De acordo com Jeřábek (2012), uma das vantagens do conceito de tradução conservativa em relação ao conceito de tradução segundo (da SILVA; D’OTTAVIANO; SETTE, 1999) é que uma função que leva todas as fórmulas da lógica domínio em uma tautologia não é uma tradução conservativa, mas, claramente, este é um exemplo de tradução.
Jeřábek (2012) afirma que a noção de tradução conservativa é muito geral por não necessariamente respeitar a estrutura de fórmulas, não precisar ser uma função computável, ou não preservar determinadas propriedades da lógica domínio na lógica alvo. O autor acredita que isto implica que é natural existir uma tradução conservativa entre dois sistemas razoáveis quaisquer e mostra no artigo que, para uma classe muito grande de lógicas, é possível construir uma tradução conservativa entre quaisquer duas delas. Dentro desta classe de lógicas encontram-se: a lógica proposicional clássica; lógicas intuicionista, minimal e intermediária; lógicas modais; lógicas substruturais, como várias extensões do cálculo de Lambek completo FL; lógicas fuzzy e multivaloradas, como a lógica de Łukasiewicz; lógicas relevantes; a lógica de Kleene; extensões de primeira, ou segunda ordem das lógicas acima; fragmentos da implicação de muitas lógicas citadas acima.
Pensamos que lógicas, de maneira geral, servem para expressar raciocínios. Assim, não vemos problema em termos traduções (conservativas) entre uma grande quantidade de sistemas lógicos. Ou seja, independente da motivação pela qual uma dada lógica foi criada, ela surgiu para melhorar algo ou tratar de algo que ainda não podia ser tratado, mas, de uma forma ou de outra, as lógicas têm algo em comum e é bom termos um método que nos ajude a interpretar uma na outra.
No contexto das linguagens naturais, por exemplo, dadas duas linguagens sempre é possível fazermos uma tradução de uma na outra, o que pode ocorrer é que não se tenha encontrado uma boa tradução entre elas. Ademais, mesmo que considerarmos que não seja interessante um conceito de tradução entre lógicas tal que exista uma tradução
entre quaisquer duas lógicas, o conceito de tradução conservativa se mantém interessante, pois temos exemplos de lógicas tais que não há tradução conservativa entre elas, como mostra a Proposição 4.1.7, que mencionamos na seção anterior sobre a não existência de uma tradução conservativa entre CPC e LP. E, da mesma forma como não vemos problema na definição de função contínua, por existir uma função contínua entre quaisquer dois espaços topológicos de uma grande classe de espaços topológicos, também não vemos problema na existência de traduções conservativas entre quaisquer duas lógicas de uma grande classe de lógicas.
O conceito de tradução conservativa é muito útil no campo da lógica, especial- mente por existir uma classe grande de lógicas que são conservativamente tradutíveis entre si. Em Feitosa, D’Ottaviano e Moreira (), encontramos estudos no ambiente da lógica universal em que o conceito de tradução conservativa é associado ao conceito de adequação entre a parte sintática e a parte semântica de uma lógica. Dadas as lógicas Tarskianas L1
= (𝐿1, C1) e L2 = (𝐿2, C2), tal que L1 é uma lógica abstrata e L2 é uma lógica modelo,
a lógica L1 é fortemente correta segundo o modelo L2 se existe uma função interpretação f
: 𝐿1 −→ 𝐿2 que é uma tradução; a lógica L1 é fortemente completa segundo o modelo L2
se existe uma função interpretação f : 𝐿1 −→ 𝐿2 que é uma tradução conservativa; e L1 é correta e completa segundo o modelo L2 se existe uma função interpretação f : 𝐿1 −→ 𝐿2
que é uma aplicação conservativa.
Ademais, as demonstrações dadas na seção anterior são bem gerais, ou seja, demonstram a existência de traduções conservativas entre muitas lógicas, mas, não ex- plicitam quem são estas traduções conservativas. É dado um algoritmo que não diz a respeito da fórmula. Explicitar qual é a tradução conservativa entre duas lógicas quando as estamos estudando, pode ser sim um resultado relevante.
Como já mencionado neste trabalho, as traduções dadas por Kolmogorov (1977), Glivenko (1929) e Gentzen (1969), do CPC no CPI, são traduções conservativas e, no primeiro Capítulo, pudemos ver que explicitar estas traduções conservativas possibilitou a demonstração da consistência relativa da lógica clássica em relação à lógica intuicionista e, em outras palavras, que a admissão de que a lógica clássica seja contraditória implicaria que a lógica intuicionista também o seria.
O não muito citado, nesta área da teoria de traduções entre lógicas, artigo de Goldblatt (1974) trouxe um exemplo de tradução conservativa (em nossa concepção) entre uma orthológica e o sistema modal KTB. Para o autor, uma lógica binária L é uma lógica que trabalha com uma coleção de pares ordenados (𝜙, 𝜓), denotados por 𝜙 ⊢L 𝜓, que indica que 𝜓 pode ser inferido a partir de 𝜙 em L, ao invés de trabalhar com um conjunto de fórmulas bem formadas. Ele denomina por O a menor orthológica, ou seja, a menor lógica binária L, com os conectivos ¬ e ∧, que satisfaz as seguintes condições, para todas as fórmulas 𝜙, 𝜓 e 𝛿 de L:
(i) 𝜙 ⊢L 𝜙 (ii) 𝜙 ∧ 𝜓 ⊢L 𝜙 (iii) 𝜙 ∧ 𝜓 ⊢L 𝜓 (iv) 𝜙 ⊢L ¬¬𝜙 (v) ¬¬𝜙 ⊢L 𝜙 (vi) 𝜙 ∧ ¬𝜙 ⊢L 𝜓 (vii) Se 𝜙 ⊢L 𝜓 e 𝜓 ⊢L 𝛿, então 𝜙 ⊢L 𝛿 (viii) Se 𝜙 ⊢L 𝜓 e 𝜙 ⊢L 𝛿, então 𝜙 ⊢L 𝜓 ∧ 𝛿 (ix) Se 𝜙 ⊢L 𝜓, então ¬𝜓 ⊢L ¬𝜙.
Para conhecimento, quando acrescentamos, para todas as fórmulas 𝜙 e 𝜓 de L, a condição:
(x) 𝜙 ∧(¬𝜙 ∨(𝜙 ∧ 𝜓)) ⊢L 𝜓
a uma orthológica L temos, segundo (GOLDBLATT, 1974), que L é uma lógica quântica. O bem conhecido sistema modal KTB possui as tautologias clássicas e os seguintes esquemas de axioma e regras:
(Axioma K) ⊢KTB (𝜙 → 𝜓) → (𝜙 → 𝜓) (Axioma T) ⊢KTB 𝜙 → 𝜙
(Axioma B) ⊢KTB 𝜙 → ♦𝜙.
(Modus Ponens) ⊢KTB 𝜙 → 𝜓 e ⊢KTB 𝜙 ⇒ ⊢KTB 𝜓 (Necessitação) ⊢KTB 𝜙 ⇒ ⊢KTB 𝜙.
A tradução conservativa (o autor não utilizou esta denominação) t : O −→
KTB é definida, recursivamente, da seguinte maneira, para todas as fórmulas 𝜙 e 𝜓 de O:
t(𝑝𝑖) = ♦𝑞𝑖, i ∈ N
t(𝜙 ∧ 𝜓) = t(𝜙) ∧ t(𝜓) t(¬𝜙) = ¬ t(𝜙).
em que {𝑝𝑖 : 𝑖 ∈ N} é o conjunto de variáveis proposicionais de O e {𝑞𝑖 : 𝑖 ∈ N} é o
conjunto de variáveis proposicionais de KTB.
Este é um exemplo de tradução conservativa, pois segue como teorema em (GOLDBLATT, 1974), que:
Γ ⊢O 𝜙 se, e somente se, t(Γ) ⊢KTB t(𝜙).
Com esta tradução, Goldblatt (1974) pôde demonstrar que a orthológica O possui a propriedade de modelo finito, visto que KTB a possui. Este resultado salienta, a nosso ver, a relevância da propriedade que caracteriza as traduções conservativas entre lógicas.
Uma lógica interessante, estudada atualmente, é a lógica mbC (minimal bold
C-system), que faz parte das Lógicas da Inconsistência Formal, as LFI’s, introduzidas
inicialmente em (CARNIELLI; MARCOS, 2002) e cujos principais resultados foram dados em (CARNIELLI; CONIGLIO; MARCOS, 2007). A lógica mbC foi criada para ser uma lógica paraconsistente com as características mínimas de uma lógica paraconsistente. Sucintamente, a lógica mbC é definida sobre a linguagem 𝒱 , ∧, ∨, →, ¬ e ∘, em que ∘ é um novo conectivo unário, denominado conectivo de consistência. Ela respeita a regra
Modus Ponens e os seguintes esquemas de axiomas:
(Ax1) 𝜙 → (𝜓 → 𝜙) (Ax2) (𝜙 → 𝜓) → ((𝜙 → (𝜓 → 𝛿)) → (𝜙 → 𝛿)) (Ax3) 𝜙 → (𝜓 → (𝜙 ∧ 𝜓)) (Ax4) (𝜙 ∧ 𝜓) → 𝜙 (Ax5) (𝜙 ∧ 𝜓) → 𝜓 (Ax6) 𝜙 → (𝜙 ∨ 𝜓) (Ax7) 𝜓 → (𝜙 ∨ 𝜓) (Ax8) (𝜙 → 𝛿) → ((𝜓 → 𝛿) → ((𝜙 ∨ 𝜓) → 𝛿)) (Ax9) 𝜙 ∨ (𝜙 → 𝜓) (Ax10) 𝜙 ∨ ¬𝜙 (bc1) ∘𝜙 → (𝜙 → (¬𝜙 → 𝜓)).
A tradução conservativa t’ : CPC −→ mbC é definida, recursivamente, por Carnielli, Coniglio e Marcos (2007), da seguinte maneira:
t’(𝑝) = 𝑝, para toda variável proposicional 𝑝 t’(𝜙 # 𝜓) = t’(𝜙) # t’(𝜓), # ∈ {∧, ∨, →}
t’(¬𝜙) = t’(𝜙) → (𝑝0 ∧ (¬𝑝0 ∧ ∘𝑝0)), 𝑝0 uma variável proposicional.
Carnielli, Coniglio e Marcos (2007) demonstraram que, de fato, t’ é uma tradução conservativa. Disso, vemos claramente que, exceto pelo operador de consistência e pela negação, todos os outros operadores de mbC se comportam classicamente, além disso, conhecemos como a negação clássica pode ser definida em mbC.
Concordamos com Jeřábek (2012) quanto a existir uma grande quantidade de lógicas que podem ser conservativamente tradutíveis entre si. No entanto, levando-se em consideração exemplos antigos e recentes de traduções entre lógicas que, por explicitarem qual é a tradução conservativa entre duas lógicas, possibilitaram a obtenção de outros resultados importantes. Além disso, por não pensarmos que seja um problema a ubiquidade, ou, em outras palavras, a riqueza das traduções conservativas e a abundância da categoria
TrCon, defendemos que o conceito de tradução conservativa é um bom conceito para a
análise de inter-relações entre sistemas lógicos. E, em muitos casos, consideramos que não é preciso um conceito mais refinado do que o conceito de tradução conservativa.
Considerações Finais
Atualmente existe uma grande quantidade de lógicas, em especial as ditas não clássicas, e a tendência é que esta quantidade aumente cada vez mais. Comparar as propriedades dessas lógicas, a fim de verificar a preservação de determinadas propriedades, ou utilizar uma lógica mais simples ou com características relevantes para analisar outra lógica fazem parte dos desenvolvimentos da Lógica. Vimos, no Capítulo 1, que este tipo de estudo existe desde as primeiras décadas do século XX e pode ser feito por meio do que chamamos hoje de traduções entre lógicas. Os primeiros autores não tinham interesse em estudar o conceito de tradução, mas fizeram uso de traduções específicas: Kolmogorov, em 1925, Glivenko, em 1929, Gödel, em 1933, e Gentzen, em 1933, estudaram relações entre as lógicas clássica e intuicionista e os dois últimos conseguiram demonstrar a consistência relativa da lógica e da aritmética clássica em relação à intuicionista. Gödel, em 1933, também relacionou teoremas do cálculo proposicional intuicionista com teoremas de uma lógica modal.
Ainda no Capítulo 1, tratamos de artigos que analisaram o conceito de tradução entre lógicas. Consideramos que o primeiro artigo com uma definição geral para o conceito de tradução entre lógicas foi (PRAWITZ; MALMNÄS, 1968). Outros artigos e livros que destacamos, por introduzirem algum conceito de tradução entre lógicas são: (BROWN; SUSZKO, 1973), (SZCZERBA, 1977), (WÓJCICKI, 1988) e (EPSTEIN, 1990). O primeiro a tratar deste conceito em um livro foi (WÓJCICKI, 1988). Finalizamos o capítulo com o conceito de tradução entre lógicas proposto por da Silva, D’Ottaviano e Sette (1999), um conceito bem geral que abrange os principais conceitos estudados ao longo deste trabalho.
No Capítulo 2 apresentamos o conceito de tradução conservativa introduzido por Feitosa (1997). Este conceito é um caso especial de tradução segundo da Silva, D’Ottaviano e Sette (1999). Estudamos alguns resultados obtidos por Feitosa (1997) a respeito deste conceito e da categoria TrCon cujos objetos são lógicas Tarskianas e cujo morfismos são traduções conservativas entre lógicas Tarskianas. A categoria TrCon é uma subcategoria co-completa de Tr, das lógicas Tarskianas com traduções segundo da Silva, D’Ottaviano e Sette (1999).
Apresentamos, também no Capítulo 2, os artigos (RUSSO, 2013) e (CONIGLIO; CARNIELLI, 2002). Em Russo (2013) destacamos os conceitos de interpretação (fraca) e representação (fraca) entre sistemas dedutivos proposicionais, que são casos particulares dos conceitos de tradução entre lógicas de da Silva, D’Ottaviano e Sette (1999) e de tradução conservativa entre lógicas, respectivamente. Observamos que interpretação (fraca) e representação (fraca) são conceitos definidos por meio das mesmas propriedades
que definem os conceitos de tradução e tradução conservativa, e são casos particulares por serem definidos apenas entre sistemas dedutivos proposicionais numa abordagem algébrica específica. Coniglio e Carnielli (2002) apresentaram os conceitos de tradução e tradução conservativa a partir do conceito, dado por eles, de transfer entre duas lógicas abstratas sobre linguagens bi-sortidas. Exceto por não envolverem apenas lógicas Tarskianas, estes conceitos são, respectivamente, casos particulares dos conceitos de tradução de da Silva, D’Ottaviano e Sette (1999) e de tradução conservativa de Feitosa (1997).
No Capítulo 2 trouxemos também o conceito bem restrito de transfer elementar de (CONIGLIO; CARNIELLI, 2002), interessante por preservar meta-propriedades. A fim de dar um conceito que preservasse meta-propriedades, mas não fosse tão restrito quanto o de transfer elementar, três novos conceitos foram introduzidos, o de meta-tradução (CONIGLIO, 2005a) e (CONIGLIO, 2007), o de tradução contextual (CARNIELLI;
CONIGLIO; D’OTTAVIANO, 2007) e o de hipertradução (FIGALLO, 2013).
No Capítulo 3, inicialmente apresentamos o conceito de meta-tradução e tradu- ção contextual. Estes conceitos preservam pelo menos as meta-propriedades estruturais da lógica domínio na lógica alvo, isto porque possuem variáveis para representar conjuntos como parte da linguagem. Pretendíamos, ingenuamente, utilizar a linguagem das lógicas usadas na definição de traduções contextuais, ou seja, trabalhar com a definição original de tradução contextual para fazer uma análise categórica semelhante à que Feitosa (1997) fez com o conceito de tradução conservativa. No entanto, encontramos alguns problemas, por exemplo, não conseguimos definir algumas lógicas que precisávamos, como a lógica quociente, pois não conseguimos dizer quem são os conectivos destas lógicas. Por isso adotamos um conceito nosso, com a ideia de tradução contextual num ambiente abstrato, o qual chamamos tradução contextual abstrata.
Introduzimos, então, no Capítulo 3, o conceito de tradução contextual abstrata e conseguimos, no Teorema 3.3.4, um resultado que nos dá uma condição necessária e suficiente para a existência de traduções contextuais abstratas. Estudamos a categoria
TrCx, cujos objetos são as lógicas Tarskianas e cujos morfismos são as traduções contex-
tuais abstratas. Relacionamos os resultados obtidos nesta categoria com os das categorias já existentes Tr e Trcon. Concluímos que tanto a categoria Trcon quanto a categoria
TrCx são subcategorias de Tr, que é bi-completa, mas Trcon é apenas co-completa, por
não ter produto, enquanto que TrCx é bi-completa. Além disso, pela Proposição 3.3.1, que garante que toda tradução conservativa é uma tradução contextual abstrata, temos que a categoria TrCon é uma subcategoria de TrCx.
Um aspecto positivo das traduções contextuais abstratas, que correspondem a casos particulares das traduções de da Silva, D’Ottaviano e Sette (1999), é que contêm as traduções conservativas e as traduções contextuais. O nosso conceito também contribui para notarmos que não apenas a propriedade que define o conceito de tradução é importante,
mas também, e talvez principalmente, o que se assume como lógica. Por exemplo, como as traduções conservativas são casos particulares de traduções contextuais abstratas, nem toda meta-propriedade estrutural da lógica domínio é mantida ao analisarmos o conceito de tradução contextual num ambiente abstrato geral. Concluímos que a preservação de meta-propriedades estruturais da lógica domínio depende também da maneira como uma lógica é definida.
Na Seção 3.5, apresentamos o conceito de hipertradução, que é mais específico que o conceito de meta-tradução, por preservar também meta-propriedades com mais de uma dedução na conclusão. Nossa contribuição nesta seção foi propor o conceito de tradução hiper-contextual, que simplifica o conceito de hipertradução.
No final do terceiro capítulo foram feitas algumas investigações. Em relação à trivialidade, as aplicações conservativas preservam a não trivialidade da lógica domínio na lógica alvo. Há exemplos de tradução conservativa entre uma lógica trivial e uma lógica não trivial. As traduções contextuais possuem a característica de uma lógica trivial não poder ser contextualmente tradutível numa lógica não trivial, mas também de toda lógica não trivial ser contextualmente tradutível numa lógica trivial. Evidentemente, os conceitos de tradução e de tradução contextual abstrata não preservam quer a trivialidade, quer a não trivialidade da lógica domínio. Outro aspecto que analisamos é a monotonicidade. Uma lógica monotônica não pode ser traduzida contextualmente em uma não-monotônica, isso também ocorre com traduções conservativas sobrejetivas entre lógicas não-monotônicas cumulativas.
No âmbito das linguagens naturais, pudemos, ainda na última seção do terceiro capítulo, sem grande rigor, associar os conceitos de tradução, tradução contextual e tradução contextual abstrata com as traduções feitas na linguagem natural, tais que o texto da língua de chegada preserva o significado do texto original, e o conceito de tradução conservativa com as traduções feitas na linguagem natural que preservam isto e o inverso. A análise de alguns exemplos nos faz pensar que, como uma tradução conservativa preserva o significado nos dois sentidos, em linguagem natural, o conceito de tradução conservativa pode ser associado a uma boa tradução. Obviamente, o conceito de tradução contextual-conservativa (estrita), definido por nós no final do terceiro capítulo, também está associado a uma boa tradução, neste sentido.
O gráfico abaixo resume as relações que conseguimos obter entre os conceitos de tradução entre lógicas cumulativas (Traduções Cum.), tradução entre lógicas Tarskia- nas (Traduções), tradução contextual abstrata entre lógicas Tarskianas (T. contextuais abstratas), tradução conservativa entre lógicas Tarskianas (T. conservativas), tradução contextual entre lógicas Tarskianas (T. context.), tradução contextual-conservativa en- tre lógicas Tarskianas (T. c.-c.), tradução hiper-contextual entre lógicas Tarskianas (T. hiper-c.), tradução contextual-conservativa estrita entre lógicas Tarskianas (T. c.-c. e.) e
isomorfismo (Iso.). T. context. T. conservativas T. contextuais abstratas Iso. T. c.-c. e. T. hiper-c. T. c.-c. Traduções Traduções Cum. Figura 15
Com este estudo do final do Capítulo 3, inferimos que os conceitos de tradução, tradução contextual abstrata, tradução conservativa, tradução contextual, tradução hiper- contextual e tradução contextual-conservativa (estrita) são interessantes, apesar de pecarem por não preservarem algum significado específico. Mas, se continuarmos procurando refinar cada vez mais o conceito de tradução, para garantir o máximo de meta-resultados, a fim de alcançar a tradução que mais preserva significado, acabaremos no conceito de isomorfismo. No entanto, neste caso falaríamos de tradução entre duas lógicas apenas quando uma fosse uma cópia fiel da outra, o que não parece ser uma boa definição de tradução. Pensamos, então, que o conceito de tradução é relativo e depende do contexto, para podermos analisar qual conceito seria mais adequado.
No Capítulo 4 expomos os resultados do artigo de Jeřábek (2012), no qual o autor demonstrou que, para uma grande classe de lógicas, existe uma tradução conservativa entre quaisquer duas lógicas desta classe. Pensamos que, da mesma forma como não vemos problema na definição de função contínua, por existir uma função contínua entre quaisquer dois espaços topológicos de uma grande classe de espaços topológicos, também não vemos problema na existência de uma tradução conservativa entre quaisquer duas lógicas de uma
dada grande classe de lógicas. Destacamos que este conceito de tradução conservativa é muito útil no campo da lógica, especialmente por existir uma classe grande de lógicas que são conservativamente tradutíveis entre si.
Discutimos no quarto capítulo que as demonstrações dadas em (JEŘÁBEK, 2012) são bem gerais, ou seja, demonstram a existência de traduções conservativas entre muitas lógicas, mas, não explicitam quem são estas traduções conservativas. Na verdade, explicitam o processo, mas é impraticável. Explicitar qual é a tradução conservativa entre duas lógicas é sim um estudo pertinente, como vemos em artigos históricos e recentes: (KOLMOGOROV, 1977), (GLIVENKO, 1929), (GENTZEN, 1969), (GOLDBLATT, 1974), (CARNIELLI; CONIGLIO; MARCOS, 2007), que por meio de traduções conservativas puderam obter resultados significativos sobre as lógica envolvidas. Por fim, defendemos que o conceito de tradução conservativa é um conceito proveitoso e, em muitos casos, contrariando o que (JEŘÁBEK, 2012) afirma, não é preciso um conceito mais refinado do que o conceito de tradução conservativa.
Fechamos nossas Considerações Finais propondo dois trabalhos futuros:
∙ Ampliar os resultados de categorias tanto para traduções contextuais abstratas, quanto para traduções conservativas.
∙ Estudar os conceitos de tradução hiper-contextual e de tradução contextual-conservativa, a fim de relacionar possíveis resultados com resultados do conceito de tradução con- textual.
∙ Estudar traduções entre sistemas não-dedutivos, como os indutivos e, quiçá, os abdutivos.
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