CAPÍTULO 2 Revisão de literatura
2.7 Antecedentes do tema
2.7.3 Habilidades fundamentais de raciocínio que promovem coerência na
Para Oehrtman, Carlson, & Thompson (2008) o conceito de função é central para a aprendizagem da Matemática a nível de graduação, fundamental para a Matemática moderna e essencial para as ciências. Consideram também que o seu empobrecido entendimento contribui para o insucesso escolar. Os autores defendem um ensino que promova conceções ricas, habilidades de raciocínio poderosas de modo a despertar curiosidade e interesse nos alunos e, consequentemente, sucesso escolar.
The concept of function is central to undergraduate mathematics, foundational to modern mathematics, and essential in related areas of the sciences. A strong understanding of the function concept is also essential for any student hoping to understand calculus – a critical course for the development of future scientists, engineers, and mathematicians. (...) This impoverished understanding of a central concept of secondary and undergraduate mathematics likely results in many students discontinuing their study of mathematics. (…) We advocate that instructional shifts that promote rich conceptions and powerful reasoning abilities may generate students’ curiosity and interest in mathematics, and subsequently lead to increases in the number of students who continue their study of mathematics.26
(Oehrtman, Carlson, & Thompson, 2008, p. 150)
Oehrtman, Carlson, & Thompson (2008), apoiados nas estruturas mentais ação e processo da teoria APOS, caraterizam comparativamente as visões de ação e de processo dos alunos sobre funções (Tabela 8). Fazem recomendações sobre como passar de uma visão para outra: (1) Pedir aos alunos que expliquem os factos básicos da função em termos de entrada e saída; (2) Perguntar sobre o comportamento de funções em intervalos inteiros, além de pontos únicos; (3) Pedir aos alunos para fazer e comparar julgamentos sobre funções em várias representações.
26 O conceito de função é fundamental para a Matemática de graduação, fundamental para a
Matemática moderna e essencial em áreas afins das ciências. Uma forte compreensão do conceito de função também é essencial para qualquer aluno que queira entender o Cálculo - um curso crítico para o desenvolvimento de futuros cientistas, engenheiros e matemáticos. (...) Este entendimento empobrecido de um conceito central de Matemática secundária e de graduação provavelmente resulta em muitos estudantes descontinuando seus estudos de Matemática. (…) Defendemos que as mudanças instrucionais que promovem conceções ricas e habilidades poderosas de raciocínio podem gerar curiosidade e interesse dos alunos em matemática e, consequentemente, levar ao aumento do número de alunos que continuam seus estudos de matemática.
Tabela 8: Visão de ação e de processo das funções (Oehrtman, Carlson, & Thompson, 2008, p. 36)
Visão de ação Visão de processo
Uma função está vinculada a uma regra, fórmula ou computação específica e requer a conclusão de cálculos e/ou etapas específicos.
Uma função é um processo de entrada-saída generalizado que define um mapeamento de um conjunto de valores de entrada para um conjunto de valores de saída.
Um aluno deve executar ou imaginar cada ação. Um aluno pode imaginar todo o processo sem ter que executar cada ação.
A “resposta” depende da fórmula. O processo é independente da fórmula. Um aluno só pode imaginar um único valor de
cada vez como entrada ou saída (por exemplo, 9 representa um número específico).
Um aluno pode imaginar todas as entradas de uma vez ou “percorrer” um contínuo de entradas. Uma função é uma transformação de espaços inteiros.
Composição é substituir uma fórmula ou expressão por 9.
Composição é uma coordenação de dois processos de entrada-saída; a entrada é processada por uma função e a sua saída é processada por uma segunda função.
A função inversa é sobre álgebra (mude ; e 9, em seguida, resolva) ou geometria (reflita através de ; = 9.
A função inversa é a reversão de um processo que define um mapeamento de um conjunto de valores de saída para um conjunto de valores de entrada.
Encontrar domínio e contradomínio é concebido, no máximo, como um problema de álgebra (por exemplo, o denominador não pode ser zero e o radicando não pode ser negativo).
Domínio e contradomínio são produzidos operando e refletindo sobre o conjunto de todas possíveis entradas e saídas.
Funções são concebidas como estáticas. Funções são concebidas como dinâmicas. O gráfico de uma função é uma figura
geométrica.
O gráfico de uma função define um mapeamento específico de um conjunto de valores de entrada para um conjunto de valores de saída.
Segundo Oehrtman, Carlson, & Thompson (2008), a aplicação do raciocínio covariacional é uma forma de se construir a visão de processo das funções. Os autores decompõem o raciocínio covariacional em cinco ações mentais e nos respetivos comportamentos exteriorizados pelos alunos (Tabela 9).
Tabela 9: Ações mentais do quadro de covariação (Oehrtman, Carlson, & Thompson, 2008, p. 40) Ação mental Descrição da ação mental Comportamento Ação mental
1 (AM1)
Coordenar a dependência de uma variável noutra variável
Rotular os eixos com indicações verbais de coordenar as duas variáveis (por exemplo, ; muda com mudanças em 9)
Ação mental 2 (AM2)
Coordenar a direção da mudança de uma variável com mudanças na outra variável
• Construir uma linha reta com o declive diferente de zero
• Verbalizar a consciência da direção da mudança da saída, considerando mudanças na entrada
Ação mental 3 (AM3)
Coordenar a quantidade de mudança de uma variável com alterações na outra variável
• Representar pontos/contruir retas secantes
• Verbalizar consciência da quantidade de mudança da saída enquanto considera mudanças na entrada
Ação mental 4 (AM4)
Coordenar a taxa média de variação da função com incrementos uniformes de variação na variável de entrada
• Construir retas secantes para intervalos contíguos no domínio
• Verbalizar consciência da taxa de variação da saída (em relação à entrada) enquanto considera incrementos uniformes da entrada
Ação mental 5 (AM5)
Coordenar a taxa de variação instantânea da função com variações contínuas na variável independente para todo o domínio da função
• Construir uma curva suave com indicações claras de variação de concavidade
• Verbalizar consciência das variações instantâneas na taxa de variação para todo o domínio da função (a direção das concavidades e os pontos de inflexão estão corretos)
Em síntese, o que os autores fazem é uma descrição das estruturas mentais ação e processo, bem como do mescanismo mental interiorização, como forma de se transitar da primeira estrutura mental para a segunda. Os autores apresentam atividades desenvolvidas com funções, descrevem e fundamentam os fenómenos associados às mesmas e, mais adiante, caraterizam as estruturas mentais e o mecanismo mental de transição entre elas.