No “II World Congress on Universal Logic”, Carnielli, Coniglio e D’Ottaviano (2007) introduziram uma versão simplificada do conceito de meta-tradução, denominado
tradução contextual. Os autores analisaram este novo conceito e apresentaram alguns
exemplos a fim de inter-relacioná-lo com o conceito de tradução conservativa. Estes exemplos, juntamente com outros exemplos nossos, serão expostos na última seção deste capítulo.
Continuaremos com os conjuntos que fixamos na seção anterior 𝜒 = {𝑋𝑖 : i
∈ N} e Σ = {𝜎𝑖 : i ∈ N} de variáveis e de variáveis esquema, respectivamente. E os
conceitos de assinatura proposicional, C, (Definição 3.1.1), L(C), substituição sobre C (Definição 3.1.5), instanciação sobre C e instanciação básica sobre C (Definição 3.1.6) serão mantidos. Outras definições de asserção e meta-propriedade, mais simplificadas, serão adotadas.
Lembramos que uma asserção geral sobre C (Definição 3.1.2) é uma expressão com duas partes, ambas formadas por dois conjuntos, um subconjunto finito de 𝜒 e um subconjunto finito de L(C); uma asserção sobre C (Definição 3.1.2) é uma asserção geral sem os subconjuntos finitos de 𝜒; um sequente geral sobre C (Definição 3.1.11) envolve duas sequências finitas de L(C) ∪ 𝜒; e um sequente sobre C (Definição 3.1.11) envolve duas sequências finitas de L(C). Ao invés destes conceitos, uma definição simplificada foi adotada, uma asserção a partir de agora envolverá apenas um subconjunto finito de L(C) ∪ 𝜒 e um elemento de L(C).
Definição 3.2.1. Uma asserção sobre uma assinatura proposicional C é um par (ϒ, 𝜙),
denotado por ϒ ⊢ 𝜙, tal que ϒ é um subconjunto finito de L(C) ∪ 𝜒 e 𝜙 ∈ L(C).
Em uma asserção, quando ϒ é Γ ∪ Γ′, ou Γ ∪ {𝜙}, ou {𝜙}, ou {𝑋}, ou {𝑋, 𝑌 } podemos escrever simplificadamente ϒ como Γ, Γ′; Γ, 𝜙; 𝜙; 𝑋 e 𝑋, 𝑌 , respectivamente.
Definição 3.2.2. Uma meta-propriedade sobre uma assinatura proposicional C é um
par (P) = ({𝑆1, . . . , 𝑆𝑛}, 𝑆) tal que 𝑆𝑖 (i = 1, . . . , n) e 𝑆 são asserções sobre C. Uma
meta-propriedade é estrutural se não há ocorrência de conectivos.
Uma meta-propriedade pode ser escrita como:
𝑆1 . . . 𝑆𝑛
𝑆
São exemplos de meta-propriedades numa assinatura com os símbolos de negação em 𝐶1, ¬, e conjunção em 𝐶2, ∧: 𝑋1, 𝜎1 ⊢ 𝜎2 𝑋1, ¬𝜎1 ⊢ 𝜎2 𝑋1 ⊢ 𝜎2 𝑋1 ⊢ 𝜎1 𝑋2 ⊢ 𝜎2 𝑋1, 𝑋2 ⊢ 𝜎1 ∧ 𝜎2 𝑋1 ⊢ 𝜎1 𝑋2, 𝜎1 ⊢ 𝜎2 𝑋1, 𝑋2 ⊢ 𝜎2
O último exemplo é um exemplo de meta-propriedade estrutural.
Definição 3.2.3. Uma lógica proposicional sobre uma assinatura proposicional C é um
Dadas uma substituição Φ e uma instanciação básica Ψ sobre C, a função (Φ, Ψ) do conjunto das asserções sobre C no conjunto das asserções sobre C é definida da seguinte maneira: (Φ, Ψ)(ϒ, 𝜙) = ((Φ, Ψ)(ϒ), ^Φ(𝜙)). Em que, se 𝑎 ∈ L(C) ∪ 𝜒 e ^Ψ(𝑎) = {𝑎1 . . . 𝑎𝑛}, então (Φ, Ψ)(𝑎) = {Φ(𝑎1) . . . Φ(𝑎𝑛)}, com Φ(𝑎) = ⎧ ⎨ ⎩ ^ Φ(𝑎), se 𝑎 ∈ L(C); 𝑎, se 𝑎 ∈ 𝜒. Para ϒ = {𝑏1 . . . 𝑏𝑚} e (P) = ({𝑆1, . . . , 𝑆𝑘}, 𝑆), temos (Φ, Ψ)(ϒ) = {(Φ, Ψ)(𝑏1) . . . (Φ, Ψ)(𝑏𝑚)} e (Φ, Ψ)(P) = ({(Φ, Ψ)(𝑆1), . . . , (Φ, Ψ)(𝑆𝑘)}, (Φ, Ψ)(𝑆)).
Observamos que, apesar de implícitos no artigo (CARNIELLI; CONIGLIO; D’OTTAVIANO, 2007), os conceito de lógica proposicional (Definição 3.2.3), de (Φ, Ψ)(ϒ,
𝜙) e de (Φ, Ψ)(P) foram dados por nós.
Definição 3.2.4. Seja C uma assinatura proposicional. Uma lógica proposicional sobre
C possui a meta-propriedade (P) sobre C se, para toda substituição Φ e toda instanciação básica Ψ, ela satisfaz a meta-propriedade concreta (Φ, Ψ)(P).
Se f : L(C) −→ L(C’) é uma função tal que para toda 𝜎 ∈ Σ, f(𝜎) = 𝜎, e S = (ϒ, 𝜙) é uma asserção sobre C, então ˙𝑓(S) é a asserção ( ˙𝑓[ϒ], ˙𝑓(𝜙)) sobre C’ em que
˙
𝑓 (𝜓) = f(𝜓) se 𝜓 ∈ L(C), ˙𝑓 (𝑋) = 𝑋 se 𝑋 ∈ 𝜒 e ˙𝑓 [ϒ] = { ˙𝑓 (𝑎) : 𝑎 ∈ ϒ}. Se (P) = ({𝑆1, . . . , 𝑆𝑛}, S) é uma meta-propriedade sobre C, então ˙𝑓 (P) é a meta-propriedade ({ ˙𝑓 (𝑆1), . . . , ˙𝑓 (𝑆𝑛)}, ˙𝑓 (S)) sobre C’. Se a meta-propriedade (P) é estrutural, então ˙𝑓 (P) e (P)
coincidem.
Como exemplo para facilitar o entendimento do que é a meta-propriedade ˙𝑓(P), consideremos a meta-propriedade (P)
𝑋 ⊢ 𝜙 𝑋, 𝜎 ⊢ 𝜙
˙
𝑓 (𝑋) ⊢ ˙𝑓 (𝜙)
˙
𝑓 (𝑋), ˙𝑓 (𝜎) ⊢ ˙𝑓 (𝜙)
Pela definição de ˙𝑓 , ˙𝑓 (𝑋) = 𝑋, ˙𝑓 (𝜙) = f(𝜙) e ˙𝑓 (𝜎) = f(𝜎) = 𝜎. Daí, temos
que ˙𝑓 (P) é da seguinte forma:
𝑋 ⊢ f(𝜙) 𝑋, 𝜎 ⊢ f(𝜙)
Definição 3.2.5. Sejam ℒ e ℒ ’ lógicas proposicionais definidas sobre as assinaturas C e
C’, respectivamente. Uma tradução contextual f de ℒ em ℒ ’, denotada por f : ℒ −→ ℒ ’ , é uma função f : L(C) −→ L(C’) tal que, se ℒ possui a meta-propriedade (P), então, ℒ ’ possui a meta-propriedade ˙𝑓(P). ℒ é denominada contextualmente tradutível em ℒ ’ se existe uma tradução contextual de ℒ em ℒ ’.
Uma tradução contextual possui a mesma característica dos morfismos das categorias Mcon e Seq, ou seja, preservar as meta-propriedades dos sistemas lógicos. Isto porque uma tradução f deve ser tal que leva cada variável esquema nela mesma, e
˙
𝑓 garante que variáveis de uma meta-propriedade sejam levadas nelas mesmas em uma meta-propriedade da lógica alvo. Logo, traduções contextuais levam cada meta-propriedade estrutural da lógica domínio na mesma meta-propriedade estrutural da lógica alvo.
Destacamos que, da mesma forma como foi feito nas meta-traduções, a grande “sacada” neste tipo de abordagem é o uso de variáveis e variáveis esquema como parte da
linguagem, e não apenas o uso de meta-linguagem, como usualmente acontece.
Proposição 3.2.1. Sejam ℒ e ℒ ’ duas lógicas definidas, respectivamente, sobre as
linguagens proposicionais C e C’. Se ℒ tem uma meta-propriedade estrutural que não é satisfeita por ℒ ’, então ℒ não é contextualmente tradutível em ℒ ’.
Demonstração. Considerando (P) uma meta-propriedade estrutural de forma queℒ possui
(P) e ℒ ’ não possui (P), então, dada uma função f : L(C, Σ) −→ L(C’, Σ) tal que para cada 𝜎 ∈ Σ, f(𝜎) = 𝜎, claramente, ˙𝑓 (P) e (P) coincidem, pois (P) é estrutural. Daí, como
ℒ ’ não possui (P), ℒ ’ não possui ˙𝑓(P). Portanto, ℒ não é contextualmente tradutível em ℒ ’.
Proposição 3.2.2. Uma lógica trivial ℒ não é contextualmente tradutível em uma lógica
Demonstração. Suponhamos que uma lógica trivialℒ pode ser contextualmente tradutível
em uma lógica não trivial ℒ ’. Como ℒ ’ não é trivial, existe uma fórmula 𝜓 tal que 𝜓 não é um teorema de ℒ ’. Consideremos a meta-propriedade (P) = ({}, ⊢ 𝑋), claramente, por ℒ ser trivial, ℒ tem a meta-propriedade (P). Suponhamos, agora, que f é uma tradução contextual de ℒ em ℒ ’. Daí, como ℒ admite a meta-propriedade (P), então ℒ ’ tem a meta-propriedade ˙𝑓 (P) = ({}, ⊢ ˙𝑓 (𝑋)) = ({}, ⊢ 𝑋). Segue, pela instanciação básica Ψ
tal que Ψ(𝑋) = 𝜓, que ℒ ’ satisfaz a meta-propriedade ({}, ⊢ 𝜓), ou seja, 𝜓 é um teorema de ℒ ’, o que é uma contradição. Portanto, não há tradução contextual de uma lógica trivial numa lógica não trivial.
Proposição 3.2.3. Uma lógica monotônica ℒ não é contextualmente tradutível em uma
lógica não-monotônica ℒ ’.
Demonstração. Consideremos uma lógica monotônica ℒ e uma lógica ℒ ’. Suponhamos
que existe uma tradução contextual f de ℒ em ℒ ’. Como ℒ é monotônica, possui a meta-propriedade (P) = ({(X, 𝜎)}, (X∪Y, 𝜎)) tal que X, Y ⊆ 𝜒 e 𝜎 ∈ Σ, então ℒ ’ possui a meta-propriedade ˙𝑓 (P) = ({(X, 𝜎)}, (X∪Y, 𝜎)). Portanto, ℒ ’ também é uma lógica
monotônica. Logo, uma lógica monotônica não pode ser contextualmente tradutível em uma lógica não-monotônica.
Os resultados acima foram mencionados em (CARNIELLI; CONIGLIO; D’OTTAVIANO, 2007), mas as demonstrações aqui apresentadas são nossas. Eles puderam ser obtidos
pelo fato de traduções contextuais fazerem com que meta-regras da lógica domínio sejam satisfeitas “globalmente” na lógica alvo, e não apenas na imagem da lógica domínio.
Observamos que, neste ambiente, uma tradução conservativa seria definida, dadas a asserção S = (ϒ, 𝜙) sobre C e as lógicas proposicionaisℒ e ℒ ’ sobre as assinaturas C e C’, respectivamente, como 𝑓 : ℒ −→ ℒ ’, 𝑓 : L(C) −→ L(C’), tal que, para toda substituição Φ e toda instanciação básica Ψ, ℒ satisfaz (Φ, Ψ)(ϒ, 𝜙) se, e somente se, para toda substituição Φ’ e toda instanciação básica Ψ’, ℒ ’ satisfaz (Φ’, Ψ’)( ˙𝑓[ϒ], 𝑓(𝜙)). Para não precisarmos lidar com questões específicas geradas em lógicas definidas especificamente numa linguagem que seja uma álgebra livre, pensamos no conceito de tradução contextual num ambiente de lógicas abstratas gerais, o que será introduzido e investigado na próxima seção.