Pretendemos, nesta seção, analisar a expressividade das traduções, das tra- duções conservativas, das traduções contextuais e das traduções contextuais abstratas, comparando-as. Verificamos algumas meta-propriedades que são preservadas ou não por cada uma das traduções citadas, e observamos suas vantagens e desvantagens. De maneira singela, envolvemos o caso das linguagens naturais como parte da análise. Além disso, sugerimos o conceito de tradução contextual conservativa e, por fim, relacionamos com os conceitos de tradução, tradução conservativa, tradução contextual e tradução contex- tual abstrata os conceitos de tradução contextual conservativa, isomorfismo e tradução hiper-contextual.
De acordo com (CONIGLIO, 2005a), as traduções conservativas não preservam o significado. Em primeiro lugar, qualquer lógica trivial pode ser traduzida conservativamente em qualquer outra lógica, mesmo que não trivial, que satisfaz 𝑦 ∈ C({𝑦}) e 𝑦 ∈ C(∅), para algum 𝑦. Sejam ℒ1 = (𝐿1, C1) um sistema lógico trivial, ou seja, tal que 𝑥 ∈ C1(∅),
para todo 𝑥 ∈ For(ℒ1), e ℒ2 = (𝐿2, C2) um sistema lógico tal que 𝑦 ∈ C2(∅), para algum 𝑦 ∈ 𝐿2, e 𝑦 ∈ C2({𝑦}) (o que é evidente se considerarmos nossa definição de operador
Tarskiano). Consideremos t : ℒ1 −→ ℒ2 dada por t(𝑥) = 𝑦, para todo 𝑥 ∈ 𝐿1. A função
t é uma tradução conservativa, pois:
Se 𝑥 ∈ C1(X), X = ∅, então t(𝑥) = 𝑦 ∈ C2(∅) = C2(t(X)).
Se 𝑥 ∈ C1(X), X = {𝑥1, . . . , 𝑥𝑛, . . . }, então t(𝑥) = 𝑦 ∈ C2({𝑦}) = C2({𝑦, . . . , 𝑦, . . . }) = C2(t(X)).
Se t(𝑥) ∈ C2(t(X)), X = ∅, então 𝑥 ∈ C1(∅), pois ℒ1 é trivial.
Se t(𝑥) ∈ C2(t(X)), X ̸= ∅, então, como ∅ ⊆ X, 𝑥 ∈ C1(∅) ⊆ C1(X).
Este exemplo foi encontrado em (CONIGLIO, 2005a) e adaptado por nós para a linguagem das traduções conservativas de Feitosa (1997). Também acrescentamos na lógica ℒ2 a condição 𝑦 ∈ C2(∅), condição necessária e fundamental para a adequação
pode ser uma lógica não trivial, inclusive com apenas um teorema (𝑦), daí traduções conservativas não preservam a trivialidade da lógica domínio.
Pensamos que apesar de traduções conservativas não preservarem, de fato, totalmente o significado de uma lógica trivial, como mostra o exemplo acima, as Proposições 2.1.17 e 2.1.18 nos dão resultados a respeito de sistemas triviais. E, daí, concluímos que estas traduções preservam, pelo menos de forma parcial, o significado de sistemas triviais, pois, no caso das aplicações conservativas, temos que elas preservam a não trivialidade da lógica domínio na lógica alvo, o que, de forma geral, coincide com a consistência. Além disso, se a aplicação é conservativa e a lógica alvo é não trivial, então a lógica domínio também não o é.
Quanto à afirmação de Coniglio (2005a) a respeito das traduções contextuais preservarem mais o significado do que as traduções conservativas, chamamos a atenção para uma outra característica. Apesar de na Proposição 3.2.2 termos demonstrado que uma lógica trivial não pode ser contextualmente tradutível numa lógica não trivial, é possível verificar que lógicas não triviais sempre são tradutíveis contextualmente em lógicas triviais, visto que as lógicas triviais preservam todas as meta-propriedades. Sejam ℒ ’ uma lógica não trivial e ℒ uma lógica trivial, ambas definidas sobre a assinatura C. Podemos tomar uma função f : L(C) −→ L(C) de forma que f(𝜙) = 𝜙, se 𝜙 ∈ L(C). A função f é uma tradução contextual, pois, dada uma meta-propriedade (P) = ({𝑆1, . . . , Sn-1}, 𝑆𝑛) que
ℒ ’ possui, segue que como ℒ é trivial, ℒ tem a meta-propriedade ˙𝑓(P) = (P). Ademais, podemos tomar ℒ definida sobre a assinatura C e ℒ ’ definida sobre a assinatura C’ e tomar f(𝜙) = 𝜓, para algum 𝜓 ∈ L(C), se 𝜙 ∈ L(C’) e f(𝜎) = 𝜎 se 𝜎 ∈ Σ, da mesma forma, por ℒ ser trivial, ℒ tem a meta-propriedade ˙𝑓(P). Isto acontece porque a condição para ser uma tradução contextual preserva as meta-propriedades da lógica domínio na lógica alvo, mas não as da lógica alvo na lógica domínio. Observamos que, entretanto, isso não ocorre, pelo parágrafo anterior, com as traduções conservativas.
Reiteramos, portanto, que, se as traduções contextuais não permitem que lógicas triviais sejam interpretadas em lógicas não triviais (Proposição 3.2.2), por seu lado, as traduções conservativas não permitem que lógicas não triviais sejam interpretadas em lógicas triviais. Isso não parece problema com os conceitos de tradução envolvidos, pois lógicas triviais constituem limites extremos de lógicas.
Outro resultado, utilizado por Coniglio (2005a) para questionar a preservação de significado via traduções conservativas, é um exemplo de uma tradução conservativa (na linguagem dos transfers, em que tradução conservativa é um transfer conservativo cuja linguagem coincide com a linguagem básica) t : ℒ1 −→ℒ2, tal que não é o caso que se as
fórmulas 𝜙 e 𝜓 são equivalentes em ℒ1, então as fórmulas t(𝜙) e t(𝜓) são equivalentes em
ℒ2. No exemplo, 𝐴1 = {𝜙, 𝜓}, 𝑃1 = ℘(𝐴1) e Γ ⊢ℒ1 𝑥 se, e somente se, Γ ̸= ∅; 𝐴2 = {𝑎, 𝑏,
ℒ1, 𝜙 é equivalente a 𝜓, mas as condições t(𝜙) = 𝑎 e t(𝜓) = 𝑏 fazem de t uma tradução
conservativa em que t(𝜙) e t(𝜓) não são equivalentes em ℒ2. Claramente ℒ2 não é uma
lógica Tarskiana, pois, em ℒ2 temos {𝑏} ⊢ℒ2 𝑎 e {𝑎} ⊢ℒ2 𝑐, ou seja, 𝑎 ∈ C({𝑏}) e 𝑐 ∈ C({𝑎}), daí, {𝑎} ⊆ C({𝑏}) e {𝑐} ⊆ C({𝑎}), pela definição do operador de consequência
Tarskiano, C({𝑎}) ⊆ C(C({𝑏})) = C({𝑏}), de {𝑐} ⊆ C({𝑎}) e C({𝑎}) ⊆ C({𝑏}), teríamos {𝑐} ⊆ C({𝑏}), daí, 𝑐 ∈ C({𝑏}). Mas, em ℒ2 não temos {𝑏} ⊢ℒ2 𝑐, ou seja, não temos 𝑐
∈ C({𝑏}). Portanto, ℒ2 não é uma lógica Tarskiana. Por este exemplo não poder ser
formulado na linguagem das traduções conservativas de Feitosa (1997), não consideramos adequado o problema sobre equivalência entre fórmulas exposto acima.
Uma das vantagens da maneira como foram definidas as traduções contextuais é que podemos tratar de lógicas Tarskianas ou não. Já as traduções e as traduções conservativas, como inicialmente introduzidas, respectivamente, por da Silva, D’Ottaviano e Sette (1999) e Feitosa (1997), nos permitem tratar apenas de lógicas Tarskianas. Mas, como vemos em (SCHEER, 2002), ao invés de definir lógica através de um conjunto qualquer não-vazio e um operador Tarskiano, podemos tomar um operador mais geral (Scheer (2002) e Scheer e D’Ottaviano (2005) utilizam operadores não monotônicos cumulativos). Segue a definição de operador de consequência cumulativo.
Definição 3.5.1. Seja X um conjunto não vazio. Um operador de consequência cumulativo,
denotado por C𝐶, sobre X é uma função definida no conjunto dos subconjuntos de X, isto
é, C𝐶 : ℘(X) → ℘(X), tal que, para todos 𝐴, 𝐵 ⊆ X, valem:
(i) 𝐴 ⊆ C𝐶(𝐴)
(ii) Se 𝐴 ⊆ 𝐵 ⊆ C𝐶(𝐴), então C𝐶(𝐴) ⊆ C𝐶(𝐵)
(iii) C𝐶(C𝐶(𝐴)) ⊆ C𝐶(𝐴).
O item (ii) da definição acima é conhecido como monotonicidade cautelosa. Observamos que todo operador de consequência Tarskiano é um operador cumulativo. Abaixo definimos uma lógica cumulativa.
Definição 3.5.2. Uma lógica cumulativa L é um par (L, C𝐶), em que L é um conjunto
qualquer, o domínio de L, e C𝐶 é um operador cumulativo sobre L.
As definições de tradução e tradução conservativa entre lógicas cumulativas são dadas por Scheer (2002) e estendem as dadas por da Silva, D’Ottaviano e Sette (1999) e Feitosa (1997), respectivamente, trocando lógicas de Tarski por lógicas cumulativas. Colocamos abaixo duas proposições que julgamos importantes. Elas foram demonstradas por Scheer (2002).
Proposição 3.5.1. Consideremos L = (L, C) uma lógica Tarskiana, X um conjunto
qualquer não vazio e C𝐶 : ℘(X) → ℘(X). Seja t : L −→ X uma função, tal que para todo
conjunto 𝐴∪{𝑥} de L, 𝑥 ∈ C(𝐴) se, e somente se, t(𝑥) ∈ C𝐶(t(𝐴)). Se t é sobrejetiva,
então, para todos 𝐵, 𝐷 ⊆ X tais que 𝐵 ⊆ 𝐷, C𝐶(𝐵) ⊆ C𝐶(𝐷).
Demonstração. Sejam 𝐵, 𝐷 ⊆ X tais que 𝐵 ⊆ 𝐷. Desde que t é sobrejetiva, se (𝐵𝑖)i∈I
e (𝐷𝑗)j∈J são tais que t(𝐵𝑖) = 𝐵 e t(𝐷𝑗) = 𝐷, para todos i ∈ I e j ∈ J, então, 𝐵 =
t(∪i∈I𝐵𝑖) e 𝐷 = t(∪j∈J𝐷𝑗). Como 𝐵 ⊆ 𝐷, temos ∪(𝐵𝑖)i∈I ⊆ ∪(𝐷𝑗)j∈J. Se 𝑦 ∈ C𝐶(𝐵),
como C𝐶(𝐵) ⊆ X e t é sobrejetiva, existe 𝑥0 ∈ L tal que 𝑦 = t(𝑥0) ∈ C𝐶(t(∪i∈I𝐵𝑖)). Por
hipótese, 𝑥0 ∈ C(∪i∈I𝐵𝑖). Como C é um operador de consequência Tarskiano, e ∪(𝐵𝑖)i∈I
⊆ ∪(𝐷𝑗)j∈J, temos que 𝑥0 ∈ C(∪j∈J𝐷𝑗). Utilizando a hipótese novamente, temos t(𝑥0) ∈
C𝐶(t(∪j∈J𝐷𝑗)), ou seja, 𝑦 ∈ C𝐶(𝐷). Portanto, C𝐶(𝐵) ⊆ C𝐶(𝐷).
A proposição acima garante que dadas as lógicas L e L1 e uma função t : L
−→ L1 que é sobrejetiva e satisfaz a propriedade das traduções conservativas, se L é uma
lógica monotônica, então L1 também o é.
Proposição 3.5.2. Consideremos L = (L, C) uma lógica Tarskiana, X um conjunto
qualquer não vazio e C𝐶 : ℘(X) → ℘(X). Seja t : X −→ L uma função e para todo
conjunto 𝐴∪{𝑥} de X, 𝑥 ∈ C𝐶(𝐴) se, e somente se, t(𝑥) ∈ C(t(𝐴)). Então, para todos
𝐵, 𝐷 ⊆ X tais que 𝐵 ⊆ 𝐷, C𝐶(𝐵) ⊆ C𝐶(𝐷).
Demonstração. Sejam 𝐵, 𝐷 ⊆ X tais que 𝐵 ⊆ 𝐷. Visto que C é um operador de
consequência Tarskiano e t é uma função, temos C(t(𝐵)) ⊆ C(t(𝐷)). Se 𝑥 ∈ C𝐶(𝐵), por
hipótese, t(𝑥) ∈ C(t(𝐵)). Daí, t(𝑥) ∈ C(t(𝐷)). Novamente por hipótese, temos que 𝑥 ∈
C𝐶(𝐷). Portanto, C𝐶(𝐵) ⊆ C𝐶(𝐷).
Agora, a proposição acima garante que dadas as lógicas L e L1 e uma função
t : L1 −→ L que satisfaz a propriedade das traduções conservativas, se L é uma lógica
monotônica, então L1 também o é. Portanto, não existe tradução conservativa de uma
lógica não monotônica em uma lógica monotônica.
As duas proposições acima dizem respeito à preservação do significado da monotonicidade no conceito de tradução conservativa, mesmo que possa existir uma tradução conservativa não sobrejetiva de uma lógica monotônica em uma não monotônica. Lembramos que, na Proposição 3.2.3, vimos que uma lógica monotônica só pode ser contextualmente tradutível numa lógica monotônica.
Scheer (2002) estudou a categoria Trcumcujos objetos são as lógicas cumulativas e os morfismos são as traduções entre lógicas cumulativas. Foi obtido que Trcum é uma
subcategoria plena de Tr, pois, além de toda lógica Tarskiana ser uma lógica cumulativa, dados dois objetos L1 e L2 de Tr, a coleção de morfismos de L1 em L2, em Tr, coincide
com a coleção de morfismos de L1 em L2, em Trcum. Observamos que as categorias
TrCon e TrCx são subcategorias de Tr não plenas.
Com o intuito de mostrar que as traduções conservativas e as traduções con- textuais são independentes, Carnielli, Coniglio e D’Ottaviano (2007) dão exemplos de traduções que sejam traduções conservativas — mas não contextuais, traduções contextuais — mas não conservativas, e traduções conservativas e contextuais. Seguem alguns destes
exemplos.
Consideremos a lógica proposicional clássica, CPC, sobre a assinatura C, contendo 𝒱 (conjunto de variáveis proposicionais), ¬, ∨, ∧ e →, e a lógica de predicados monádica clássica, MON, sobre a assinatura C’, em que C’ é a assinatura de primeira ordem obtida de C trocando cada variável proposicional 𝑝𝑖 ∈ 𝒱 por um símbolo de
predicado unário 𝑃𝑖, e contendo os conectivos unários ∀𝑥 e ∃𝑥 para toda variável individual
𝑥. Tomemos f : L(C) −→ L(C’) uma função definida por f(𝑝𝑖) = 𝑃𝑖 e f(𝜉𝑖) = 𝜉𝑖 (i ∈ N),
f(𝜙♯𝜓) = f(𝜙) ♯ f(𝜓) para ♯ ∈ {∨, ∧, →}, e f(¬𝜙) = ¬f(𝜙). A função f é uma tradução conservativa, mas não é uma tradução contextual. Se tomarmos a meta-propriedade (P) dada por ({𝑋1, 𝜉1 ⊢ 𝜉2}, 𝑋1 ⊢ 𝜉1 → 𝜉2), então ˙𝑓 (P) e (P) coincidem e MON não
satisfaz (P), pois para a substituição 𝜎 tal que 𝜎(𝜉1) = 𝑃1(𝑥) e 𝜎(𝜉2) = ∀𝑥𝑃1(𝑥), e para
a instanciação 𝜋 dada por 𝜋(𝑋1) = ∅, temos que 𝑃1(𝑥) ⊢MON ∀𝑥𝑃1(𝑥), mas MON não
satisfaz 𝑃1(𝑥) → ∀𝑥𝑃1(𝑥).
Visto que traduções contextuais são definidas entre lógicas com assinaturas proposicionais, apresentaremos um exemplo com a mesma ideia do exemplo acima, mas tal que as lógicas envolvidas tenham linguagens proposicionais. Sabemos que o teorema da dedução não é válido em algumas lógicas modais, como por exemplo a lógica LTK,
introduzida em (FEITOSA; NASCIMENTO; GRÁCIO, 2010), que consiste de uma linguagem proposicional L(¬, ∨, ∧, →, , 𝑝1, 𝑝2, . . . ) com os axiomas do CPC e a regra Modus Ponens acrescidos dos seguintes axiomas e regras:
(AxTK1) 𝜙 → 𝜙
(AxTK2) 𝜙 → 𝜙
(RTK) 𝜙 → 𝜓 ⊢ 𝜙 → 𝜓.
Feitosa, Nascimento e Grácio (2010) demonstram que (𝜙 → 𝜓) → (𝜙 → 𝜓) não é teorema desta lógica. Tomando a função entre as linguagens do CPC e de LTK,
tal que f(𝜉𝑖) = 𝜉𝑖 (i ∈ N), f(𝜙♯𝜓) = f(𝜙) ♯ f(𝜓) para ♯ ∈ {∨, ∧, →}, e f(¬𝜙) = ¬f(𝜙),
não é sobrejetiva, as fórmulas dadas pelo novo operador não estão na imagem de f. Daí, as deduções em LTK feitas com as fórmulas da imagem de f também são deduções via f-1
no CPC. Portanto, f é uma tradução conservativa. Porém, a meta-propriedade P = ({𝑋1, 𝜉1 ⊢ 𝜉2}, 𝑋1 ⊢ 𝜉1 → 𝜉2) é uma meta-propriedade do CPC, mas ˙𝑓 (P), que coincide com
(P), não é uma meta-propriedade de LTK. Basta tomarmos 𝑋1 = ∅, 𝜉1 = 𝜙 → 𝜓 e 𝜉2 =
𝜙 → 𝜓. Assim, 𝑓 não é contextual.
Agora, consideremos a lógica proposicional clássica, CPC, e a lógica proposici- onal intuicionista, CPI, ambas sobre C. A função inclusão i : L(C) −→ L(C), i : CPI −→ CPC, como comentamos na Seção 2.4, não é uma tradução conservativa, porém, é uma tradução contextual, visto que toda meta-propriedade que o CPI satisfaz também é satisfeita no CPC.
Para um exemplo de função que é tanto uma tradução contextual quanto uma tradução conservativa, tomemos ℒ uma lógica que é um fragmento do CPC definida sobre a assinatura C”, com 𝒱 (conjunto de variáveis proposicionais), ∨ e ∧ e a função inclusão i : L(C”) −→ L(C), i : ℒ −→ CPC.
O diagrama abaixo representa, de forma conjuntista, o que temos até agora:
T. conservativas T. contextuais
Traduções
Figura 12
Pela Proposição 3.3.1, temos que o conjunto das traduções contextuais abstratas contém o conjunto das traduções conservativas. Como já comentamos após a definição de tradução contextual abstrata (Definição 3.3.1), tomando apenas lógicas Tarskianas, o conjunto das traduções contextuais abstratas também contém o conjunto das traduções contextuais. Daí, ou o conjunto das traduções contextuais abstratas é exatamente a união dos conjuntos das traduções conservativas e das traduções contextuais, ou é um conjunto “maior” do que esta união. Por outro lado, o conceito de tradução também é mais abrangente que os conceitos de tradução conservativa e de tradução contextual, ademais, uma tradução contextual abstrata é uma tradução. Portanto, ou o conjunto das
traduções contextuais abstratas coincide com o conjunto das traduções, ou é um conjunto “menor” do que o conjunto das traduções.
Nosso objetivo agora é encontrar dois exemplos. Um de uma tradução contextual abstrata que não seja nem uma tradução conservativa, nem uma tradução contextual; e outro de uma tradução que não seja uma tradução contextual abstrata.
Tomemos a função identidade (inclusão) do cálculo quantificacional intuicionista no cálculo quantificacional clássico. As meta-propriedades são preservadas, daí é um exemplo de tradução contextual abstrata. Devido à restrição da linguagem nas traduções contextuais, não é um exemplo de tradução contextual e, claramente, também não é um exemplo de tradução conservativa.
Consideremos duas lógicas 𝐿1 e 𝐿2 com as respectivas linguagens L(→, 𝑝1, 𝑝2,
...) e L’(→’, 𝑝1’, 𝑝2’, ...), tais que 𝑝𝑖 → 𝑝𝑖, 𝑖 ∈ N, são axiomas de 𝐿1 e 𝑝′𝑖 →
′ 𝑝′
𝑖, 𝑖 ∈ N, são
axiomas de 𝐿2. Além disso, 𝑝𝑖 ⊢ 𝑝𝑗 ⇒ ⊢ 𝑝𝑖 → 𝑝𝑗, 𝑖, 𝑗 ∈ N, é uma meta-propriedade de 𝐿1, 𝑝1 0 𝑝4, em 𝐿1, e 𝑝1’ ⊢ 𝑝4’, 0 𝑝1’ →’ 𝑝4’, em 𝐿2. Daí, em 𝐿1, 𝑝1 ⊢ 𝑝4 ⇒ ⊢ 𝑝1 → 𝑝4 é válido e 𝑝′1 ⊢ 𝑝′ 4 ⇒ ⊢ 𝑝 ′ 1 → ′ 𝑝′
4 não é válido em 𝐿2. A função f: 𝐿1 −→ 𝐿2, f(𝑝𝑖) = 𝑝𝑖’, f(𝑝𝑖 → 𝑝𝑗)
= f(𝑝𝑖) →’ f(𝑝𝑗), é uma tradução segundo (da SILVA; D’OTTAVIANO; SETTE, 1999),
mas não é uma tradução contextual abstrata.
Com estes exemplos, podemos sintetizar os conceitos de tradução, tradução contextual abstrata, tradução conservativa e tradução contextual através do seguinte diagrama: T. conservativas T. context. abst. T. contextuais Traduções Figura 13
As traduções contextuais possuem uma simbologia mais sofisticada que as traduções, traduções conservativas e traduções contextuais abstratas. Esta simbologia é interessante no campo da lógica, porém, pensando em linguagem natural, uma desvantagem das traduções contextuais é que elas tratam apenas de traduções entre sistemas proposici- onais com certo tipo de linguagem clássica e um sistema em um ambiente quantificacional
tem um poder maior de expressão do que um sistema correlato num ambiente proposicional. Por exemplo, quando tratamos de relações entre objetos, observamos que a linguagem quantificacional é mais conveniente. Se consideramos a sentença “Amélia é maior que Beatriz e Beatriz é maior que Camila”, então podemos representá-la numa linguagem proposicional como 𝜙 ∧ 𝜓 e, numa linguagem quantificacional, tomando o predicado 𝑀 𝑥𝑦 para designar “𝑥 é maior que 𝑦”, como 𝑀 𝑎𝑏 ∧ 𝑀 𝑏𝑐. Na linguagem quantificacional, diferentemente da linguagem proposicional, fica preservada a relação que existe entre Amélia e Beatriz e entre Beatriz e Camila e, além disso, nota-se que Beatriz aparece duas vezes na representação quantificacional da sentença.
Ainda no âmbito das linguagens naturais, parece razoável afirmar que uma tradução deve exprimir, na língua de chegada, um texto que mantenha ao máximo possível o significado do texto original. No entanto, vemos que nem sempre existe uma correspondência estrita entre a língua de partida e a língua de chegada, devido às características linguísticas e culturais específicas de cada língua. Por este e por outros motivos, às vezes as traduções não preservam plenamente o significado, em especial, o significado das palavras, ou das sentenças.
Um exemplo encontrado (TORRE, 1992) e dado pela autora Snell-Hornby, é a frase inglesa “She is a cat”. Não é óbvio traduzir esta frase para o alemão, visto que na civilização britânica o gato está associado ao despeito e à maldade, enquanto que na civilização germânica o gato está associado à graça e à agilidade. Logo, uma tradução desta frase para o alemão, num dado contexto, não pode ser literal, pois não preservaria o significado.
Considerando as traduções aqui estudadas, vemos que o objetivo dos conceitos de tradução segundo (da SILVA; D’OTTAVIANO; SETTE, 1999), de tradução contextual e de tradução contextual abstrata é preservar o significado (derivabilidade) da lógica domínio na lógica alvo, enquanto que o objetivo do conceito de tradução conservativa propõe também preservar o significado (derivabilidade) da lógica alvo na lógica domínio. Esqueceremos, agora, que a tradução contextual trata apenas de linguagens proposicionais e, por isto, é menos expressiva que tradução segundo (da SILVA; D’OTTAVIANO; SETTE, 1999) e tradução contextual abstrata. Além disso, também esqueceremos que, pela forma como foram definidas, tradução (da SILVA; D’OTTAVIANO; SETTE, 1999) é um conceito mais abrangente que os conceitos de tradução contextual e tradução contextual abstrata e o conceito de tradução contextual abstrata é mais abrangente que o de tradução contextual. Assim, em linguagem natural, podemos associar os conceitos de tradução, tradução contextual e tradução contextual abstrata com as traduções feitas na linguagem natural, tais que o texto da língua de chegada preserva o significado do texto original, e o conceito de tradução conservativa com as traduções feitas na linguagem natural que preservam isto e o inverso, ou seja, o texto original retoma (reafirma) o significado do
texto traduzido. O exemplo de tradução literal dado acima não seria nem uma tradução (tradução contextual ou tradução contextual abstrata), nem uma tradução conservativa.
Nas páginas 7 e 8 do livro “The universal book of mathematics: from abraca- dabra to Zeno’s paradoxes”, (DARLING, 2004), encontramos um breve resumo da vida de Maria Gaetana Agnesi (1718 - 1799), matemática italiana. Neste resumo consta que na obra “Instituzioni analitiche ad uso della gioventu italiana”, publicada em 1748, Agnesi se refere a uma curva por meio da palavra “aversiera”, que pode ser traduzida para o inglês como “to turn”, ou para o português como “curva”. Mas, o matemático britânico John Colson (1680 - 1760) confundiu a palavra “aversiera” com a palavra “avversiere”, que pode ser traduzida para o inglês como “witch”, ou para o português como “bruxa”. A curva ficou então conhecida como a bruxa de Agnesi, apesar que a curva já tinha sido estudada anteriormente por Pierre de Fermat e pelo matemático italiano Guido Grandi (1671 - 1742). A título de curiosidade, a equação cartesiana da bruxa de Agnesi é 𝑦 = 𝑥2𝑎+𝑎3 2.
Como se trata de um conceito matemático, o significado do conceito foi mantido, porém o sentido da palavra “bruxa” e sua falta de conexão com a curva não são mantidos pela palavra “aversiera”. Daí, esta tradução pode ser considerada no sentido de tradução, de tradução contextual e de tradução contextual abstrata, mas não no sentido de tradução conservativa.
Uma tradução conservativa deve preservar o significado nos dois sentidos, daí este conceito, pensando em linguagem natural, pode ser associado a uma boa tradução. Por exemplo, a tradução da palavra “aversiera” como “curva” pode ser considerada uma tradução conservativa. As ideias de tradução, tradução contextual e tradução contextual abstrata, por exigirem apenas um sentido de preservação do significado da tradução, abrangem um número maior de traduções feitas na linguagem natural que a ideia de tradução conservativa.
Deixando de lado nossos comentários envolvendo a linguagem natural, um conceito que nos parece plausível é o de tradução contextual-conservativa, que seria o conceito de tradução contextual em que as meta-propriedades gerais da lógica alvo devem ser preservadas na lógica domínio. Com este novo conceito, uma lógica não trivial não pode ser contextual-conservativamente tradutível numa lógica trivial. Além disso, uma lógica trivial também não pode ser contextual-conservativamente tradutível numa lógica não trivial. No contexto da linguagem natural, está associado a um bom conceito para tradução.
Definição 3.5.3. Sejam ℒ e ℒ ’ lógicas definidas sobre as assinaturas C e C’, respectiva-
mente. Uma tradução contextual-conservativa f deℒ em ℒ ’, denotada por f : ℒ −→ ℒ ’, é uma função f : L(C) −→ L(C’) tal que, ℒ possui a meta-propriedade (P) se, e somente se, ℒ ’ possui a meta-propriedade ˙𝑓(P).
Podemos pensar num conceito mais estrito, em que as meta-propriedades da lógica alvo são preservadas pela lógica domínio da mesma forma que as meta-propriedades da lógica domínio são preservadas pela lógica alvo. Antes da definição, vamos definir ˙𝑓
como segue:
Seja f é uma relação de L(C) em L(C’) tal que para cada 𝜎 ∈ Σ, f(𝜎) = 𝜎. Dada uma asserção S = (ϒ, 𝜙) sobre C, então ˙𝑓(S) é a asserção ( ˙𝑓[ϒ], ˙𝑓(𝜙)) sobre C’ tal que ˙𝑓 (𝜓) ∈ f(𝜓) se 𝜓 ∈ L(C, Σ), ˙𝑓 (X) = X se X ∈ 𝜒 e ˙𝑓 [ϒ] = { ˙𝑓 (𝑎) : 𝑎 ∈ ϒ}. Se (P)
= ({𝑆1, . . . , 𝑆𝑛}, S) é uma meta-propriedade sobre C, então ˙𝑓(P) é a meta-propriedade
({ ˙𝑓 (𝑆1), . . . , ˙𝑓 (𝑆𝑛)}, ˙𝑓 (S)) sobre C’.
A diferença entre a definição acima e a definição de ˙𝑓 quando definimos tradução contextual é que se 𝜓 ∈ L(C, Σ), então ˙𝑓(𝜓) não é mais igual à f(𝜓), e sim pertence à f(𝜓).
Definição 3.5.4. Sejam ℒ e ℒ ’ lógicas definidas sobre as assinaturas C e C’, respecti-
vamente. Uma tradução contextual-conservativa estrita f de ℒ em ℒ ’, denotada por f : ℒ −→ ℒ ’, é uma função f : L(C) −→ L(C’) tal que, se ℒ possui a meta-propriedade (P), então, ℒ ’ possui a meta-propriedade ˙𝑓(P). E, se ℒ ’ possui a meta-propriedade (P’),
então, ℒ possui a meta-propriedade ˙𝑓−1(P’).
Portanto, 𝑓−1˙ (P’), da definição acima, pode corresponder a mais de uma meta-
propriedade, se f não for injetiva, e pode não existir, se f não for sobrejetiva. Daí, se a função não é sobrejetiva, provavelmente não existe a tradução contextual-conservativa estrita f. Nesse sentido, por simplicidade, na definição acima, poderíamos exigir que f fosse uma função bijetiva. Daí conseguiríamos falar de 𝑓−1 como a função inversa de f e manteríamos a definição de ˙𝑓 , em que ˙𝑓 (𝜓) = f(𝜓), se 𝜓 ∈ L(C, Σ).
Outro conceito que pode ser pensado é o de tradução conservativa-contextual, que seria o conceito de tradução conservativa que, além de preservar derivabilidade da lógica domínio na lógica alvo e vice-versa, também preserva meta-propriedades da lógica domínio na lógica alvo e vice-versa.
Definição 3.5.5. Sejam L1 = (𝐿1, C1) e L2 = (𝐿2, C2) duas lógicas. Uma tradução conservativa-contextual de L1 em L2 é uma função t : 𝐿1 −→ 𝐿2 tal que, para todo
conjunto Xi∪{𝑥i} ⊆ 𝐿1, i ∈ {1, 2, . . . , n}, temos que 𝑥1 ∈ C1(X1), 𝑥2 ∈ C1(X2), . . . , 𝑥n-1
∈ C1(Xn-1) ⇒ 𝑥n ∈ C1(Xn) se, e somente se, t(𝑥1) ∈ C2(t(X1)), t(𝑥2) ∈ C2(t(X2)), . . . ,
Claramente, apesar de parecer interessante, este conceito de tradução conservativa- contextual coincide com o conceito de tradução conservativa. Pois, pela Proposição 3.3.1, temos que o conceito de tradução conservativa implica a ida da definição acima e, por um raciocínio análogo, obtemos a volta. Além disso, restringindo n para 1, temos a definição de tradução conservativa. Nesse sentido, observamos que na abordagem via traduções abstratas, traduções conservativas e traduções conservativas-contextuais colapsam.
Tomemos a definição de isomorfismo, tal como a Definição 2.3.4, mas não entre estruturas de primeira ordem bi-sortidas. Queremos uma definição de isomorfismo entre lógicas abstratas Tarskianas. Como um isomorfismo deve preservar as relações e a relação envolvida em uma lógica Tarskiana L = (L, C) é o operador de consequência, C, o isomorfismo deve preservá-lo.
Definição 3.5.6. Sejam L1 = (𝐿1, C1) e L2 = (𝐿2, C2) duas lógicas (lógicas de acordo
com a Definição 1.6.1). Um isomorfismo t : L1 −→ L2 é uma função bijetiva t : 𝐿1 −→ 𝐿2
tal que, para todo conjunto X∪{𝑥} ⊆ 𝐿1, temos que 𝑥 ∈ C1(X) se, e somente se, t(𝑥)
∈ C2(t(X)).
Claramente, se uma função f : L(C) −→ L(C’) é um isomorfismo, então f é uma tradução conservativa. Também por f preservar a derivabilidade e ser bijetiva, a lógica alvo e a lógica domínio possuem as mesmas meta-propriedades, daí f é uma tradução contextual e uma tradução hiper-contextual. O exemplo, visto acima, da função inclusão da lógica ℒ , que é um fragmento do CPC (sobre 𝒱 , ∨ e ∧) no CPC sobre 𝒱 , ¬, ∨, ∧ e →, é tanto uma tradução conservativa, quanto uma tradução contextual, porém, não é um isomorfismo, pois não é sobrejetiva.
Já conseguimos, então, envolver o conceito de isomorfismo com os conceitos de tradução conservativa e tradução contextual, sendo que este conceito é mais restrito do que a intersecção destes dois últimos.
A fim de envolver em nosso estudo também os conceitos de tradução contextual- conservativa e de tradução contextual-conservativa estrita, visto que, por definição, uma tradução contextual-conservativa (estrita) é tanto uma tradução conservativa, quanto uma tradução contextual, vamos mostrar, a seguir, que se uma tradução é conservativa e contextual, então ela é uma tradução contextual-conservativa. Desta forma, saberemos que o conjunto das traduções contextuais-conservativas coincide com a intersecção dos conjuntos de tradução conservativa e de tradução contextual. Ademais, como, por definição,