A concepção clássica de consequência recebe esse nome por ser a ortodoxia em relação à qual as concepções rivais são compara- das. Essa abordagem envolve uma série de posições fortemente interconectadas sobre a extensão do conceito de consequência lógica, isto é, com respeito a quais argumentos são válidos e quais não são válidos, e sobre a sua intensão, ou seja, as bases filosóficas que determinam a validade.
Em primeiro lugar, para a concepção clássica, validade é uma questão de forma. Argumentos individuais são válidos apenas em virtude de instanciarem formas lógicas válidas; uma proposição é uma consequência lógica de outras apenas se houver um padrão válido no qual as proposições conjuntamente se encaixem. Por exemplo, “este fósforo irá acender” decorre das proposições, “todos os fósforos acendem quando riscados” e “este fósforo está prestes a ser riscado”. Esse argumento exibe estrutura similar ao seguinte: “Edmundo é um alpinista; todos os alpinistas são corajosos; Edmundo é corajoso.” O padrão comum pode ser representado, como é feito em muitos livros didáticos de lógica, como se segue: “Fa. Todo F é G. Logo, Ga.” Considere-se que a significa “este fósforo”, F significa “está prestes a ser riscado” e
G significa “irá acender”. No segundo caso, considere-se que a
significa “Edmundo”, F significa “é um alpinista” e G significa “é corajoso”. Em cada caso, ao substituir as letras esquemáticas
a, F e G pelas respectivas expressões, obtemos as inferências
particulares em questão. E podemos fazer substituições alter- nativas, de modo a produzir indefinidamente argumentos com uma mesma forma.
A visão clássica faz duas alegações sobre essa forma e suas instâncias (e alegações similares paralelas sobre outras formas válidas): em primeiro lugar, que a forma é válida, e por essa razão todas as instâncias dessa forma são válidas, em virtude de instanciarem uma forma válida; em segundo lugar, que é somente em virtude de instanciarem uma tal forma que esses argumentos
são válidos. Em outras palavras, qualquer argumento que não obedeça a um padrão válido é inválido; a sua conclusão não é válida a partir de suas premissas. Por exemplo: “Edmundo é corajoso. Todos os alpinistas são corajosos. Logo, Edmundo é um alpinista.” Aqui, a conclusão não é uma consequência lógica das premissas. Esse argumento não é uma instância de uma forma válida.
Assim, a validade é uma questão de forma, e a tarefa da lógica é fornecer técnicas para identificar e analisar a forma lógica de vários argumentos, e para determinar se as formas em questão são de fato válidas. Mas é certo que a questão permanece: quais são as formas válidas? é bastante claro que os primeiros dois exemplos acima são válidos e que o terceiro, não. Não precisamos da lógica para nos dizer isso. Mas qual é a base para tal decisão? Qual é o critério pelo qual julgamos que argumentos e formas de argumentos são considerados válidos? Qual é a análise correta da consequência lógica?
De acordo com o tratamento clássico, o critério é a preser- vação da verdade. Isto é, uma forma de um argumento é válida se, qualquer que seja a interpretação das letras esquemáticas, o resultado não consiste em uma coleção de premissas verdadeiras e uma conclusão falsa. Por exemplo, considere-se o terceiro exem- plo acima. Podemos formalizá-lo como: “Fa. Todo G é F. Logo,
Ga”, a, F e G sendo, respectivamente, Edmundo, “é corajoso”
e “é um alpinista”. Essa forma é inválida. Alternativamente, considere que a nomeia uma mariposa, F significa “já foi uma lagarta” e G significa “é uma borboleta”. Então, obtemos a seguinte instância da mesma forma argumentativa: “Esta mari- posa já foi uma lagarta. Todas as borboletas já foram lagartas. Logo, esta mariposa é uma borboleta”, cuja conclusão é clara- mente falsa, embora as suas premissas sejam verdadeiras. Daí se segue, pelo critério de preservação da verdade, que a forma é inválida. Essa forma tem uma instância (acerca de borboletas e mariposas), cujas premissas são verdadeiras e a conclusão falsa. Além disso, o terceiro exemplo não pode produzir argumento
algum que seja válido. Por conseguinte, não é uma instância de uma forma válida, e, portanto, é inválido. A sua conclusão não é uma consequência lógica válida das suas premissas.
Por outro lado, a primeira forma que consideramos antes é válida: “Fa. Todo F é G. Logo, Ga.” Não há interpretação de
a, F e G que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.
Daí se segue que Ga é de fato consequência lógica de Fa e “Todo
F é G”, e que “Este fósforo irá acender” se segue logicamente
de “Este fósforo será riscado” e “Todos os fósforos acendem quando riscados”. O critério clássico de preservação da verdade vai ao encontro das intuições acerca de exemplos simples como os três que vimos acima e é estendido a quaisquer argumentos e inferências. Consequência lógica é uma questão de forma, a saber, que qualquer que seja o modo pelo qual as letras esquemá- ticas sejam interpretadas, a verdade é preservada das premissas para a conclusão: nunca obtemos premissas verdadeiras e uma conclusão falsa.
Argumentos válidos não precisam ter premissas verdadei- ras, nem argumentos inválidos precisam ter conclusões falsas. Talvez nem todos os fósforos acendam quando riscados; talvez este fósforo jamais seja riscado. Entretanto, a afirmação de que ele irá acender se segue das outras possivelmente falsas afirma- ções. No caso do argumento inválido, mesmo sendo Edmundo um alpinista, isso não se segue de Edmundo ser corajoso e de todo alpinista ser corajoso (se é que são mesmo). Posto que há instâncias nas quais a conclusão é falsa (“esta mariposa é uma borboleta”) mesmo sendo as premissas verdadeiras, a forma é inválida.
Serão úteis aqui algumas considerações acerca da noção de verdade lógica. No início do século 20 vários autores (talvez sob a influência do método axiomático) parecem ter se concentrado na noção de verdade lógica como a noção lógica primária, e a consequência lógica foi para um segundo plano. Esse é um erro grave, que inverte completamente a situação real. Consequência lógica não pode ser definida em termos de verdade lógica; mas
verdade lógica é um caso degenerado, ou extremo, de conse- quência lógica. Verdade lógica pode ser caracterizada de duas formas equivalentes. Em primeiro lugar, uma verdade lógica é a conclusão de uma inferência válida na qual não há premissa alguma. Um argumento pode ter uma, duas, três ou mais premis- sas, é claro. Mais adiante iremos considerar o caso no qual o número de premissas cresce até o infinito. Mas o que acontece se o número de premissas é reduzido a zero? Lembre-se que, classi- camente, uma proposição (ou uma forma proposicional) é uma consequência lógica de um conjunto de premissas se, qualquer que seja a interpretação das letras esquemáticas, o resultado não consiste de premissas verdadeiras e conclusão falsa. Logo, se o número de premissas é zero, obtemos a seguinte caracterização: uma proposição ou forma proposicional é uma verdade lógica se, qualquer que seja a interpretação de suas letras esquemáticas, o resultado não é falso. Em outras palavras, verdades lógicas são verdadeiras independentemente de como seus constituintes são interpretados. Considere, por exemplo, a fórmula (a forma proposicional) “A ou não-A”. Qualquer que seja a sentença colocada no lugar de A, obtemos uma verdade. “Este fósforo irá acender ou este fósforo não irá acender”, “Edmundo é corajoso ou Edmundo não é corajoso”, e assim por diante. Similarmente, a fórmula “Todo F é F” é uma verdade lógica. Qualquer que seja o predicado colocado no lugar de F, obtemos uma verdade: “Todo alpinista é alpinista”, “Todo fósforo é fósforo” e assim por diante. Verdades lógicas são um caso extremo de argumentos válidos que não têm premissas nem pressuposições.
Outra maneira de caracterizar verdade lógica é em termos de supressão. Verdades lógicas são aquelas proposições entre as premissas de um argumento que são desnecessárias ou podem ser suprimidas. Suponha que uma conclusão se segue validamente de um conjunto de premissas, e suponha que uma dessas premissas é verdadeira em qualquer interpretação. Logo, a conclusão se segue logicamente das outras premissas apenas. Pois, se o argu- mento é válido, uma interpretação que torne a conclusão falsa
deve tornar uma das premissas falsa também. Mas a premissa que nessa interpretação será falsa não pode ser a verdade lógica, aquela premissa específica que estamos considerando. Sendo assim, a validade não será afetada pela omissão dessa premissa – será ainda verdadeiro que qualquer interpretação que torne a conclusão falsa também tornará falsa uma das premissas do novo argumento (omitindo a verdade lógica). Portanto, a verdade lógica é redundante, e pode ser suprimida.
Entretanto, nossa descrição da consequência clássica ainda não está completa, pois existem diferentes maneiras pelas quais a noção de preservação da verdade é articulada e que são carac- terísticas da abordagem. Em primeiro lugar, note que, tal como foi aqui apresentada, a preservação da verdade é um critério essencialmente substitucional. Considere um argumento, M. Substituímos uma parte da terminologia de M por letras esque- máticas, de modo a obter uma forma argumentativa, M’. Então interpretamos as letras esquemáticas de M’ de várias maneiras, procurando ver se alguma instância de M’ tem premissas verda- deiras e conclusão falsa. Suponha que isso acontece, isto é, que existe uma instância N de M’, com premissas verdadeiras e uma conclusão falsa. Então, N resulta de M pela substituição de um ou mais termos por outros – pela substituição de certas expres- sões em M por expressões diferentes. Por exemplo, obtivemos o nosso contraexemplo para a validade do terceiro exemplo acima substituindo “Edmundo” por “esta mariposa”, “é cora- joso” por “era uma vez uma lagarta” e “é um alpinista” por “é uma borboleta”. Por meio dessas substituições obtivemos um argumento que leva da verdade à falsidade. Por essa razão, o exemplo original não tem a garantia de nos levar sempre de verdades a verdades (posto que um outro argumento com a mesma forma nos leva de verdades a uma falsidade), e portanto deve ser inválido. Isto é, em geral, um argumento será inválido se houver alguma substituição dos termos que produza premissas verdadeiras e conclusão falsa; um argumento será válido se não existir uma tal substituição.
Isso de imediato levanta um problema: quais substituições são admissíveis – isto é, quais termos podem ser substituídos? Pois o tratamento clássico não permite que qualquer termo em um argumento seja substituído. Essa restrição está presente na noção de forma, acerca da qual possivelmente falamos muito pouco. Note que em todas as formas acima, uma palavra não foi substi- tuída por uma letra esquemática, a saber, a palavra “todos”. Na concepção clássica (e de fato em todas as outras), “todos” é um termo reservado, é parte do vocabulário lógico. Ao exibir a forma lógica de um argumento, substituímos todas as expressões que não fazem parte do vocabulário lógico por letras esquemáticas. As palavras lógicas incluem “todos”, “alguns”, “se”, “e”, “ou”, “não”, e uma série de outras expressões. Na verdade, algumas palavras são por vezes tratadas como expressões lógicas, mas outras vezes não, produzindo diferentes lógicas. Por exemplo, se “necessariamente” é tratada como uma expressão lógica, obtemos uma lógica modal, uma extensão da lógica clássica; caso contrário, temos uma lógica não modal, isto é, uma lógica padrão. Se o “é” da identidade (como em “A estrela da manhã é a estrela da tarde”) é considerado um termo lógico, obtemos a lógica clássica com identidade. Muitas extensões da lógica clássica (elas mesmas essencialmente clássicas) são obtidas por meio do alargamento do vocabulário lógico.
Entretanto, o tratamento clássico não é puramente substi- tucional. O critério substitucional tem origem em Bolzano, no início do século 19. Mas ele precisa ser refinado pois, do modo como foi apresentado, esse critério dá respostas absurdas, já que considera válidas certas inferências que são claramente inválidas. Um exemplo simples lança mão de uma verdade lógica aparente, mas o mesmo ponto pode ser generalizado facilmente para infe- rências com uma ou mais premissas. Considere a proposição “existem pelo menos duas coisas”. Existirem pelo menos duas coisas não é uma questão de lógica. No entanto, o critério de Bolzano, ou o critério puramente substitucional, caracteriza a
proposição acima como uma verdade lógica, dada a aceitação habitual dos quantificadores “alguns” ou “existem”, a negação e a identidade como expressões lógicas. Pois tal proposição é equivalente a “existem duas coisas que não são idênticas”, e nessa última proposição não existem expressões não lógicas. Em outras palavras, não existem letras esquemáticas para fazermos diferentes substituições e, por isso, a questão de sua verdade lógica se reduz à questão da sua verdade. Uma vez que existem no mundo pelo menos 1080 átomos, a proposição é verdadeira
– e, similarmente, argumentos tais como “existem duas coisas, por isso, existem 76 coisas”, “está chovendo, por isso existem 1026 coisas” e assim por diante, tornam-se todos válidos, mas
isso é claramente absurdo.
A solução de Tarski foi acrescentar ao tratamento substitucio- nal uma variação no domínio de interpretação (e abrir mão da exigência de que todo elemento do domínio deve ter um nome). A interpretação agora consiste de um domínio (que não pode ser vazio – o caráter não vazio do domínio é uma característica da lógica clássica, em que “existe pelo menos uma coisa” continua a ser tomada como uma verdade lógica –, ver Capítulo 5) e uma interpretação das letras esquemáticas considerando esse domínio. A proposição “existem pelo menos duas coisas” pode agora ser falsificada, como também as conclusões das inferências no último parágrafo, enquanto suas premissas são mantidas verda- deiras, pela escolha adequada do domínio e da interpretação. Por exemplo, “existem pelo menos duas coisas” é falsa quando interpretado em um domínio que contém apenas uma coisa.
Há dois outros aspectos da noção clássica de consequência lógica que devem ser ressaltados antes de considerarmos concep- ções alternativas. Ambos elaboram melhor o que classicamente é entendido por “preservação da verdade”. Considere a noção de verdade lógica tal como ela foi caracterizada acima. é uma consequência imediata dessa caracterização a ideia de que uma verdade lógica não seja apenas consequência de um conjunto
vazio de premissas, mas que também seja uma consequência de qualquer conjunto de premissas, pois nenhuma interpretação ou substituição pode tornar falsa uma verdade lógica; portanto, quaisquer que sejam as premissas, não será possível simultanea- mente torná-las verdadeiras e tornar falsa a conclusão (a verdade lógica). Logo, todo argumento cuja conclusão é uma verdade lógica é válido. Por exemplo, a proposição “Todos os fósforos são fósforos” se segue de qualquer conjunto de proposições. Do mesmo modo, qualquer proposição da forma “A ou não-A” é consequência lógica de qualquer proposição ou conjunto de proposições.
Inversamente, considere qualquer proposição ou fórmula que nenhuma substituição ou interpretação possa tornar verda- deira, como uma da forma “nenhum F é F” ou “A e não-A”. Então, não haverá interpretação alguma que torne simulta- neamente tal proposição verdadeira e uma outra proposição, falsa. Daí se segue que, classicamente, qualquer proposição é uma consequência lógica de uma proposição contraditória. Uma contradição implica qualquer proposição. Este princípio é frequentemente denominado ex falso quodlibet, que em latim significa “a partir do falso, qualquer coisa”, isto é, qualquer coisa se segue daquilo que é (logicamente) falso. Ele também é algumas vezes chamado “lei da explosão”, que uma inconsistên- cia produz qualquer proposição. Vamos definir o fechamento
lógico de um conjunto de proposições como o conjunto de todas
as proposições que se seguem logicamente dessas proposições, e chamemos qualquer conjunto de proposições logicamente fechado de uma teoria. Assim, uma teoria contém todas as suas consequências lógicas. Dizemos que uma teoria é consistente se ela não contiver uma proposição e a sua negação, e que é trivial se contiver todas as proposições. Segue-se da concepção clássica de consequência lógica que qualquer teoria inconsis- tente é trivial.
COMPACIDADE
A concepção clássica, na versão puramente substitucional de Bolzano, produz mais inferências válidas do que deveria, pois considera válidas inferências que são claramente inválidas – por exemplo, qualquer inferência com a conclusão “há pelo menos duas coisas”. Assim a visão predominante, a descrição clássica que é derivada do trabalho de Tarski, foi ajustada para evitar que inferências inválidas fossem tomadas como válidas. Mais adiante irei argumentar que, ao considerar trivial qualquer teoria inconsistente e toda verdade lógica como consequência de qualquer conjunto de proposições, a descrição clássica também produz mais inferências válidas do que deveria – muito embora esse seja um aspecto essencial e característico do tratamento aqui denominado “clássico”. O terceiro e último aspecto da concepção clássica que veremos aqui produz menos inferências válidas do que deveria, isto é, não considera válidos argumentos que de maneira plausível poderiam ser considerados consequên- cias lógicas válidas. Vou usar a expressão “concepção clássica” para me referir à concepção que rejeita tais inferências como logicamente inválidas. Mas existem tentativas, que têm origem na própria concepção clássica, de estendê-la de modo a incluir tais inferências.
O aspecto em questão é conhecido como compacidade: a consequência lógica clássica é compacta. Para entender essa noção, precisamos generalizar a ideia do número de premissas de um argumento de modo que essa coleção de premissas possa ser infinita. Implicitamente isso já foi feito quando introduzimos a noção de teoria, pois qualquer proposição possui um número infinito de consequências – na concepção clássica, cada verdade lógica (e há um número infinito delas) é consequência de qualquer proposição, e mesmo deixando isso de lado, qualquer proposição implica a si mesma, sua dupla negação, a conjunção de si mesma com sua dupla negação, a disjunção de si mesma com qualquer proposição, e assim por diante. Uma teoria foi definida como um
conjunto de proposições que contém todas as suas consequências lógicas. Portanto, reconhecemos que a relação de consequência lógica pode ocorrer (ou deixar de ocorrer) entre uma teoria, isto é, um conjunto infinito de premissas, e uma proposição. Nós dizemos que uma relação de consequência é compacta se qualquer consequência de um conjunto infinito de proposições é consequência de algum subconjunto finito desse conjunto infinito. A compacidade da consequência clássica não significa que ela negue que uma inferência pode ter infinitas premissas. Ela pode ter; mas classicamente isso é válido se e somente se a conclusão for seguida de um subconjunto finito desse conjunto infinito de premissas.
Compacidade pode ser vista como uma virtude – ela torna mais fácil o tratamento da relação de consequência. Mas ela é também uma limitação – limita o poder expressivo de uma lógica. Até agora nos concentramos no aspecto semântico da consequência lógica clássica, a saber, a preservação da verdade. Mas a consequência pode ser pensada também em termos pura- mente sintáticos. Dessa forma, uma proposição é consequência de um conjunto de outras proposições se for possível derivá-la dessas outras proposições em uma série de passos, sendo tais passos de acordo com certas regras. Esse é o objeto de estudo da teoria da prova, em que a correção da aplicação de uma regra depende apenas da forma, sem considerar o significado dos símbolos envolvidos. é claro que as regras admitidas dependerão de uma concepção semântica, de tal forma a termos garantias de que nenhuma falsidade possa ser derivada de verdades. Mas em si mesma uma prova não tem significado algum; sua correção é definida em termos de sua forma e de sua estrutura.
A ideia de uma prova, portanto, é a de que alguém possa checar se uma dada fórmula é consequência de certas outras, checando recursivamente se a prova é bem formada. Correção – isto é, a ideia de que se a prova estiver bem formada, a conclusão é de fato consequência lógica das premissas – é primordial. A conversa da correção é a noção de completude – a de que existe
uma derivação para cada caso de consequência lógica. Apesar de altamente desejável, não podemos dar à completude a mesma importância dada à correção. Uma vez que nossos métodos de prova sejam corretos, uma prova pode então estabelecer com certeza que uma proposição é consequência de outras.
O primeiro resultado significativo de Kurt Gödel, seu Teorema da Completude de 1930, estabeleceu que há um método de prova completo para a consequência lógica clássica. Seu segundo resultado importante, o Teorema da Incompletude de 1931, mostrou que o primeiro resultado não passava de uma vitória vazia. A consequência lógica compacta tem um método de prova completo; mas a consequência compacta produz menos inferên- cias válidas do que deveria – existem consequências intuitiva- mente válidas que são consideradas inválidas. O exemplo mais claro e famoso é o da regra-w. Suponha que alguma fórmula
A é verdadeira para qualquer número natural, 0, 1, 2..., isto é, A(0) vale, A(1) vale, e A(n) vale para qualquer número natural n. Segue-se obviamente daí que a fórmula “para todo n, A(n)”
é verdadeira. “Para todo n, A(n)” é consequência lógica do conjunto infinito de fórmulas, A(0), A(1), A(2) etc., mas não