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Nesta seção, um novo conceito de tradução contextual abstrata será proposto e algumas definições e resultados nossos serão apresentados, a fim de obter uma condição

necessária e suficiente para caracterizar a existência de traduções contextuais abstratas entre lógicas, e analisar relações entre traduções conservativas e traduções contextuais abstratas. Também trabalharemos com a categoria cujos objetos são as lógicas Tarskianas e cujos morfismos são as traduções contextuais abstratas e estabeleceremos uma relação entre esta categoria e as categorias Tr e Trcon. Aqui, utilizamos o conceito de lógica de acordo com a Definição 1.6.5.

Definição 3.3.1. Sejam L1 = (𝐿1, C1) e L2 = (𝐿2, C2) duas lógicas. Uma tradução contextual abstrata t : L1 −→ L2 é uma função t : 𝐿1 −→ 𝐿2 tal que, para todo conjunto

Xi∪{𝑥i} ⊆ 𝐿1, i ∈ {1, 2, . . . , n}, temos que se 𝑥1 ∈ C1(X1), 𝑥2 ∈ C1(X2), . . . , 𝑥n-1

∈ C1(Xn-1) ⇒ 𝑥n ∈ C1(Xn), então t(𝑥1) ∈ C2(t(X1)), t(𝑥2) ∈ C2(t(X2)), . . . , t(𝑥n-1)

∈ C2(t(Xn-1)) ⇒ t(𝑥n) ∈ C2(t(Xn)).

É imediato que o nosso conceito de tradução contextual abstrata é um caso particular do conceito de tradução de da Silva, D’Ottaviano e Sette (1999) (Definição 1.6.23), basta tomarmos n = 1 na definição acima (ou seja, se t : L1 −→ L2 é uma tradução

contextual abstrata e, para X∪{𝑥} ⊆ 𝐿1, 𝑥 ∈ C1(X), então, ∅ ⇒ 𝑥 ∈ C1(X), logo, ∅ ⇒

t(𝑥) ∈ C2(t(X)), daí, t(𝑥) ∈ C2(t(X))).

Em certo sentido, traduções contextuais e traduções contextuais abstratas poderiam ser consideradas como incomparáveis. Pois, de um lado, analisando a linguagem, o domínio das lógicas contextual-abstratamente tradutíveis é mais abrangente que o domínio das lógicas contextualmente tradutíveis, daí, poderíamos pensar que o conceito de tradução contextual é um caso particular do conceito de tradução contextual abstrata. Por outro lado, o operador de consequência inerente às lógicas contextual-abstratamente tradutíveis respeita determinadas condições, ou seja, as condições Tarskianas, enquanto que trabalhando com traduções contextuais pensamos numa “relação de consequência” sem especificar as condições a serem respeitadas, então, não poderíamos considerar que o conceito de tradução contextual seja um caso particular do conceito de tradução contextual abstrata. A fim de comparar estes dois conceitos, podemos tratar traduções contextuais com uma relação de dedutibilidade que respeita certas propriedades de modo a corresponder ao operador de consequência (Definição 1.6.1). Ou seja, as asserções (Definição 3.2.1) se comportam como uma relação de consequência Tarskiana, por exemplo, a relação de consequência ⊢ tal que, para todos Γ, Δ ⊆ 𝜒 ∪ L(C), 𝜙 ∈ L(C):

(i) 𝜙 ⊢ 𝜙

(ii) se Γ ⊢ 𝜙, então Γ, Δ ⊢ 𝜙

Daí, temos que traduções contextuais entre lógicas Tarskianas são casos particu- lares de traduções contextuais abstratas. Pois, se 𝑓 : 𝐿1 −→ 𝐿2 é uma tradução contextual

e para todo conjunto Xi∪{𝑥i} ⊆ 𝐿1, i ∈ {1, 2, . . . , n}, 𝑥1 ∈ C1(X1), 𝑥2 ∈ C1(X2), . . . , 𝑥n-1

∈ C1(Xn-1) implica 𝑥n ∈ C1(Xn), então (P) = ({X1 ⊢1 𝑥1, X2 ⊢1 𝑥2, . . . , Xn-1 ⊢1 𝑥n-1}, Xn

⊢1 𝑥n) é uma meta-propriedade de L1. Como 𝑓 é uma tradução contextual, L2 possui a

meta-propriedade ˙𝑓 (P), que corresponde a meta-propriedade (P) tal que cada elemento de 𝐿1 em (P) é trocado pela sua imagem dada por 𝑓 . Logo, L2 possui a meta-propriedade

˙

𝑓 (P) = ({𝑓 (X1) ⊢2 𝑓 (𝑥1), 𝑓 (X2) ⊢2 𝑓 (𝑥2), . . . , 𝑓 (Xn-1) ⊢2 𝑓 (𝑥n-1)}, 𝑓 (Xn) ⊢2 𝑓 (𝑥n)), ou

seja, 𝑓 (𝑥1) ∈ C2(𝑓 (X1)), 𝑓 (𝑥2) ∈ C2(𝑓 ((X2)), . . . , 𝑓 (𝑥n-1) ∈ C2(𝑓 (Xn-1)) implica 𝑓 (𝑥n)

∈ C2(𝑓 (Xn)). Portanto, 𝑓 é uma tradução contextual abstrata.

Um resultado interessante envolvendo as traduções conservativas e as traduções contextuais abstratas é que o conceito de tradução contextual abstrata é mais geral que o de tradução conservativa, ou seja, ser tradução conservativa é uma condição suficiente para ser uma tradução contextual abstrata. Demonstraremos isto na próxima proposição.

Proposição 3.3.1. Se t é uma tradução conservativa, então t é uma tradução contextual

abstrata.

Demonstração. Se t : 𝐿1 −→ 𝐿2 é uma tradução conservativa e, para todo conjunto

Xi∪{𝑥i} ⊆ 𝐿1, i ∈ {1, 2, . . . , n}, 𝑥1 ∈ C1(X1), 𝑥2 ∈ C1(X2), . . . , 𝑥n-1 ∈ C1(Xn-1) implica 𝑥n ∈ C1(Xn) e t(𝑥1) ∈ C2(t(X1)), t(𝑥2) ∈ C2(t(X2)), . . . , t(𝑥n-1) ∈ C2(t(Xn-1)), então, de t

ser uma tradução conservativa, 𝑥1 ∈ C1(X1), 𝑥2 ∈ C1(X2), . . . , 𝑥n-1 ∈ C1(Xn-1), portanto, 𝑥n ∈ C1(Xn) e, de t ser uma tradução, t(𝑥n) ∈ C2(t(Xn)).

A proposição acima é importante por nos permitir comparar os conceitos de tradução conservativa e tradução contextual abstrata e por ser uma ferramenta útil, que será utilizada em algumas das demonstrações que se seguem.

Para os próximos resultados, lembramos que na Definição 1.6.9 encontramos a função quociente para uma relação de equivalência ∼ sobre L, Q : L −→ L/∼, em que L é o domínio de uma lógica L = (L, C), tal que Q(𝑥) = [𝑥] = {𝑦 : 𝑥 ∼ 𝑦}. Se C∼ é o

operador de consequência co-induzido por Q e L sobre L/∼ (Definição 1.6.8), então L∼ =

(L/∼, C) é a lógica co-induzida por Q e L. A relação de equivalência ∼ em L é dada por 𝑥 ∼ 𝑦 se, e somente se, C(𝑥) = C(𝑦).

Demonstração. Como Q é uma tradução conservativa (Proposição 2.1.6), então, pela

Proposição 3.3.1, Q é uma tradução contextual abstrata.

Proposição 3.3.3. Consideremos t : L1 −→ L2 e t’ : L2 −→ L3 duas traduções contex-

tuais abstratas. Então, a composição entre elas, t’∘t : L1 −→ L3, também é uma tradução contextual abstrata. L1 𝑡  𝑡∘𝑡 L2 𝑡′ //L3 Figura 5 Demonstração. Se 𝑥1 ∈ C1(X1), 𝑥2 ∈ C1(X2), . . . , 𝑥n-1 ∈ C1(Xn-1) ⇒ 𝑥n ∈ C1(Xn),

Xi∪{𝑥i} ⊆ L, i ∈ {1, 2, . . . , n}, como t é uma tradução contextual abstrata, t(𝑥1)

∈ C2(t(X1)), t(𝑥2) ∈ C2(t(X2)), . . . , t(𝑥n-1) ∈ C2(t(Xn-1)) ⇒ t(𝑥n) ∈ C2(t(Xn)) e, de t’ ser

uma tradução contextual abstrata, t’(t(𝑥1)) ∈ C3(t’(t(X1))), t’(t(𝑥2)) ∈ C3(t’(t(X2))), . . . ,

t’(t(𝑥n-1)) ∈ C3(t’(t(Xn-1))) ⇒ t’(t(𝑥n)) ∈ C3(t’(t(Xn))). Logo, t’∘t(𝑥1) ∈ C3(t’∘t(X1)),

t’∘t(𝑥2) ∈ C3(t’∘t(X2)), . . . , t’∘t(𝑥n-1) ∈ C3(t’∘t(Xn-1)) ⇒ t’∘t(𝑥n) ∈ C3(t’∘t(Xn)).

Teorema 3.3.4. Sejam L1 = (𝐿1, C1) e L2 = (𝐿2, C2) lógicas. Se 𝐿2 é enumerável, então existe uma tradução contextual abstrata t : L1 −→ L2 se, e somente se, existe uma tradução contextual abstrata t* : L1∼1 −→ L2∼2.

Demonstração. Temos o seguinte diagrama:

L1 𝑡  𝑄1 // L1∼1 𝑡*  L2 𝑄2 // L2∼2 Figura 6

(⇒) Se t : L1 −→ L2 é uma tradução contextual abstrata, como 𝑄2 é uma

tradução contextual abstrata, temos, pela Proposição 3.3.3, que 𝑄2∘t : L1 −→ L2∼2 é

uma tradução contextual abstrata. Então, existe t* : L1∼1 −→ L2∼2 definida por t*([𝑥])

C1(𝑦) e de t ser uma tradução (contextual abstrata) C2(t(𝑥)) = C2(t(𝑦)) e, daí, t(𝑥)

∼2 t(𝑦), portanto, t*([𝑥]) = 𝑄2(t(𝑥)) = 𝑄2(t(𝑦)) = t*([𝑦]). Provaremos agora que t* é

uma tradução contextual abstrata. Suponhamos que [𝑥1] ∈ C1∼1([X1]), [𝑥2] ∈ C1∼1([X2]), . . . , [𝑥n-1] ∈ C1∼1([Xn-1]) ⇒ [𝑥n] ∈ C1∼1([Xn]). Se 𝑥1 ∈ C1(X1), 𝑥2 ∈ C1(X2), . . . , 𝑥n-1

∈ C1(Xn-1), então, como 𝑄1é uma tradução, [𝑥1] ∈ C1∼1([X1]), [𝑥2] ∈ C1∼1([X2]), . . . , [𝑥n-1]

∈ C1∼1([Xn-1]). Daí, [𝑥n] ∈ C1∼1([Xn]), como 𝑄1é uma tradução conservativa, 𝑥n∈ C1(Xn).

Por 𝑄2∘t ser uma tradução contextual abstrata, 𝑄2∘t(𝑥1) ∈ C2∼2(𝑄2∘t(X1)), 𝑄2∘t(𝑥2)

∈ C2∼2(𝑄2∘t(X2)), . . . , 𝑄2∘t(𝑥n-1) ∈ C2∼2(𝑄2∘t(Xn-1)) ⇒ 𝑄2∘t(𝑥n) ∈ C2∼2(𝑄2∘t(Xn)).

Como t*([𝑥]) = 𝑄2∘t(𝑥), então temos t*([𝑥1]) ∈ C2∼2(t*([X1])), t*([𝑥2]) ∈ C2∼2(t*([X2])), . . . , t*([𝑥n-1]) ∈ C2∼2(t*([Xn-1])) ⇒ t*([𝑥n]) ∈ C2∼2(t*([Xn])).

(⇐) Consideremos a tradução contextual abstrata t* : L1∼1 −→ L2∼2. Como 𝐿2 é enumerável, podemos escrever 𝐿2 = {𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, . . . }. Seja t : L1 −→ L2 dada por

t(𝑥) = 𝑦, tal que 𝑦 ∈ 𝑄2-1∘t*∘𝑄1(𝑥) e 𝑦 tem menor índice em 𝐿2. Notemos que 𝑄2-1

não é uma função, mas podemos trabalhar com 𝑄2-1, pois 𝑄2 é sobrejetiva. Como t*

e 𝑄1 são traduções contextuais abstratas, então, pela Proposição 3.3.3, t*∘𝑄1 é uma

tradução contextual abstrata. Definimos 𝑄2-1* de L2∼2 em L2 tal que 𝑄2-1*(𝑥) = 𝑦, 𝑦 ∈ 𝑄2-1(x) e 𝑦 tem o menor índice de 𝐿2. Logo, t(𝑥) = 𝑄2-1*∘t*∘𝑄1(𝑥), para todo 𝑥 ∈ 𝐿1. A

função t é uma tradução contextual abstrata, pois se 𝑥1 ∈ C1(X1), 𝑥2 ∈ C1(X2), . . . , 𝑥n-1

∈ C1(Xn-1) ⇒ 𝑥n∈ C1(Xn) e 𝑄2-1*∘t*∘𝑄1(𝑥1) ∈ C2(𝑄2-1*∘t*∘𝑄1(X1)), 𝑄2-1*∘t*∘𝑄1(𝑥2) ∈

C2(𝑄2-1*∘t*∘𝑄1(X2)), . . . , 𝑄2-1*∘t*∘𝑄1(𝑥n-1) ∈ C2(𝑄2-1*∘t*∘𝑄1(Xn-1)), então, como 𝑄2 é

uma tradução conservativa, t*∘𝑄1(𝑥1) ∈ C2∼2(t*∘𝑄1(X1)), t*∘𝑄1(𝑥2) ∈ C2∼2(t*∘𝑄1(X2)), . . . , t*∘𝑄1(𝑥n-1) ∈ C2∼2(t*∘𝑄1(Xn-1)), logo de t* e 𝑄1 serem traduções contextuais

abstratas, t*∘𝑄1(𝑥n) ∈ C2∼2(t*∘𝑄1(Xn)) e, como 𝑄2 é uma tradução, 𝑄2-1*∘t*∘𝑄1(𝑥n)

∈ C2(𝑄2-1*∘t*∘ 𝑄1(Xn)).

Assumimos no teorema anterior a enumerabilidade de 𝐿2, esta condição é

necessária para a demonstração da “volta” do teorema, mas, poderíamos retirar esta condição e utilizar o axioma da escolha na demonstração.

Observamos que no Teorema 2.1.7, se t é uma tradução conservativa, então t* é uma função injetiva. O mesmo não acontece com as traduções contextuais abstratas, ou seja, se t é uma tradução contextual abstrata, t* não é necessariamente uma função injetiva. Para verificarmos isto basta tomarmos o exemplo de tradução contextual abstrata do cálculo proposicional intuicionista no cálculo proposicional clássico, t : CPI −→ CPC, tal que t(𝑥) = 𝑥, esta é uma tradução contextual abstrata porque toda meta-propriedade do CPI é uma meta-propriedade do CPC.

CPI 𝑡  𝑄1 // CPI∼1 𝑡*  CPC 𝑄2 //CPC∼2 Figura 7

Claramente, não é o caso que 𝑦 ∼1 ¬¬𝑦. A função t* : CPI∼1 −→ CPC∼2 não

é injetiva, pois Q2(¬¬𝑦) = Q2(𝑦) ⇒ Q2(t(¬¬𝑦)) = Q2(t(𝑦)) ⇒ t*(Q1(¬¬𝑦)) = t*(Q1(𝑦)),

mas Q1(¬¬𝑦) ̸= Q1(𝑦).

Proposição 3.3.5. (i) A composição entre traduções contextuais abstratas é uma tradução

contextual abstrata; (ii) a identidade entre lógicas é uma tradução contextual abstrata; (iii) a composição de traduções contextuais abstratas é associativa; e (iv) a identidade é a unidade para a composição.

Demonstração. (i) Segue pela Proposição 3.3.3. (ii) Claramente, a função i : L −→ L,

para uma dada lógica L, é uma tradução contextual abstrata, pois o domínio e a imagem desta função coincidem e, portanto, possuem as mesmas meta-propriedades. As condições (iii) e (iv) seguem por traduções contextuais abstratas serem funções. Daí, a composição

de traduções contextuais é associativa e a identidade é a unidade para a composição.

Agora, podemos definir a categoria TrCx cujos objetos são as lógicas e cujos morfismos são as traduções contextuais abstratas. Esta categoria é uma subcategoria de

Tr, pois a coleção de objetos de Tr e a coleção de objetos de TrCx coincidem e dadas

duas lógicas quaisquer de TrCx, L1 e L2, a coleção dos morfismos em TrCx de L1 em L2

é um subconjunto da coleção dos morfismos em Tr de L1 em L2.

Proposição 3.3.6. A categoria TrCx possui equalisador.

Demonstração. Sejam L1 = (𝐿1, C1) e L2 = (𝐿2, C2) duas lógicas, t : L1 −→ L2 e t’ :

L1 −→ L2 dois morfismos de TrCx e E = {𝑥 : 𝑥 ∈ 𝐿1 e t(𝑥) = t’(𝑥)}. Definimos a lógica

E = (E, C𝐸) que é a lógica induzida por i e L1, em que i : E −→ L1 é a inclusão. Se

L3 = (𝐿3, C3) e h : L3 −→ L1 é um morfismo de TrCx tal que t ∘ h = t’ ∘ h, então

mostraremos que existe um único morfismo k de TrCx que comuta o diagrama:

A inclusão i é uma tradução contextual abstrata, pois, dada 𝑥 ∈ E, i(𝑥) = 𝑥. Daí, se 𝑥1 ∈ C𝐸(X1), 𝑥2 ∈ C𝐸(X2), . . . , 𝑥n-1 ∈ C𝐸(Xn-1) ⇒ 𝑥n ∈ C𝐸(Xn), então, pela

E 𝑖 //L1 𝑡 // 𝑡′ //L2 L3 >> 𝑘 OO Figura 8

∈ C𝐸(i(Xn)), e, daí, i(𝑥1) ∈ C1(i(X1)), i(𝑥2) ∈ C1(i(X2)), . . . , i(𝑥n-1) ∈ C1(i(Xn-1)) ⇒

i(𝑥n) ∈ C1(i(Xn)).

Definimos k : L3 −→ E por k(𝑥) = h(𝑥). Como, pela definição de função, para 𝑥 ∈ 𝐿3, h(𝑥) é único e t(h(𝑥)) = t’(h(𝑥)), então h(𝑥) ∈ E. Daí, h = i∘k e k está bem

definida.

De h e i serem traduções contextuais abstratas, temos que k também é uma tradução contextual abstrata, pois, como i é injetiva, admite inversa à esquerda e k = i-1∘h. Se 𝑥

1 ∈ C3(X1), 𝑥2 ∈ C3(X2), . . . , 𝑥n-1 ∈ C3(Xn-1) ⇒ 𝑥n ∈ C3(Xn), de h ser

uma tradução contextual abstrata, h(𝑥1) ∈ C1(h(X1)), h(𝑥2) ∈ C1(h(X2)), . . . , h(𝑥n-1)

∈ C1(h(Xn-1)) ⇒ h(𝑥n) ∈ C1(h(Xn)). Vimos que se 𝑥 ∈ 𝐿3, então h(𝑥) ∈ E e, daí,

i-1(h(𝑥

1)) ∈ C𝐸(i-1(h(X1))), i-1(h(𝑥2)) ∈ C𝐸(i-1(h(X2))), . . . , i-1(h(𝑥n-1)) ∈ C𝐸(i-1(h(Xn-1)))

⇒ i-1(h(𝑥

n)) ∈ C𝐸(i-1(h(Xn))), ou seja, k(𝑥1) ∈ C𝐸(k(X1)), k(𝑥2) ∈ C𝐸(k(X2)), . . . , k(𝑥n-1)

∈ C𝐸(k(Xn-1)) ⇒ k(𝑥n) ∈ C𝐸(k(Xn)).

Se k’ : L3 −→ E é um morfismo de TrCx e i∘k’ = h, como h = i∘k e, por i

admitir inversa à esquerda, temos k’ = k.

Portanto, o par (E, i) é o equalisador de t e t’.

Proposição 3.3.7. A categoria TrCx possui co-equalisador.

Demonstração. Sejam L1 = (𝐿1, C1) e L2 = (𝐿2, C2) duas lógicas, t : L1 −→ L2 e t’ :

L1 −→ L2 dois morfismos de TrCx e F = {(t(𝑥), t’(𝑥)) : 𝑥 ∈ 𝐿1}, ∼ a menor relação de

equivalência em L2 que contém F e L2∼ = (L2/∼, C2∼) a lógica co-induzida por 𝑄2 e L2.

Se h : L2 −→ E é um morfismo de TrCx tal que h ∘ t = h ∘ t’, então mostraremos que

existe um único morfismo k de TrCx que comuta o diagrama:

L1 𝑡 // 𝑡′ //L2 𝑄2 // "" L2∼ 𝑘  E Figura 9

Definimos k : L2∼ −→ E por k([𝑥]) = h(𝑥). Pela Proposição 3.3.2, 𝑄2 é uma

tradução contextual abstrata. Além disso, a função k está bem definida, pois, dados [𝑦], [𝑧] ∈ L/2∼, se [𝑦] = [𝑧] e 𝑦 ̸= 𝑧, como 𝑦 ∼ 𝑧 e ∼ é a menor relação de equivalência em

L2 que contém F, (𝑦, 𝑧) ∈ F ou (𝑧, 𝑦) ∈ F. Se (𝑦, 𝑧) ∈ F, então existe 𝑥 ∈ 𝐿1 tal que

t(𝑥) = 𝑦 e t’(𝑥) = 𝑧. Como h(t(𝑥)) = h(t’(𝑥)), então h(𝑦) = h(𝑧), logo, k([𝑦]) = k([𝑧]). Analogamente, se (𝑧, 𝑦) ∈ F, k([𝑧]) = k([𝑦]).

A função k é uma tradução contextual abstrata, pois, suponhamos que [𝑥1]

∈ C2∼([X1]), [𝑥2] ∈ C2∼([X2]), . . . , [𝑥n-1] ∈ C2∼([Xn-1]) ⇒ [𝑥n] ∈ C2∼([Xn]). Se 𝑥1

∈ C2(X1), 𝑥2 ∈ C2(X2), . . . , 𝑥n-1 ∈ C2(Xn-1), como 𝑄2 é uma tradução, [𝑥1] ∈ C2∼([X1]),

[𝑥2] ∈ C2∼([X2]), . . . , [𝑥n-1] ∈ C2∼([Xn-1]), daí, [𝑥n] ∈ C2∼([Xn]) e, de 𝑄2 ser uma

tradução conservativa, 𝑥n ∈ C2(Xn). Como h é uma tradução contextual abstrata, h(𝑥1)

∈ C𝐸(h(X1)), h(𝑥2) ∈ C𝐸(h(X2)), . . . , h(𝑥n-1) ∈ C𝐸(h(Xn-1)) ⇒ h(𝑥n) ∈ C𝐸(h(Xn)), de

k([𝑥]) = h(𝑥), k([𝑥1]) ∈ C𝐸(k([X1])), k([𝑥2]) ∈ C𝐸(k([X2])), . . . , k([𝑥n-1]) ∈ C𝐸(k([Xn-1]))

⇒ k([𝑥n]) ∈ C𝐸(k([Xn])).

Se existe k’ : L2∼ −→ E que é um morfismo de TrCx tal que k’∘𝑄2 = h =

k∘𝑄2, como 𝑄2 é sobrejetiva, admite inversa à direita e, daí, k’ = k.

Portanto, o par (L2∼, 𝑄2) é o co-equalisador de t e t’.

Agora, daremos uma definição de lógica produto semelhante à Definição 1.6.25.

Definição 3.3.2. Seja {L𝑖 = (𝐿𝑖, C𝑖)}i∈I uma família de lógicas. A lógica produto P das

L𝑖 é dado por P = (P, C𝑃), em que:

(i) P = Πi∈I𝐿𝑖 é o produto direto dos 𝐿𝑖;

(ii) C𝑃 é o operador de consequência sobre P tal que se 𝑥1 ∈ C𝑖(X1), 𝑥2

∈ C𝑖(X2), . . . , 𝑥n-1 ∈ C𝑖(Xn-1) ⇒ 𝑥n ∈ C𝑖(Xn), Xj∪{𝑥j} ⊆ 𝐿𝑖, j ∈ {1, 2, . . . , n}, então

𝑝𝑖-1(𝑥1) ∈ C𝑃(𝑝𝑖-1(X1)), 𝑝𝑖-1(𝑥2) ∈ C𝑃(𝑝𝑖-1(X2)), . . . , 𝑝𝑖-1(𝑥n-1) ∈ C𝑃(𝑝𝑖-1(Xn-1)) ⇒ 𝑝𝑖-1(𝑥n)

∈ C𝑃(𝑝𝑖-1(Xn)), em que 𝑝𝑖 : P −→ L𝑖 é qualquer projeção e 𝑝𝑖-1 é a inversa à direita, estas

são as únicas meta-propriedades de P.

Proposição 3.3.8. Seja P a lógica produto de uma família de lógicas {L𝑖}i∈I. Cada

projeção 𝑝𝑖 : P −→ L𝑖 é uma tradução contextual abstrata.

Demonstração. Suponhamos que 𝑝𝑖-1(𝑥1) ∈ C𝑃(𝑝𝑖-1(X1)), 𝑝𝑖-1(𝑥2) ∈ C𝑃(𝑝𝑖-1(X2)), . . . , 𝑝𝑖-1(

𝑥n-1) ∈ C𝑃(𝑝𝑖-1(Xn-1)) ⇒ 𝑝𝑖-1(𝑥n) ∈ C𝑃(𝑝𝑖-1(Xn)). Para uma L𝑖 qualquer, se 𝑝𝑖(𝑝𝑖-1(𝑥1))

∈ C𝑖(𝑝𝑖(𝑝𝑖-1(X1))), 𝑝𝑖(𝑝𝑖-1(𝑥2)) ∈ C𝑖(𝑝𝑖(𝑝𝑖-1(X2))), . . . , 𝑝𝑖(𝑝𝑖-1(𝑥n-1)) ∈ C𝑖(𝑝𝑖(𝑝𝑖-1(Xn-1))),

então 𝑥1 ∈ C𝑖(X1), 𝑥2 ∈ C𝑖((X2), . . . , 𝑥n-1 ∈ C𝑖(Xn-1), daí 𝑥n ∈ C𝑖(Xn) e, portanto, 𝑝𝑖(𝑝𝑖-1(𝑥n)) ∈ C𝑖(𝑝𝑖(𝑝𝑖-1(Xn))).

Proposição 3.3.9. Na categoria TrCx existe o produto de uma família qualquer de

lógicas.

Demonstração. Seja {L𝑖 = (𝐿𝑖, C𝑖)}i∈I uma família de lógicas de forma que se i ̸= j, então 𝐿𝑖 ∩ 𝐿𝑗 = ∅, podemos considerar esta condição sem perda de generalidade, P a lógica

produto das L𝑖 como definida acima e 𝑝𝑖 : P −→𝑖 as projeções canônicas.

Se C é um objeto de TrCx e 𝑓𝑖 : C −→ L𝑖 são morfismos de TrCx, i ∈ I,

então existe uma única k que é morfismo de TrCx e que comuta o diagrama:

C 𝑘 // 𝑓𝑖 P 𝑝𝑖  L𝑖 Figura 10

Pela proposição acima, toda projeção é uma tradução contextual abstrata. Definiremos k : C −→ P por k(𝑥) = (𝑓1(𝑥), . . . , 𝑓𝑖(𝑥), . . . ). Como cada 𝑓𝑖 é

uma função, para cada i ∈ I, 𝑓𝑖(𝑥) é único e, portanto, k está bem definida. Além disso, k

comuta o diagrama, pois 𝑝𝑖∘k(𝜙) = 𝑝𝑖(k(𝜙)) = 𝑝𝑖((𝑓1(𝑥), . . . , 𝑓𝑖(𝑥), . . . )) = 𝑓𝑖(𝑥).

Se 𝑥1 ∈ C𝐶(X1), 𝑥2 ∈ C𝐶(X2), . . . , 𝑥n-1 ∈ C𝐶(Xn-1) ⇒ 𝑥n ∈ C𝐶(Xn), então,

como todas as 𝑓𝑖 são traduções contextuais abstratas, para i ∈ I qualquer, 𝑓𝑖(𝑥1) ∈

C𝑖(𝑓𝑖(X1)), 𝑓𝑖(𝑥2) ∈ C𝑖(𝑓𝑖(X2)), . . . , 𝑓𝑖(𝑥n-1) ∈ C𝑖(𝑓𝑖(Xn-1)) ⇒ 𝑓𝑖(𝑥n) ∈ C𝑖(𝑓𝑖(Xn)). Daí,

pela definição de P, 𝑝𝑖-1(𝑓𝑖(𝑥1)) ∈ C𝑃(𝑝𝑖-1(𝑓𝑖(X1))), 𝑝𝑖-1(𝑓𝑖(𝑥2)) ∈ C𝑃(𝑝𝑖-1(𝑓𝑖(X2))), . . . , 𝑝𝑖-1(𝑓𝑖(𝑥n-1)) ∈ C𝑃(𝑝𝑖-1(𝑓𝑖(Xn-1))) ⇒ 𝑝𝑖-1(𝑓𝑖(𝑥n)) ∈ C𝑃(𝑝𝑖-1(𝑓𝑖(Xn))). Como as 𝑝𝑖 são

sobrejetivas, a inversa à esquerda das 𝑝𝑖 existem e, daí, k = 𝑝−1𝑖 ∘ 𝑓𝑖. Portanto, k(𝑥1)

∈ C𝑃(k(X1)), k(𝑥2) ∈ C𝑃(k(X2)), . . . , k(𝑥n-1) ∈ C𝑃(k(Xn-1)) ⇒ k(𝑥n) ∈ C𝑃(k(Xn)) e k é

uma tradução contextual abstrata.

Suponhamos, agora, que existe k’ : C −→ P tal que 𝑝𝑖∘k’ = 𝑓𝑖. Se k(x) ̸=

k’(x) para algum x ∈ C, então para algum j ∈ I, 𝑝𝑗(k(x)) = 𝑓𝑗(x) ̸= 𝑝𝑗(k’(x)), e daí k’ não

comuta o diagrama, logo, temos k’ = k.

Definição 3.3.3. Seja {L𝑖 = (𝐿𝑖, C𝑖)}i∈I uma família de lógicas. A lógica soma, ou co-produto, S das L𝑖 é dada por S = (S, C𝑆), em que:

(i) Os conjuntos 𝐿𝑖 são dois a dois disjuntos;

(ii) S = ∐︀

i∈I𝐿𝑖 é a soma direta dos 𝐿𝑖;

(iii) C𝑆 é o operador de consequência sobre S tal que se 𝑥1 ∈ C𝑖(X1), 𝑥2

∈ C𝑖(X2), . . . , 𝑥n-1∈ C𝑖(Xn-1) ⇒ 𝑥n∈ C𝑖(Xn), Xj∪{𝑥j} ⊆ 𝐿𝑖, j ∈ {1, 2, . . . , n}, então 𝑞𝑖(𝑥1)

∈ C𝑆(𝑞𝑖(X1)), 𝑞𝑖(𝑥2) ∈ C𝑆(𝑞𝑖(X2)), . . . , 𝑞𝑖(𝑥n-1) ∈ C𝑆(𝑞𝑖(Xn-1)) ⇒ 𝑞𝑖(𝑥n) ∈ C𝑆(𝑞𝑖(Xn)),

em que 𝑞𝑖 : L𝑖 −→ S é alguma inclusão e estas são as únicas meta-propriedades de S.

Proposição 3.3.10. Na categoria TrCx existe a soma ou co-produto de uma família

qualquer de lógicas.

Demonstração. Seja {L𝑖 = (𝐿𝑖, C𝑖)}i∈I uma família de lógicas de forma que se i ̸= j, então 𝐿𝑖∩ 𝐿𝑗 = ∅, podemos considerar esta condição sem perda de generalidade, S a lógica soma

das L𝑖 como definida acima e 𝑞𝑖 : L𝑖 −→ S as inclusões.

Se (E, {𝑓𝑖}i∈I) é tal que E é um objeto de TrCx e os 𝑓𝑖 : L𝑖 −→ E, i ∈ I,

são morfismos de TrCx, então existe um único k que é morfismo de TrCx que comuta o diagrama: L𝑖 𝑞𝑖  𝑓𝑖  S 𝑘 //E Figura 11

Cada inclusão 𝑞𝑖 : L𝑖 −→ S, pela definição de S, é uma tradução contextual

abstrata.

Definimos k : S −→ E por k(𝑥) = 𝑓𝑖(𝑥). A função k está bem definida, pois

se 𝑥 ∈ S, por definição, existe um único i ∈ I, tal que 𝑥 ∈ 𝐿𝑖 e 𝑓𝑖 é uma função. Dado 𝑥

∈ 𝐿𝑖, temos que 𝑞𝑖(𝑥) = 𝑥. Logo, k∘𝑞𝑖(𝑥) = k(𝑞𝑖(𝑥)) = k(𝑥) = 𝑓𝑖(𝑥) e, daí, k comuta o

diagrama.

Suponhamos que 𝑞𝑖(𝑥1) ∈ C𝑆(𝑞𝑖(X1)), 𝑞𝑖(𝑥2) ∈ C𝑆(𝑞𝑖(X2)), . . . , 𝑞𝑖(𝑥n-1) ∈

C𝑆(𝑞𝑖(Xn-1)) ⇒ 𝑞𝑖(𝑥n) ∈ C𝑆(𝑞𝑖(Xn)). Se k(𝑞𝑖(𝑥1)) ∈ C𝐸(k(𝑞𝑖(X1))), k(𝑞𝑖(𝑥2)) ∈ C𝐸(k(𝑞𝑖(X2))), . . . , k(𝑞𝑖(𝑥n-1)) ∈ C𝐸(k(𝑞𝑖(Xn-1))), então, como k∘𝑞𝑖 = 𝑓𝑖, 𝑓𝑖(𝑥1) ∈ C𝐸(𝑓𝑖(X1)), 𝑓𝑖(𝑥2)

∈ C𝐸(𝑓𝑖(X2)), . . . , 𝑓𝑖(𝑥n-1) ∈ C𝐸(𝑓𝑖(Xn-1)), por 𝑓𝑖 ser uma tradução contextual abs-

trata, 𝑓𝑖(𝑥n) ∈ C𝐸(𝑓𝑖(Xn)), daí k(𝑞𝑖(𝑥n)) ∈ C𝐸(k(𝑞𝑖(Xn))). Portanto, k é uma tradução

contextual abstrata.

Suponhamos, agora, que existe k’ : S −→ E tal que k’∘𝑞𝑖 = 𝑓𝑖. Se k(x) ̸= k’(x)

para algum x ∈ S, então k(𝑞𝑖(x)) = 𝑓𝑖(x) ̸= k’(𝑞𝑖(x)), e daí k’ não comuta o diagrama,

Teorema 3.3.11. A categoria TrCx é completa e co-completa.

Demonstração. Segue das Proposições 3.3.6, 3.3.7, 3.3.9 e 3.3.10.

Observamos que as categorias Tr e TrCx são bi-completas, enquanto a categoria

Trcon, cujos objetos são lógicas Tarskianas e cujos morfismos são traduções conservativas,

é apenas co-completa, pois não possui produto. A categoria TrCx é interessante neste sentido, pois é uma subcategoria de Tr, assim como TrCon, mas ainda mantém estas mesmas características de Tr. Além disso, pela Proposição 3.3.1, temos que a categoria

TrCon é uma subcategoria de TrCx.