As meta-traduções e as traduções contextuais, pela utilização de uma linguagem específica, como vimos neste capítulo, são capazes de garantir que pelo menos as meta- propriedades estruturais da lógica domínio sejam preservadas na lógica alvo. No entanto, algumas meta-propriedades em que mais de uma asserção (asserção geral como na Definição 3.1.2, ou sequente geral como na Definição 3.1.11, ou asserção como na Definição 3.2.1) aparece na conclusão, não podem ser expressadas pela forma como foi definida uma meta- propriedade anteriormente (Definição 3.2.2). Encontramos em (FIGALLO, 2013) e no artigo (CONIGLIO; FIGALLO, 2015) uma proposta com o conceito de hipersequentes formais, conceito que é uma generalização do conceito de asserção, em que meta-propriedades do tipo mencionado podem ser expressadas; os autores introduzem o conceito de hipertradução, segundo o qual meta-propriedades da lógica domínio, com mais de uma asserção na conclusão, também são preservadas na lógica alvo.
Um exemplo interessante encontrado em (CONIGLIO; FIGALLO, 2015) que nos motiva a estudar o conceito de hipertradução é que a função inclusão da lógica proposicional intuicionista na lógica proposicional clássica é tanto uma meta-tradução quanto uma tradução contextual, apesar de sabermos que a meta-propriedade
(D) Se 𝜙 ∨ 𝜓 é um teorema, então 𝜙 é um teorema ou 𝜓 é um teorema.
é uma meta-propriedade do CPI, mas, não é uma meta-propriedade do CPC.
Ou seja, a função inclusão do CPI no CPC, além de não ser uma tradu- ção conservativa (ver Seção 2.4), também não é uma hipertradução, conceito que será apresentado.
Abaixo daremos a definição formal de hipertradução, bem como desenvolvi- mentos formais necessários para podermos defini-la.
Além dos conjuntos 𝜒 = {𝑋𝑖 : i ∈ N} e Σ = {𝜎𝑖 : i ∈ N}, de variáveis e de
variáveis esquema, respectivamente, fixamos também um conjunto enumerável de símbolos h = {𝐻𝑖 : i ∈ N}, chamado conjunto de variáveis de sequentes. Estes conjuntos são dois a
dois disjuntos.
Utilizaremos a definição de assinatura proposicional da Definição 3.1.1, com todo C𝑛 e h disjuntos (𝑛 ∈ N).
A definição de asserção geral da Definição 3.1.2 foi generalizada como a seguir.
Definição 3.4.1. Um sequente sobre uma assinatura proposicional C é uma expressão (𝐴;
Γ ≻ Δ; 𝐵), em que Γ e Δ são multiconjuntos de fórmulas em L(C), 𝐴, 𝐵 são multiconjuntos finitos de 𝜒 e Γ ∪ Δ ∪ 𝐴 ∪ 𝐵 ̸= ∅.
Definição 3.4.2. Um hipersequente comutativo ℎ sobre uma assinatura proposicional C é
um par ℎ = (H; S), em que H é um multiconjunto finito de variáveis de sequentes e S é um multiconjunto finito de sequentes.
O conjunto de hipersequentes comutativos sobre C será denotado por HSeq(C). Um hipersequente comutativo
ℎ = ({𝐻1, . . . , 𝐻𝑚}; {(𝐴1; Γ1 ≻ Δ1; 𝐵1), . . . , (𝐴𝑛; Γ𝑛 ≻ Δ𝑛; 𝐵𝑛)})
será denotado também por
ℎ = 𝐻1| . . . |𝐻𝑚|𝐴1; Γ1 ≻ Δ1; 𝐵1| . . . |𝐴𝑛; Γ𝑛 ≻ Δ𝑛; 𝐵𝑛.
Definição 3.4.3. Uma regra (n-ária) de hipersequentes comutativos sobre uma assinatura
proposicional C é um par 𝑟 = ({ℎ1, . . . , ℎ𝑛}, ℎ), tal que ℎ𝑖, ℎ ∈ HSeq(C). Se n = 0, então
𝑟 é um axioma.
Definição 3.4.4. Um cálculo de hipersequentes comutativos sobre uma assinatura proposi-
cional C é um par𝒜 = (C, ℛ), tal que ℛ é um conjunto finito de regras de hipersequentes comutativos sobre C.
As regras ({ℎ1, . . . , ℎ𝑛}, ℎ) e (∅, ℎ) podem ser escritas, simplificadamente,
ℎ1. . . ℎ𝑛
ℎ
e
ℎ
respectivamente.
A definição de substituição sobre uma assinatura proposicional C, dada na Definição 3.1.5, será mantida e a de instanciação sobre C será adaptada.
Definição 3.4.5. Seja C uma assinatura proposicional. Uma instanciação sobre C é uma
função Ψ : 𝜒 −→ M℘fin(L(C) ∪ 𝜒), em que M℘fin(L(C) ∪ 𝜒) é o conjunto de todos os
multiconjuntos finitos de L(C) ∪ 𝜒.
Seja Seq(C) o conjunto de sequentes sobre C. Dadas uma substituição Φ sobre C e uma instanciação Ψ sobre C, a função (Φ, Ψ), de Seq(C) em Seq(C), é definida da mesma maneira do comentário após a Definição 3.1.6. A seguir apresentamos a definição de instanciação e substituição para variáveis de sequentes.
Definição 3.4.6. Seja C uma assinatura proposicional. Uma instanciação de sequente
sobre C é uma função Θ : h −→ M℘fin(h ∪ Seq(C)), em que M℘fin(h ∪ Seq(C)) é o
conjunto de todos os multiconjuntos finitos de h ∪ Seq(C).
Dadas uma substituição Φ sobre C, uma instanciação Ψ sobre C, uma instanci- ação de sequente Θ sobre C e um hipersequente comutativo sobre C, ℎ = (H; S), a função (Φ, Ψ, Θ): HSeq(C) −→ HSeq(C) é definida da seguinte maneira:
(Φ, Ψ, Θ)(ℎ) = (H’; (Φ, Ψ)(S) ∪ S’). Em que:
H’ = {𝐺 ∈ h : 𝐺 ∈ Θ(𝐻), para algum 𝐻 ∈ H}; S’ = {𝑠 ∈ Seq(C) : 𝑠 ∈ Θ(𝐻), para algum 𝐻 ∈ H}.
Definição 3.4.7. Sejam 𝒜 = (C, ℛ) um cálculo de hipersequentes comutativos e Ω ⊆
HSeq(C). Um hipersequente comutativo sobre C, ℎ, é derivável em 𝒜 a partir de Ω, o que denotamos por Ω ⊢𝒜 ℎ, se existe uma sequência finita de hipersequentes comutativos ℎ1 . . . ℎ𝑛 tal que ℎ𝑛 = ℎ e, para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, ou ℎ𝑖 ∈ Ω, ou existem uma regra
de hipersequente 𝑟 = ({ℎ1’, . . . , ℎ𝑘’}, ℎ’) em ℛ e uma substituição Φ sobre C e uma
instanciação Ψ sobre C e uma instanciação de sequente Θ sobre C tais que: (Φ, Ψ, Θ)(ℎ𝑗’) ∈ {ℎ1, . . . , ℎ𝑖−1}, para 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘, e
(Φ, Ψ, Θ)(ℎ’) = ℎ𝑖.
Se Ω = ∅, então dizemos que ℎ é demonstrável em 𝒜 .
Abaixo definiremos a categoria CHC de cálculos de hipersequentes comutativos. Lembramos que a categoria Sig foi dada na Definição 3.1.9. Dado um morfismo 𝑓 : C1 −→ C2 em Sig, ^𝑓 : L(C1) −→ L(C2) dada nessa definição é tal que:
^ 𝑓 (𝜎) = 𝜎, se 𝜎 ∈ Σ; ^ 𝑓 (𝑐) = 𝑓 (𝑐), se 𝑐 ∈ C1 0; ^ 𝑓 (𝑐(𝜙1, . . . , 𝜙𝑛)) = 𝑓 (𝑐)( ^𝑓 (𝜙1), . . . , ^𝑓 (𝜙𝑛)), se 𝑐 ∈ C1𝑛.
Lembramos que, dado um sequente (𝐴; Γ ≻ Δ; 𝐵) sobre C1, ^𝑓 (((𝐴; Γ ≻ Δ; 𝐵)) é o sequente (𝐴; ^𝑓 (Γ) ≻ ^𝑓 (Δ); 𝐵) sobre C2.
Agora, ^𝑓 pode ser estendida para hipersequentes comutativos da seguinte forma:
^
𝑓 ((H; S)) = (H; ^𝑓 (S)), em que ^𝑓 (S) = { ^𝑓 ((𝐴1; Γ1 ≻ Δ1; 𝐵1)), . . . , ^𝑓 ((𝐴𝑛; Γ𝑛
≻ Δ𝑛; 𝐵𝑛))}, se S = {(𝐴1; Γ1 ≻ Δ1; 𝐵1), . . . , (𝐴𝑛; Γ𝑛 ≻ Δ𝑛; 𝐵𝑛)}.
Claramente, se ℎ é um hipersequente comutativo sobre C1, ^𝑓 (ℎ) é um hiperse-
quente comutativo sobre C2.
Definição 3.4.8. A categoria CHC de cálculos de hipersequentes comutativos é tal que
seus objetos são cálculos de hipersequentes comutativos da forma 𝒜 = (C, ℛ) e um morfismo 𝑓 : 𝒜1 −→ 𝒜2, de um cálculo de hipersequentes comutativos 𝒜1 = (C1, ℛ1)
num cálculo de hipersequentes comutativos 𝒜2 = (C2, ℛ2), em CHC, é um morfismo 𝑓 :
C1 −→ C2 em Sig tal que, para toda regra 𝑟 = ({ℎ
1, . . . , ℎ𝑛}, ℎ) ∈ℛ1 é verificado que
^
𝑓 (ℎ) é derivável em 𝒜2 a partir de { ^𝑓 (ℎ1), . . . , ^𝑓 (ℎ𝑛)}.
A composição de morfismos e o morfismo identidade em CHC são definidos como em Sig.
Bem como na seção sobre meta-tradução, na qual trabalhamos com sequentes gerais que não são comutativos (Definição 3.1.11), vamos definir a seguir hipersequentes que não sejam comutativos, como em (CONIGLIO; FIGALLO, 2015).
Seja X um conjunto, denotamos por X* o conjunto de todas as sequências finitas formadas por elementos de X e por X2, o produto cartesiano X × X. A concatenação
de duas sequências finitas 𝑠 e 𝑠’ de X* é a sequência denotada por 𝑠.𝑠’. Um sequente geral sobre uma assinatura C é um par de sequências finitas cujos elementos são, ou fórmulas sobre C, ou elementos de 𝜒, como na Definição 3.1.11.
Definição 3.4.9. Um hipersequente geral sobre uma assinatura proposicional C é uma
sequência finita cujos elementos são, ou sequentes gerais sobre C, ou elementos de h.
O conjunto de todos os hipersequentes gerais sobre C será denotado por GHSeq(C).
Um hipersequente geral 𝑠1 . . . 𝑠𝑛 pode ser escrito como 𝑠1| . . . |𝑠𝑚.
Definição 3.4.10. Uma regra (n-ária) de hipersequentes gerais sobre uma assinatura
proposicional C é um par 𝑟 = ({ℎ1, . . . , ℎ𝑛}, ℎ) tal que ℎ𝑖, ℎ ∈ GHSeq(C). Se n = 0,
então 𝑟 é um axioma.
Definição 3.4.11. Um cálculo de hipersequentes gerais sobre uma assinatura proposicional
C é um par 𝒮 = (C, ℛ), em que ℛ é um conjunto finito de regras de hipersequentes gerais sobre C.
Assumiremos as mesmas definições de substituição sobre uma assinatura pro- posicional C (Definição 3.1.5) e de instanciação de sequente (Definição 3.1.14), e outras definições serão adaptadas como segue.
Dadas uma substituição Φ sobre C e uma instanciação de sequente Ψ sobre C, o par (Φ, Ψ) é denominado uma substituição de contexto sobre C. Uma substituição de contexto sobre C, 𝜇 = (Φ, Ψ), gera uma função 𝜇 : L(C) ∪ 𝜒 −→ (L(C) ∪ 𝜒)* tal que
𝜇(𝑠) = ^Φ(𝑠) se 𝑠 ∈ L(C), e 𝜇(𝑠) = Ψ(𝑠) se 𝑠 ∈ 𝜒. Uma função única ˜𝜇 : (L(C) ∪ 𝜒)* −→
(L(C) ∪ 𝜒)* é induzida da seguinte maneira:
˜
Por fim, uma função única ^𝜇 : GSeq(C) −→ GSeq(C), GSeq(C) o conjunto dos
sequentes gerais sobre C, é tal que
^
𝜇((𝑠1 . . . 𝑠𝑛, 𝑠1’ . . . 𝑠𝑚’)) = (˜𝜇(𝑠1 . . . 𝑠𝑛), ˜𝜇(𝑠1’ . . . 𝑠𝑚’)).
Definição 3.4.12. Uma instanciação de sequente geral sobre uma assinatura proposicional
C é uma função Θ : h −→ GHSeq(C).
Dadas uma substituição Φ sobre C, uma instanciação de sequente Ψ sobre C e uma instanciação de sequente geral Θ sobre C, a terna (Φ, Ψ, Θ) é denominada uma
substituição de sequente sobre C. Uma substituição de sequente sobre C, 𝜅 = (Φ, Ψ, Θ),
gera uma função 𝜅 : GSeq(C) ∪ h −→ GHSeq(C) tal que 𝜅(𝑠) = \(Φ, Ψ)(𝑠), se 𝑠 ∈ GSeq(C), e 𝜅(𝑠) = Θ(𝑠), se 𝑠 ∈ h. Uma função única ^𝜅 : GHSeq(C) −→ GHSeq(C) é tal que ^𝜅(𝑠1 . . . 𝑠𝑛) = 𝜅(𝑠1). . . . .𝜅(𝑠𝑛), para n ≥ 0.
Definição 3.4.13. Sejam 𝒮 = (C, ℛ) um cálculo de hipersequentes gerais sobre C e Ω
⊆ GHSeq(C). Um hipersequente geral sobre C ℎ é derivável em 𝒜 a partir de Ω, o que denotamos por Ω ⊢𝒜 ℎ, se existe uma sequência finita de hipersequentes gerais ℎ1 . . . ℎ𝑛
tal que ℎ𝑛 = ℎ e, para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, ou ℎ𝑖 ∈ Ω, ou existem uma regra de hipersequentes
gerais 𝑟 = ({ℎ1’, . . . , ℎ𝑘’}, ℎ’) emℛ e uma substituição Φ sobre C e uma instanciação de
sequente Ψ e uma instanciação de sequente geral Θ sobre C tais que: (Φ, Ψ, Θ)(ℎ𝑗’) ∈ {ℎ1, . . . , ℎ𝑖−1}, para 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘, e
(Φ, Ψ, Θ)(ℎ’) = ℎ𝑖.
Se Ω = ∅, então dizemos que ℎ é demonstrável em 𝒜 .
Dado um sequente geral 𝑠1, . . . , 𝑠𝑛 ≻ 𝑠1’, . . . , 𝑠𝑚’ sobre C1 e f : C1 −→ C2
um morfismo em Sig, ^𝑓 (𝑠1, . . . , 𝑠𝑛 ≻ 𝑠1’, . . . , 𝑠𝑚’) é o sequente geral 𝑠1, . . . , 𝑠𝑛 ≻ 𝑠′1, . . . , 𝑠′
𝑚 sobre C2 em que, para todo 𝑠 ∈ L(C1) ∪ 𝜒, 𝑠 é ^𝑓 (𝑠), se 𝑠 ∈ L(C1), e 𝑠 caso contrário.
Podemos estender para hipersequentes: ^
𝑓 (𝑠1 . . . 𝑠𝑛) = ˜𝑠1 . . . ˜𝑠𝑛,
em que, para cada 𝑠 ∈ GSeq(C1) ∪ h, ˜𝑠 é ^𝑓 (𝑠), se 𝑠 ∈ GSeq(C1), e 𝑠 caso contrário.
Se ℎ é um hipersequente geral sobre C1, então ^𝑓 (ℎ) é um hipersequente geral
Abaixo definiremos a categoria GHC de cálculos de hipersequentes gerais.
Definição 3.4.14. A categoria GHC de cálculos de hipersequentes gerais é tal que seus
objetos são cálculos de hipersequentes gerais da forma 𝒮 = (C, ℛ) e um morfismo 𝑓 : 𝒮1 −→ 𝒮2, de um cálculo de hipersequentes gerais 𝒮1 = (C1, ℛ1) num cálculo de
hipersequentes gerais 𝒮2 = (C2, ℛ2), em GHC é um morfismo 𝑓 : C1 −→ C2 em Sig tal
que, para toda regra 𝑟 = ({ℎ1, . . . , ℎ𝑛}, ℎ) ∈ ℛ1 é verificado que ^𝑓(ℎ) é derivável em 𝒜2
a partir de { ^𝑓 (ℎ1), . . . , ^𝑓 (ℎ𝑛)}.
A composição de morfismos e o morfismo identidade em GHC são definidos como em Sig.
Os morfismos de CHC, bem como os de GHC, são denominados hipertraduções e preservam as regras gerais do cálculo domínio no cálculo alvo, por definição. Estas regras podem ser interpretadas como meta-propriedades dos cálculos dados. Daí, pelo menos toda meta-propriedade geral do cálculo domínio de um morfismo destas categorias é preservada no cálculo alvo deste morfismo. Lembramos que, além das meta-propriedades já preservadas pelos conceitos de meta-tradução e tradução contextual, em que a conclusão da meta- propriedade era única, temos pelas hipertraduções a preservação de meta-propriedades com mais de uma conclusão.
O conceito de hipertradução pode ser simplificado, da mesma forma que Carnielli, Coniglio e D’Ottaviano (2007) o fizeram com o conceito de meta-tradução, pela introdução do conceito de tradução contextual. Propomos este conceito simplificado a seguir, denominando-o tradução hiper-contextual.
Lembramos que na Definição 3.2.1 vimos que uma asserção sobre uma assinatura proposicional C é um par (ϒ, 𝜙), denotado por ϒ ⊢ 𝜙, tal que ϒ é um subconjunto finito de L(C) ∪ 𝜒 e 𝜙 ∈ L(C). Chamaremos de Asser(C) o conjunto de todas as asserções sobre a assinatura proposicional C.
Definição 3.4.15. Um hipersequente sobre uma assinatura proposicional C é um subcon-
junto finito de Asser(C) ∪ h.
Observamos que poderíamos ter definido um hipersequente como um multicon- junto finito de Asser(C) ∪ h. O conjunto de todos os hipersequentes sobre C será denotado por HS(C).
Definição 3.4.16. Uma meta-propriedade sobre uma assinatura proposicional C é um
par (P) = ({ℎ1, . . . , ℎ𝑛}, ℎ), em que ℎ1, . . . , ℎ𝑛, ℎ são hipersequentes sobre C. Uma
meta-propriedade é estrutural se não há ocorrência de conectivos.
Uma meta-propriedade pode ser escrita como:
ℎ1 . . . ℎ𝑛
ℎ
O conceito de lógica proposicional dado na Definição 3.2.3 é estendido trocando as meta-propriedades envolvidas por meta-propriedades como as da Definição 3.4.16.
Definição 3.4.17. Seja C uma assinatura proposicional. Uma instanciação de asserção
sobre C é uma função Θ : h −→ ℘fin(Asser(C)), em que ℘fin(Asser(C)) é o conjunto de
subconjuntos finitos de Asser(C).
A extensão homomórfica única de Θ em Asser(C) ∪ h é denotada por ^Θ : Asser(C) ∪ h −→ ℘𝑓 𝑖𝑛(Asser(C)) é tal que ^Θ(𝑠) = {𝑠}, se 𝑠 ∈ Asser(C), e ^Θ(𝑠) = Θ(𝑠),
se 𝑠 ∈ h.
Dadas uma substituição Φ (Definição 3.1.5), uma instanciação básica Ψ (Defi- nição 3.1.6) e uma instanciação de asserção Θ sobre C, a função (Φ, Ψ, Θ) de HS(C) em HS(C) é definida da seguinte maneira, para ℎ = {𝑎1, . . . , 𝑎𝑚}:
(Φ, Ψ, Θ)(ℎ) = {(Φ, Ψ, Θ)(𝑎1), . . . , (Φ, Ψ, Θ)(𝑎𝑚)}.
Em que, se 𝑎 ∈ Asser(C) ∪ h e ^Θ(𝑎) = {𝑆1 . . . 𝑆𝑛}, então (Φ, Ψ, Θ)(𝑎) = {(Φ,
Ψ)(𝑆1) . . . (Φ, Ψ)(𝑆𝑛)}, em que (Φ, Ψ)(𝑆𝑖), 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, é definida como no comentário
após a Definição 3.2.3.
Para (P) = ({ℎ1, . . . , ℎ𝑘}, ℎ), temos (Φ, Ψ, Θ)(P) = ({(Φ, Ψ, Θ)(ℎ1), . . . , (Φ,
Ψ, Θ)(ℎ𝑘)}, (Φ, Ψ, Θ)(ℎ)).
Definição 3.4.18. Seja C uma assinatura proposicional. Uma lógica proposicional sobre
L(C) possui a meta-propriedade (P) sobre C se, para toda substituição Φ, toda instanciação básica Ψ e toda instanciação de asserção Θ, ela satisfaz a meta-propriedade concreta (Φ, Ψ, Θ)(P).
Vamos estender ˙𝑓 , definida após a Definição 3.2.4, para o nosso novo conceito de
meta-propriedade. ˙𝑓 foi definida de forma que, se f : L(C) −→ L(C’) é uma função tal que para toda 𝜎 ∈ Σ, f(𝜎) = 𝜎, e S = (ϒ, 𝜙) é uma asserção sobre C, então ˙𝑓(S) é a asserção ( ˙𝑓 (ϒ), ˙𝑓 (𝜙)) sobre C’ em que ˙𝑓 (𝜓) = f(𝜓) se 𝜓 ∈ L(C), ˙𝑓 (𝑋) = 𝑋 se 𝑋 ∈ 𝜒 e ˙𝑓 (ϒ) =
{ ˙𝑓 (𝑎) : 𝑎 ∈ ϒ}. Agora, se 𝐻 ∈ h, então ˙𝑓 (𝐻) = 𝐻; e se ℎ é um hipersequente, então ˙𝑓 (ℎ)
= { ˙𝑓 (𝑠) : 𝑠 ∈ ℎ}. Se (P) = ({ℎ1, . . . , ℎ𝑛}, ℎ) é uma meta-propriedade sobre C, então
˙
𝑓(P) é a meta-propriedade ({ ˙𝑓(ℎ1), . . . , ˙𝑓(ℎ𝑛)}, ˙𝑓(ℎ)) sobre C’. Se a meta-propriedade
(P) é estrutural, então ˙𝑓 (P) e (P) coincidem.
Definição 3.4.19. Sejam ℒ e ℒ ’ lógicas proposicionais definidas sobre as assinaturas C
e C’, respectivamente. Uma tradução hiper-contextual (ou hipertradução contextual) f de ℒ em ℒ ’, denotada por f : ℒ −→ ℒ ’ , é uma função f : L(C) −→ L(C’) tal que, se ℒ possui a meta-propriedade (P), então, ℒ ’ possui a meta-propriedade ˙𝑓(P).
Uma tradução hiper-contextual possui a mesma característica de preservar as meta-propriedades estruturais dos morfismos das categorias CHC e GHC. Isto porque uma tradução f deve ser tal que leva cada variável esquema nela mesma e ˙𝑓 garante tanto
que variáveis sejam levadas nelas mesmas, quanto que variáveis de sequentes de uma meta- propriedade da lógica domínio sejam levadas nelas mesmas, em uma meta-propriedade da lógica alvo. Logo, traduções hiper-contextuais levam cada meta-propriedade estrutural da lógica domínio na mesma meta-propriedade estrutural na lógica alvo.
Claramente, o conceito de tradução hiper-contextual é um caso particular do conceito de tradução contextual, pois as meta-propriedades da Definição 3.2.2 podem ser vistas como as meta-propriedades da Definição 3.4.16, em que cada hipersequente é um subconjunto unitário de Asser(C).
Da mesma forma que pudemos definir traduções contextuais num ambiente abstrato, podemos também pensar no conceito de tradução hiper-contextual num ambiente abstrato, como segue:
Definição 3.4.20. Sejam L1 = (𝐿1, C1) e L2 = (𝐿2, C2) duas lógicas (lógicas de acordo
com a Definição 1.6.1). Uma tradução hiper-contextual abstrata t : L1 −→ L2 é uma
função t : 𝐿1 −→ 𝐿2 tal que, para todo conjunto X1𝑗1 ∪ . . . ∪ X
𝑘 𝑗𝑘 ∪ {𝑥 1 𝑗1} ∪ . . . ∪ {𝑥 𝑘 𝑗𝑘} ∪ X𝑗 ∪ {𝑥𝑗} ⊆ 𝐿1, 𝑗1 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛1}, . . . , 𝑗𝑘 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛𝑘}, 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑚}, temos que se ⋁︀𝑛1 𝑗1=1 𝑥 1 𝑗1 ∈ C1(X 1 𝑗1) e . . . e ⋁︀𝑛𝑘 𝑗𝑘=1 𝑥 𝑘 𝑗𝑘 ∈ C1(X 𝑘 𝑗𝑘) ⇒ ⋁︀𝑚 𝑗=1 𝑥𝑗 ∈ C1(X𝑗), então ⋁︀𝑛𝑗11=1 t(𝑥1 𝑗1) ∈ C2(t(X 1 𝑗1)) e . . . e ⋁︀𝑛𝑘 𝑗𝑘=1 t(𝑥 𝑘 𝑗𝑘) ∈ C2(t(X 𝑘 𝑗𝑘)) ⇒ ⋁︀𝑚 𝑗=1 t(𝑥𝑗) ∈ C2(t(X𝑗)), em que ⋁︀𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 ∈ C(X𝑖) representa 𝑥1 ∈ C(X1) ou . . . ou 𝑥𝑛 ∈ C(X𝑛).
Facilmente observamos que este conceito é um caso especial do conceito de tradução contextual abstrata. Basta observarmos que se t é uma tradução hiper-contextual abstrata, então t é uma tradução contextual abstrata ao tomarmos 𝑛1 = 1, . . . , 𝑛𝑘= 1 e
𝑚 = 1.
Na próxima seção, faremos algumas ponderações a respeito dos diversos concei- tos de tradução apresentados ou introduzidos neste trabalho.