CAPÍTULO 2 Revisão de literatura
2.4 Teoria APOS
2.4.2 Mecanismos e estruturas mentais
Para avançarmos e melhor entendermos a teoria APOS é importante abordar os conceitos que estão na base da sua compreensão. São eles os mecanismos mentais ou abstrações reflexivas, as estruturas mentais e a decomposição genética. Os elementos interiorização, capsulamento, coordenação, reversão, descapsulamento, tematização e generalização constituem os mecanismos mentais. Estes caraterizam-se por serem abstrações reflexivas empreendidas pelo indivíduo através das quais o seu raciocínio evolui de uma estrutura mental para outra. Os elementos ação, processo, objeto e esquema são estruturas mentais da teoria APOS. Estes têm em comum o facto de serem etapas pelas quais passa o raciocínio do indivíduo ao longo do processo de construção de conhecimento matemático. (Dubinsky, 1991)
2.4.2.1 Ações
Os conceitos surgem primeiro como ações externas ao indivíduo que recaem sobre determinados objetos, transformando-os à luz de regras próprias. Aqui, cada passo da transformação é dado explicitamente com base em instruções ou palpites externos à mente do indivíduo (Arnon, et al., 2014). Há um cumprimento escrupuloso da sequência de instruções consideradas para a transformação do objeto. Na operação ! × # = %, onde a é o multiplicando — a quantidade que vai ser repetida — e b é o multiplicador — número que indica quantas vezes a quantidade vai ser repetida —, o indivíduo que adiciona tantas parcelas do multiplicando quanto se indica no multiplicador mostra que ainda trabalha ao nível da ação, pois há um cumprimento escrupuloso e explícito das instruções da operação para obtenção do produto c. O nível em que o indivíduo trabalha revela a sua compreensão, ele compreende ao nível da ação.
Para calcular o valor de potências de base e expoente natural, o indivíduo que está apenas ao nível de compreensão de ação, não conseguirá calcular sem antes explicitar, isto é, as suas ações de transformação do objeto potência serão feitas sobre ! × ! × ! × … × ! ' vezes e não sobre !(.
A ação é uma estrutura mental bastante importante, porquanto serve de base para o surgimento das outras. Sua importância reside no facto de preparar as condições para a interiorização de processos, aquela estrutura mental em que o indivíduo efetua operações mentalmente, suprimindo fases da ação ou passando por elas de forma implícita. Para uma melhor compreensão da estrutura mental ação, a seguir apresentamos alguns exemplos:
• No trabalho com polinómios: o produto de dois binómios começa por se efetuar a distributividade de cada um dos monómios do primeiro binómio pelos dois monómios do segundo binómio. Não se chega ainda à análise de produtos notáveis. Para o caso de potências de base binomial e expoente natural, considerando os métodos do triângulo de pascal e do binómio de Newton, há um cumprimento explícito dos passos do método. • No trabalho com funções: referimo-nos aqui a funções de uma só variável. O indivíduo
consegue trabalhar com elas na forma explícita, pois, a partir da sua definição é o objeto que se torna notável, o objeto explícito. O indivíduo é capaz de substituir valores do domínio e obter a sua imagem seguindo as operações matemáticas que se indicam na expressão da função. O indivíduo apresenta dificuldades em reconhecer as partes que compõem a função e, claro, em transformá-la, quando ela é apresentada fora da forma como é definida, fora da forma explícita, ou seja, na forma implícita ou na forma paramétrica. Na forma explícita, mas com o domínio em dois ou mais intervalos, o indivíduo também tem dificuldades em transformar a função.
• No cálculo diferencial: na fase de ação o indivíduo faz um seguimento escrupuloso de uma sequência de resolução através de regras e fórmulas de derivação. Se apresentada de maneira diferente, pode causar confusão.
• No sistema de coordenadas cartesianas: na fase de ação o indivíduo faz uma graduação rigorosa dos eixos, procura colocar no sistema todos os seus elementos. Na falta de elementos do sistema de coordenadas cartesianas, o indivíduo tem dificuldade de fazer nele representações, tem dificuldade de reconhecê-lo.
2.4.2.2 Interiorização e processos
Os mecanismos mentais de interiorização e coordenação dão lugar ao objeto mental processo. No caso da interiorização, o fenómeno consiste na transição de ação para processo, ou seja, o indivíduo deixa de fazer operações, física ou mentalmente, obedecendo a todos os passos. O indivíduo ganha e põe em prática a capacidade de saltar alguns passos, o indivíduo passa a ter instruções e palpites interiorizados, deixando de depender dos seus correspondentes externos (Arnon, et al., 2014). A questão não tem a ver puramente com a esfera em que a operação é feita, mas muito mais com a sequência de passos com que ela é feita, escrupulosa ou não.
No caso da operação ! × # = %, o que acontece é que o indivíduo já tem em si uma série de alternativas, isto é, processos, para contornar a sequência escrupulosa dos passos. Por exemplo, (1) ao multiplicar 5 × 10, já não adiciona 10 vezes o número 5, mas sim junta ao número 5 o algarismo zero, o que resulta em 50; (2) ao multiplicar 133 × 11 decompõe a operação em 133 × 10 + 133, o que nos leva a 1330 + 133 = 1463. Claro está aqui que o indivíduo já não está preso a uma sequência de passos para efetuar a multiplicação, as suas capacidades estão bem além disso, ele é capaz de combinar várias ações num mesmo processo, nota-se evolução. Nota-se também que a transformação ou, se preferirmos, a metamorfose do objeto não é explícita, mas sim implícita, o que facilmente nos leva a concluir que muito do que se fez para que tal transformação ocorresse está interiorizado pelo indivíduo.
Para aprofundamento e melhor entendimento, a seguir apresentamos alguns exemplos da estrutura mental processo:
• No trabalho com polinómios: depois de alguma experiência acumulada, o indivíduo ganha a capacidade de identificar produtos notáveis, por exemplo, (! + #)2= !2+ 2!# + #2,
(! − #)2= !2− 2!# + #2, (! + #)(! − #) = !2− #2, (! + #)5= !5+ 3!2# + 3!#2+ #5.
Ganha a capacidade de manipular objetos mais complexos, por exemplo, 6√! + √#82= (√!)2+ 2√!# + (√#)2. Entende o desenvolvimento do binómio (! + #)( mesmo quando '
não está explícito.
• No trabalho com funções: o indivíduo é capaz de reconhecer o domínio e, em função disso, saber, ou ter uma clara noção de que valores utilizar para substituir a variável independente. O indivíduo é capaz de explicitar e identificar os elementos que fazem parte da função.
• No cálculo diferencial: olhando para a(s) função(ões) como objeto(s), o indivíduo é capaz de reconhecer a aplicabilidade e aplicar regras e fórmulas de derivação, independentemente da forma como se apresenta(m) a(s) função(ões).
• No sistema de coordenadas cartesianas: o indivíduo é capaz de construir o sistema de coordenadas cartesianas bidimensional marcando nele apenas os pontos que quer representar. É capaz de construir o sistema de coordenadas cartesianas tridimensional e compreendê-lo apesar da aparente falta de perpendicularidade entre os seus eixos.
2.4.2.3 Capsulamento e objetos
Consiste na mudança da forma como se considera um processo. Consiste em passar a olhar para ele como um objeto sobre o qual podem ser aplicadas ações, ou seja, consiste em considerar uma estrutura dinâmica como estática sobre a qual ações podem ser aplicadas (Arnon, et al., 2014).
Quanto à operação ! × # = %, o indivíduo é capaz de, diante de uma combinação de várias operações de multiplicação, reorganizar as suboperações de modo a obter o resultado final de maneira mais fácil e célere.
A seguir apresentamos alguns exemplos:
• No trabalho com polinómios: numa expressão, o indivíduo é capaz de reconhecer o polinómio como se de um símbolo único se tratasse e, a partir daí, aplicar sobre ele diversas ações e, claro, as propriedades associadas a tais ações.
• No trabalho com funções: nesta altura o indivíduo é capaz de fazer a composição de funções, é capaz de rapidamente ter uma ideia do esboço do seu gráfico, é capaz de aplicar regras de derivação e regras de integração a uma função como se estivesse a aplicá-las à função identidade.
• No cálculo diferencial: o indivíduo é capaz de reconhecer funções em que foi aplicada regras ou fórmulas de derivação, assim como é capaz de identificar que regras e fórmulas e como foram aplicadas.
• No sistema de coordenadas cartesianas: o indivíduo reconhece no sistema de coordenadas cartesianas tridimensional três subsistemas de coordenadas cartesianas bidimensionais. Considerando um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional com o ponto genérico (9, ;, <), o indivíduo é capaz de reconhecer os subsistemas de coordenadas cartesianas bidimensionais de pontos genéricos (9, ;), (;, <) e (9, <). Desta forma, considera-os como objetos do sistema de coordenadas a três dimensões.
2.4.2.4 Descapsulamento, coordenação e reversão de processos
O descapsulamento de um objeto mental consiste no retorno ao processo que esteve na base do seu surgimento (Arnon, et al., 2014). A prática mostra-nos que, obvia e geralmente — salvo se se conhecer uma descrição prévia do surgimento do objeto —, não há o processo, há processos que podem ter estado na base do encapsulamento que deu lugar ao objeto. A capacidade de retornar objetos a vários processos distintos, ou seja, de reconsiderar estruturas estáticas como várias estruturas dinâmicas distintas, abre caminho à coordenação que é sinónimo de combinação de partes de processos distintos em novos objetos. O mecanismo mental coordenação é um indicador claro de grande capacidade de reconstrução e criação de objetos matemáticos. Segundo Arnon et al. (2014), “The mechanism of coordination is indispensable in the construction of some Objects. Two Objects can be de-encapsulated, their Processes coordinated, and the coordinated Process encapsulated to form a new Object.”19
No que diz respeito à operação ! × # = %, nesta altura % já está capsulado. Para calcular o máximo divisor comum (mdc) ou o mínimo múltiplo comum (mmc) de dois números já capsulados
19 O mecanismo de coordenação é indispensável na construção de alguns objetos. Dois objetos podem
ser desencapsulados, seus processos coordenados e o processo coordenado encapsulado para formar um novo objeto.
como %, o indivíduo descapsula ambos, identifica as potências de base prima e, em seguida, volta a capsulá-los num só número, no mdc ou no mmc.
A seguir apresentamos alguns exemplos:
• No trabalho com polinómios: no trabalho com expressões algébricas, a capacidade de comparar monómios, binómios, trinómios ou polinómios de maneira conveniente para poder efetuar simplificações e outras operações pertinentes.
• No trabalho com funções: a capacidade de desfazer a composição de funções e fazer novas composições ou outras operações é um exemplo de coordenação. A inversão de uma função, isto é, a transformação do domínio em contradomínio e vice-versa consittui um exemplo de reversão. (Arnon, et al., 2014)
• No cálculo diferencial: a capacidade de encontrar a função primitiva a partir da função derivada.
• No sistema de coordenadas cartesianas: a capacidade de passar de coordenadas cartesianas para diferentes tipos de coordenadas, cilíndricas, esféricas ou curvilíneas, e vice-versa.
2.4.2.5 Tematização e esquemas
Para Dubinsky (1991), o esquema consiste no seu dinamismo e reconstrução contínua como consequência da atividade matemática do indivíduo. A coerência do esquema reside na capacidade de o indivíduo escolhê-lo adequadamente em função da situação matemática em que deve aplicá-lo. Quando o esquema atinge um nível ótimo de coerência é transformado em objeto, antes disso é uma estrutura em evolução.