that when the child discovers by experience the result of an action, for example, that the result of an addition is independent of the order followed (which is a property of the actions of combining and ordering and not a property of the objects as such, which include neither sum nor order independently of the actions carried out on them), reflective abstraction consists of translating a succession of material actions into a system of interiorized operations, the laws of which are simultaneously implied in an act. (Beth and Piaget 1966/1974, apud Arnon, 2014, p. 7)18

Para Piaget, as propriedades dos objetos não residem neles, mas sim nas ações que recaem sobre eles, ou seja, as propriedades dos objetos dependem dos objetos e dos sujeitos que os conhecem. Para Dubinsky, “ações materiais” referem-se a ações realizadas por um sujeito, sendo externas a ele. No exemplo apresentado por Piaget, as ações materiais são as transformações físicas do objeto partindo de dois pequenos conjuntos de objetos, ou seja, contar o número de elementos num conjunto, a seguir no outro, e adicionar os dois resultados para obter o número total de objetos.

18 _{Segue-se que, quando uma criança descobre por exepriência o resultado de uma ação, por exemplo,}

que o resultado de uma adição é independente da ordem seguida (o que é uma propriedade das ações de combinar e de ordenar e não uma propriedade do objeto como tal, o que não inclui nem a soma nem a ordem independentemente das ações desenvolvidas nela), abstração reflexiva consiste na tradução de uma sucessão de ações materiais para um sistema de operações interiorizadas, cujas leis implicam simultaneamente em ação.

Logo a seguir fazer o mesmo na ordem inversa e constatar que dá no mesmo. Neste caso, os números são objetos, isto é, números naturais representados por conjuntos de objetos físicos, a ação aplicada a estes objetos é a adição e a propriedade da operação é a comutatividade. À luz da teoria APOS, as “operações interiorizadas” de Piaget tornaram-se processos. A “tradução” tornou-se o mecanismo mental da teoria APOS de “interiorização”, onde uma ação externa, física ou material é reconstruída na mente do sujeito para se tornar num processo — operação interiorizada —, isto é, uma construção mental e interna que faz a mesma coisa que a ação, mas que se encontra totalmente na mente do sujeito e não no seu exterior. Para Dubinsky, o “sistema” de Piaget refere-se a um “esquema”, o conceito de comutatividade, e nele nota-se a ideia de “coerência” mediante a qual um sujeito decide se um esquema particular é ou não aplicável a uma situação problemática da Matemática.

O conceito de abstração reflexiva de Piaget não esteve apenas na base do surgimento da teoria APOS, contribuiu também para o seu desenvolvimento, nomeadamente, como um processo, entenda-se ação ou operação interiorizada, é transformado num objeto, operação sobre a qual operações de um estádio mais avançado podem ser aplicadas, através do mecanismo mental de capsulamento.